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数学物理方法-汪德新-第三版-习题答案详解


a 2 ) π k + gr a ( i b 1

e 2b + 2a

4

=

2 1

? ? ?

) πk 2 +

a gr a( i b

e2b +
3

2

a

? ? = bi + a ?

?4?

)

3

3

π

i?

e2 =

π

ni s i ?

π

s oc( 2 =

? π k 2 + ) 3 ? ( gt cr a ? i ? ?

e3 + 1

= 3 i ? 1?3?
i +1

1 = φ因? )1 n i s i

+ 1 s o c( e = i e e =
3 6 ) πk + ( i 2 π

e ?2?


3 6 3 6 ) π k + ( ni s i + ) π k + ( s oc = 2 π 2 π
2 ,1,0 = k ?

) πk 2 +

2

π

(i

e = i 由?1? ?解
i + 1? ?7? i2

e=

i3

3?

) i + 3 ( ?6?

π ≤ α ≤ 0 , α nis i + α soc ? 1 ?5?
i +1

bi + a

)4(

3

i ? 1) 3 (

e)2(

i


3

) 1(

1 ≤ ω ≤ 1? ∴? 1 ≤ x ≤ 1? ?时 1 = z

?式示表数指和式示表角三的数复各列下出写?2

x = )*z + z (

z 2 2 z 2 ? ?← 2 + ) z ( = + = ω :解 ) z ( ? 1 → 1? *z 1 1 1 =z
ω ≤ 1? 数实是 ) + z ( = ω 证求?1= z
z 1 2 1
1.1.1 题习 且?数复 z 是设.1

.1 ≤

数函析解与数 函变复

章一第

得可?入代

式 公 拉 欧 将 并 ? φ ki

e

1= k n

∑ 算计

? k ni s i + ? k s o c =

φ ki

e

q?1 = ns ) nq?1(1a

式公和求项 n 前数级比等用利?证

2

φ

s o c + φ)

2 nis 2 1= k φ = φk nis ∑ 2 n + n (s oc ? 1

2

φ

n i s ? φ)

2 nis 2 1= k φ = φk s oc ∑ 2 n + n ( nis 1
证求.4

) φ 2 nis ? φ 2 soc( φ nis φ soc 4 i + ) φ 4 nis + φ 2 soc φ 2 nis 6 ? φ 4 soc( =
4

φ 4 nis + φ 2 soc φ 2 nis 6 ? φ 4 soc = φ4 soc

) φ 2 nis ? φ 2 soc( φ nis φ soc 4 = φ4 nis



!0!4 !1!3 φ n is + φ soc φ nis + 3 !4 4 i !4 3 i

!2!2 !3!1 ! 4 !0 φ soc φ nis + φ 3 soc φ nis + φ 4 soc = φ4 nis i + φ4 soc ∴ !4 2 i !4 i !4
2 2

φ

k?n

!) k ? n(! k 0= k ∑ soc φ nis = n ) φ nis i + φ soc( = φn nis i + φn soc ?解 !n k i n
k

φ4 nis 和 φ4 soc 示表 φ soc 和 φ nis 用式公弗摩棣据根?3 4 4 i + 1? ?7? ) nis i ? soc( 2 = 4 e2 = i2 i?

π

π

π

8 2 nis i ? = 1

π

2

π

i?

) i ? 3 ( 3)i + 3 ( 8 8 e =i ?= 3 = 1 1 )i ? 3 ( 3
2

3?

) i + 3 ( ?6?

?? ?2 ? 2 ?? 2 ? + n i s i soc? nis2 = α? π ? α ?? α? π ?

α? π

i

2 e nis 2 = α nis i + αsoc ?1 ?5?

α

? ? 2 2 a a ? ? + + + ) g r a ( n i s ) g r a ( s o c k i k π π ? ? 1 1 b b

2

b +

2

a

4

=



3

z ? 2z 1z ? 2z =

3

2

z ? 1z

得?模取式原。可即

1 = c 明证要只


0 ≠ C 若?证得论结? 3z = 2z = 1z 则?0=C 若.C 于等式分令
b?a b?a b aa ? a
?

3

3z ? 2 z 1z ? 3z z ? 2z = 1z ? 3z = 1z ? 2z 证试? 3 1 = 1 2 足满3z , 2z , 1z 数复设.7 z? z z? z

1=

=

b?a
1=

得 ? 母 分 乘1 = a 以 ? 解

=

b a ?1 a
?

b?a

=

b? a ? 1 b?a

.

b?a ? 1 明证试 ,1 = a ,1 < b 设 .6 b? a

0

?

x 限 象VI 第 在z ? π2 + y x 限 象III 第 在z ? π + y x 限 象 II 第 在z , π + y x y 限 象I 第 在z ?

故 , π2 < z gr a ≤ 0 据 根 解

? n at cr a ? ? ? n at cr a ? ? = z gr a = ? n at cr a ? ? n at cr a ? ?

。zgra 值主角辐示表

x toc ra 用试? y

2

π

<

2 x toc ra < ? 为围范值主的切正反知已?5 y π

。证得即?等相部虚与部虚?等相部实与部实式两由

2

φ

n i s ? φ)

2 2 ni s 2 nis 2 φ φ + 2 i? = 2 2 + n ( ni s s o c ? φ) + n ( s o c φ 1 1

2
φi
2 1

e ?

φ

ni s i 2
φ)
2 +n(i 1

e

=

2 φi ? 1

e ?

1?

2 φi 1

e i

φn i

e

2 φi 1

e e

φi

=

e ?1 ? ?? ?? ?? ?? ?? ← φi = → ? ) e ? 1 ( e φni φi
?1-?乘同母子分

φ ki

e ∑ = ) ?k nis i + ?k soc( ∑
1= k n 1= k n

2 ∞→n 0=? ? m il 有 即 ? 义 定 的 限 极 按 。 求 要 述 上 足 满 可 即 n i+1 2 nl 2 nl . 时) ε( N > n 当 ? -=N 取 今 ->n 得可后理整数对取 εnl εnl 2 2 边 两 式 等 不 在 ?ε < ? ? 求 要 就 ? ε < 0 -? ? 使 要 ?0> ε 给 任 证 n n i+1 1 ? 2 ? ? 列 序 明 证 言 语 的 N - ε 用 试. 0 1 。0 为 限 极 的 ?? ? ? n i+1 ?
0 ∞→ n ∞→ n ∞→ n ∞→ n

z = 0y + 0x = ?nyi + nx? mil = nz mil 在存限极的nz?时∞ → n当而因
0

y = ny mil

?0x = nx mil

使?0y和0x数实在存必?知可法别判西科的列序数实中学分积微据根
ny ? p + n y? nx ? p + nx? ≤ ny ? p + n y ε < nz ? p + nz = ? ? 2 2 ny ? p + n y? nx ? p + nx? ≤ nx ? p + nx ε < nz ? p + nz = ? ? 2 2

由。立成 ε < 0z ? p + nz ?时N>n当使?0 > ) ε( N在存?0 > ε给任设。性分充

ε < 0z ? nz + 0z ? p + nz ≤ nz ? 0z + 0z ? p + nz = nz ? p + nz 得可?式两上及)31(式等不用利 2 2 < 0z ? n z 有
?时N>n当使?0 > ) ε( N在存?0 > ε给任?义定限极据根 , 0z = nz mil 设。性要必?证
∞→ n

ε

< 0z ? p + n z

有也p数然自对

ε

。在存限极的z则 , ε > nz ? p + nz 有?p数整正意任对?时) ε( N数然自在存?0 > ε给任
式二第得理同?式一第得方开边
2

?法别判西科的在存限极列序数复明证?法别判西科的在存限极列序数实用利试.9

2

) 2z +
1 2

1

z ( =
2 2

2 2

z +

z

1

z 2 +

1 2 1 2

z = z =


2 ? 2 2

2

z +
? 2

2

z ?1z 2 +
? 1

z ≤

z + ) 2 z ?1z ( e R 2 +
2

z ?1z +

z 1z +

z 2z +

z 1z = ? ) 2 z + 1z ( ) 2 z + 1z ( =
明证

2

z + 1z

为子式的边右式等不则?方平边两式等不个一第将 证

2

z ? 1z ≥ 2z ? 1z , 2z + 1z ≥ 2z + 1z

。证得此由?1 = c 即 ,1 = c 见易?除相式②与式①将
3
1z ? 3z 2 z ? 1z = 3 2

z = 2 y + 2 x ≤ x = z eR 用利试.8



z ? 2z

得模取后分通 1 减别分边两式原

。置位方右左线曲为

2 > y ? 2x 1 2

线曲双得

2 = y ? 2 x 图作 1 2

2

?解 y ? 2 x = ) yxi2 + 2 y ? 2 x (eR = 2 z eR ?1? .1 ≤

1+ z 1? z

) 4(

; 01 =

3? z + 3+ z
;

)3(

;

4

π

< )1 ? z (gra < 0 )2(
?2.1.1 题习

2 > ) 2 z ( e R )1( 1
.1

。置位的集点述下出画上面平复在试

) 列 序 数 实 是 不 ( 限 极 下 上 有 没 也 ? 限 极 无 ?1 ± ?
∞ →n

为 径 半 ? 心 中 为 点 原 以 给 任 ? 是 义 意 何 几 的 点 远 穷 无 于 趋} n z { 列 序 ) 6 ( ? 限 极 有 没 ?i ± ,1 ± ? 点 聚 个 四 有)5(
∞ →n ∞ →n

话 句 换 , 外 之 圆 大 该 在 均n z 数 复 的 列 序 , 时 N > n 当 , N 个 一 到 找 以 可 总 , M

? ∞ = n z m i l 故 ? 角 辐 其 定 规 不 , 样 一 点0 = z 像 就 点 远 穷 无 ? 说

2 ∞ →n ∞ →n 1 ? = m i? l 1 = m? i l 限 极 无 ?1 ± ? ± ? 点 聚 个 四 有)8( 1 2 2 ± ? ± ,? 0 点 聚 个 七 有) 7 ( 3 1

; 0 = n z m il 证 可 理 同 , ) 1 ( 照 仿 ) 4 (

限极无 ?
∞ →n

6 n2 6 n = nz?8? = nz)7( i)1+ n2(? so? c +1? ni? s +1? 1? (+n= nz)6( 1?ni= nz)5( n πn πn 1 i 1+ n2 n 1+ n2 6 = z)4( = z?3? = nz?2? ? ? 1?? ? 1?? ?= nz?1? n n i4+3 1 n i n n n 1?n 。限极和点聚的列序列下求.11

0 = n z m i l 得 即 ?0 为 限 极 的 ∞ → n 在 n z 明 证 过 通 ) 1 ( 解

; 0 = n z m il 证 可 理 同 , ) 1 ( 照 仿 ) 3 ( 2 2 ∞ →n ∞ →n ? = n z m il ? = n z m i? l 2? 1 1

z

?程方么什足满

ν与 μ ,下射映的 1
z

= ω在?解

?形图么什为射映?数常?

c = z eR 线直?下 1 = ω在求

.4

题例上课见 3

?轴 y 括包?面平半右

0≥x

0 ≥ x4

2

y + 1 + x 2 + 2x ≤ 2 y + 1 + x 2 ? 2x
y + 2 )1 + x ( 1+ z 1≤ 2 = y + 2 )1 ? x ( 1? z
2

)4(

4 5 1 = 2) ( + 2) ( y x
2

?圆椭为集点?

x 3 ? 52 = 2 y + 2 )3 ? x ( 5 ? 2 y + 2 )3 ? x ( 02 ? 001 = x 21
2

x 9 + x 051 ? 526 = 2 y 52 + )9 + x 6 ? 2 x (52

2

)02( = 2 y 52 + 2 x 61

y + 2 )3 ? x ( + 2 y + 2 )3 ? x ( 02 ? 001 = 2 y + 2 )3 + x (
?于当相

01 = 2 y + 2 )3 ? x ( + 2 y + 2 )3 + x (

01 = 3 ? z + 3 + z )3(
00

X

1

y
1>x② 0>y①

1 ? x<y④

1<

1? x < 0③ y
?于当相

4

1? x gtcra = ] yi + )1 ? x ( [ gra = )1 ? z (gra ?2? y

π

<

1? x gt c ra < 0 y

) i?( grAi + i? nl = ) ) i ? ( grAie i? (nl = ) i? (nl ?4?

....... ,2± ,1± ,0 = k ? ) πk2 +

2

π

?(i =

bhsa soc i + bh c a nis =
i2 a s oc + ) b e + 1
b?

)bi(nis a soc + )bi(soc a nis = )ib + a(nis ?3?
x s oc = ) xi ? e + x i e (
2 2 xhc = ) x e + x ?e( = ) xii i ?e + xii ie( = )xi(soc ?1?解 1 1
5? nl ?5?
?

) be ?

b?

e(

2 e ( a nis = 1

2 = ) xi( h c ?2? 1

)i?(nl ?4?

?数实为 b,a

)bi + a (nis )3( )xi(hc )2(

)xi(soc ?1?

........ ,1± ,0 = k πk = x 和 π) 1 + k ( = x 有即
2

?部虚与部实的它出写?值数列下算计 6 的能可不是这

0 = x nis 和 0 = x soc ?满时同需必 x 则


?

0 = x nis i + x soc = xie 若?法证反用?解

0 ≠ xie 有 , x 数实何任对?明证试 5

圆的为

c2 c2 c4 c2 2 )0 , ( 1 在心圆为面平 ω在即 1 = 2 ν + 2 ) 1 ? μ ( 1 径半? c4 = 1
2

νc + ) 2

c4 c + ? μ ( c 程方圆得可方配过通 μ 2 1

2

ν+ μ μ
2

μ = ) 2 ν + 2 μ ( c∴

=

w νi + μ eR = e R = z e R = c 由 1 1

续连致一中1 < z 域区在2 z = ) z ( f即 ε < '' z ?' z 2 < 2'' z ? 2' z 有必 2 时 δ < '' z ?' z 当则? = δ取选 '' z ?' z 2 < '' z ?' z '' z +' z = 2'' z ? 2' z 而因 关无 '' z?' z与而关有 ε与有只 δ中其?可即ε < 2'' z ? 2' z = )'' z ( f ? )' z ( f 2 < '' z + ' z ≤ '' z +' z

。之算计试?在存否是限极列下问 3.1.1 题习

?1

ε

故 ,1 < '' z ,1 < ' z 点两的中1 < z 于对

有 ,时 δ < '' z ?' z 当?0 > δ在存?0 > ε给任明证须必?义定续连致一据根 证
.0 ≠ ) z ( f内域邻 δ的0z在) z ( f即 ,0 > ) 0z ( f ?项移

。续连致一中1 < z 域区在2 z = ) z ( f明证试.9

) z ( f 2 ? ) 0z ( f 2 ≥ ) 0z ( f ? ) z ( f 2 > ) 0z ( f 有即

2 > ) 0z ( f 有即 1

故?续连点0z在) z ( f由。 ) 0z ( f

式两上立联 ) z ( f ? ) 0z ( f ≥ ) 0z ( f ? ) z ( f 得?式?41?的1.1用利 2 ?0 > δ在存 ) 0z ( f = ε < ) 0z ( f ? ) z ( f 有?时 δ < 0z ? z 1 2 = ε取可?0 ≠ ) 0z ( f 设题 ε < ) 0z ( f ? ) z ( f 1 有时ε < 0z ? z 当?0 > δ在存 ,0 > ε给任?知可义定的续连由 解

→y y+ x 0 0→x 0→z 果结同不有式上?时值同不取k当?证可xk=y令要只?在存不 2 2 mil=)z(fmi ? l 2? yx2

。0为不) z ( f中域邻个一的0z到找可?明证试?0 ≠ ) 0z ( f且?续连0z = z在) z ( f设.8

等相i4-=) 0z(f与且?在存i4-=)z(fmi ? ?解 l1 z z i2 0 = 0z ,) ? ? ( =)z(f)2( i2 = 0z ,2yi+x2=)z(f)1? z z 1
?

0z→z

?续连否是?在存否是限极的点0z在数函列下问试.7

])5?( grAi + 5 nl[

...... ,2± ,1± ,0 = k

) πk +

2

2 2 e 5? nl( = 5? nl ?5? =) 1 1 ) 5? ( g r A i

π

( i + 5 nl

2 = 1

n

zn = 1? n zΔ zΔ 0→ xΔ 0→ xΔ ? ? mil = z ? ) zΔ + z ( mil = ) z (' f 解 2 n n z ? ? n) zΔ( + … + 2) zΔ( 2?n z )1 ? n(n + zΔ1?n zn + n z ? ? ? 1
?导可处

。数导的n z = ) z ( f算计发出义定数导由试.3

。续连点1 = z 除面平全?3? 1 = z 除? 。续连

面平全在 时

z = ω故?立成 0z 意任对式上时 ε < δ < 0z ? z ≤ 0z ? z = ) 0z ( f ? ) z ( f
使 ?

δ < 0z ? z

0> δ



ε







?

0> ε
4





?

2

?

。续连面平全在

z = ω故

?数函 续连为仍乘自数函续连而?续连面平全在

?解 z = ω因?1?

1? z = ω?3? 4 ? z5

?

z = ω ? 2? ? z = ω?1? 4
.2

续连否是面平全在数函列下问

5 5 i + 2 1 + i + 1 1 + z +1→ z i ? = = = mil ?2? i 2 1 i ? i +1 i ? z
。在存不限极故?同不值比?时值同不取

∞=

2

z + 1 i→ z mil ?3? 1

?解 xk = y 则? k 为率斜线直若?零于趋线直沿 z 令?1?

ki + 1 xki + x 0→ z z 0→ z = mil = mil k 当? k i ? 1 x k i ? x z *
1 + z +1→ z i mil ?2? i? z

z + 1 i→ z 2 mil ?3? 1

*

z 0→ z mil ?1? z

z = w )5(

z

z e = ω?4? z z = ω?3? x = ω?2? = ω?1? 2 1
?件条 R-C 足满处何在数函列下 4.1.1 ?1 题习

y? y? yΔ yΔ 0→ yΔ 0→ yΔ + i? = mil i+ + mil = v? u? ) y ,x (v ? )yΔ + y ,x (v )y ,x (u + )yΔ + y ,x ( u xΔ zΔ 0→ yΔ 0→ zΔ mil = mil = ) z (' f ])y ,x (vi + )y ,x ( u[ ? ]) yΔ + y ,x (vi + )yΔ + y ,x ( u[ ) z ( f ? ) zΔ + z ( f

。件条R-C 为即等相别分部虚与部实边两式等让?立联式两

yΔi = zΔ即 ,0=xΔ令)2( xΔ x? x? xΔ 0→ xΔ 0→ xΔ mil i+ + mil = i+ = ) y ,x ( u + )y ,xΔ + x (u v? u? )y ,x (v ? )y ,xΔ + x (v xΔ zΔ 0→ xΔ 0→ zΔ mil = mil = ) z (' f ])y ,x (vi + ) y ,x ( u[ ? ])y ,xΔ + x (vi + ) y ,xΔ + x ( u[ ) z ( f ? ) zΔ + z ( f

.xΔ = zΔ即 ,0=yΔ令?1? 解 。件条R-C出导等相者两由

并?值限极的时0于趋轴y及轴x于行平zΔ算计别分试?导可z点在?z? f知已.5
. 微 可 不 ) 0 , 0 ( 在 ) y , x ( u 即 ? 设 假 的 微 可) y , x ( u 背 违 2 2 2 ?0 于 向 趋 不 ε ?0 → x Δ 当 ? = ε? = x Δ 2 ε 有 ?y Δ = x Δ 取 今 1 xΔ ?y Δ ? + ?x Δ ? 2 2 =? yΔ ? +? x Δ ? 有 ? 入 代 0 = ) 0 ,0 ( y u ?0 = ) 0 ,0 ( x u 2 2 y Δ? xΔ ? 2

?y Δ ? +? xΔ ? 2 将并?式两上合综? 2 = ) 0 ,0 ( u ? ) y Δ , x Δ ( u = ) 0 ,0 ( u Δ 面 方 一 令 y Δ? xΔ ? 2 ? ? yΔ? +? x Δ ? ε + y Δ ) 0 ,0 ( y u + x Δ ) 0 ,0 ( x u = ) 0 ,0 ( u Δ 设 ? 微 可 ? 0 0? 在 2 2 ? 分 微 全 的 点) y , x ( 在) y , x ( u 为 称 y Δ y u + x Δ x u 且 ? 微 可) y , x ( 在) y , x ( u y d y u + xd x u=u d 作 记 ) y , x ( u 数 函 设 假 。 微 可 不) y , x ( u 数 函 明 证 法 证 反 用

? 量 小 穷 无 阶 高 的ρ 于 关 是 ?ρ ? ? 0 → ?y Δ ? xΔ ? = ρ 当 且 +? 称则?? ? = ρε 即 亦? 2 2

ρ ε + y Δ y u + x Δ x u = ) y , x ( u Δ 若 ? 数 函 元 二 为) y , x ( u 设 证
0 0? 在) y , x ( u 数 函 明 证 试 。微可不点? ?

0=y =x ,0 ? ? y + 2 x ? = ) y , x ( u 设 ? 么 什 是 义 定 性 微 可 的) y , x ( u 数 函 元 二 变 实. 4 ? 0 > y + x, 2 y 2x ?
2 2

z ?1 = )z( f z2

?2?

