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2.1.2指数函数及其性质教学设计【精品】


安徽新华学校综合高中部青年教师示范课教案

2.1.2 指数函数及其性质教学设计
安徽省安徽新华学校综合高中部 郭建德 一、教学目标:

2013-12-27

知识与技能:理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质,培养学生实际应用函 数的能力。 过程与方法:通过观察图象,分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形 结合的数学思想方法,培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观:在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学 生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点: 教学重点:指数函数的概念、图象和性质。指数函数是在学生系统学习了函数概念,基 本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一。作为常见函数,它 既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础;同时在生活及生产实际 中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。 教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。指数函数是学生 完全陌生的一类函数, 对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。 三、学情分析: 学生已经学习了函数的知识, 指数函数是函数知识中重要的一部分内容, 学生若能将其 与学过的正比例函数、 一次函数、 二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、 性质、 图象, 则一定能从中发现指数函数的本质, 所以对已经熟悉掌握函数的学生来说, 学习本课并不是 太难。 学生通过对高中数学中函数的学习, 对解决一些数学问题有一定的能力。 通过教师启发 式引导,学生自主探究完成本节课的学习。 高一学生的认知水平从形象向抽象、 从特殊向一般过渡, 思维能力的提高是一个转折期, 但是,学生的自主意识强,有主动学习的愿望与能力。有好奇心、好胜心、进取心,富有激 情、思维活跃。 四、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教 A 版)第二章第一节第 二课(2.1.2)《指数函数及其性质》。根据我校首届综合高中班学生的实际情况,我将《指 数函数及其性质》划分为两节课(探究图象及其性质,指数函数及其性质的应用),这是第 一节课“探究图象及其性质”。 指数函数是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它 不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础, 同时在生活及生产实际中有着广泛的应用, 所以 指数函数应重点研究。 函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。 如何突破这个即重要又抽象的内容, 其 实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来, 通过具有一定思考价值的问
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题,激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道,函数的表示法有三种:列表法、图 象法、解析法,以往的函数的学习大多只关注到图象的作用,这其实只是借助了图象的直观 性,只是从一个角度看函数,是片面的。本节课,力图让学生从不同的角度去研究函数,对 函数进行一个全方位的研究, 并通过对比总结得到研究的方法, 让学生去体会这种的研究方 法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 五、教学过程: (一)创设情景、导入新课 问题 1:据国务院发展研究中心 2000 年发表的《未来 20 年我国前景分析》判断,未来 20 年,我国 GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到 7.3%,那么,在 2001--2020 年, 各年的 GDP 可望为 2000 年的多少倍? 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为:y=1.073x

x ? N ? , 且x ? 20

问题 2:当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”。根据此规律,人们获得了碳 14 含量 P 和 死亡年数 t 的之间对应关系。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为

? 1 ? 5730 p?? ? ,t?0 ?2?

t

引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。 设计意图: 充实实例, 突出底数 a 的取值范围, 让学生体会到数学来源于生产生活实际。
5730 函数 y=1.073 、p ? ? 1 ? 分别以 0<a<1 或 a>1 的数为底,加深对定义的感性认识, ? ? 2? ? t

x

为顺利引出指数函数定义作铺垫。 (二)师生互动、探究新知 1.指数函数的定义 一般地,函数 是 R。 的含义: 设计意图:为按

叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域

两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不合

适,引导学生用区间表示:(0,1)∪(1,+∞) 问题:指数函数定义中,为什么规定“ 况? 设计意图: 教师首先提出问题:为什么要规定底数大于 0 且不等于 1 呢?这是本节的一个 难点,为突破难点,采取学生自由讨论的形式,达到互相启发,补充,活跃气氛,激发兴趣 的目的。 ”如果不这样规定会出现什么情

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对于底数的分类,可将问题分解为:

(1)若 a<0 会有什么问题?(如 (2)若 a=0 会有什么问题?(对于

, ,

则在实数范围内相应的函数值不存在) 都无意义)

(3)若 a=1 又会怎么样?(1x 无论 x 取何值,它总是 1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定 a>0 且 .

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。 设计意图:认识清楚底数 a 的特殊规定,才能深刻理解指数函数的定义域是 R;并为学 习对数函数,认识指数与对数函数关系打基础。 教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题 引向深入。 1:指出下列函数那些是指数函数:

*2:若函数

是指数函数,则 a=

(选讲)

*3:已知 y=f(x)是指数函数,且 f(2)=4,求函数 y=f(x)的解析式。(选讲) 设计意图 :加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。 2.指数函数的图像及性质 在同一平面直角坐标系内画出下列指数函数的图象

画函数图象的步骤:列表、描点、连线 思考如何列表取值? 教师与学生共同作出 图像。

设计意图:在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图像与性质,是本节的重点。 关键在于弄清底数 a 对于函数值变化的影响。对于 时函数值变化的不同情

况,学生往往容易混淆,这是教学中的一个难点。为此,必须利用图像,数形结合。教师亲 自板演,学生亲自在课前准备好的坐标系里画图,而不是采用几何画板直接得到图像,目的 是使学生更加信服,加深印象,并为以后画图解题,采用数形结合思想方法打下基础。

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利用几何画板演示函数 特征。由特殊到一般,得出指数函数

的图象,观察分析图像的共同 的图象特征,进一步得出图象性质:

教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。 设计意图:这是本节课的重点和难点,要充分调动学生的积极性、主动性,发挥他们的 潜能,尽量由学生自主得出性质,以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。 【注:教师利用多媒体手段借助几何画板给学生展示动态的指数函数图象并分析底数的 变化对函数图象的影响。】 师生共同总结指数函数的性质,教师边总结边板书。

特别地,函数值的分布情况如下:

设计意图:再次强调指数函数的单调性与底数 a 的关系,并具体分析了函数值的分布情 况,深刻理解指数函数值域情况。

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(三)典例分析、巩固新知

例 1: 56 例 6)已知指数函数 f ( x) ? a ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π ) (P ,求
x

f (0), f (1), f (?3)的值.
分析:要求 f (0), f (1), f (?3)的值,只需求出a, 得出f(x)=(? 3 )x , 再把 0,1,3 分别 代入 x ,即可求得 f (0), f (1), f (?3). 思考:要求出指数函数,需要几个条件? 例 2:求下列函数的定义域: (1) y ? 2 x ?4
x

1

4

(2) y ? ( )

2 3

| x|

分析:类为 y ? a (a ? 1, a ? 0) 的定义域是 R,所以,要使(1)(2)题的定义域,保 , 要使其指数部分有意义

(四)归纳小结 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? 你又掌握了哪些数学思想方法? 你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗? 设计意图:让学生在小结中明确本节课的学习内容,强化本节课的学习重点,并为后续 学习打下基础。

(五)布置作业 课堂作业: 必做题:习题 2-1A 组第 5 题, 选做题:习题 2-1B 组第 4 题, 思考题(二选一) 1、A 先生从今天开始每天给你 10 万元,而你承担如下任务:第一天给 A 先生 1 元,第二天 给 A 先生 2 元,,第三天给 A 先生 4 元,第四天给 A 先生 8 元,依次下去,?,A 先生要和你签定 15 天的合同,你同意吗?又 A 先生要和你签定 30 天的合同,你能签这个合同吗?

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2、观察指数函数

的图象,比较 a,b,c,d,的大小。

设计意图:课后思考的安排,激发学生的学习兴趣,主要为学有余力的学生准备的。并 为下一节课讲授指数函数图像随底数 a 变化规律作铺垫。 (六)教学反思:

附:板书设计:

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