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数形结合思想在初中数学教学中渗透


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数形结合思想在初中数学教学中渗透 数形结合思想在初中数学教学中渗透 思想在初中数学教学中
内容提要: 内容提要:数形结合思想是初中课本中的基本的数学思想,在初中数学教学和 解题中起着十分重要的角色。本文结合了本人的一些教学体会,讲述分析了如 何充分的利用数形结合思想在教学中的运用以及去解常见数学题目,本文主要 分为三个部分来分析:数转化为形,形转化为数,数形结合。使学生充分认识 “数”和“形”之间的内在联系,把问题化繁为简,化难为易,使学生在学习 数学知识中,充分了解和掌握数形结合这种解决问题的策略和方法。 关键字: 关键字:数形结合,思想,解题 数形结合思想,就是根据数与形之间的一一对应关系,把抽象的数学语言、 数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数 解形”,即通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具 体化,优化解题途径的思想。[1] 在初中教学中经常用到数形结合思想。如有理数内容体现着数形结合思想。 数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的一个重要方面。由于对每一个有 理数,数轴上都有唯一确定的点与它对应,因此,两个有理数大小的比较,是 通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的(实数的大小比较也是 如此)。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来 刻划的。尽管我们学习的是(有理)数,但要时刻牢记它的形(数轴上的点), 通过渗透数形结合的思想方法,帮助七年级学生正确理解有理数的性质及其运 算法则。 又如应用题内容隐含着数形结合思想。列方程解应用题的难点是如何根据

题意寻找等量关系布列方程,要突破这一难点,往往就要根据题意画出相应的 示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如,北师大版七年级数学上册的 第五章第七节课题是“能追上小明吗”,是一个研究行程问题的课题,教学中, 老师必须渗透数形结合的思想方法,依据题意画出相应的示意图,才能帮助七 年级学生迅速找出等量关系列出方程,从而突破难点。 再如不等式内容蕴藏着数形结合思想。北师大版八年级数学下册第一章内 容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”,教学时,为了加深八年级学生 对不等式解集的理解,老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来, 使学生形象地看到,不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。 在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现,而在数轴上表示数集,则比在数 轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时,利用数轴更为有 效,也让学生理解的更深刻。 函数及其图象内容凸显了数形结合思想。由于在直角坐标系中,有序实数 对(x ,y)与点 P 的一一对应,使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函 数可以用图形来表示,而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和 特点,这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此,函数及其图象内容凸 显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透,将 会收到事半功倍的效果。 如果说上述的例子是初中代数的内容体现了数形结合思想,那么初中几何 教学中也离不开数形结合思想。如比较两条线段(或两个角)的大小,我们常 用的方法是重叠法和度量法,重叠法是几何方法,顾名思义将两条线段(或两 个角)放在一起比较长短(大小),度量法是代数方法,即用刻度尺(量角器) 测量两条线段的长度(两个角的大小)。体现了数形结合思想。

又如勾股定理蕴藏着数形结合思想。学生在学习勾股定理的内容时,书本 上给出了勾股定理的无字证明,即移动几块图形就能很直观地证明出勾股定理 的 a 2 + b 2 = c 2 (c 为斜边)这个数量关系成立。 下面我们来谈谈如何充分利用数和形的关系去解决常见数学问题。 一、运用图形的直观解决数量关系 由于数和形是一种对应,有些数量比较抽象,我们难以把握,而形具有形 象,直观的优点,能表达较多具体的思维,起着解决问题的定性作用,因此我 们可以把数的对应——形找出来,利用图形来解决问题。 例 1、分解因式: a 2 ? b 2 这个分解因式的题目非常简单,是同学们非常熟悉的公式——平方差公式:
a 2 ? b 2 = (a + b)(a ? b) ,有时也就是直接用这个公式来套用进行分解因式的。但是

有不少学生却不能理解 a 2 ? b 2 = (a + b)(a ? b) 这个公式?有些同学虽说理解,但也 是从整式乘法公式 (a + b)(a ? b) = a 2 ? b 2 的逆用来理解的,相当于死记硬背来 掌握的。理解平方差公式 a 2 ? b 2 = (a + b)(a ? b) ,我们可以从几何图形出发来理解。
a a

如左图,在边长为 a 的正方形纸板中剪去一个边长为 b 的小正方形后,剩
2 2 余图形的面积是( a ? b ),把左图的剪下小正方形后的剩余图形拼在一起,得到

右图,是一个长方形,其长为(a+b),宽为(a-b),面积为(a+b)(a-b),所以可以

2 2 得到 a ? b = (a + b)(a ? b) 。

其实除了理解平方差公式的意义可以用几何图形面积来帮助分析外,还有 完全平方公式等其它的整式乘法公式或分解因式公式,可以用几何图形面积来 帮助理解其意义。 例 2、方程 ? x 2 + 5 x + 2 = 的正根的个数为( A、3 B、2 C、1
y

2 x

)。 D、0

分析:直接化分式方程为 整式方程,确定方程根的个数, 是十分困难的事,结合问题特 征,要将“数”转达化成 “形”去研究。 解:把方程化为抛物线 y1= ? x 2 + 5 x + 2 与双曲线 y2= ,分别画出草图, 在 x>0 的范围内,两函数图象有两个交点。
2 x