2

)6 + z 4 ? 2 z ( = ) z ( f ?1?
。数导的数函列下求试.2

xΔ 0→ xΔ mil = )0 ,0( xu点?0?0?在使即?足满不处处面平全)5( )0 ,0(u ? )0 ,xΔ(u
件条 R-C 足满面

xΔ 0→xΔ xΔ 0→ xΔ 。限极的定确有没也 , mil = mil = 0 ? 2)xΔ( xΔ

x y 平 全 在 故 y soc e = y ? = , y n i s e , y s o c e= x ν μ ′ ν,y nis x e = ′ ′ ′μ x x x y nis x e = ν y soc x e = μ

) y nis i + y soc( x e =

yi + x

e = z e = ω?4?

件条 R-C 足满点

0 = z 有只即。 0 = y = x 的立联?2?1 将

?2 ?1

xν ?= y ........0 = yx 即 yx 2? = yx 2 得 ′ ′μ 由 xμ 由 . . . . . . .y = x 即 2 y 3 + 2 x = 2 y + 2 x 3 得 y ′ ν= ′

3

y + y x = ν ? yx + x = μ ? ) yi + x () y + x ( = z z =
2
2

x y xμ y 3 + 2x = y , y x 2 = , y + x3 = ′ ν μ ′ ν,yx 2 = ′ ′ 2 2
2 3

2

2

2

ω?3?
?2?

x ν,0 = y μ ,1 = x μ 0= y ′ ν,0 = ′ ′ ′ ? 0 = ν,x =

件条 R-C 足满不 处面平全故

μ ,x = ω

。在存不数导偏?时

) y + 2x ( ) y + 2x ( 2 2 2 2 = =y ′ν x ? 2y y 2 + ) 2 y + 2 x (? 2
2

′ μ ?外 0 = z 除?然显 0 = z 当件条 R-C 足满? ′x ν? = y′ μ ? y′ ν = x

) y + 2x ( 2 2 =y ′μ yx 2?

) y + 2x ( ) y + 2x ( 2 2 xμ = 2 2 =′ x ? 2y x2 ? 2y + 2x 2
2

) y + x( 2 2 2 =x ′ν yx 2

y+ x 2 2 =ν y?

y + 2x 2 =μ x

?

z z y+ x 2 2 = 2 = = ω?1? ?解 yi ? x z 1 *

? nis

y?

ν?

+ ? soc

x?

]) ? soc ρ

μ?

y?

+ ) ? n is ρ ? (

x? ρ [ ?= μ? 1
)1(

ν?

=

ρ? y? ρ? x? ρ? + = y? ν? x? ν? ν?


? n is

x?

ν?

? ? soc

?? ρ ρ? = ν? 1 μ?
y?

x?

ν?

= ] ) ? s oc ρ )

ν?

?= y?

? n is

μ?

y?

+ ? soc

μ?

x?

?? y? ?? x? ρ ?? ρ + ( = y? ν? x? ν? 1 ν? 1
=

ν?

+ ) ? n is ρ ? (

μ? ν?
,

y? y?

=

μ?

x?

件条 R-C 由

x? ρ [ = ν? 1

ρ? y? ρ? x? ρ? + = ?1? y? μ? x? μ? μ?
x natcra = ?, 2 y + 2 x y = ρ得

?

? nis ρ = y , ? soc ρ = x

由 ? 明 证 换 代 量 变 过 通 ? 发 出 件 条 曼 黎 - 西 柯 的 中 系 标 坐 角 直 由 ? 一 法 方

ρ? ?? ρ? = ?2? ν? μ?

?? ρ ρ? = ?1? ν? 1 μ?

?解 )2 ? z ()6 + z 4 ? 2 z (4 = )4 ? z 2()6 + z 4 ? 2 z (2 = )z (′ f ?1?

) z ? 1( ) z ? 1( 2 2 = = ) z (′ f ?2? 2 )1?( z 2 ? ) z ? 1(2

?为件条 R-C?中

?3 ) ? , ρ ( 标坐极在明证?

?? ρ ρ? = ν? 1 ν?

?? ρ ρ? ?= ν? 1 μ?



相部虚与部虚等相部实与部实的式两取?等相应式两上关无式方的

0 → z ? 与数导于由

)

?? ρ ?? ρ ?? e ρ i → ?? 0 ?i + ?( e = mil = ) z (′ f ν? 1 μ? i ?i ? ν?i + μ ?

?? ?ie ρ i = z ? 0 = ρ ?令?2

ν?i + μ ?= ω? ρ ? ?ie = z ? 0 = ???1? ) ?, ρ ( νi + ) ? , ρ ( μ = ) z ( f ?? ?ie ρ i + ρ ? ?ie = z ? , ?ie ρ = z 令 ?二法方


)

ρ? ρ? ρ? e → ρ? 0 ?i i+ ( e = mil = ) z (′ f ν? μ? ?i ? ν?i + μ?

?? ρ ρ? ?= μ? 1 ν?

μ?

x?

?=

y? y? ,
? n is

ν? μ?

?=

x?

μ?

x?

ν?

件条 R-C 由

+ ? soc

μ?

y?

?=

x ν,0 = y μ ,x 2 = x μ y2 = y ′ ν,0 = ′ ′ ′ y = ν, 2 x = μ

。析解不?件条 R-C 足满

yi + yx = ω?3? 0 = z 于仅

2

2

yi + 2 x = ω ?2?

?解 yi2 = ) yi ? x ( ? ) yi + x ( = ω?1? yi + yx = ω?3? 2 yi + 2 x = ω?2? * z ? z ?1? 析解否是数函述下论讨试.1

x ν,0 = y μ ,0 = x μ 2= y ′ ν,0 = ′ ′ ′ y 2 = ν,0 = μ

。析解不?件条 R-C 足满不

z? 2 。 等 等 , ) ? z + z ( = z e R ?? z z = z ? 如 例 。 导 可 不 必 ?0 ≠ ) ? z , z ( F ? 2 1 ? 致 导 然 必 ?? z 含 显) ? z , z ( F = ) z ( f 数 函 变 复 若 ? 明 表 这 。 然 亦 之 反

5. 1. 1

题习

x? y? 2 y? x? 2 ( +) ? ( = ? 件 条R-C 得 即 ?0 为 别 分 部 虚 和 部 实 式 上 由 ) + v? u? i v? u? 1 y? y ? i2 x? x? 2 z? y? z? x? z? +? = ) ?z ,z ( F ? = 0得 入 代 ( ?) i+ ( = ? i+ v? u? 1 v? u? 1 y? f? x? f? ? )

? ) z , z ( y ?) z , z ( x ? ? v = ) y ,x ( v 式 各 上 将 ? 导 偏 的? z 对 ) ? z , z ( F 求 ) ? z , z ( V = ? ? ? ? ) z , z ( y ?) z , z ( x ? ? u = ) y ,x ( u 中 式 ,) ? z , z ( U = ? ? ?

) ? z , z ( F = ) ? z , z ( V i + ) ? z , z ( U = ) y , x ( v i + ) y , x ( u = ) z ( f 得 ?y , x 代 取? z 及 z 以 z? 2 z? 2 2 i2 ? = ? , = ? ;) ? z ? z ( = y ,) ? z + z ( = x 得 y i - x = ? z 及 y i + x = z 用 利 证 y? 1 x? 1 1 1 。 性 越 优 何 有 件 条 此 ? 价 等 件 条 R ? C 与0 = ) ? z , z ( F ) ? z , z ( F = ) ? z , z ( Vi + ) ? z , z ( U = ) y , x ( vi + ) y , x ( u = ) z ( f z? ? 明证 ?

令 即 ? 量 变 立 独 的 数 函 变 复 为 作y , x 代 取 z 及 z 以. 4

数函和调为

y 2 + yx 2 = ν )2( ci + z e = ci + ) y nis i + y soc( x e = νi + u = ) z ( f

ν

0=

y 2?

ν2 ?

+

x 2?

ν2 ?

c = )x ( g ,0 = )x (′ g ∴ y nis x e = ) x (′ g + y nis x e
)x(g 求?2 入代式上将

)x ( g + y nis x e = )x ( g + ydy soc x e ∫ = ν

y ni s x e = y soc x e = y?

y? x? ?2 ?= u? ν?

:分积 y 对?1 将

ν?

=

x? ?1?得件条 R-C 由 u?

数函和调为

y ? x ? u ? 0 = y soc x e ? y soc x e = 2 + 2 u ? u ? 2 2

0 = )0( f , 2 y + 2 x + x ? = v)5( ;i + 1? = ) i( f ,yx ? 2 y + 2 x = u)4 (

?解 y soc x e = u ?1?

yhsx soc = ν?3? y 2 + yx 2 = ν?2? y soc x e = u ?1?


vi + u = ) z ( f 数函

析解的应相它与求并?数函和调是数函列下明证.2

x ν,x = y μ , y = x μ 1= y ′ ν,0 = ′ ′ ′

。析解不?件条 R-C 足满

0 = z 于仅

y = ν, yx = μ

yhsx soc i + c + x nis = νi + u = ) z ( f

) y ( g + yhcx nis = ) y ( g + xdyhcx soc ∫ = u :分积 x 对?1?将
y h s x ni s ? ? = y? x? y? x? ? = ? y h c x s o c = ν ? = u ? ? 1? ?得件条 R-C 由 u? ν ? ?2?
数函和调为

yhsx nis = ) y (′ g + yhsx nis )y(g 求?2 入代式上将

c = ) y ( g ,0 = ) y (′ g ∴



yhsx soc = ν?3? ) y 2 + yx 2 ( i + )c + 2 y ? x 2 + 2 x ( = νi + u = ) z ( f c + 2 y ? = ) y ( g ∴, y 2? = ) y (′ g c + 2 y ? x2 + 2x = u

ν, 0 = yhsx soc + yhsx soc ? =

y ?

ν2 ?
2

+

x 2?

ν2 ?

) y ( g + x 2 + 2 x = ) y ( g + xd)2 + x 2 ( ∫ = u

)y(g 求?2 入代式上将

2 + x2 =

y?

y 2? = =

ν?

x? ?1?得件条 R-C 由 u?

y? x? ?2 ?= u? ν?

:分积 x 对?1 将

导 求

y ,x

对 别 分 式 此 将 ? 数常为

2

c = 2 ν+ 2 μ

?

0≠c



?2 ?1 ?一法方

) z ( f ,0 = ν = μ 即? 0 = 2 ν + 2 μ 则? 0 = c 若
c = 2 ν+ 2 μ = )z ( f
数常为内 证可理同 数复 常= 数常= 设

νi + μ = ) z ( f
y?

) z ( f mI = ν若
) 0y , 0x ( ) y ,x (

D 在 )z ( f

?2?

)数常(

0

x?

ν = 0 ν + ) yd
y?

μ?

x?

+ xd

μ?

?(

∫= ν



0=
。数常为 D 内在

μ?

,0 =

μ?

?数常

= ) z ( f eR = μ 若 ?1?

)z ( f

则?时一之件条列下足满且?析解内 D 域区在

) z ( f 若?明证

试 .3

c + z 2 = c + 2 e ρ2 =
?
i

z 2 = )z ( f得此由?0 = c得式上入代0 = )0( f将 2 2 nis ρ2 + c + soc ρ2 = vi + u = )z ( f见易

?

?

ρ2 2 2 2 2 ? ρ d soc = ?d ?u + ρ d ρu = ud为分微全的u ) soc ρ2 ( d = ?d nis ? ? ρ ? 1 ρ2 ρ? ?? 2 ρ? ρ ρ? 2 2 ρ ? = , soc nis ?= = = ? ρ v? u? ? 1 v? 1 u? 2 得可?件条R ? C及 nis 2 i ρ = ρ + ? soc ρ ? =v由。法分微全用采)5( ?

2 c + soc ρ2 = u得

?

2 2 2 2 2 + ) ? 1( 2 z = + 2 z ? 2 z = )0 ,z (vi + )0 ,z (u = )z ( f得此由, =c i i i i 1 2 2 得求可式上由?1=v时1=y,0=x得i+1-=)i(f用利 c + 2 y + 2x ? yx 2 = )y ,x (v得 1 1 2 2 ) 2 y + 2 x ? yx 2( d = yd y u + xd xu? = yd yv + xd xv = vd得件条R ? C由?法分微全用采)4( 1 1

。程方线力电与线 势等的面平 ω .2 。面平半上的面平 ω 为变面平全的面平 z 则 z = ω换变作 .1 ?解 。程方线力电及线位等的近附面平体导大限无半的

0 > x 于位? 0?为势电求试 ?4

0 = y v = x v = y u = x u 有 立 联 式 四 , y u ? = x v - , y v ? = x u ; y u? = x v , y v = x u

。数常为) z ( f即?数常为v?u得此由

为件条R ? C得?析解vi ? u = ) z ( ? f及vi + u = ) z ( f由 解
数常为

) z ( f 故?数常为 ) z ( ? = ) z ( f nl 故 )z ( ?知?1?3 由?数常为部实的 )z ( ?即

析解内D在) z ( ?f)3(

) z ( f gra i + ) z ( f nl = ) ) z ( f gra ie ) z ( f (nl = ) z ( ?于由
数常为 ?1?3 论结用利可时这 ) z ( f nl = ) z ( ?数函出作? ? ?0 不均

z 点即?数常为 ) z ( f
数常为

数常 = ) z ( f ∴ ν知?数常? 2 c = 2 ν + 2 μ 由?数常 = μ 即 若 )1 ?二法方

0 ≠ )z ( f

y? x?

y?

x?

0=

0 ≠ 2 c = 2 ν+ 2 μ =

μ? = μ?

即?解零 有只

μ ν 式列行树系于由 ν? μ
y?
x?

μ? 及 μ?



0=

y?

ν?

0=

y?

ν+

ν?

ν?

μ?

y?

。组程方次齐性线元二的

μ?

x?

μ

2
μ 1

0=

μ? 及 μ ? 于关是这
x?

0=

x?

ν?

ν+

ν?

ν+

μ?

x?

μ?

y?

μ

2

μ 1

体位等为成件条界边的它了变改则

z nl = ω换变作若题本

2

4

c4 = x 2 2c4? = 2 y ?为即程方线力电
?

μ4 + x 2 μ 4? = 2 μ ) 2 μ + x ?(4 = 2 ν2 μ 4 = 2 y 4 ν去消?方平的式下入代式上将
4

1 1 c 4 + x c 4 = y ?为即程方线势等 2 2

4

ν4 + x 2 ν4 = 2 ν) 2 ν + x (4 = 2 ν2 μ 4 = 2 y

μ 去消?方平的式下入代式上将

μ
线势等

yi + x = z = 2 ω = 2 ) νi + μ ( z =ω
程方线力电与程方线势等的面平 z.3

yi + x = νμ 2 i + 2 ν? 2 μ

y = νμ 2 ? ? x = 2 ν? 2 μ ?



线力电

?数常? 2 ?数常? 1

c= μ

ν

程方线力电 程方线势等

c= ν

较比 1= zhc =

πk 2 i

.) ? ,2 ±,1 ±,0=k(πk=z为集点零的z nis 得即 i2 = z nis由?如例 解 e与?1 = e得0 = e ? zi e
z2i zi ?

)合集的点的0为值数函即(集点零的zhc ,zhs ,z soc ,z nis 求试.8
z?

? zhs = ' )zhc()4( ;zhc = ' )zhs ()3( ;z nis ? = ' )z soc()2( ;z soc = ' ) z nis()1 ( 明证试.7

2 2 =? ? = ' ) zhs (有?发出义定由?明证例为)3(以 证 ′ e + ze e ? ze z?

z hs =

z?

2 = e ? ze

z i? i ?

i2 e?

z i? i

e

i-=)zi(nisi-

有 ? 发 出 边 右 的 式 公 由 ? 明 证 例 为)zi(nisi-=zhs 以 解 。 示 所 ) 4 2 ( 如 系 关 的 数 函 角 三 与 数 函 线 曲 双 明 证 试. 6

2

)

zi ?

i2 (+ ) e ? zi e 2

zi ?

4 1 = )2 + z 2 i ? e ? z 2 i e ? 2 + z 2 i ? e + z 2 i e( = 1 2 ( = z 2 s o c + z 2 ni? s 明 证 例 为)1( 以 仅 解 e + zi e

2

z h s1z h s ± 2z h c1z h c = ) 2z ± 1z ( h c ) 6 ( ;1z h c2z h s ± 2z h c1z h s = ) 2z ± 1z ( h s ) 5 (

;1z s oc 2 z n is ± 2z s oc 1z ni s = ) 2 z ± 1z ( ni s) 2 ( ; 1 = z 2 s o c + z 2 nis) 1 ( : 数 函 变 复 到 广 推 可 式 等 恒 曲 双 与 式 等 恒 角 三 的 数 函 变 实 ? 明 证 发 出 义 定 由 试. 5
2

; 1 = z2 h s - z2 h c ) 4 ( ;2 z nis 1z n is ± 2z s oc 1z s o c = ) 2 z ± 1z ( s o c) 3 (

]) yy v + xx v ( v + ) yy u + xx u( u + 2 y v + 2 y u + 2 x v + 2 x u[2 = ) z ( f?
2

) z (' f 4 = ] 2 y v + 2 y u + 2 x v + 2 x u[2 =
2

y ? x ? 2 2 ? + ? ? 2

得可式各上以由

0 = yy v + xx v = v 2 ? , 0 =
y 2

yy

u + xx u = u 2 ?
2

为 方 模 其 ?y ui ? y v = x vi + x u = ) z (' f 为 数 导 其 ? 析 解 内D 在) z ( f 为 因
2 2 2 y u( 2 =

. 数 函 和 调 为v ?u 虑 考 y ?
2

v + 2yu =

x

v + 2 x u = ) z (' f x ?
2

) yy v v + y y u u + y v +

x? x? x? x v v 2 + x u u2 = v2 + u2 = 而 因 , 2 v + 2 u = ) z ( f 得v i + u = ) z ( f 由 解 2 v? u? )z ( f ?
2 2 2 2 2

)z( f

?

理 同, ) x x v v + x x u u + x v + x u ( 2 =
2 2

)z ( f

?

) z (' f 4 = ) z ( f
2 2

2

? ? 明 证 试 ? 析 解 内D 在) z ( f 若.4

x? 0 → ? x 0→ x ? xμ mil = )0 ,0( ′ 因? 0 = 1 ε mil 且 )0 ,0( μ ? )0 ,x ?+ 0( μ
1

0→ y ?

?1

2

) y ?( + 2 )x ?(

ε + y ?)0 ,0( y μ? ′ μ + x ?)0 ,0( x ′ μ=?0,0?
处0 = y ,0 = x 0 ≠ y ,0 ≠ x
则?微可?0?0?在

0 ? ? y + 2 x ? = ) y ,x ( μ 2 ? y 2x ?

) y ,x ( μ 设?法证反用?证

?子例的微可不

) y ,x ( μ 但在存 y ′μ ? x ′ μ ?二
件条 R-C足满 ? ?若 续连 y ′ ν, x ′ ν, y ′μ , x ′ μ?
?件条分充的析解

。析解

)2 ( f 则

)2 ( f ?4
“ 系关?3

”程教学分积微“ 。 ” 续连

y

′μ ? x ′μ

“ 于低”微可

) y ,x ( μ “于低”在存 y ′μ ? x ′μ

y 。微可 ) y ,x ( μ 则?续连且在存 ′ μ 及 x ′μ 若 ) y ,x ( μ ?2
件条分充的微可 。的微可是

) 2 ) y ?( + 2 )x ?( (0 + ) y ,x ( y ′ μ + x ?) y ,x ( x ′ μ = ) y ,x ( μ = μ ?
分微全的

) y ,x ( μ = μ 称则?在存

) y ,x ( μ = μ 若

义定 论讨的性微可 )一(

?1

习复数高

) y ,x ( μ 故?盾矛?1 与这 2 2 1
1

= 1ε ∴

) x ?( + )x ?( 2 2 ) y ( ) x ?( = ? + 2 2 x ? 2 ) x ?(

0 → y ?= x ? 令。零于趋式方意任以可 y ? 与 x ? 然既
)0 ,0( μ ? ) y ?+ 0 ,x ?+ 0( μ = )0 ,0( μ?
?义定的

ε

立联)3 与?2 将

?3

) y ?( + 2 )x ?( ) y ?+ 0 ( + 2 ) x ? + 0 ( 2 = 0? 2 y ? 2 )x ?( ) y ? + 0 ( 2 ) x ?+ 0 (

)0 ,0( μ? 由?面方一另

?2

1

2

) y ?( + 2 )x ?(

ε + 0 + 0 = )0 ,0( μ?



y? y 0 → ? mil = )0 ,0( y ′μ )0 ,0( μ ? )x ?+ 0 ,0( μ

y? 0→ y ? 0= mil = 0 + 2 ) y ?+ 0 ( 0? 0 i 2 ) y ?+ 0 (

x? 0 →x ? 0= mil = 0 + 2 )x ?+ 0( 0i 0 ? 2 )x ?+ 0(

td) ti2 ? t ? t4 ? ti2 + ti2 + t(
5 4 4 3 3 2

1

2

∫=
i +1

td) ti2 + 1( ) t ? ti2 + t(
4 3 2

1 2

∫ = zd z ∫ = I
2 i4 +2

4

td) ti2 + 1( = zd t ? 3 ti2 + 2 t = 2 ) ti + 1( 2 t = 2 z , 2 ti + t = yi + x = z ?1? ?解
线折的 i4 + 2 到再? i + 2 到 i + 1沿?3? 。线直的 i4 + 2 到 i + 1接连沿?2?
i+1

2 ≤ t ≤ 1中其? 2 t = y , t = x 线物抛沿?1?
?是 l 线曲中其? zd
3

2 = θ d i θi e

π2

π∫ =

2

z

i4 +2

∫ 分积算计?2

I 故 ? θi e = z ?上线路分积的周圆位单沿在?3?

2 = e ?1 =
πi
θi

π

? e = z ?上线路分积的周圆半下圆位单沿在?2?
1? 1

0

?i

e= ?d eii1
?i

π
0

∫ = zd z ∫ 故
l

2 2 0 2 1? 2 0 1? x ? = xdx ∫ + xdx ? ∫ = zd z 1= + = x + 1 1 12 1 0 2 1 1 0

∫故

,xd=zd, x = z ,0=y?上线路分积的轴实沿在?1? ?解

。周圆半下的圆位单)3(。周圆半上的点原在心中?1 到 1接连?2? ?段线直的 1 到 1-接连?1? ?是 l 线曲中其? zd z 1.2.1 题习
l

∫ 分积算计.1

分积的数 函变复 章 二第

2 0 0 = td) t6 ? 3 t2 ? 21 + 2 t42( ∫ = }tdt2])3 + 2t(-)t2(3[ + td2] 2)t2( + )3 + 2t(2[{ ∫ = 3I 33 1 1 故?1=t和0=t应对别分)4,2(及)3,0(点?上线物抛在)3( 6 3 0 = yd) y ? 2 ? 3( ∫ + xd) 2 x + 3 ? 2( ∫ = 2I故,0=xd 301 4 2

,2=x?上线路的)4,2(到)3,2(由再;0=yd,3=y?上线路的)3,2(到)3,0(沿)2( 6 3 3 = yd)45 + y 93 ? 2 y 8( ∫ = }yd] y ? )6-y2(3[ + yd2] 2 )6-y2( + y 2[{ ∫ = 1I 79 4 4 故?6-y2=x即,0=6-x-y2为程方线直的)4,2(到)3,0(沿)1( 解 .1 ≤ t ≤ 0中其 ,3 + 2t=y,t2=x线物抛沿)3(
) 3.0 (

?线折的)4,2(到)3,2(由再?)3,2(到)3,0(沿)2(?线直的)4,2(到)3,0(沿)1( 为别分线曲分积 ,] yd) y ? x3( + xd) 2 x + y 2([
) 4.2 (

∫ = I分积算计试.3
i+1

i6 ?

3 1 1 ? = yd] yi4 ? ) 2 y ? 4([ ∫ i + xd] xi2 + )1 ? 2 x ([ ∫ = 68 4 2

i6 ?

) ydi + xd(] yxi2 + ) y ? x ([
1? 2
2 2

3 1 ? = xd ) i3 + 1(])2 ? x 3( xi2 + 2 )2 ? x 3( ? 2 x [ ∫ = 68 2
i+1

。线折的 i4 + 2 到再? i + 2 到 i + 1沿?3?

) ydi + xd(] yxi2 + ) y ? x ([
2 2

i 4 +2

∫= I

2 ? x3 = y 即? 1 ? x = 1 ? y ?为程方线直
i6 ?

1? 4

i 4 +2

∫ = zd z ∫ = I
i+1 2 i 4 +2

3 3 = ]) i ? 3 ? i3 + 1( ? )46 i ? 69 ? 84 i + 8([ = 68 1
2
6 5 4 3

。线直的 i4 + 2 到 i + 1接连沿?2?

3 1? 6 3? 1 ) ti ? t3 ? t3i + t( = ? t ? t ? ti + ? = 1 2?6 2 5 4 t? 3

将 时 同,

2 lM2 。 证 即 ? ε ≤ I Δ 有 就 ? δ ≤ z Δ 要 只 ,) , ( ni m < ε 令 d 3dε d 2 此 因 ? 于 小 要 还 I Δ 到 虑 考 。ε ≤ I Δ 有 时 3 δ ≤ δ在式上 d lM2 2 ) ? d( d 2 d d L? ∫ δ ≤ I Δ 有 入 代 d = ξ ? z nim 3 δ ξ d ≤ lM2 M 2 < z Δ 令 妨 不 ? 限 极 分 积 的 时0 → z Δ 论 讨 是 题 本 因 。 立 成 式 上 d ) zΔ ? z ? ξ ( z ? ξ ) ξ( f
2 L

时 δ < z Δ 当 使 ? ) ε (δ 到 找 否 能 论 讨 在 现 ? ξ d

? ∫ zΔ



ξd

) z Δ ? z ? ξ( ) z ? ξ( L ? ) z ? ξ( ) z Δ ? z ? ξ( ) z ? ξ( ∫ 2 2 ξ = d ] ? [ ) ξ( f 1 1 z Δ ) ξ( f

L

? ∫

= IΔ

立 成 下 以 证 可 ? 差 的 模 量 矢 于 小 模 的 差 量 矢 及 以5 质 性 分 积 变 复 用 应 d = ξ ? z nim 为 离 距 短 最 线 界 边 到 点z ?l 为 长 全 的L 界 边 设 ? 限 极 为 分 积 有 ? 时 δ < z Δ 当 ? 0 > ) ε (δ 在 存 果 如 , 0 > ε 给 任 ? 发 出 义 定 限 极 由 解 ) z ? ξ( L ) z Δ ? z ? ξ( ) z ? ξ( L ? ? ∫ ∫ = IΔ ? ξd ) ξ( f ) ξ( f 。 ? 数 常( M ≤ ) ξ( f 界 有 ) ξ( f 着 味 意 续 连 上 D 在 ) ξ( f

个二第以分积个一第式上则 , ε < ξd 2 。 点 内 的D 为z ? 界 边 的D 为L 中 式 , ξ d 2

。 序 顺 分 积 求 与 限 极 取 换 交 以 可 ? 明 证 发 出 义 定 限 极 由 试 ? 续 连 D 在 ) ξ( f 若. 5
i π? = θ di i π = θ di i π? = θ d i
2

) z ? ξ( L ? ) z Δ ? z ? ξ( ) z ? ξ( L ? → zΔ ∫ ∫ 0m d il 即 ξ = ) ξ( f ) ξ( f

π

π2

π

∫=
0



z R C ∫ = = 4 I , 0 ≤ θ ≤ π , θi e = z ? 上 圆 位 单 在 ) 4 ( zd z R C ∫ = 3 I , π2 ≤ θ ≤ π , θi e = z ? 上 圆 位 单 在 )3( zd
RC

2 π3 2

π

∫=

z zd
RC

∫=
1

2

I,

π3

2

≤ θ≤ 2

2

π

, θi e = z ? 上 圆 位 单 在 ) 2 (

2

i π = θ di

π

?

2

π



=

θi

e θi ed

π

?

2

π

∫=

z zd

∫=

I,

2

π

≤ θ≤

周 圆 半 上 圆 位 单 的1到1 ? 接 连 ) 4 (

π

? , θi e = z ? 上 圆 位 单 在 )1( 解

? 周 圆 半 右 的 圆 位 单 ?i 到i ? 接 连 )1( 为 别 分 线 曲 分 积 ,

? 周 圆 半 下 圆 位 单 的1到1 ? 接 连 )3 ? ( 周 圆 半 左 圆 位 单i 到i ? 接 连 ) 2 ( z l∫ 分 积 算 计. 4 zd

。算计化简大大可?零为不才分积项幂次一有只即 1?, n δi π2 = zd n ) a ? z (

61 i23 i2 + z 2 = i + z i23 )4 + z ( 2 = i + z ? ? ∫ ∫ 2 2 ? = i π2 ?= ? = ?b? π 1 zd 1 zd )4 + z ( 61 i23 i2 ? z i23 2 = i ? z 2 = i ? z ? ∫ ? ∫ 2 2 = = ?a? 1 zd 1 zd

π

= i π2

? ∫

?按奇有内路回在及以?零为分积项的析解内路回在用利

i2 + z i2 ? z i4 i4 8 = z ∫ ? = I )c( ( ? 0 = ) i π2 ? i π2( = zd) 1 1 1 1
= i π2i

)i2 + z ( )i2 ? z ( 61 i2 + z i2 ? z i23 +2 ? = )2 ( ?) ( 1 1 1 1 1 1 )4 + z (8 )4 + z (8 )4 + z (8 )4 + 2 z ( 2 2 2 2 2 ? = =2 4 ? 2z 1 )4 ? 2 z ( ? )4 + 2 z ( 1

)2(

i2 + z 2= i+ z i4 2 i4 ? ∫ ? = I )b( ? = i π2 i ? = zd 1 π 1 2 i4 i2 ? z 2= i? z i4 = = I ?a? 1 zd 1

π

? ∫

)

i2 + z i2 ? z i4 z +4 ? ( =2 1 1 1 1 ?1?

。零为分积项的析解意注?式分高最成展?解

8 = z 周圆 ?c?

2 = i ? z 周圆?a? ?为 l 线曲中其
)4 + z ( l ∫ 2 ?2? zd
;

2 = i + z 周圆?b?

;

4 + 2 z l∫ zd ?1?

。分积列下算计.1 2.2.1 题习

) z ?+ z ( F 故关无径路于而关有置位点端两与只分积?析解 ) z ( f 由 ?设 ) z ( f = ) z (′ F 且?数函析解的内 D 是 ξ d) ξ( f
0z

明 证 试 ? 点 内 的 D 为 0z ? 数 函 析 解 的 内 D 域 区 通 单 是 ) z ( f 设 4 1+ z 4 z 4 1+ z 3 4 3l l l l l ? ∫ ? ∫ ∫ i π4 = i π2 + i π2 = + = zd) z ( f ? i 2 = = zd) z ( f π zd zd zd )点奇无内 2l ( 0 = zd) z ( f
1l

? ∫

z

∫ = )z ( F

? ∫

? ∫

i π2 =

z 1l? ∫ = zd) z ( f zd

1l

? ∫

1? = z 及 0 = z 于位点奇的 ) z ( f? 1 + 1 = 1 + z22 = ) z ( f 数函积被 ?解
z
?2 = z ?4? ?

1+ z

z+ z

z + 2 z l∫ ?周圆为 l 线曲中其? , zd1 + z 2 分积算计?3
。零为分积故?析解内 D 域区通复闭在 1 数函积被?解
i ? z l∫ 线 界 边 内 及 2 = i ? z 线 界 边 外 由 l 线 曲 中 其 ? zd 分 积 算 计 .2
i?z

4 2 ; = ? z ?2? 1 1

4 = 1 + z ?3? 1

4 ; = z ?1? 1

。成构1 = i ? z

零为余其 ,

23 61 = 2 d ? = 2b , ? = 1c = 1a 1 1

?







) i2 ? z ( ) i2 ? z ( ) i2 + z ( ) i2 + z ( )4 + 2 z ( +2 + +2 = 2 i2 d + 2c i1d + 1c i2b + 2a i1b + 1a 1

法方遍普的式分简最成展?注

0 = ) i π2 ? i π2(

i23 i2 + z i2 ? z 8= z i23 )4 + z ( 8 = z ∫ ? ∫ 2 2 ( ? = zd ) ? = )c( 1 zd zd 1 zd

0= 4I知可理定西科由?部外的 1 = i3+z 路回分积在?i-=z在点奇数函积被)4( 1+ z 3 ? z 4 = z ∫ ( ? + = 3I i π6 = i π2 + i π2 ? 2 = zd) 1 2
l

∫由?部内的4 = z 路回分积在1? = 2z?3 = 1z点奇 知可1?,nδi π2 = zd n)a ? z( ?

的数函积被知可

1+ z 3 ? z )3 ? z ()1+ z ( + = 式形部分为解分可数函积被)3( 1 2 1? z3 .0= 1I知可理定西科的数函析解由?部外的 1 = z 路回
2,1

.0= 2I知可理定西科由?析解)点远穷无含不(面平全在znis数函积被)2( 分积于位 ,2 = 3 i ±1? = z ,3 i ±1? = 2,1z为点奇个两的数函积被)1( 解

i + z 1= i3+z? ∫)4( zd z soc )3 ? z ()1+ z( 4= z? 1= z? ∫ ∫ 4 + z2 + 2z 1= z? ∫)1(分积算计试.5 ) 3 ( ) 2 ( ; ;zd ; n i s z d z 1? z3 zd z? 0→ z ? mil = ) z (′ F ?知可定数导由 ) z ( F ? ) z ?+ z ( F

)z ( f =

ε = ξd

z ?+ z

z

∫ε

) z ( f ? ξd ) ξ( f

z? < ξ d ) z ( f ? ) ξ( f 1
z ?+ z

z? z∫ z ? = ) z ( f ? 1 ) z ( F ? ) z ?+ z ( F ?有仅
z ?+ z

z



z? z? z ≤ ξ d]) z ( f ? ) ξ( f [ ∫ = 1 1 z ?+z

?质性的分积用利? δ < z ? ξ 则? δ < z ? 取今。 ε < ) z ( f ? ) ξ( f 有 δ < z ? ξ 当使? 0 > δ在存? 0 > ε 给任?续连 z 在 ) z ( f 由又 ?时 ?线直取 z ?+ z 到 z 中其?
0z

ξd) ξ( f

z

z ?+ z

∫ = ξd) ξ( f

0z

z

∫ ? ξd) ξ( f

z ?+ z

∫ = ) z ( F ? ) z ?+ z ( F

4 质性分积由?取任可径路分积的 ) z ( F 与

1 = ) Z ( f 取可均分积个四?时式功西柯用应

zd])

i4 4 0 = ) i π2 ? i π2( ? ) i π2 ? i π2( = 1 1 1? z i + z i ? z i4 1 + z 1 ? z 4 2 = z ∫ ∫ 4 2= z ? ( ?) ( [ ? ? ? = ?3? 1 1 1 1 1 1 zd
章四第见

?零 为 数函 其。 0 = z 点奇去可 有只 内圆 在数 函积 被? 说来 理定 西柯 从 ?析解内圆在 z nis = ) z ( f ?看来度角的式公西柯用应从

1 = )z ( f

0=

0= z

z nis i π2 = zd

z 5 = 1 ? z ? ∫ ?2? z n is

0 = i π2 ? i π2 = zd)

取均项两于当相?算计式公西柯用若 3 +z z ) z 3 + 1( z 5= z ? 1 5= z ∫ ∫ ? ( ? = ?1? 1 zd

1

?分积列下算计 .1 3.2.1 题习
) 1θ ? 2 θ( Ki = zd) z ( ?

RC

得可?义定限极据根。小地意任可式上故?量常为) 1θ ? 2 θ ? ( 小意任可 ε于由 z zd
RC

∫ mil

∞→ R

) 1θ ? 2 θ( ε <

∫ K ? ) z ( ?z xam ≤

z RC RC ∞→ R ] K ? ) z ( ?z [ ∫ = ) 1θ ? 2 θ( Ki ? zd) z ( ? ∫ mil zd a?z zd
RC

时 M > R = z 当使?0 > ) ε( M的关无z gra 与在存 ,0 > ε给任?明表式一第上 解 , θieR = z ( R C弧圆大在?域邻心无的点远穷无在)x ( ?若?理定弧圆大证试.6 ) 1θ ? 2 θ( Ki = zd) z ( ?
RC

证可式上及5质性数函变复 ,) 1θ ? 2 θ( i =
∞→ R

∫用利?ε <
2

K ? ) z ( ?z 有

∫ mil 则?立成致一 K = ) z ( ?z mil 上) θ ≤ θ ≤
∞→ R

1

θ ,∞ → R

′ zd

′z ? z )′ z ( f

′z ? z l? ∫ i π2 + z d ′ 1 )′ z ( f

Rc ? ∫ i π2 = ) z ( f 。析解中域区通复闭 1

的成构 Rc 和 l 在 ) z ( f 样这?部内的它在围包 z 和 l 将 Rc 圆大个一作?解 。点的上

l 为 ′ z ?点的部外 l 线曲闭为 z 中其 ′zd )′z ( f

′z ? z l? ∫ i π2 = ) z ( f 1

?则? ?关无角辐与即?零于趋地致一 ) z (

f ,∞ → z 当

且?析解部外及 l 线曲闭在 ) z ( f 若?式公西柯的中域区界无明证试?4

!n = z
n

0= ξ

ξz

!n e = 0= ξ z
n

ξz

!n ξ ∫ i π2 1+ n l? 。数然自为 n ?线曲的点原围包为 l 中其? z = ξd e 1 ?明证试?3 n ξz

ξ d 1+n

) a ? ξ( l i π2 ? ∫ = ) a( ) n ( f 用利 ?证 ) ξ( f !n

ξd ! n ξ l ∫ i π2 en = ξd 1+ n ? ξd 1 e 1 ξz

iπ =

0= z

z

2 。了数分有就也?点极阶一有 π = z 在数函积被则? z soc 2 是子分果如
。致一 1?, n δi π2 =
2

zd !2 z = z 1 ? ∫ e2 = zd 3 ?2? d i π2 e z
2

∫ 与?了数分有就方次一是母分果如 zd n ) a ? z ( ?
l
2

0=

π

=z

z soc i π4 =

π

=z

) z n is 2 (

2 ) ? z( 2 π zd !1 2= z ? ∫ = zd ?1? d i π2 z ni s 2

?分积列下算计
5 = iπ
2 ?= z 1

.2

2 +z ) 2 ? z (2 1 1= z ? ∫ )2 ? z ()1 ? z 2( 1= z ? ∫ i π2 = zd = ) 2 ? z (2 z z dz z

? 4?

)0( f π2 = θd)0( f
π2
0

有便项移 0 = θd])0( f ? ) θier( f [ 的数复为因

∫ mil
0→ r 0

π2

0

∫ = θd) er( f θi

π2

0

∫ mil
0→ r 0

得此由?0于向趋模
π2

επ2 = θd ε

π2

0

∫ < θd])0( f ? ) er( f [ θi
θi

π2

∫ ≤ θd])0( f ? ) er( f [ θi
π2
0

有便式上及5质性分积数函变复用利。ε < ])0( f ? ) θier( f [ 。)0( f π2 = θd) θier( f
0 0→ r

,0 > δ给任?着味意续连域邻的点原在) er( f知可义定性续连数函变复由 解
π2

∫ 有?时 δ < r当使



∫ mil 证?续连域邻的点原在) z ( f设.6
n

) ea( 0∫ zi 1= z ? 0∫ ∫ n θi zd 1+ n e R = d e R = d eR=I a a e θ θ n n ) θn ? θ nis a ( i + θ soc a e e π2 π2 ea
z
θi

!n zd ! n = 0= z ) n (eR n a = a π2 e d π2 z n

则?

zi = θd , θd θieai = zd得可 , θiea=z令 解 zd
θsoc a

.0>a数常中式?θd) θn ? θ nis a(soc

e

π2

0

∫ =I分积算计.5
Rc

π2i M

R ?R z

0 → M ∴ ? 0 → 地致一 ) z ( f ?时 ∞ → R 当
z ?R z ? ′z ≤ ′zd M )′ z ( f
Rc

′ zd

z ? ′z )′z ( f

z ? ′z l? ∫ i π2 ) z ( f = ∴ = 0 z d ′ 1 )′z ( f

? ∫∴

= ′ zd

Rc

? ∫

z ? R = z ? ′ z ≥ z ? ′ z 由? R = ′ z 上 Rc 又 M ≤ )′ z ( f ?值大最上 Rc 在 )′ z ( f 为 M 设

? ∫

入代的小用母分?入代的大用子分

′ zd

z ? ′z )′ z ( f

Rc

? ∫ ≤ ′ zd

z ? ′z )′ z ( f

Rc

? ∫

?知可 5 质性的分积由?算计来∞→ R 用利可
Rc

?关无小大 R 与

? ∫

?知理定西柯由。零为项一第明证现

数常为) z ( f即亦?0 = ) z (' f得即?0 =
RC

式公数导阶高在?∞ → R令? M ≤ ) z ( f上 RC在设?圆大的R为径半心圆为z以为RC取 解

z- ξ R R π2 = ≤ ξd 2 M R π2 M ) ξ(f

? ∫ π2 ≤
1

R ∞→ R ∞→ R mil = ) z (' f mil 见易 M

ξd 2

)z- ξ( RC i π2 ? ∫ = ) z (' f 有?模取端两)1 = n ( ) ξ (f 1

。数常为必) z ( f则?界有时∞ → z当且?析解上面平复在 ) z ( f 设?理定尔维刘明证.9

θd ) er + z ( f
θi

0

π2



0

er π2 θi = θd i e r θi ) θier + z ( f 1

π2

∫ i π 2 = ξ d z- ξ ? ∫ i π2 =)z(f有即
l

1

) ξ( f

1

式公西科入代?θdi θier = ξ d , θier = ξ的上l?周圆的r为径半心圆为z以为l取 解 0∫ π2 =) z( f 即 ? 均 平 的 值 数 函 上 1

θd) θier + z ( f

π2

?内域区析解于位?周圆在它于等?值的心圆在数函析解?理定均平明证.8

?0=) ξ(g-) ξ(f=) ξ(H有 ξ点一任上l线曲由样这

)z(g=)z(f 得即,0=)z(g-)z(f=)z(H有z点一任部内l线曲致导

z- ξ l i π2 ? ∫ =)z(H 0 = ξd ) ξ(H 1

得可式公西科由?析解部内其及l线曲在)z(H见易?)z(g-)z(f=)z(H令 解 )z(g=)z(f处处内l在证?立成 处处)z(g=)z(f上l在若?线曲合闭一任的内D为l?析解上D在)z(g与)z(f设.7

. π 2 nis = π

)

(

?= x | x soc x nis 2? = π

1hc = xd])1 + x ( δ + )1 ? x ( δ[

?= x | 2 nis

xd ∞? ? = xd π ? x ' δx 2 nis ∫ )3 ( d ∞ 1 = 0 soc = xd) x ( δx soc
∞? ∞

2 ∞? ∞? e ∫ = xd)1 ? 2 x ( δx e ∫ ) 2 ( 1x ∞ ∞

)

(

∫ )1(


算计式 ) 92 ( 及式 ) 22 ( 式 ) 9 (用利别分
∞? ∞

xd π ? x

)

(

'

δx 2 n i s

∫ ) 3(

x d) 1 ? 2 x ( δ x e

∞? ∞

∫ ) 2(

x d) x ( δx s o c

∞? ∞

∫ )1(

?| natcra 1 = ∞∞

π
1

值分积述下算计试

2.1.8

得可 , =v换替量变作?时分积的∞到∞ ? 沿算计 x ∞=

ε

=

2

) ε + x ( π ∞?∫ ∞→ ε v + 1 ∞? π 2 ∫ mil = xd 2 ε vd ∞ 1 ∞
mil = ,0 =

επ ∞ → ε
1

)

)

2

ε + 2 x ( π ∞→ ε ε
mil

,时0 = x当 ?时0 ≠ x当 解

2

ε + 2 x ( π ∞→ ε ε
mil

义定的数函 δ足满明证?例为3式达表以现
2

)

2

x n + 1( π ∞→n
2

n

mil = ) x ( δ

)

2

ε + x ( π ∞→ ε ε

mil = ) x ( δ

2 2

π n?

e

π

∞→ n

n

mil = ) x ( δ
1.1.8

明证试

数函 δ 克拉狄

章八第

0 = xxw 2 a ? ttw ?性意任的 x 由

x ) xxw 2 a ? ttw ( = 1 x x x x x ]) 2 ? x + 2 + x ? xxw ( 2 a ? ttw [ = 1 w2 w2 w2 w2 x x 3 4 a2 ? a ? ttw = w ? x xw 2 x 2 )w ? x xw ( ? x xw 2 3 x x x x 2 ( + x ) 2 x ( 2 a ? ttw = 1 w ? xw 2 a2 w? w )

0t x? x ? x xx ? x ? ?x? ] ? ? + ? ?[ 2 a ? ? ? = 0 ?w ?2 ?w ? ?w ?