X

0

通过这种“数”与“形”的转化,使本来很难解的题目,变得解起来得心 应手了。解此类题目,主要是我们是否能够把代数问题转化为几何问题,把握 得很好。也就是说,这些代数问题怎样转化到几何性质问题上来,才是解题的 关键。 二、利用数量关系揭示几何图形的性质 虽然形有形象、直观的优点,但在定量方面还必须借助代数的计算,特别 对于较复杂的“形”,不但要正确的把图形数字化,而且还要留心观察图形的 特点,发掘题目中的隐含条件,充分利用图形的性质或几何意义,把“形”正 确表示成“数”的形式,进行分析计算。

例 3、等腰三角形的面积为 2,腰长为 5 ,底角为 α ,求 tan α 。 分析:本题是斜三角形问题,因此要作高化斜三角形为解直角三角形。但 是本题又没有给出三角形的形状,所以在画高时就要考虑高在三角形内、三角 形上和三角形外三种情况,这是一种解题方法,但非常麻烦,我们可以考虑用 数形结合的思想来解决本题,用数学中的方程或方程组来解。 解: 过 A 点作 AD⊥BC 于 D,如右图 ∵△ABC 是等腰三角形,面积为 2,腰长为 5 ∴BD=DC 设 BD=x,AD=y 在 Rt△ABD 中, x 2 + y 2 = ( 5 ) 2 在△ABC 中, × 2 x × y = 2 由 ①、②得:
1 2
A

① ②
B D C

{

x2 + y2 = 5 xy = 2

该方程组可化为如下两个方程组: { 分别解之得: ?

x+ y =3 xy = 2

或{

x + y = ?3 xy = 2

? x1 = 1 ? x 2 = 2? x3 = ?1? x 4 = ?2 ? ? ? ? y1 = 2? y 2 = 1? y 3 = ?2? y 4 = ?1

∵BD、AD 均为正数 ∴取 ?
? x1 = 1 ? x2 = 2 ? ? y1 = 2? y2 = 1
y 1 = 或2 x 2

∴ tan α =

本题应用了数形结合思想,“形题数解”往往可以使求解思路新颖,而且 几何中的多解问题可以转化为方程或方程组的多解问题。 例 4、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律,拼成若干个图案: (1)第四个图案中有白色地砖_______块;

(2)第 n 个图案中有白色地砖_______块。 分析:本题是借助于图形中的数量关系来解决问题,第一个图案中有白色地 砖 6 块,第二个图案中有白色地砖 10 块,第三个图案中有白色地砖 14 块,根 据前面的分析,很快就能判断出第四个图案中有白色地砖 18 块,并且每个图案 比前一个图案增加 4 个白色地砖,所以第 n 个图案中有白色地砖 4n+2 块。

第一个

第二个

第三个 北师大版七年级数学上册第三章“字母表示数”,本章的不少小节的内容 是探索几何图形(或几何图案)的数量关系,教学中,老师指导学生会用代数 式表示几何图形(或几何图案)的数量关系,老师若注重了数形结合思想方法 的渗透,会使学生很快领悟几何图形(或几何图案)的规律,从而找出其中的 数量关系。 三、将数量关系和图形的性质,在解题中串连结合使用 将数量关系和图形的性质, 关系和图形的性质 就是根据“数”与“形”既对立,又统一的特性,观察图形的形状,分析 数与式的结构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并揭示隐含的 数量关系。 数形结合的基本思想方法,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合 起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形的性质问题转化为数量关系的问题, 或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题

具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案。 不久前在给学生中考复习过程中,遇到了这样的一个题目:
1 的值,他设计了如 2n 1 1 1 … 下图边长为 1 的正方形纸片, 并用不同的标记标出了正方形面积的 , , , 2 4 8 1 1 1 1 请你根据掌握的数形结合的思想,推出当 n 为正整数时, + + + L + n 的结 2 4 8 2

例 5、在一次数学活动中,小明为了求 + + + L +

1 2

1 4

1 8

果。(用 n 表示)[2] 分析:为了求出如果直接去求出 + + + L +
1 2 1 4 1 8 1 的值, 2n

对于初中的学生来说还是非常难的,我们可以考虑用数形结合思想来解决。 我们可以这样理解,用剪刀去剪这个正方形纸片,第一次剪去正方形纸片的一 半,正方形剩余面积是 ,第二次
… ③

1 2

剪去剩余图形的一半,得到的 图形面积是 ,第三次剪去第


1 4

1 8



1 2 1 4

1 16

二次剪剩的图形的一半,得到
1 的图形面积是 ,即每次剪去 8


前一次剩余图形面积的一半,……那么当第n次剪后得到的图形面积是 ( ) n ,把 每次剪下来的图形面积相加,即得到 + + + L +
1 2 1 4 1 8 1 1 =1 ? n n 2 2

1 2

总而言之,“数无形不直观,形无数难入微” 。见到数量就要考虑它的几 何意义,见到图形就应考虑它的代数关系,运用数形结合的思想解决数学问题。 因此数形结合思想在初中数学教学中起着举足轻重的作用。 参考文献 [1] 沈文选; 中学数学思想方法; [2] 2008 安 徽 省 中 考 经 典 头 名 卷 数 学 ; 湖南师范大学出版社; 1999.5 安徽教育出版社; 2008.2



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