得,程方入代

解通的它求试, 0 = ) x u

x = ) t ,x ( u 即? ) t ,x ( ux = ) t ,x (w 令?解 ) t ,x (w x + xx u( 2 a ? ttu 为程方动振纵的杆锥圆细知已 2.1.01 2

ta 2 ? 2 ?

tx + 2 t2 ax 3 + 3 x = a4 + t ax 3 + 3 x = 1 22

sd s

ta ? x

ta + x

∫ a 2 + ] ) ta ? x ( +
1
3 3 2

2 ta ? x 2 a 2 s ? + ) 2 t2 ax 3 + 3 x (2 ? = 1 ta + x 2 1 1 2 ) ta + x ([ = ) t ,x ( u)2( 1
3

) 3 t3 a + ta 2 x 3(2 ta + x
3

3 t a + t2 x + ta soc x nis = 1

ta ? x 3 a 2 s ? + ta soc x nis = 1 1 1

a6 + t a s o c x n is = 1

sd 2 s
ta ? x ta + x

ta ? x

sd ) s ( ?

∫ a2 + ]) ta ? x ( ? + ) ta + x ( ?[ 2 = ) t ,x ( u)1(
ta + x

∫ a2 + ]) ta ? x (nis + ) ta + x (nis[ 2 =
1 1

1

2

x = )0 ,x ( tu

x = )0 ,x ( tu

,x nis = )0 ,x ( u

, 3 x = )0 ,x ( u

发出式公尔贝朗达由?解

,0 = xx u2 a ? ttu)2( ,0 = xx u2 a ? ttu)1(

题问值初的程方动波列下解求 1.1.01

法值均平与 法波行

章 十第

)3( ??? 1c = )x ( 2 f ? )x ( 1f 分积式?2?将

)2( ??)x (′2 fa ? )x (′1fa = )0 ,x ( tu = 0? ? )1( ???)x ( 2 f + )x ( 1f = )0 ,x ( u = 0?

) ta ? x ( 2 f + ) ta + x ( 1f = ) t ,x ( u ?为解通①?解 0 = )0 ,x ( tu

?件条始初由②

∞<x <0

? ) t(h = ) t ,0( x u? ,0 = ) 0 ,x ( u? ? 0 = xx u2 a ? ttu? e+

题问解定列下解求 4.1.01
t ε?

ξd]) ξ( φ + ) ξ( ?ε[
]) ta ? x ( ? + ) ta + x ( ?[
0= t

ta ? x

ta + x

∫ a2
1

]) t ,x ( tu t εe + ) t ,x ( u t εe ε[ =

)x ( φ + )x ( ?ε = )0 ,x ( tu + )0 ,x ( u ε =
0= t t 0= t

2 1

t ε?

e = ) t ,x (w t ε? e = ) t ,x ( u ∴ ]) t ,x ( u t εe[ = )0 ,x ( tw


)x ( ? = )0 ,x ( u =

) t ,x ( u e = )0 ,x (w
?为件条始初的 w 于关)2(

0 = xxw 2 a ? ttw ∴

) xxw 2 a ? ttw ( t ε? e =

,0 ≠

t ε?

e 于由

xx

w t ε? e 2 a ? w t ε? e 2 ε+
xx

t

w t ε? e ε2 + w t ε? e 2 ε2 ? ttw t ε? e + tw t ε? e2 ? w t ε? e 2 ε =

+ ) tw t ε ? e + w t ε? e ε?( ε2 + t) tw t ε? e + w t ε? e ε?( =

w t ε?e2 a ? w t ε?e2 ε

xx

)w t ε? e( 2 a ? )w t ε? e( 2 ε + t)w t ε ? e( ε2 + tt)w t ε? e( = 0

) t ,x (w t ε? e = ) t ,x ( u 即? ) t ,x ( u t εe = ) t ,x (w 令)1(?解
∞ < x < ∞? ∞ < x < ∞? ? ,)x ( φ = )0 ,x ( tu ,) x ( ? = )0 ,x ( u? ? 0 = xx u2 a ? u2 ε + tu ε2 + ttu? ?

:程方入代

题问解定列下解求?3.1.01

x x ]) ta ? x ( 2 f + ) ta + x ( 1f [ = ) t ,x (w = ) t ,x ( u 1 1 ) ta ? x ( 2 f + ) ta + x ( 1f = ) t ,x (w

.度浓的点置位意任求?零为外球?为度浓初的体气内球?零为度速初 的点质体气有所设假?型模想理为作?球的为径半个一是域区动振始初的体气匀均 1.2.01

a >t x a ≤t x

) ta ? x ( 2 f + ) ta + x ( 1f = ) t ,x ( u
?有即?解通入代④

? ? 0 ηd) η(h ∫ a?? a ?t x ?= ? 0? ?

1

2 = ) ta + x ( 1f ?4?到意注 c

? a 2 ? 0 )8( ? > t ? ηd) η(h ∫ a?? a 1c x ?t x ? = ) ta ? x ( 2 f ? 2 ? a )7( ? ≤ t ? 1c ? x 2 ? ? 0 )6( ?0 < ξ ? ηd ) η(h a ∫ a ?? 1c ξ ? = ) ξ( 2 f ∴ 2 ? ? )5( ?0 ≥ ξ ? 1c ? 2 0 ? ηd ) η(h a ∫ a? = c ξ
1 1

c ? ηd ) η(h

0 a

ξ

∫a ? 2 =
1

c

1

c ? ηd ) η(h a ∫ a ? ) ξ( 1f = ) ξ? ( 2 f ∴
0

ξ

1

a 0 )0( 2 f ? )0( 1f + sd ) (h ∫ = ) ξ?( 2 f ? ) ξ( 1f s ξ

c + ηd ) η(h a ∫ a =
0

ξ

a = η令 s

?分积并 0 > ta = ξ 令

) t(h = ) ta?(′2 f + ) ta(′1f

a ) (h = ) ξ?(′2 f + ) ξ(′1f

ξ

件条界边由

? = ) ta ? x ( 2 f 时此求面下?零于小可 ta ? x 但? 0 ≥ ta + x 因③
)5( ???)0 ≥ x ( )4( ???)0 ≥ x ( : )3( ? )1( : )3( + )1(

1

2 ? = )x ( 2 f c
1

2 = ) x ( 1f c

即 ? 值 同 不 取 能 可 ) ta ? R ( 2 f
,? ?于小可也于大可既 ta ?R 而 ?C = ) ta + R ( 1f , 0R > ta + R 量宗,外球于位点 M 当)5(
0

 

R>R

0 0

R>R



0

R<R

, C? ? ? 2 ? = ) R ( 2f , C ? 0uR ? 1?

R<R

? , C? 2 ? = ) R ( 1f , C + 0uR ? 1?
得,立联式⑦与式⑤将



C2 = ) R ( 2 f ? ) R ( 1f

得?分积?对?后a / R 以乘边两式⑥在

0



R>R

0 = ]) R ( '2 f + ) R ( '1fa[

R = 0= t| tu 1

0

R<R

0

R 0? tu ? = ] ) R ( 2 f + ) R ( 1f [ = ) t , R ( 0 = ? 1 u?

?f与1f 球?4? 得可,式①件条试初入代式④ ,③ 将?式形数函的



] ) t a ? R ( 2 f + ) t a + R ( 1f [

R = ) t ,R ( u 1





) ta ? R ( 2 f + ) ta + R ( 1f = ) t ,R ( v
0=
RR

由?解通的程方?3?



) uR ( 2 ?
2

R?

得 即 ? 式 上 入 代 , uR = v 令

v 2 a ? t tv

R R? R R? = + 2 = u 2? 1 u? 2 u 2 ?

为因?维一为题问维三化?性称对球的题问由?2?

0



R≥R

0

R<R

? 0 = 0= t| tu? ? 0? ? = 0= t| u? 0u? ? ? 0 = 2 ? 2 a ? ttu?

为题问解定?1? :解

.可即

0R 2 R nis 成换 0u 题上将中 ]) ta ? R ( 2 f + ) ta + R ( 1f [ = ) t ,R ( u 在 :解 Rπ 1

0

R<R

? 0 = 0= t| tu? ? 0R > R 0? ? = 0= t| u? ? ) 0R 2 / R π( nis? ? 0 = 2? 2 a ? ttu?

ta + R < 0R < ta ? R
0

ta + R < ta ? R < 0R

.题问解定解求 2.2.01

R < ta + R < ta ? R

] ) t a ? R ( 2 f + ) t a + R ( 1f [

? 0? R2 ? 0 ?= u ? ta ? R ? u?
0

故, 0R 于小或于大能可有都 ta ± R 量总,内球于位点 M 当 )6(
0 0

R = ) t ,R ( u 1

R > ta ? R

, 0R > R

R < ta ? R

] ) t a ? R ( 2 f + ) t a + R ( 1f [

, 0R < R

, 0u

? ,0 ? R2 ? = ? t a - ??

R = ) t ,R ( u 1

) t( T 求?3? l2 n =) x( λ 得 π)1+n2( l n nis=) x( X 2 x π) +n( 1 0=)l(′X ? 0=)0(X 0 = ) x ( X λ + ) x (′′X 由

0=) l(′X 得 0=)t,l( u 由, 0=)0(X 得 0=)t,0(u 由

? 0 = ) t ( T a λ + ) t (′′ T? 2 ? ? 0 = ) x ( X λ + ) x (′′ X ?

x

值征本解求?2?

) t( T) x ( X = ) t ,x ( u 令. 量变离分)1(?解 ? . 0 = ) t , l ( x u , 0 = ) t, 0 ( u ? ? 0 = xx u 2 a ? tt u ? ?
解求即?动振征本的柱气空内 管求试?放开端一另?闭封端一?管细的匀均径直一 2.1.11

速初与移位初的 l2 为期周,的拓沿奇过经为解理应 ) x ( ψ与 ) x ( ? 的里这,件条界边 内一第是题本虑考.间区个这出超会就 ta ± x 的中式上,时大分充 t 当,上]l,0[间区 .度

在义定只 ) x ( ψ与 ) x ( ? ,动振的弦界有是的论讨题本但, 式公尔贝朗达 是正这 2 ta ? x a 2 ? ? ) sd) s ( ψ ∫ +? ta ? x ( ? + ) ta + x ( ?? = ) t ,x ( u 1 1 ta + x 入代式)61(式)51(将再 1= n 2 1= n 2 ta ? x ? ? nC ∑ ) = k D∑ + ? ta ? x ( nk nis + ) ta + x ( nk nis? 1 1 sds nk nis
n

?) ta + x ( }?

?+? ? ) ta ? x ( nk nis + ) ta + x ( nk nis? ? nC k soc ? ) ta ? x ( nk soc?

ta + x



n n



n k nis ) ta n k nis nD + ta n k soc nC ( ∑ = ) t , x ( u

{∑ 2 = 1
∞ 1= n ∞
1= n ∞

为写改可)41(,数参设题用采 解

a速相 , nk数波 , nω率频角用利并 ,

. .系关的式公尔贝朗达与式)41(论讨 , a nk = nω 系关的 l n / l2 nλ = nk数波的波谐次n 入引 1.1.11 π2 法量变离分的中系标坐角直 1.1.11

πn

=

π2

=

法量变离分 章一十第

1= n l 2l nis nA ∑ = )0, x ( u= x ) x ? l( 由 x πn h4 ∞

1= n l l l n n ) (nis ]) (nis B + ) (soc A [ ∑ = ) t , x ( u x πn ta πn ta πn ∞
n

B

,n

A 数系定件条始初由?性交正的数函征本据根???

l l nis nB + soc nA = ) t ( nT ta πn ta πn
? ? ? ,2 ,1 = n
?)

得?加叠性线的解特作???

解得?程方????将?解的程方??????? 数函征本

l n (nis=)x( X x πn

, 2)

πn

l

(= λ 值征本

2 2 p2 2l x ) x ? l( = h + ) ? x( -=)h ? u( 故? )h, ( 在点顶 2 l l h4 1 p 2? = u ?为式形准标的线物抛
? l 0 = )0 ,x ( tu ,x ) x ? l( 2 = )0 ,x ( u? h4 ? 0 = ) t , l(u ,0 = ) t ,0( u? ? 0 = xx u 2 a ? ttu? ?
为解定?1??解 。移位的动振求? )h,

?为解的题问值征本????得后量变离分???

2x

2 ( 为点顶的线物抛?线 l

物抛一是状形的刻时始初?0 为度速初设? l=X 及 0=)0(X 在定固端两匀均根一 3.1.11

2 ,1,0 = n
)x π

l2 l2 l2 n n (nis ]) ta π (nis B + ) ta π (soc A [ = 1+n2 1+n2 1+n2

n n n ) t( T) x ( u = ) t , x ( u

l2 l2 n n n ) ta π (n i s B + ) ta π (soc A = ) t( T 1+ n 2 1+ n 2 l2 n n n 0 = ) t( T a ) π ( + ) t( ′′ T ?程方 ) t( T 入代 λ 将 2 2 1+ n 2

?为动振征本内管?4?

0= n l2 l2 l2 n n )x π (nis ]) ta π (nis B + ) ta π (soc A[ = ) t ,x ( u ∑ 1+ n 2 1+ n 2 1+ n 2 ∞
?为解通)3(

0=n l2 SY ?得 ) x π (nis nA ∑ = )0 , x ( u = 0 1+ n 2 x F ∞ n t 0 = B 得 0 = )0 , x ( u 由)4(

l2 n ) (=) x( λ ? 2 π)1+n2(

l n nis=) x( X 2 x π) +n( 1

?得可件条界边及程方定泛由)2(

)定固端0= X (

为长伸对相的段

SY = )0 ,x ( u ∴ x 0F x x S Y= Y=P = 0 )0, x ( u ) 0 ,0 ( u ? ) 0 , x ( u F x 故? ) 0 ,0 ( u ? ) 0 , x ( u SY ) x ,0( 律定克胡据根? 0 = )0 , x ( u 件条始初 x F
0 = )0 ,x ( tu 0 = ) t , l( x u ? SY , 0 = )0 , x ( u ? xF ? ,0 = ) t ,0( u? ? 0 = xx u2 a ? ttu? ?
?为题问解定 )1(?解 4.1.11

的后 0

? Y 为量模氏杨?S 为积面截横的杆设?动振 F 力掉去在杆求?长拉被而 0F 力受端一另?定固端一?杆的 l 为长

1= n l l 3n 3π ) (n i s ) (soc = ) t ,s ( u ∴ ∑ x πn ta πn ] n)1? ( ?1[ ∞ h 61 1= n l l n t (nis ) ( nB ∑ = )0 , x ( u = 0 由 0= B得) x πn a πn ∞

l 3h 3 π 2l ∫ l n nis x ) x ? l( c = xd = A∴ ] n)1? ( ?1[h 61 x πn h4 l 2

l 2 0∫ 0∫ l 0 ∫ 0 = xdx 0 l ε2 ? xd l ε = xd ) x ? l ( ε2 l 1 = A

0=n l 2 得 ε2由 ? soc nA ∑ = )0 ,x ( u=?x- ? x πn l ∞

n t 0 = B 得 0 = )0 , x ( u 由

0= n l l l n n ) (soc ] n is B + soc A[ ∑ = ) t , x ( u x πn ta πn ta πn ∞
l l n n soc=) x( X ? ? ?=) x( λ 2 πn x πn

.数系定件条始初由,性交正数函征本据根)4(

加叠性线的解特)3(

?x 2 l l 同 相 式 形 ?x - ? ε2 = )0 ,x ( u 与 ? = l l ε ) 0, x ( u2 2
得可,例比成边应对个两形角三似相个两方右由

为别分数函征本与值征本得 2-11 表由)2(

2

?

2 l ? = ?x- ? ε2 = )0 ,x ( u ∴ lε l

2 x? l ) 0, x ( u

得可,例 比成应对形角三似相个两方左由?零为移位点中杆,压受端两杆.明证的 ) 0 , x ( u 件条始初

2 ? t ? 0 = )0 ,x ( u ,)x ? ( ε2 = )0 ,x ( u? l ? x ? ? 为题问 解定)1(?解 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u ? ? xx tt u2 a ? u ? ? 0=
。动 振的杆解求?动振由自其任后手放, ) ε2 ? 1( l 为小缩度长而从压受端两? 杆的 为长 5.1.11



0=n S Y l2 l2 2)1+ n 2 ( 2π = = ) t ,x ( u n is soc x π)1+ n 2 ( ta π)1+ n 2 ( l0F 8 n)1? ( ∞ SY c l l2 2 )1+ n 2 ( SY2 π n ∫ 0Fl8 )1? ( = xd x π)1+ n 2 ( nis x 0F l 2 = A n

1

。布分度温的上杆时 0 > t 在求? )x ? l( x = ) x ( ? 布分度温始初其知已?度零为持保端两的杆?杆细匀均的热绝界外与身杆? l 为长 7.1.11

0= n a π l2 l2 2)1+ n 2 ( 2 ∑ 0 = ) t, x ( u ∴ nis nis ta π)1+ n 2 ( x π)1+ n 2 ( 1 ∞ vl8 a π )1+ n 2 ( 2 ) 1 2 ( l a n + π 2 2 ∫ nis 0v 0 = xd = nB得 0vl8 l 2 x π)1+ n 2 (

0=n l2 l2 l2 nis] nis nB + soc nA [∑ = ) t,x ( u ta π )1 + n2 ( ta π )1 + n2 ( x π )1 + n2 (
.数系定件条始初由,性交正数函征本据根)4(

0= n l2 l2 nB ∑ = )0 , x ( tu = 0v 由 nis x π )1 + n2 ( a π )1 + n2 ( ∞ 0= n l2 nis nA ∑ = ) 0 ,x ( u = 0 由 ta π )1 + n2 ( ∞

,0= nA 得

∞ 加叠性线的解特)3(

? ? ? ,2 ,1 ,0 = n

,

l2 n ) (=) x( λ ? 2 π)1+n2(

l n nis=) x( X 2 x π) +n( 1

为别分数函征本与值征本得 2-11 由)2(

? t 0v = )0 ,x ( u ,0 = )0 ,x ( u? ? x 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u ? ? ? xx tt u2 a ? u ? 0=
为题问 解定)1( 系考参的止静对相船飞与择选?解 .略忽以可场力引处该,.动振的杆解求?止停然突时降下 0v 度速以船 飞当,由自端下?下向直竖身杆?上板花天的船飞宙宇空太在定固端上?杆的 l 为长 6.1.11

l l 2)1+ m 2 ( 0 = m 2 π soc soc = ) t ,x ( u ∴ ∑ 1 ta π)1+ m 2 ( x π)1+ m 2 ( ∞ l ε8 2 2 l n 2 π2 n ∫ = xd ] )1? ( ? 1[ soc ) x ? ( ε2 0 l 2 = A n l ε4 x πn l

?得

πxn

0= n l soc nC ∑ = )0 , x ( u = x 由 ∞

?数系定件条始初由?性交正数函征本据根)4(

πxn
? ? ? 2 ,1 ,0 = n

0= n l e nC ∑ = ) t , x ( u soc t 2 a2 π2 n ? ∞
,
2

加叠性线的解特)3(

l n , soc=) x( X x πn

π )1 + n2 (
2

l4

= nλ

2

?为别分数函征本与值征本)2(

。律规的化变度温其求? x = )0 ,x ( u 时始初?热绝端两杆细的 l 为长 8.1.11

? ? x = )0 ,x ( u ? ? 为题问解定)1( ?解 0 = ) t , l( x u ,0 = ) t ,0( x u? ? ? xx t u2 a ? u ? 0=

l

πx )1+ n 2 (

nis

] )1? ( ? 1[ n

2 a2 π 2)1+ n 2 ( 3 π3n 2 l4 = xd

2l

?

3)1+ n 2 ( 0= n 3 π = ) t ,x (u ∴ e ∑ ∞ 2 l8 1

πxn

l l n ∫ n is ) x ? l ( x 0 l 2 = C

πxn

1= n l nis nC ∑ = )0 , x ( u = ) x ? l( x 由 l

1= n l l ni s e nC ∑ = ) t , x ( u 2 πxn ∞ ? t2 a 2 π2 n

.数系定件条始初由?性交正数函征本据根?4?

加叠性线的解特?3? ?

l nis=) x( n X x πn

l n ) (=) x( λ 2 πn

为别分数函征本与值征本得 2-11 表由?2?

? ? )x ? l(x = )0 ,x ( u ? ? 为 解定 ?1??解 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u? ? ? xx t u2a ? u ? 0=

t2 a 2 π 2 )1+ n 2 (
2

l4

?

e

πx )1+ n 2 (

l2

)1+ n 2 ( 0 = n π nis ∑ 0 = ) t ,x ( u 1 ∞ u4

π)1+ n 2 ( l2 0 0∫ l n 0u4 = xd πx )1+ n 2 ( nis u l 2 = C ∴ 0=n l2 0 nis nC ∑ = )0 , x ( u = u 由 ∞
πx )1+ n 2 (
数系定件条始初由,性交正数函征本据根)4(

0= n l2 l4 e nC ∑ = ) t , x ( u n is 2 πx )1+ n 2 ( ∞ ? t2 a 2 π 2)1+ n 2 (
加叠性线的解特)3(
2

,
2

l2 n nis=) x( X … 2 ,1 ,0 = n , x π)1+n2(

π )1 + n2 (
l4
2

= nλ

为别分数函征本与值征本)2(

? ? 0u = )0 ,x ( u ? ? 为 题问解定)1( ?解 0 = ) t , l( x u ,0 = ) t ,0( u? ? ? xx t u2 a ? u ? 0=

l 2)1+ k 2 ( 0 = k 2 π 2 l e ? = ) t ,x ( u soc ∑ 2 1 πx )1+ k 2 ( l ∞ l4 ? t2 a 2 π 2)1+ k 2 ( l 2 π2 n 2 π2n ]1 ? )1? ([ soc = 0| = n l πxn l2 l2 l l πn ∫ 0 ] xd n is 0 l ? l| πxn nis x [ 2 = πxn πn l l l n 0∫ l ∫ nis dx 0 l l 2 = xd πxn soc x l 2 = C πxn 2 l 0 = xd = C : 0 = n 1 l

。布分度温的杆求?热绝端一另 ?变不为持保度温端一其让??温常? 为度温始初?热绝身杆?杆细匀均的 为长?9.1.11

题问解定解求 11.1.11 。度厚大最的加增 t 随不 ) t ,x ( 1u 为即?变而 t 随不 ) t ,x ( 1u 时



β

= l 即 ?时

2a2 π 2a2 π 2l

2l

= β当

?3?





β

。加增而加增 t 随 ) t ,x ( 1u

< l 即 ?时

< β当

?2?





β

。加增而加增 t 随 ) t ,x ( 1u

> l 即 ?时

2a2 π

2l

> β当

?1?

。可即件条的加增 t 随不 ) t ,x ( 1u 论讨故。加增间时随不 必 n u 即? 0 数指? 1 > n 对则?加增随不 1u 则? 0

< t)

< t)

2 a2 π

2l

? β ( 数指若, 1 = n 对因

2 a2 π

2l

? β(

πxn

l

ni s

t)

2 a 2 π2 n
t)

2l

? β(
l

1= n e nC ∑ = ) t , x ( u ∞

l 0 = ) t( nT) 2 ? β ( ? ) t(′nT得程方入代 a 2 π2 n
2 2 2

a πn
2

? β(

e nC = ) t( nT

2

.3

… 2 ,1 ,0 = n ,

1= n l nis ) t( nT ∑ = ) t , x ( u ?为解通 πxn ∞ l n nis=) x( X ?得件条界边 及程方定泛由 x πn
0 = ) t , l( u , 0 = ) t , 0( u

.2

?件条界边 .1

uβ =

xx

t u2 a ? u

?为程方定泛则, ) t ,x ( u 为度浓子中设?解 。度厚大最的加增间时随不度浓子中求?块铀状层的 为度厚究研??慢快殖增映反? u β 为示表可而从?度浓子中的处该于比正数子中的生 产中积体位单在中秒每?程过殖增的子中有还?外动运散扩的 子中除?中块铀在 01.1.11

? ? ) x (w ? 0T = )0 ,x ( u ? 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u? ? xx t ? u2 a ? u ? 0=
?题问解定的 ) t ,x ( v .2

x ) l α?e ? 1(

l2 a 2 α 2 a2 α ? ) l α? e ? 1( = )x(w ∴ A A

2 a2 α 2 a2 α , + l1C + l α?e ? = )t,l(w=0由 A A 2 a2 α 2 2 a2 α = C ∴, 2C + ? = )t,0(w=0 由 A A
2

) l α? e ? 1(

2 a2 α ? = 1C ∴ A

C + x 1C + x α?e

2a α 1C + x α?e A ? = w ?次两分积 2a xx e ?= w x α? A 0 = tw 则? )x (w = ) t ,x (w 取若

2a2 α ?=w A

) t ,x (w + ) t , x ( v = ) t ,x ( u 令?一法方?解

x α?

eA =

? ? 0 = ) t , l(w ? ? 足满 ) t , x (w 设 0 = ) t ,0(w ? xx t ? w2a ? w?

? ? )量常( 0T = )0 ,x ( u ? 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u? ? xx t ? u2 a ? u ?
x α?

eA =

下如算计中其

? 1=n l eA ? nis ) t( n f ∑ = x α- ? x πn ∞ ? 1=n l nis nC ∑ = 0T ? x πn ? ∞ ? 1=n nis ) t( nT ∑ =)t,x(u ? ?
l x πn


.2 .1

… 2 ,1 = n ,

l 0 nis{按 T, eA,)t,x(u将 开展} x αx πn l n nis=) x( X 为集数函征本 x πn
二法方

l ] x

)

l α?

e ? 1( ? )

l α?

α a l nis e ? 1([ 2 2 + A x πn t

2 π2 n 2 a

l

?

ei

) 2 π2 n + 2 l2 a ( πn 2 a πn } +] )1? ( ?1[ 0 { ∑ = ) t , x ( u ] n)1? (? l α?e [ 2 lA 2 n T2 ?得 ) x (w + ) t , x ( v = ) t , x ( u 入代 ) 2 π2 n + 2 l2 a ( πn 2 a πn + ] )1? ( ? 1[ 0 = n ] n)1? ( ? l α?e [ 2 lA 2 T2 2 l n ∫ xd nis ]) x (w ? 0T[ 0 l 2 = A∴ x πn 1= n l 0 nis nA ∑ = )0 , x ( v = ) x (w ? T 由 ∞

πxn

开展 ?

1= n l n l e A ni s = ) t ,x ( v ∑ 2 πxn ∞ ? t2 a 2 π2n ? l ? nis? 集数函征本对 ) t ,x (v 将 ?1? ? πxn ?

?

l x πn

n is n f

∑=
1=n ∞

l a πn

= n γ令并?性交正的 }
2

l x πn

nis{由

l x πn

1=n l nT[ ∑ nis ]) t( nT 2 + ) t( ′ a 2 π2 n ∞
程方入代

x α-

eA,)t,x(u 将.3

l l πn 0 l π2 l n ∫ ] n )1?( ? 1[ 0 = | soc ) ?( 0 = xd x πn nis 0T 0 l 2 = C l T2 l x πn T2 π n+ α l 2 2 = nf ∴ ] n )1?( l α-e ? 1[ 2 2 πnA 2 αl αl ] n )1?( l α-e ? 1[ 2 2 = ) 2 2 + 1( n f ?项移 πnA 2 πn 2 2 αl αl A2 2 2 2 2 n i ? ? ? f ] 1 ) 1 ( e [ ?= n x αl 2 π2 nA 2 πnA 2 αl l 0∫ 2 2 x α-ed x πn soc l πnA 2 ? = αl l l l nis x α-e[ ?= x πn A2
∫ ] xd x πn soc x α-e 0 l

πn

? 0l|
xd

l l ∫ nis x α-e 0 l A2 x πn

= nf

?解得入代 )t,x(u 数系将 .4

nC ?

n 2 n

nr r 2 = nB , n C = nB ? n f f

: 性交正}

l x πn
n 2 n

nis{由

l x πn

nis ) t( nC ∑
1=n ∞

l = x πn

r 1=n nis ] nB ? [ ∑ ∴ f ∞
0
n

T = )0 ,x ( u由
B 数系定件条始初由.4
n 2 n

l x πn

n is ]

t2nr ?

r 1=n e nB ? [ ∑ = f ∞
1=n ∞ n 2 n

l x πn

nis ) t( nT ∑ = ) t ,x ( u
n γ? t2

e nB +

γ

f

= ) t( nT

e nB = 2 ? ) t( nT n γ? nf t2 : 得可数指取后分积
n

γ

n

γ

td

n γ? = ]2 ? ) t( nT[ 2 nf

n n n γ + ) t( nT f ) t ( T = ′ 2

]2 ? ) t( nT[ d nf
n

γ

程方入代 )3(

l l soc t ω nis A = soc ) t( n f xπ x πn

∑ = ) t ,x ( f
0=n ∞ 1=n ∞

l soc ) t( nT x πn 开展} l soc{照按) t ,x ( x πn }

∑ = ) t ,x ( u
)1(

f ,) t ,x ( u 将 )2(

l soc{为集数函征本 x πn

开展数函征本用?解

0 > t , l < x < 0 , t ω n is
l x πn

? ? 0 = )0 ,x ( tu ,0 = )0 ,x ( u ? ? 0 = ) t , l( x u ,0 = ) t ,0( x u ? l xx tt soc A = u2 a ? u ? ? xπ nis }

t 2)

l (? a πn

πn e] n )1?( ? 1[ 0 + T2

题问解定解求 .21.1.11

]

t 2)

l (? a πn

) α l + π n( a πn 1=n {∑ = e ? 1[ 2 2 2 2 2 ] l α? e n )1? ( ? 1[ 2 lA 2 ∞ n is ]
t2nr ?

l x πn l x πn

e nC + )

t2nr ?

nr 1=n 2 [ ∑= e ? 1( n f ∞

n is ]

t2nr ?

nr nr 1=n 2 2 (? n [ ∑=)t,x(u e ) nC ? n f f ∞

1 1= n 2 γ ? 2w n n n n 0 0 ) t γ nis b + t γ soc a( ∑ + ? b + t a=)t,x(u l ∞ soc tw nis A xπ

数系定件条始初由

:)t,x(u回代)3( ,)2( ,)1(将 )1 > n ( t n γ nis nb + t n γ soc na = ) t( nT得?3? 由 1γ ? w 2 2 ? t1 γ nis 1b + t1 γ soc 1a = ) t( 1T t w n is A
1 2 r ? 2w = c∴ A? 1 tw nis A = tw nis c r + tw nis wc ? 2 2
c 求程方入代解特将

l l 1 1 1 tw nis c + n is b + soc a = ) t( T 得?2?由 ta π ta π 0 0 0 b + t a = ) t( T 得?1?由 n n n 0 = ) t( T r + ) t( ′′ T ,1 > n )3( 2 1 1 1 tw nis A = ) t( T r + ) t(′′ T ,1 = n )2 ( 2 0 0 = ) t( ′′ T ,0 = n )1(

l soc tw nis A xπ

=

l a πn

=

n γ令 , }

l soc{由 x πn

l soc ]) t( nT x πn

2

0=n l 2 nT[ ∑ + ) t(′′ a 2 π2 n ∞

l ) ( ? 2w πa 2 l l l a π soc ] tw nis ? n is w [ = xπ a π ta π lA 1 1 1 γ? w ) γ ? w( 1 γ l 2 2 2 2 + l ? = ) t ,x ( u ∴ soc t1r nis xπ wA soc tw nis A xπ )1 ≠ n (0 = nb ∴ )1 ≠ n ( ,0 = nr nb 1 1 ) γ ? w( 1 γ γ? w 2 2 2 2 = 1b ∴, = 1r1b wA wA
?得?性交正的 }

为热比? 为度密? 为长线?为积面截横?数函布分度温体导为设 。程方衡平热的元积体中体导立建? 解 h 为数 系换交热?零为均度温端两及度温始初设?律规化变的度温上线导求试?换交热行进质介 的零为度温围周跟积面表线导?流电的定恒以通? 为 阻电的长位单?线导细匀均.31.1.11

0 = 0a

1 1= n γ? w 0 l 2 2 n n ? a=)0,x( t u=0由 soc γ b ∑ + l x πn ∞ soc wA xπ 1 1= n γ? w l 2 2 0 n n soc t γ nis b ∑ + l ? t a=)t,x(u ∴ x πn ∞ soc tw nis A xπ
?1? ?2?

l soc{ 由再 x πn

0=)0,x(u?件条始初

解求法开展数函征本按

0=)t, l(u,0=)t,0(u?件条界边

b = uf + xx ua ? tu?为写简

s ρc s ρc ρc u ? + xx u = tu ?4? Lh r 2 I k 有即?tdvd ρ c以除

tdxdLuh ? tdxdr 2 I + tdvd xx uk = udvd ρ c ∴

.udvd ρ c = Qd足满 , ud升度温体导内vd 卡42.0当相耳焦1

?量热示表卡用( tdxdr 2 I 42.0 = tdR 2 I 42.0
为量热生产内 td 中 xds 在?律定次楞——耳焦由?3?

?量热示表耳焦用( tdxdr 2 I = tdR 2 I

tdxdLnh ? = tdxdL ) s| u ? 1u(h ?为量热的入流面侧过通

。量热的质介围周到流为tds ) 1u? s| u(h = Qd

tdSxd )

?出指律定却冷顿牛由)2( tdvd xx uk = x? x? x? x? k ? tdS xd + x| k ( k = td S x | u? ? u? u?
tdS 为量热入流端两过通 n? ? k = Qd律定叶立付由?1 u?

性交正

}

l x πn

nis{由

l x πn

nis ) t( nb ∑ =
1=n ∞

l x πn

nis}) t( nT] f

l nT{ +? ? [ + ) t( ′ x πn
2

∑ ?1 ?
1=n ∞

件条始初及程方入代.2
πn l πn ] )1 ? ( ? 1[ n b2

=

0 l s oc |] l x πn

l ?[ b2

l = xd x πn

0 l n i s b ∫ = nb 中 其 2 l

l x πn

n i s ) t ( nb ∑ = b
1=n ∞ 1=n ∞

l x πn

n i s ) t ( nT ∑ = ) t , x ( u
πn ] )1? ( ? 1[ n b2

开 展}

l x πn

n i s {为 数 函 征 本 按 b 及 ) t , x ( u 将. 1

=

0 l πn |] soc l x πn l

l ?[ b2

l = xd x πn

0 l nis b ∫ = nb中其 2 l

l x πn

nis ) t( nb ∑ = b
1=n ∞ 1=n ∞

l x πn

nis ) t( nT ∑ =)t,x(u

开展}

l x πn

nis{为数函征本按b及) t ,x ( u将.1

s ρc l 2 + ] [)1 + k 2 ( 0 = k πρ c l Lh 2 π2 a 2 )1 + k2 ( ∑ nis = x π)1 + k2 ( e ?1 r2 I4 ∞
t] l s ρc 2 [? + Lh 2 π2 a 2 )1+ k 2 (

题问解定列下求.41.1.11

l 2 f+ l π a )1 + k2 ( 0 = k 2 2 2 ∑ = ) t ,x ( u ∴ e ? 1{ nisi} l 2 π)1 + k2 ( x π)1 + k2 ( t] f + [? ∞ π a )1+ k 2 ( 2 2 2 b4 l f + 2) ( α πan n πn ? = nb ? = A ] n )1? ( ? 1[ b2 l nis{由 ?性交正} x πn l α 1= n nis ) nA + ( ∑ =)0,x(u=0 nb x πn ∞
n

A 定 件 条 始 初 由) 2(

l ni s ) x πn

t α?

enA +
t α?

α
n

enA +

b

(

1= n ∞


n

α
b

= )t,x( u = ) t( n T td

]

α
nb

? ) t( n T[ α? =

]

α
nb
l x πn

) t ( n b = ) t ( n T ] f + 2?

? ) t( nT[ d

? [ + ) t ( ′n T

? l a2 a2 0 = )0 ,x ( tv ,x ) + 2 ( ? x 2 = )0 ,x (v? 2 B lA A ? ? ? ? ? 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0(v xx tt u2 a ? u 0= :为解定的)t,x(v.2

l a2 a2 x ) + 2 ( + 2 x 2 ? = ) t , x (w ∴ B lA A ? l a2 + 2 = c得lc + lb = ) t , l(w = B由? 2 B lA ? 件条界边入代 ? xc + 2 xb = w得 d = ) t ,0(w = 0由 ? a2 2 ? = b ∴ , A = ab2 ? 程方入代 2 A ,件条界边及程方足满 d + sc + 2 xb = ) t ,x (w且 ) t ,x (v + ) t ,x (w = ) t ,x ( u令.1:解

0 > t , l < x < 0 ,A =

? ? 0 = )0 ,x ( tu ,0 = )0 ,x ( u ? ? B = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u ? xx tt ? u2 a ? u?

程方足满然显b + xa = ) x (w = ) t ,x (w且
) t ,x (v + ) t ,x (w = ) t ,x ( u令.1:解 ? ? 52 = )0 , x ( u ? 04 = ) t ,3( u ,01 = ) t ,0( u? ? ? xx t ? u2 ? u 0=

)1 + x (01 = )x (w ∴ 3 01 = =a得b+a3=)t,3(w=04 b-04 01=b得b=)t,0(w=01入代

1= n l a2 a2 l l ( + 2 ? = ) t ,x ( u ∴ nis soc nA ∑ + x ) + 2 x πn ta πn B lA ∞ 2 xA a2 a2 l l l n ∫ xd n is ] x ) + 2 ( ? 2 [ 0 l 2 = A∴ B lA x πn 2 xA
题问解定列下求.51.1.11

1= n l l 2a2 2a2 nis nA ∑ = )0 , x ( v = x ) + (? 由)3( x πn B lA ∞ 2 xA 1= n l l n is soc nA ∑ ta πn x πn ∞

0 = nB得)0 ,x ( tv = 0由)2(

= ) t ,x ( v ∴

)

1= n l l l n n (nis ] n is B + soc A[ ∑ = ) t , x ( u x πn ta πn ta πn ∞

: 为解通的件条界边足满)1(

? πn ? k2 = n , 06 ? = ? 1 + k2 = n ,0? πn ] n )1?( + 1[ = 03 πn πn )1?(3 = + ] )1? ( ? 1[ n 03 02 n πn πn 3 0 3 0 ] d soc ∫ ? | soc x [ + ] )1? ( ? 1[ = x x πn 02 n 03 3 x πn 3 πn 3 3 0 3 0 πn 3 soc dx ∫ + | soc 51 ? = x πn 3 02 3 x πn 3 2 3 3 0 3 xd nis )x 01 ? 51( ∫ = nA ∴ x πn 3 2 1= n 3 nis nA ∑ = )0 ,x (v = x01 ? 51由)2( x πn ∞
1= n 3 n is e nA ∑ = ) t ,x (v 9 x πn t 2 ) πn ( ? ∞ 2

: 为解通的件条界边足满)1( ? ? x 01 ? 51 = )1 + x (01 ? 52 = )0 ,x (v? ? 0 = ) t ,3(v ,01 = ) t ,0(v ? ? xx t ? v2 ? v 0= 题问解定) t ,x (v.2

解的题问值征本. )3 ( 0 = ) b ( y = )0 ( y ? ? 件 条 界边 入 代 0 = ) a ( X = )0 ( X ?
2

b a nis nis = mnv y πm x πn b a …,2 ,1 = n ,m ,) 2 + 2 ( π = mnλ m 2n

)y(y )x(X=)y,x(v令. ) 2 (

0=y β+ y ? ′ ′ ?:程方入代 0=X α+′′ X ?

0=)b,x(v=)0,x(v=)y,a(v=)y,0(v 0 = Tλ + ′′ T ? ? : 程 方入 代 0 = v λ + yy v + x x v ? :件 条界 边入 代

? ? ) y ,x ( ψ = )0 ,y ,x ( u ,) y ,x ( ? = )0 ,y ,x ( u ? 0 = ) t ,b ,x ( u = ) t ,o ,x ( u = ) t ,y ,a( u = ) t , y ,0( u? ? yy xx tt ? u ? u ? u? 0 > t ,b < y < 0 ,a < x < 0 ,0 =

) t( T) y ,x ( v = ) t , y ,x ( u令. )1( : 解

3 )1 + x ( 01 + nis x πn2

9 ? t2 π2 n 8

n2 1= n π e ∑ = ) t ,x ( u ∴ 1 ∞ 06

动振横的膜形矩求.61.1.11

?为题问解定?1??解 。布分度温定稳的上面截横这 求?度温的低较持保边三它其?度温的高较持保边一的它?形矩为面截横的片热散.71.1.11

?? ? 1= m , n ? ? ? ? ? b a a a ? b ? ? b ? nis nis ? ? 2 + 2 t π ? nis m, nB + ? 2 + 2 t π ? soc m, nA ? ∑ = ) t ,y ,x ( u y πm x πn ? ? 2 m 2 n ? ? 2m 2n ? ? ∞
?以所
mn

1= m , n b a b a nis nis 2 + 2 πmnB ∑ = )0 , y ,x ( tu = ) y ,x ( ψ由 y πm x πn m 2n ∞ 2

yd x d

n b+ m a π b a 0 0 2 2 2 2 = nis nis ) y ,x ( ψ ∫ ∫ y πm x πn 4 b a

B得

1= m , n b a nis nis mnA ∑ = )0 , y ,x (u = ) y ,x ( ?由 y πm x πn ∞

ydxd

b a 0 0 ba nis nis ) y ,x ( ? ∫ ∫ = mnA得 4 y πm x πn b a 数系定件条始初由. ) 6 ( b a ni s ni si y πm x πn
t π( s o c
1= m, n ∞ mn

b a ]) 2 + 2 m n 2
2

b a t π ni s mn B + 2 + 2 m 2n
1= m, n ∞ 2

A[

1= m, n ∞



=

) t ( m n T) t , y , x ( m n v b a ) 2 + 2 m 2n
2

加 叠 性 线 的 解 特. ) 5( b a t π ni s mn B + 2 + 2 t π ( s o c m nA = ) t ( m n T m 2n
2



= ) t , y , x ( mn u

∑ =)t,y,x(u

) t ( T 求 i) 4 (

1= n a a h s nA 2 ∑ = nis y πn x πn ∞ 1= n ∞

a nis ) a e ? x πn ? y n
π

数系定件条界边各次齐非由.)4 ( 1= n a nis ) a e nB + a e nA ( ∑ = ) y ,x ( v x πn ? ∞ y πn y πn

a n n B A 得 性 交 正 的 ? = } nis{由 x πn 1= n a nis ) nB + nA ( ∑ =)0,x(v=0由 x πn ∞

a y πn

e ( nA ∑ = ) y ,x ( v ∴

?为解的件条界边的x足满.)3( 1u ? 2u = ) b , x ( v ,0 = )0 , x ( v ? ? ? 为解定 的 新 ) y , a ( v ,0 = ) y ,0( v ? ? ?
0 = y y v + xx v
1

u + ) y , x ( v = ) y , x ( u令

? ? 2u = )b ,x ( u , 1u = )0 ,x ( u ? 1 1 ? = ) , ( , = ) , 0 ( u y a u u y u ? ? yy xx ? u+ u 0=

次齐为变件条界边的x将)2(

a h s 1 + k2 0= k π a π ) 1 2 ( b + k ∑ nis + 1u = a x π)1 + k2( 1 ∞ ) 1u ? 2u( ψ hs y π)1 + k2(

) y ,x (v + 1u = ) y ,x ( u ∴ a h s πn x πn 1+ k 2, n = δ 1u ? 2u a nis πn x πn ] n )1? ( ? 1[ 1 2 = u? u a hsa a πn 0 π x n |] soc ? [ = a 1u ? 2u a x πn a hsa a 0 x πn xd nis ∫ 1 2 = nA ∴ x πn u? u a a a a 0 xd h s nA 2 nis ) 1u ? 2u( ∫ = x πn x πn a 2 1= n a a h s nA 2 ∑ = )b ,x ( v = 1u ? 2u由 nis x πn b πn ∞

a a n is = ) x ( n X , 2 ) ( = n μ 得 …2 ,1 = n , πn x πn 0 = ) a ( X ,0 = )0( X ? ? ? 0 = X μ + ′′ X

? 0 = ) t ,a ,x ( u ,0 = ) t ,0 ,x ( u ? 0 = ) t ,y ,a ( u ,0 = ) t , y ,0( u? ? 0 = ) yy u + xx u( 2 v ? ttu ?

式后入代) t( Y)x ( X = ) y ,x ( U令 ? . 3? ? 0 = uλ + yy u + xx u? ? ? 0 = Tλ 2 v + ′′ T ? u Tv 得 λ? = = ? 程方 入 代 yy u + xx u ′′ T ) t( T) y ,x ( u = ) t ,y ,x ( u令?2?

μ? = ) λ +

?题问值征本解求 ? . 4? 0 = Y) λ ? μ ( + ′′ Y? ? 0 = X μ + ′′ X ? X Y (? = ′′ Y ′′X

为题问解定)1(?解
。率频征本的动振膜形方求
xx

a < y < 0 , a < x < 0 ,0 = ) yy u +

u ( 2 v ? tt u 为 程 方

动 振 膜 ? 定 固 界 边 ? 膜 形 方 的a 为 各 宽 长 个 一. 8 1. 1. 1 1

?证得即子因公出提并?式①入代式②将 ②
3 n 0 n 0 ?

) ) (u( u ) ( ) ( ∫ ) u ( J 4 ? ) u ( J = ξ d ξ) ( u ξ
)0 (
n 1

)0(

n

1

n 0

?

?

得理整



)

(

) (
)0 (

? b ? ? 0 u ?j ?ξ ∫ 4 b = ρ d? ρ n ? 0j 3 ρ ∫ = I ξ d ξ)0n ( u? ? b ? ) 0( b 为写改可?则? = ξ令 ?解 ρ ? ? ? ? 0 u ? n b ? ? 2 )0( ? )0( u 0∫ 0 nu 1j ? ? ? 1 = d j =I ρ ρ ρ ? ? 3 4 b u b ? )0n ( ? ? ? 4

) (

明证试 1.2.11 法量变离分的中系标坐柱 2.11

mn

f

2

a2 π2 = = n + 2 m v mnw

?为率频动振征本的膜形方 a a nis mnB + soc mnA = ) t( mnT t 2n + 2m v π t 2n + 2m v π a 0 = ) t( T π) 2 ( v + ) t(′′ T n + 2m 2
2 2

? ) t( T求 . 5? a a ) ( + 2 ) ( = mv + n μ = nmλ ∴ 2 πm πn a a …,2 ,1 = m , nis = ) y ( my , 2) (=v得 y πm πm 0 = ) a( Y ,0 = )0( Y? ? ?
0 = Yv + ′′ Y

0u = )0 , ρ ( u ? ? 0 = ) t ,b( u ? ? 0 = u 2 ? 2 a ? tu ?

题问解定.1 度温内柱为) t , ρ ( u设并?标坐柱选?解
。化变的度温内柱求??数 常? 0u 为度温始初设?度零为持保面侧其?体柱圆质介热导长限无的 b 为径半 3.2.11 解得即

) ? , ρ ( u 入代
0

a 0 a nis ) ?( f ∫ ?d 2

?πn

a

a

πn

a

?

ρ = nC ∴

?πn

n is

πn

a

ρ nC = ) ?( nφ) ρ ( nR = ) ? , ρ ( nu
解特到得此有

? ? ? 限有)0(R 0 ) a ( ) 0 ( φ φ = = ? ? ? 0 = R λ ? ′R ρ + ′′R 2 ρ ? 0 = φλ + ′′ φ ? 解定的程方分微常个两得件条的 ) ?,0(u 及 )0, ρ(u 与程方入代试上将 .1 ) ?( φ) ρ(R = ) ?, ρ(u 设?解 ? ? 限有) ?,0( u)4( ? 0 = )a , ρ ( u = )0 , ρ ( u)3( ? ? ) ?( f = ) ?, 0ρ ( u)2( ? ? ρ? ρ ρ? ρ? ρ a < ?< 0 = u2 ?)1(? ) (0 = 2 2 + ) ρ ( ? 1 u2 ? 1 u? ? ρ < ρ <0
0
?题问解定的内域区形扇解求试 2.2.11

) ρ nλ( 0 J t nλ a ? e nC ∑ = ) t , ρ ( u
0= n ∞
2 2

加叠性线的解特.7

b

μ设.6 根个n第的数函尔塞贝阶零为) 0n ( …2 ,1 = n ,) ρ nλ( 0 J e = ) t , ρ ( nu
nλ a ? t2 2

n )0(

μ

= nλ ∴

) ρλ( 0 J = ) ρ ( R 为有的0= ρ在,程方耳塞贝阶零是程方) ρ ( R.4 ? ρd ρd ρ? ρ( b ≤ ρ ≤ 0 ,0 = R λ + ) 2 ?:得此由 1 R d d ? ?
件条界边由

: 为解特的件条界边及程方足满 ) b λ ( 0 J=0=)b(R 即 0=)b(R得) t( T)b( R = ) t ,b( u = 0 .5

0 > t ,0 = T2 λ 2 a + ′ T

TR a ρ d ρ d Rρ T a 2 = 2 :得 λ? = ) ρ( 乘 2 Rd d 1 1 ′T ρd ρd ρ a-′TR:得 ρ( Rd d T2 0=) ) t( T) ρ ( R = ) t , ρ ( u令

量变离分.3
?为程方定泛故?关无 ?与u?性称对轴有又?关无z与u 知件条设题由?柱圆长限无是于由?中标坐柱在 化简的程方定泛.2

。程方尔塞贝阶零分微常的

) z (Z 于关及值征本一得?量变离分

.2

? 限有) z ,0( u ,0 = ) z ,a( ρ u ? ; ) ρ(f = )h , ρ ( u ,0 = )0 , ρ ( u? ? ;h < z < 0 ,b < ρ ,0 = u2 ? ? ) μ( J μ
n )0(
持保度温 底下?热绝面侧? ) ρ ( f 为持保度温底上?柱圆匀均的 h 为高?b 为径半.4.2.11 1 n 1 = n )0( 0 b ?为解定 .1 。布分度温内柱为标坐柱选?解 。布分度温定稳的内柱求?度零 为

)

ρ

b

n )0(

μ( 0 J

t )
2

nμa )0(

(?

e ∑ u2 = ) t , ρ ( u ∴


)b nλ( 1J b ) n μ ( 1J n μ )b nλ( 1Jb nλ )0( )0( 2 2 = = = nC ∴ 0u2 0u2 nλ )b nλ( 1J 0u2 b nλ nλ nλ xd 0 0 ∫ 2 )x ( 1Jx 2 = xd])x ( 1Jx [ )bnλ( 1J = = 1 d bnλ 1 bnλ

b

xdx )x ( 0 J

0

bnλ



n 2

λ

1

= ρ d ρ ) ρ nλ( 0 J
1 2 2

0 b



) ρ nλ( J b
0=n ∞

?得可式公推递用利

) ρ nλ( 0 J nC ∑ = )0 , ρ ( u = 0u
b

ρ d ρ ) ρ nλ( 0 J

0 0

∫ u2 =

n

C∴

件条始初由.8

b 1 = )0( 0J = ) ρ n ( 0 J ∴ ??0为?根个二第的0 = )x ( 1J是) 00 μ ? ( μ ? )0( b 解的0 = )x ( 1J是就) ρ n ( 0 J根的0 = )x ( ′0 J ,)x ( 1J ? = ) x ( ′0 J由 μ ? )0( b b b 0 0 ρ d ρ) ρ ( f ∫ 2 = ρ d ρ ) ρ n ( 0 J) ρ ( f ∫ 2 = h 0B + 0A 2 2 μ ? b )0(
b

0 = nB + nA ,0 = 0 A得此由 ? 1=n b ? )ρ n ( 0J) b enB + b enA(∑ + h0B + 0A = )h ,ρ(u = )ρ( f ? μ ? h h ? nμ nμ ∞ )0( ? ? )0 ( )0 ( ? ? 1=n b ? ? )ρ
n )0(

μ ?
b

( 0J) nB + nA(∑ + 0A = )0,ρ(u = 0

1=n

数系定件条界边由

.6

…,2 ,1 = n ,)

z

nμ ? )0(

?

e0B +

z

nμ ? )0(

b

enA ( ∑ + z 0B + 0A = )z , ρ (u

b

…,2 ,1 = n ,

z

nμ ? )0(

?

e 0B +

合组性线得解特作 .5

z

nμ ? )0(

b

e nA = ) z ( n Z

…2 ,1,0 = n ,

b
n )0(

μ ?

= nλ中其 ,) ρ

z 0B + 0A = ) z ( 0 Z ) z ( Z 解求 . 4 b
程方

n )0(

μ ?

( 0 J = ) ρ ( nR

0 = ) z ( Z 2 λ ? ) z (′′ Z ? ? 限有)0( R ,0 = )b(′R ? 程方 ? 0 = R 2 ρ 2 λ + ′R ρ + ′′ R 2 ρ ?

件条界边类二第为侧柱由?题问值征本解求 .3

0 J于由 …,2 ,1 = n的 μ?根的)x ( 0J是不0以所?0 ≠ ?0? b b

…,2 ,1 = n ,

n )0 (

合组性线的解特作.4

n )0(

μ

= nλ中其 ,) ρ

n )0(

μ

( 0 J = ) ρ ( nR

? 0 = ) z ( Z 2 λ-)z(′′Z ? ? 限有)0( R,0= )b( R ? 程方尔塞贝阶零0 = 2 R 2 ρ 2 λ + ′R ρ + ′′R 2 ρ ?

件条界边类一第为侧柱于由?题问值征本解求.3

。程方分微的)z(Z 于关及题问值征本一得:量变离分.2

? 限有) z ,0( u ,0 = ) z ,b( u ? ? k k z z ? q = )h , ρ ( u , q = )0 , ρ ( u? ? h < z < 0 ,b < ρ ,0 = u2 ? ?

?示表 ) z , ρ ( u = u 用可顾?性称对轴有布分度温于由?解 :题问解定.1 .布分度温定稳内柱求, 零为持保度温侧柱,出流流热 的样同有 底 F?入流流热的 q 度强的布分匀均有底上?h 为高?b 为径半的体柱圆 .5.2.11

b )h n (hs 1=n ) nμ b b μ ? ( 0J ? 0 2 )0( ∑ ( 0 J) ρ ( f ∫ ) 0 ( + ρ dρ)ρ nμ b b 2 ? b 0 )0( ρ ρ ) ( J ) ( hs ∞ nμ nμ ? ? )0( )0( 0∫ 2 bh = )z , ρ (u z2

ρ d ρ) ρ ( f

b

为解.7

b h n hs 2 0 n μ b ( J b μ ? ? 0 ) ρ d ρ ) ρ n ( 0 J) ρ ( f ∫ ) 0 ( 2 2 ? ) 0 ( = nB ? = nA 2 1 μ ? b )0( b 0∫ h 2 b = 0B?0 = 0A?得可式上由 2

ρ dρ)ρ

n )0(

μ ?

( 0 J) ρ ( f

b

nμ( 0 J b b ? 0 ) ( 0 J) ρ ( f ∫ ) 0 ( 2 2 = ρ dρ)ρ 2 n )0(

μ ?

b

h

nμ ? )0(

b

?

e nB +

h

nμ ? )0(

b

e nA

法量变离分的中系标坐球 3.11



b
n )0(

μ

( 1J ]

z

)h

b
n )0(

nμ )0(

b

μ

( hs ) ) 0 n μ ( 1 J 2 ) 0n μ 1= n ( ( 1 )h b
n )0(

?

e)

h

nμ )0(

b

e ? 1( +

z




nμ )0(

b

e)

h

nμ )0(

b

?

e ? 1([i

μ
)

( hs ) ) 0 n μ ( 1 J 2 ) 0n μk ( (
h
nμ )0(

k = )z , ρ (u ∴ qb = nB

b

e ? 1(bq

)h

b
n )0(

μ
)

μ ( 1 J 2 ) 0n μk ( hs ) ) 0 n ( (
nμ )0(

h

b

?

e ? 1(bq

= nA:得此由

? ) )0n μ(1J )0n μk ? ( ( n n = e B ? e A b b ? bq2 h h ? nμ nμ ? ? )0 ( )0 ( ? ? ) nμ(1J nμk b ) nμ( 1J nμk2 0 )0( )0( = ρ dρ)ρ ( 0J ∫ )0( 2 )0( = nB ? nA? nμ bq2 q2 ? b )0( 性交正的})x ( 0 J{由 ? 1= n b k? ) ρ n ( 0 J) b e nB ? b e nA ( ∑ = ) k , ρ ( z u = ? q μ z z ? nμ nμ ∞ )0( ? ? )0( )0( ? ? b b 1=n ? ? )ρ
n )0(

μ

( 0 J) nB ? nA (

n )0(

μ

∑ = )0 , ρ ( zu =
∞ 1= n ∞
z
nμ ? )0(

k q



b
n )0(

数系定件条界边由.5

μ

( 0 J)

z

nμ ? )0(

b

?

e nB +

b

e nA ( ∑ = ) z , ρ ( u

。数级叶立付义广成开展数函球化一归按别分数函的上间区在义定列下将 3.3.11
'

mm

xd ) x ( lP) x (
|m| 1? 1
'

| ' m|

'

l

P

1? 1

δ ll δ =
'
' '



'

nm

δπ2 mlC m lC =
π2
0

xd ) x ( |m| lP) x ( | m|' lP

∫ ?d

?mi ?' mi ?

e

e



ml

C 'm' lC = θ d θ nis ) ?, θ( * Y

?解 明证细详的式?91?出给试 2.3.11

)1+ l ( ?

rB + l rA = ) r ( lR

π

0

∫ ?d ∫
π2
0

eB + ξleA = ) ξ( l? ∴ ξ)1+ l ( ? 2 2 )1 + l(?? ?= = = k∴ ? )1 + l2( ± 1? )1 + l( l4 + 1 ± 1? l : 程方征特得程方入代 ξ?e = ) ξ(?将.2 0 = ) ξ(?)1 + l( l ? ) ξ(′? + ) ξ(′′? 0 = ) ξ(?)1 + l( l ? ) ξ(′?2 + ) ξ(′? ? ) ξ(′′? 0 = )1 + l( l ? k + 2 k

ξd γ γ d ξd γ d γ ξd γ γ d γd ) ( ( +) ( =) = 2 Rd 1 d Rd d 1 Rd 1 d R 2 d

ξd 2 γ 2 ξd 2 γ ? = Rd 1 R 2 d 1

?程方入代

ξd γ γ d ξd γ d = ? = Rd 1 ξd Rd Rd ) ξ(? = ) r ( R .r nl = ξ设.1
?证

?是解的

rB + l rA = ) r( R 1? l ? 0 = ) γ( R )1 + l( l ? ) r(′Rr2 + ) γ(′′R 2 γ 明证.1.3.11

?项一第入代后数导的项一第算计?2?

xd xd 1? 1? ]xd )1 ? x ( l x 6? ∫ ? )1 ? x ( l ) 2 x3 ? 1([A ? = 2 d d 1 l 1 l
l 2 l 2 1+ l

xd xd 1? 1? ]xd )1 ? x ( 1+ l ) x3 ? 1( ∫ ? )1 ? x ( 1+ l ) 3x ? x ([A = 2 d 2 d 1 l 1 1+ l
l

] )1 ? x ( 1+ l
l 2

1+ l

xd !)2 + l( ! l 2 1 ? 1+ l [ d ) 3x ? x ( ∫ = d 1 !)2 ? l( 1 + l2

xd ! l 2 !)2 + l( 2 1 ? l xd )1 ? x ( 2+ l x ∫ = d ) 2 x ? 1( 1 !)2 ? l( 1 + l2
l 2 2+ l

2 1? !)2 + l( xd)x ( lpx ∫ = lc ∴ 2 1 !)2 ? l( 1 + l2 1 + l2 !)2 ? l( 1? kl δ = xd)x ( kp )x ( lp ∫由 2 2 2 !)2 + l( 1
2= l ∞ 2

开展})x(2LP{按 θsoc将要 ,2 = m的mlY见可 ?i2 e由)1( : 解
m

起算2 = l由)x ( 2lp故 ,零为不才)x ( lp时l ≤ m 因

)x ( lp lc ∑ = x ∴

1? ,1

e ? soc = ) ?, θ( f )2( ?2 i 3 3 + 11Y =

Y

π2

π2

8 3 8 3 e θ n is ? ? + ?ie θ nis ? ? = ?i ? π3 π2 π3 π2 2 2 e θ nis + ?ie θ nis = ) ?, θ( f : 解 1 1
?i ?

? soc θ nis = ) ?, θ( f )1(

1? xd xd ? 1 ∫ 1? l ? ? 0 = ]xd )1 ? x ( 1? l 6 ) 1 ( x x 6[A ? = 2 2 l l d 1 d 1? l 1? l 1? 1

k2 = l当,! l 2 + l2

? 1 + k2 = l当,0 ? !)2 + l( ! l 1+ l2 ? = lc ∴ ? !)2 ? l( 1 + l2 ?

l 1

)1 ? x ( 1? l
2

1? l

xd 1? x 6 ∫A ? d 1 项二第

] )1?( + 1[! l 2)2?(A ? =
l l

1? 1

l

)1 ? x ( l
2

xd ) x3 ? 1(A ? 项一第 d 2
l

1 + k2 = l当,0 ? ?= k2 = l当,! l 2+ l2A ?

1? 1

} l)1 ? x ( ) l(] l)1 + x ([ llc + ? + ) l(] l)1 ? x ([ l)1 + x ( 0lc{ = xd 1? xd 1? ] )1 ? x ( )1 + x ([ l = )1 ? x ( l 2 d 1 l d l 1
l l l

)零为余其(! l l)1 ? 1?( llc +! l l)1 + 1( 0lc =

] l)1?( + 1[! l l2 =

4 2 1 ? ) ?2 i ? e + ?2 ie( θ 2 nis + ) θ 2 soc ? 1( = 1 1 2 θ nis = 1 ? ? 2 soc θ 2 nis = ) ?, θ( f )3( 1? ?2 soc + 1 2 k)1 + k()1 ? k2()1 + k2 ( 1= k
2, k 2

Y

2 , k 2Y π4

π)1 + k4(

)1 + k4 ( = k )1 + k()1 ? k2()1 + k2(4
?2 i
2p e) θsoc( k2

2 ∑ = ) ?, θ( f ∴


1 + π4 !)2 ? k2 ( 2, k 2 Y = π4 !)2 + k2(
m

?mi

π4 !) m + l( e) θsoc( lp = ) ?, θ( mlY用利 1 + l2 !) m ? l(
?2 i

k )1 + k()1 ? k2 ()1 + k2 (2 1= k ∑ e) θsoc( p = )1 + k4( ∞
k2 2 k2 2

e θsoc = ) ?, θ( f ?2 i )1 ? k2 ( k2 )1 + k2()2 + k2( 1= k ∑ )x ( p = )1 + k4 ( ∞

1≠ k )1 ? k2 ( k2)1 + k2()2 + k2( )x ( p 2 )1 + k4 ( ∑ = 1 ∞ k2 2 k2 2

1= k 2= l ! )2 + k 2 ( )x ( p 2 )1 + k4( ∑ = )x ( lp lc ∑ = x ∴ 2 ! )2 ? k 2 ( ∞ ∞

) θsoc( lp lA ∑ = θ2soc:得)3(由)2(
0= l ∞ 0= l ∞

) θsoc( lp r lA ∑ = ) θ, r ( 1u ∴,0 = lB得)1(由)1(
l

? 0= l r ? l ) 1+ l + r lc( ∑ = )0 , r ( 2 u : 外球 ) θsoc( P ? l l D ∞ ? 0= l ? r ? 1+ l l l 1 ∑ + r A = θ ) θsoc( P ) ( ) , r ( u : 内 球 lB l ?


数系定.3

? θ2soc=) θ,1(u:系关值边 ? ? 0为定规,限有) θ,∞( 2 u ? ? 限有) θ,0( 1u : 件条界边 ? 1 > r ,0 = 2 u 2 ? ,1 < r ,0 = 1u 2 ?:程方?

式形解通与性称对.2

题问解定.1?解 。布分 4.3.11

势电的间空外内球位单求? θ soc = ) θ,1( u 为布分势电上面球位单若 2 51 54 9

2? , 2Y

51

π2

+ 22Y

π2

+ 02Y 5

π4

? 00Y

π61

?=

2? , 2Y

π23 1
?2 i ?

51

4

+ 22Y

π23 1
?2 i

51

4

+ 02Y

4 e θ 2 nis + 1

4 6 3 e θ 2 nis + )1 ? θ 2 soc 3( ? ? = 1 1 2

π61 1

6

? 00Y π4

3 ?= 2

0= l 3 3 ) θsoc( 0p + ) θsoc( lp = θ soc = ) θsoc( lp lD ∑ 2 1 2 ∞

γ 3 r 3 ) + ( = 1 ? θ 2 soc 3 1 1 2 2 r3 r3 ) ? θ 2 soc ( 3 + = 1 3 2 1 r3 r3 ) θsoc( 2p 3 + = 2u ∴ 2 1 3 3 )2 ,0 ≠ l(0 = lD , = 2D , = 0D 2 1 : 得性交正}) θsoc( lp {由

:得)3(由)4( r 0= l ) θsoc( lp 1+ l ∑ = 2u ,0 = lC得由)3( lp ∞ 3 3 3 3 r) ? θ 2 soc( + = ) θsoc( 2p 2 r + = 1u ∴ 2 1 1 2 1 3 3 )2 ,0 ≠ l(0 = lA , = 2 A , = 0 A 2 1

) θsoc( 0p

:得性交正}) θsoc( lp {由 0= l 3 3 ) θsoc( 0p + ) θsoc( 2p = ) θsoc( lp l A ∑ ∴ 1 2 ∞ 3 3 ) θsoc( 0p + ) θsoc( 2p = θ2soc ∴ 1 2 2 2 2 ? θ2soc = )1 ? θ2soc3( = ) θsoc( lp又 1 3 1

0= l r ) θsoc( lp ) + r lA ( ∑ = ) θ, r ( u B l ∞ 1+ l l

数系定.5

? ? 限 有0 = ) ? ,0 ( u ? ? 2 ? ? π ≤ θ < , 0 u?? ? π 0 ? ? r u θ ) , ( = 2 ? ? ; ≤ θ ≤ 0,0u ? ? ? π ? 2 ≤ θ ≤ 0 , 0r < r ,0 = u 2 ? ? ?

式形解通及性称对.4

π

?为题问解定的新.3 。零为度温面底证保能才样这?题问球全为化题问球半把?拓延奇作将.2

? 2 0 = ) ,r( u ? π ? 0 0 ? θ u ) , r ( u = ? 2 ≤ θ ≤ 0 , 0r < r , 0 = u 2 ? ? ?

π

: 为 题 问 解 定.1
:解 。布分度 温定稳的球半该求试?零为度温持保面底的球半? 0

u 度温的定一持保面球的球半一 5.3.11

? 0r !!)2 + n2( ? 1 + n2 = l , )1?( 0 1+n 2 !!)1 ? n2 ( n u)3 + n4( ? ? = 1+ n 2A ? ? ?
0r 2 1 = l, 0 u3

0 = L A时数偶及0 = l当?见可此由
xd )x ( lp ∫] l)1?( ? 1[ 0
0 1 0 1 0r 2 l = lA ∴ u)1 + l2( 0

xd)x ( lp
2



l

)1?(? = xd)x ( lp

1 0

∫ ? = xd)x ( lp

1?



xd !l 2 l )x( lp )1?( = )1? x( l = )x( lp用并?x替代x ?用项二第 d 1
l l l

]xd)x( lp
π

0 2 2 r 0 l ] θd θnis) θsoc( lp 0u? π∫ + θd θnis) θsoc( lp 0u 2 ∫[ l = A 1+ l2 1? 0

0∫ ∫ l0r2 = l 1 + ) ( ? [ x d x p 0u) 1+ l2(

π

θd θ nis ) θsoc( lp ) θ, 0r( u
l

一法方

) θsoc( lp 0r lA ∑ = ) θ, 0r ( u
0= l ∞

π

0 0∫ l r2 = lA ∴ 1 + l2

) θsoc( lp r lA ∑ = ) θ, r ( u : 到得以可)1(由)2(
0= l ∞ l

0 = lB得限有) θ,0( u由)1(

? 限有)0( u ? 0 0 ? u r u ) ( = ? 0 r < = ?? r u , 0 2

为式形解通.4

是题问解定的新.3 。热绝面底证保即?面底过穿流热有没证保能才?时布分 度温的称对全完个一有球半上与球半 F 当为因?题问球全为化题问球半把?拓延偶作将.2

? 2 0 = ) , r( θu ? π ? 0 0 ? u ) , r ( u θ = ? 2 ≤ θ ≤ 0 , 0r < r ,0 = u2?? ?

π

:为题问解定.1

0r )!n()1 + n ( 2 0=n 1+n 1+ n 2p ∑ ) ( 0u 2 = ) θ1r( u ) θsoc( 1+ n 2 r !)n2()3 + n4 ( n )1? ( ∞ 0 r ) ! n ( ) 1 + n ( 2 1+ n 2 2 1+n = 0 ! ) n 2 ( ) 3 + n 4 ( )1 ? ( u n 0r ! n 2 ! )1 + n ( 2 n 1+n 1+ n 2 = 0 u ) 3 + n 4 ( )1 ? ( !)n2( n

:解 。布分度温定稳内球半求试?热绝面底球半若?中题上在 .6.3.11

0r ! ! ) n 2 (!! ) 2 + n 2 ( 1+ n 2 = !! ) n 2 (!! )1 ? n 2 ( 0 u ) 3 + n 4 ( n )1 ? (

0r !!)2 + n2( )1? ( 0 1+n 2 = 1+n 2A !!)1 ? n2( n u)3 + n4 ( 0r 2 = 1A?即 u3 0

? ) θ ,?( 1u为记简可?关无 ?与u于由?示表 ) ? , θ ,?( 1u 势电内壳?一??解

题问解定 )1(

?布分势电的外内壳算计别分试? θ nis 0u 为布分势电的上壳球的 0R 为径半 8.3.11 2 0

? soc θ nis

R

) θsoc( p R)?m nis mlF + ?m soc mlE(∑∑ = )?, θ, 0R(u∴

R

= ) ? , θ ,R ( U
0=m 0= l ∞ ∞

l m

0 l

ml

F = lcmB , mlE = lcmA令 ,0 = lD得限有)?, θ,0(u由)1(
1+ l l

数系定.3

0=m 0= l R ) θsoc( p ) + R lc()?m nis mB + ?m soc mA (∑∑ = )?, θ,R(u D l ∞ ∞ l m

? 限有) ?, θ,0( u ? ? soc θ nis = ) ?, θ, 0R ( u? ? ? 0 = u2 ?

?为式形的解.2

?为题问解定.1 解 。布分
0

势电内球求? ? soc θ nis = ) ? , θ, 0R ( u 布分势电上球半的 R 径半在 7.3.11 。关无均 ?, θ, r与0u ≡ ) ? , θ, r( u ∴

得0u = ) 0r( u由)2( 0 = B得?限有)0( u由)1(

A = ) 0r( u = 0u A = ) r( u

r + A = ) r( u B

数系定.5

.布分势电 的间面球两求 ,数常为2u , 1u , 0u 中其, θ soc 2u + 1u 为势电面球外, θ soc 0u 为势电的面球内 知已,点原标坐为心球以,b为径半外 ,a 为径内的面球心同 9.3.11
2

为题问解定)1( :解

0

R>R

? ? ? ) θ soc ( 2P R ? R ? 0u 3 = ) θ ,R ( 2u R 0R ? 2 ?
3 0 3

得,式)11(入代

) 2 ,0 ≠ l ( 0 =

l

B

3 0R 0u ,2 ? = 2B 2
0

, 0u 0R

3 = 0B 2

)21(

) x ( lP
1+ l

R

l

? 0u ?) x ( 2P ? ) x ( 0P ? B∑ =?
0= l ∞
0= l ∞

性交正 ) x ( lP 由

得 ,式上入代 ) θ , 0R ( 2u 将,数系定)3(

3 2

)11(

) θsoc ( lP
1+ l

R

l

B ∑ = ) θ,R ( 2u

式形的解通)2(

)01( )9( )8(

? 0 = ) θ ,∞ ( 2 u ? ? ? ) θsoc ( 2P ? ) θsoc ( 0P ? ? 0u 3 = θ nis 0u = ) θ, 0R ( 2u? ? 2 ? 2 ? 0 = 2u ??
0

R>R

2

题问解定)1(

0

R<R

. ) θ,?( 2u为记简可?关无 ?与u于由?示表 ) ?, θ,?( 2u 用势电外壳)二( ? ? 0 ? ) θ soc ( 2P 0u 2 R ? 1? 0u 3 = ) θ ,r ( 1u R ? 2 ?
2

得,式)4(入代

)6 (

) 2 ,0 ≠ l ( 0 =
0= l ∞

l

A

,

0 2 0

R3 ? = 2A u2

, 0u

性交正 ) x ( lP 由

3 = 0A 2

)5(

?) x ( P ? ) x ( P ? ? ) x ( p R lA ∑ = ?
l 0 l
2 0
0= l ∞

0

u

式上入代 ) θ, 0R ( 1u 将,数系定)3(

3 2

)4(

) θ soc ( lp l R lA ∑ = ) θ ,R ( 1u

为式形的解通)2(

)3( )2 ( )1(

? 界有 ) θ,0 ( 1u? ? ?) ?0 3 1 ? (2 ) (0 ? ) 0 (1 ? ? θ θ θ θ ? = = s o c P s o c P u n i s u , R u 2 2 ? 0 = 1u 2??
0

R<R



0 = )x ( y λ + )x ( y

)x ( ρ )x ( ρ )x ( ρ ? ) x ( 'y + ) x ( "y )x ( Q )x ( k )x ( k
'


:解



0 = ) x ( y ) x ( ρλ + ) x ( y ) x ( Q + ) x ( y ) x ( k + ) x ( y ) x ( k
' ' "

为写改可)2(程方

)2(

b<x<a b<x<a

? xd ? xd ) x ( k? ,0 = ) x ( y ) x ( ρλ + ) x ( y ) x ( Q ? ? ? ) x ( y? ? ? 程方型刘-斯为化

)1(

,0 = ) x ( y λ + ) x ( y ) x ( c + ) x ( ' y ) x ( b + ) x ( " y ) x ( a 式形遍普的程方分微常次齐形线阶二将试 1.4.11

. 解有即 , ) θ ,R ( u 入代数系将? 0 = lB = lA 故?合巧会不般一 b 1+ l b l 1 0= a a l 1
l

) b ? 5 a (3 5 2 = 2B u b a2 3 5 b ? 3a 0u 3 ? = 1B b a 3 2 ? ? ? 3 + 1u ? b ? a = 0B ? 2u ? ba

式列行数系是件条的解零非有?程方立联的 lB与 lA 自来式一后最 )3 ≥ l(0 = lB = lA ) b ? 5 a (3 2u 5 ? = 2A b2 3 b? a , 0u 3 3 = 1A a 2 ?3 ?b? a ? = 0A , ? 2 + 1u ? ? u ? b 得之解

b b b b 3 3 3 2 l )3 ≥ l ( 0 = 1+ + lb lA , 2 + b 2A = 2 ,0 = 1 + b1A , 2 + 1u = 0 + 0A lB B 2 u2 B u B ? R ? l 3 3 得, ) θ soc ( lP? 1+l l + l R lA ? ∑ = ) θ soc ( 2P 2 + 2 + 1u 由 ? ? u2 u B R a a ) 2 ≥ l ( 0 = 1+ l + R lA ,0u = 2 + 1aA 0 = + 0A 1B lB 0B l 由 ? R ? l 得 , ) θsoc ( lP? 1+l l + l R lA ? ∑ = ) θ,a ( u = ) θ soc ( 1 P 0u ? B ?

? ? l ? 1+ l R + R lA ? ∑ = ) θ,R ( u ) θsoc ( lP? lB l ?

.数系定)3(

为式形的解通)2(

? 3 3 ) θsoc ( 2P + + 1u = θ soc 2u + 1u = ) θ,b ( u? 2u2 2u 2 ? ) θsoc ( 1P 0u = θsoc 0u = ) θ,a ( u? ? 0 = u 2?? ? b<R<a

式形下如成写改可程方刘-斯上际实 ,例特个一的题问值征本符算米厄中学力子量是题问值征本刘-斯 ,明证以可
.数函征本的λ值征本于属的 F 为称 ) x ( λ ψ,值征本的 F 为称 λ 中式
∧ ∧



) x ( λ ψλ = ) x ( λ ψ F


为程方值征本的 F 符算米厄


:解

是围范分积,数函波的态状统系观微述描是 ) x ( ψ与 ) x ( ? 中其.符算米厄为 F 称则


.例特个一的题问值征本符算米厄中学力子量是题问值征本刘-斯?明证试 .域区个整的化变 x 量变



? ? ? ? ∫ ) ( ) ( ) ( )x ( *?∫ ? xd ? x F ? x ψ = xd x ψ F ∧ ∧
* ∧

足满 F 符算若,是义定的符算米厄

.号符算运是就符算谓所.题问值征本的符算米厄到遇常经,中学力子量在 3.4.11

.明证以可也似类,件条界边次齐为端一另,件条界边然自为端一的 ]b , a [ 间区若 .零为式)63(故 ,0 = ) b ( k = ) a ( k 有件条界边然自 )4( ) b ( ny ,0 ≥ ) a ( ny ,0 > h ,0 > ) x ( k于由

? ? ? ? n n n n n n ? 2 ) b ( y ) b ( k + 2 ) a ( y ) a ( k ? h = ?) b ( yh? ? ) b ( * y ) b ( k ? ) a ( yh ) a ( * y ) a ( k
2 2

.零为于等或于大其知式)63(入代 ,0 ≥

得式)63(入代 , ) b ( nyh ? = ) b ( ny , ) a ( nyh = ) a ( ny 有件条界边次齐类三第 )3( .零为其知式)63(入代 ,0 = ) b ( y ,0 = ) a ( y 有件条界边次齐类二第 )2(
' ' n ' n '

n y ,0 = ) a ( n y有而因 ,0 = ) b ( n y ,0 = ) a ( n y 有件条界边次齐类一第)1(?解 0 = )b( * *

.零于小或于大其知式)63(入代

ny ) a ( k + ) b ( ny ) b ( ny ) b ( k ? 0 ≥ ) a ( n' y ) a ( * ' * 有均?下件条界边然自及件条性期周?件条界边次其在?明证试 2.4.11 .程方型刘-斯的应相式)1(为即?式)2(入代式⑤?④及以?式一第的式③将



)x ( a ) x ( k? = ) x ( Q )x ( c
即,

)x ( a )x ( k = ? 为比之式三.一第的式③ )x (c )x ( Q



xd

) x (a ∫ ) x (b

e = )x ( k



)x ( c =

)x ( ρ ? )x ( Q

)x ( a )x ( k 得, 分积x 对边两, 为比之式二.一第的式③ = )x ( b )x ( k ' )x ( ρ )x ( ρ , )x ( a = )x ( k )x ( k
,)x ( b =
'

得可,较比式)1(与式上将

.题问个这解理入深在时课学力子量学在议建,证得论结述上,符算米厄是 L 见可




? ? a a∫ ? ? ∫ ) ( ) ( ) ( ) ( xd ? x L x ? ? * ? x ψ b = x d x ψL b ∧ ∧
*


证可件条界边的题问值征本刘-斯用利 式形的同相全完②与为化可程方刘-斯则



)x( y λ = )x( y L



? xd ) x ( ρ ) x ( ρ ? xd + ? ) x ( k? ?=L ? ? 1 )x ( Q ? d ∧

L 符算入引




)x ( y λ = )x ( y ? ?

? ) x ( ρ ? xd ? ? ? xd ) x ( ρ ? + ? ) x ( k? ?? ? d ? ? 1 ? ? ? )x ( Q

。形情 0>k 及 0<k 论讨别分要?理定数留用应为

xd

2

x + a ∞?
xki ?

e

2



∫ = xd
2

xki ?

e) x ( f

∞? ∞

∫ = ) k(c ?解

。换变叶立傅的?0>a?

x + 2a = ) x ( f 数函求?3.1.21 1

2

) ωi + α( + ) 0 γπ2 (
2 0

γπ2

=

td

}

? α+ ) ω? 0 γπ 2 ( i? ? t?

?

e?

? α? ) ω? 0 γπ2 ( i? ? t? 0 ∞

e

{ ∫ i12 =
0 ∞ tωi ?

td tωi ? et 0 γπ2 nis t α? e

∫ = td) t( f

e

∞?

∞+

∫ = ) ω( f

?

ωd t ωie) ω( c

∞?

∞+

∫ π2 = ) t( f ?解
1

。 ) ω( f 换变叶立傅的
?

0< t 0> t

0? ? = ) t( f t0 γπ2 nis t α? e?

ω ? 0 γπ2 ω + 0 γπ2 + = T) ω ? 0 γπ2(nis T) ω + 0 γπ2(nis
0 0 0 T T?

波弦正尼阻求试.2.1.21

0

td] t) ω ? γπ2(soc + t) ω + γπ2(soc[ ∫ 2 = td ) t ω nis i ? t ω soc( t γπ2 soc ∫ = ∫ = ) ω(c td t ωi ? e) t( f
∞? ∞+

. ) ω( c 换变叶立傅的

T≥ t当 T< t当

0? ? = ) t( f 列波限有求试?1.1.21 t0 γπ2 soc?

ωd t ωie) ω( c

∫ π2 = ) t( f ?解
1

∞+

∞?

T+

法换变分积

章 二十 第

] 2 x β nis[ Fi + ] 2 x β soc[ F = ] 2 x β nis i + 2 x β soc[ F = ]

2 ? ?入代 b ? = b将(0 < b , ? ? π ? x 0∫ 0 = b ,0? = xd xb nis ∞ ? 2 0 > b, ? π?

? k <a且0<k或0>a>k当 ,0? 2? 0>k=a当? ? = ) k ( f π? ? ? k >a且0<k或0>k>a当? π?

。换变叶立傅的 x β soc = ) x ( f 数函求 .5.1.21
2

2

x βi

e[ F 理定性线由?解

xd

?理定数留由 x x 0 0∫ ∫ xd + xd = x ) k ? a (nis ∞ x ) k + a (nis ∞ x x ∞? ∫ 0 ∫ 2 = xd) xk nis i ? xk soc( = xk soc xa nis ∞ xa nis ∞
x d xki ? e x ∞ ? ∫ = xd xki ? e) x ( f xa nis ∞
∞? ∞

∫ = ) k( f ?解
?

。数实正为 a?换变叶立傅的

x = ) x ( f 数函求 .4.1.21 x a n is

a k?

e

a

π

= ) k ( c ?合综

a a x + 2 a ∞?∫ = e = e = )x ( d 2 ak ? π a k? π e ∞ xki x + 2 a ∞?∫ x + 2 a ∞?∫ 2 )x ?( d 2 = = ) k (c x d e ∞ x 替代x ?用 e ∞ xki ?
xki ai = z 2

a k?

a ai2 e = i π2 = e

) ai( Fs eR i π2 = xd 2

π

z + 2a
z ki

0 > k )2 ( i π2 =

ai k i

x + 2 a ∞?∫ e
x ki

e



0 < k)1(

= ) k (c

kd}xk nis ] ξd ξk soc ) ξ( f

∞? ∞

∫ π[ + xk soc ] ξd ξk soc ) ξ( f ∫ π[{ ∫ = )x ( f
∞? ∞ 0

1

1



?证

kdxk soc ) k ( cc

0





2
0

? π = )x ( f ? ? ? ∫ = ) k ( c?
c

xdxk soc )x ( f kdxk nis ) k ( sc




0



2
0

? π = )x ( f ? ? ? ∫ = ) k ( c?
s

xdxk nis )x ( f



。换变逆和换变弦余正叶立傅出导试.6

2
4

π

β 4 β4 ) ? (soc = π k
2

π

i

e = ξ d ξie



0

∫用

π

2

] e

e+
ξi

ξd

2

ξi ?

e

∞? ∞



β
1

4 β4 ) ? (i π 2k

4 β4 ) ? ( i? π 2k 0 ∞

2 β 2 e[ = *) π 1 π
ξi ?

4

π

i

e(

β4
2

e

β
1

k

i

+

2
4

π

π

i

e

β4
2

k

i?

e

β

1

=

β4 i k
2

+ ξd e
2



e

∞? ∞



β4 i? k
2

β β e = d ξ
1

2

β4 i k
2

2 β 2 ∞? e + d e ∫ e = ξ 2 ξi ∞ β 4 i ? 1 1
2

k

xd

β4
2

k

i+ 2 )

β2
k

+x ( βi

∞? 2 ∞? 2 ∞? 2 ∞? 2 e ∫ + xd e ∫ = xd xki? x βi ? e ∫ + xd xki? x βie ∫ = β4 β2 1 2 2 ∞ 1 ∞ 1 i? 2 ) ? x ( βi ∞ 1 ∞
2

k

k

xd xki ? e 2 x β soc

∞? ∞

∫ = ) k( f

?

?二法方
。果结的同相到得以可也分积接直

4 β4 β β ) ? (soc = ] 4 β4 e [eR = ) k ( f ∴ k π ) ? ( i? π ?

π

2

π

2

k

4 β4 ) ? ( i? π 2k

e

β = π

2
4

e2

π
xd )
2

π

i

β4
2

k

i?

β β ∞? e = d ξie ∫ β 4 e = ξ ∞ i?
1
2

β4
2

k

x βi

e ( F eR = ] 2 x β soc[ F = ) k (c由?一法方
k

i? 2)

β2

e

∞? ∞

βi ? x?

∫ = xd

xki ?

e
2

x βi

e

∞? ∞

2

k

∫ =]

2

x βi

e[ F

2

a + 2k = a

]

a + ki a ? ki 2 0 ) a + ki(? a ? ki 2 [ = ] ? [ = ? e x ) a ? ki ( e 1 1 1 1 x ) a + ki ( ?


xd] x ) a + ki ( ? e ? x ) a ? ki ( e[ xdxk soc xa ? e
2 ∞ 0

0



∫2 =
1
c

a+ k a ? 2 ) ki( 2 = 2 ?= k k

∫ = ) k( c

]

a + ki a ? ki i2 0 ) a + ki(? a ? ki i2 ? [ = ] ? [ = 1 1? 1 e x ) a ? ki ( e 1 x ) a + ki ( ?


xd] x ) a + ki( ? e ? x ) a ? ki (e[ xdxk nis xa ? e
∞ 0

0



∫ i2 =
1
s

∫ = ) k( c

。零为不均sc及cc则?数函偶是不也数函奇是不既)x ( f ?解
kd]xk nis ) k ( sc + xkoc) k ( cc[
0 ∞

∫ π = )x ( f ?一?
2
xa ?

。0>a?中其?换变弦余正叶立傅

e = ) x ( f 求?7
0 ∞

kdxk soc ) k( cc



2
0

? π = )x ( f ? ? ? ∫ = ) k ( c?
c

xdxk soc )x ( f



) k ( cc

π
2

=)k(A令

0 = ) k ( sc ? ? ?



ξd ξk soc ) ξ( f

0



? ∫ π = ) k(A ? 2

数函偶为)x(f 若 ?2?

kdxk nis ) k( sc

0





2
0

? π = )x ( f ? ?
s

xdxk nis )x ( f



∫ = ) k ( c? ?

则 ? 0 π ξd) ξ( k nis ) ξ( f ∫ = ) k(B ? π ? ∞ 2 ) k( sc =)k(B令 ? 0 = ) k (A ? 2
数函奇为)x(f 若 ?1?

ξd) ξ ? x ( 2 f ) ξ( 1f

∞? ∞

∫ = )x ( f
2

*

1f ?证 )x?

1f 证试?01.1.21 ) x ( 1f * ) x ( 2 f = ) x ( 2 f * ) x ?

? ? ∞?∫ = xd? ? e ) x ( f e? ? ∞?∫ = ? ?) x ( f e? ?F ) 0k ? k ( f = xd? e )x ( f ? x ki ? x ) 0k + k ( i ? x 0ki x 0 ki
? ∞

. ) 0k ? k ( f = ? ?) x ( f
?



x 0 ki

e? ? F?理定移位明证 9.1.21

:解

xπ xi xi π2 ( = ? ? = x a ni s e x ai e 1 x ai

a?

a xki

xi π2 ∞? π2 = kd xkie ∫ = 1 e 1 ∞
∞? ? ∞

k d x ki e ) k ( f
。)x(f 求

a > k ,0? ? = ) k ( f 知已?8.1.21 ,1? ? a< k
.式二第明证可理同

∫ π2 = ) x ( f ?解
1

k d ) k ( s 2 f ) k ( s 1f
? ? ∞



0

∫2
∞ 0

π

=

? k d ? k d x k nis ) k ( s 1f ? ?

? 0∫ ? ) x ( 2f ?



= x d ) x ( 2 f ) x ( 1f



0



然亦 ) k ( c2f与 ) k ( s2f,换变弦余和换变弦正叶立傅的 ) x ( 1f是别分 ) k ( c1f和 ) k ( s1f
? ? ? ?





k d ) k ( c 2 f ) k ( c1f
? ?

∞ ∞ 0

0

∫2
π

kd ) k ( s 2 f ) k ( s 1f
? ?

∫2

π

= x d ) x ( 2 f ) x ( 1f

= x d ) x ( 2 f ) x ( 1f

∞? ∞



0

∫ ∫

为理定积乘的换变弦余叶立傅与换变弦正叶立傅明证试

.7.1.21 .证可分

积次两 过通 ? 证 得 题 本 则 ?换 变弦 余 叶 立 傅 足 满

k?

e 明 证 即 亦 , k ? e = ) k ( C f 明 证要 只? 见 可
?
0

π

xdxk soc ) x ( c f ∫ = ) k ( C f 2 ∞ ? x +1 = ) x ( Cf 义定的换变弦余叶立傅由?数函偶是 2 1 2 x + 1 0∫ 明证试 6.1.21 1 ∞ . 0 > k 知 已, k ? e

π

= xdxk soc

2



π> k π≤ k ≤ 0

0? ? = ) k ( s f 道知于当相?演反的换变弦正叶立傅求是上际实题本 k nis? ?

xdxk nis ) x ( f

0 ? kdxk nis ) k( s f ∫ = ) x ( f ? ? ∞ ? 0∫ π s = ) k ( f? ? ? ∞

2

π> k π≤ k ≤ 0

0? ? = xdxk nis ) x ( y 0∫ 程方分积解求.21.1.21 k nis? ∞

:为换变弦正叶立傅?解

]) x ( ? * ) x ( y [ F = ] 2

] )a ? b( + 2 x [ πb 2 = )x (y 1 π b )a ? b( + x b 2 ]2 [F = e = ]) x ( y [ F 1 a ? b a ) a?b ( k ? a a + 2x a [F e =]2 ak? π 1 b + 2x b e =]2 [ F由 bk? π 1 a + 2x [ F]) x ( y [ F = ]) x ( ?[ F]) x ( y [ F = 1 ]2 a + ) ξ ? x( b + 2x ∞ ? ∫ [F = ] 2 [F 1 ξ d) ξ( y ∞

。换变叶立傅值取边两程方对

。积卷的

2

a + 2x = ) x? ?与) x ( y 是分积?解 1

。1 < a < 0 ,

2

b+ x a + ) ξ ? x ( ∞?∫ 2 程方分积解求?11.1.21 = 2 1 ξd) ξ( y ∞ )x ( 1f *)x ( 2 f = yd ) y ? x ( 1f ) y ( 2 f
∞? ∞

) yd ?() y ( 2 f ) y ? x ( 1f



∞? ∞

ξ? x = y令
∞? ∞

= )x ( 2 f *)x ( 1f
2 *

∫=

ξd) ξ ? x ( 1f ) ξ( 2 f

∫ = )x ( f

)x ( 2 f

。 ] t ka nis[ F 及 ] t ka soc[ F 出求可理定数留用利

] t2 ka nis[1? F * ]) k( ? ψ[1? F ? ] t2 ka soc[1? F * ]) k( ? ?[1? F =

2

1?

2

1?

] t2 ka nis ) k( ? ψ[1? F ? ] t2 ka soc ) k( ? ?[1? F = ) t ,x ( u

ψ? t2 ka soc ) k( ? ? = ) t , k( u t2 ka nis ) k( ? ?

换变逆叶立傅.?3?

?解得可。题问值初的程方分微常解求? ?2?

? ψ2 ka ? = )0 , k( tu ? = )0 , k( ? ) k( ? u? ? ,) k( ? td ? 2 ? ) t , k( ? u2 d ? 0 = ) t , k( u ? 4 k2a +

?换变叶立傅作件条始初及程方对.?1? ?解

? = ) t ,x ( u 求

)x (′′ ψa = )0 ,x ( tu 0 > t ,∞ < x < ∞?
法换变叶立傅 2. 2 1

0=

) x ( ? = )0 ,x ( u? ? u2 a + ttu?
xxxx

?题问解正为结归可动振由自的下度速初和移位初在梁长限无 1.2.21

]

0= k

x ?1 2 = x π nis 1+ x 1? x 2 1+ x 1? x 2 ? [ =] ? [ = x π nis x π nis ? 1 )1 + x ( π nis )1 ? x ( π nis 1

π

]

1? x 2 1+ x 0 2 ? [ = kd])1 + x ( k soc ? )1 ? x ( k soc[ ∫ = )1 + x ( k nis )1 ? x ( k nis 1 ∞ 1 kdxk nis k nis
0 ∞

∫ = kdxk nis ) k( s f

0

? ∞

∫ = )x (y

2
4

0

π

π

i

e = xd e
2

xi







ud

2 ui

e

0





*2

ta 4 2x ∞? ∞

i?

e eR

ta π2 1

=

ta ud

2 ui

e



ta 4 2x

i?

e eR

π2 = 1 π2 = 1

k d ta 4
2x

i ? 2)

ta 2 x

+ k ta ( i

e

∞?∫ eR ∞

kd ) kx + t kd ] e[

2 ka ( i

e e

∞?∫ eR ∞? ∞ 2 ∞

π2 = 1

xki t2 kai

e



π2 eR = 1
1?

t 2 k ai

1?

F eR = ] t ka soc[

F

ta π2 2 ta 4 ta 4 ∞? ta π2 2 ? ] nis+ soc[ ) ξ( ψ 1 ) ξ? x ( ) ξ? x ( 1 ∞ 2 ta π2 2 ta 4 ta 4 ∞? ta π2 2 = ] nis+ soc[ ) ξ( ? ) ξ? x ( ) ξ? x ( 1 1 ∞ 2
2 2

∫ ∫

?注附

ta π2 2 ta π2 2 ta 4 ta 4 ta 4 ta 4 ) nis+ soc( *) x ( ψ?) nis+ soc( *) x ( ?= ) t, x ( u x x x x 1 1 2 2 2
2

ta π2 2 ta 4 ta 4 = ] t ka soc[ F ) nis + soc( 2 1? x x 1 2
2

ta π2 2 ta 4 ta 4 =] t2 ka nis[ 1? F ) nis? soc( x x 1 2
2

?3

ξd

t2 a 4 ? ) ξ? x ( 2 ? ?

e) ξ( ? e3

∞? ∞



3

) t π a2 ( 1

) t π a2 ( 1

=

?注附

?= * )x ( ? ?

2

t2 a 4 ? z + 2 y + 2x

?[ F = ] t k a ? e[1? F * ]) t , k ( ? 2 2 ? 1? ] e) t , k ( ? u ?[ F = ]) t , k( u[ F = ) t , x ( ? t k a? ? ? 1? ? 1?
2 2

得?演反 ?3?

t2 k2a ?

? ) k ( ? = )0 , k ( u ?? ? ? ? td ? ? 0 = ) t , k(u ? k a+ ) t , k (u ? d? ? 2 2 ?
0> t ∞< z , y , x <∞?

解得?题问值初的程方分微常解求 ?2?

e) k ( ? = ) t , k (u ? ? ? ?

。换变叶立傅重三件条始初及程方对 ?1? ?解

) z , y , x ( ?=) 0, z , y , x ( u? ? 0=) zz u+ yy u+ xx u ( 2 a? tu?

ta π2 2 ta 4 ta 4 ) nis? soc( =] t2 ka nis[ 1? F?理同 1 x x 2 2 ta π2 π2 ta 4 ta 4 ) nis+ soc( = 1 x x 2 2 2 2 ta π 2 ta 4 ta 4 ) nis soc ( + = 1 2x 1 1 x 2 ta π 2 ta 4 4 ) ? (soc = x π 1 2 ta π2
4

?为值初的程方导传热维三解求?2.2.21

π

i



ta 4 2x

i?

e eR

1

=] t2 ka soc[ 1? F

界有 ∞→y ) y , k(w ? ,) k( g ? = )0 , k(w ? yd 2 0 = ) y , k(w ? ) ki( + ) y , k(w ? 2d
2

) y , k(w ? 数函解求 )3(

0=

∞→ x

。换变叶立傅的 x 量变于关作件条界边和程方对.?2? 。解值边的)y,x(w 解求

) y ,x ( y? u 关无y与0 = ) y ,x ( u ,∞ → x 当

? 0 = ∞→ x ) y ,x ( xw ,0 = ∞→ x ) y ,x (w ? ? ∞→ y 。界有 ) y ,x ( y u = ∞→y ) y ,x (w ? ? )x ( g = )0 ,x ( y u = )0 ,x (w ? ? y? = yyw + xxw ? ? ? 0 = ) yy u + xx u(
a y

二第的程方氏拉样这。数常意任为a中其, ηd ) η, x ( w

。题 问 值边 一 第为 变 题问 值 边

∫ = ) y , x ( u则

? ? 0= ∞→ x )y,x(x? u 0= ∞→ x ) y , x ( u? ∞→ y 界有 ) y , x ( y u,) x ( y =) 0, x ( y u? ? 0= yy u+ xx u? ?
e

?解 ) y , x ( yu= ) y , x ( w 令?1?

。题问值边的程方氏拉上面平半在解求 3.2.21

) t π a2( 1

2 z + 2 y + 2x

t2 a 4



e

∏ 3) π2 ( =
1= α 3

?

t a4 2 ? j 2 x

1

j kd

e

1= α ∞?∫ ∏ 3) π2 ( = j kd ∞ 3

t2 a 4 t 4 ? 2) ? j kt a ( ? j jx2 2 x

) π2 ( ?∫ 3 k d kie t k a ?e ∞ ∞ 1 =] t2 k2 a ?e [1? F x ?3 ? ? 2 2

1

j x j ki t j k a ? 2 2

e

e

1= α ∞?∫ ∏ 3) π2 ( = ∞ 3

1

) x ? ξ ( + 2 η a∫ ∞ ?∫ π2 2 ξ ξ ) ( g d = ] 2 ) x ? ξ( + 2 η[ d y 1 ∞

) x ? ξ( + a ∞ ? π2 ∫ 2 ξd 2 ξ n l ) ( g = ] 2 ) x ? ξ( + 2 y [ d 1 ∞

题问动振由自的弦界无半的定固端一解求 4.2.21

ηd] ξ d

) x ? ξ( + 2 η ∞ -∫ π a∫ 2 [ = η y ) ξ( g ∞

ηd) η,x ?w

a y

∫ =)y,x(u

)y,x(u 求)y,x(w 由.)5(

∞? ∞

)x ? ξ( + 2 y ξd 2 ) ξ( g
k d)x ?
ξ( ki ? y k ?

∫ π = )y ,x (w
y
0

?得式原回代

) x ? ξ( + y 2
ξ( ki ? y k ?

2

y

= 由 = = = w

e



0



+ k d ) x ? ξ ( ki ? y k e

∞?



= x d)x?

e

∞? ∞



π2 ∞? ∞? ∫ ∫ kd e d ) ( g ξ ξ ) x ? ξ ( ki ? y k ? 1 ∞ ∞ π2 ∞? ∞? ∫ ∫ ξ d x ki + y k ? e ] ξ ki ? e) ξ ( g [ 1 ∞ ∞ π2 ∞?∫ k d x ki e y k ? e) y , k ( ? g 1 ∞ π2 ∞?∫ = )y ,x( 1
k d x ki e) y , k ( w ?


y k?

eB = ) y , k(w ? ?0 = A故?界有 ∞→y ) y , k( u ?由
y k?

y k?

e) k ( g ? = ) y , k(w ? ,B = )0 , k(w ? = ) k( g ?由
。换变叶立傅的数函作,演反.)4(

eB +

yk

eA =

y 2k ?

eB + y

2

k

eA = ) y , k(w ?

ak + t a k s o c ) k (s ? t a k n i s ) k ( s ?ψ u ? = ) t ?k ( s ? 1 ) t ?k ( s ? u 数 函 象 解 求)2( ? 0= t td ? ) k( s ? ,) k( s ? ψ= ? = )0 , k( su? ) t , k ( su ?d ? ? td ? 2 0 = ) t , k( su k a + ) t , k ( su2 d ?
2 2

得?换变弦正叶立傅作件条始初程方解)1(

xdxk nis ) k ( s? f

0





2
0

? π = )x ( f ? ?
s

) k ( s? f = xdxk nis )x ( f



∫ = ) k ( c? ?



。解求换变弦正或?拓延奇作类一第为件条界边?题问的域区界无半是这?解

ψ= ?x? ?0 ,x ( tu
0 > t ,∞ < x < 0 0=
∞→ x

) t ,x ( u

? )x ( ? = )0 ,x ( u? 0 = ) t ,0( u? ? 0 = xx u2 a ? ttu?

题问解定_)1(?解 .布分度温 5.2.21

的杆求,量热入输率速的 ) t ( q 以处 ) 0 = x ( 点端在且,零为度温始初,杆的长限无半根一

ξ d ) ξ( ψ

a2 x ? ta ∫ = ) ξ( d ) ξ( ψ 1 ta + x 0∫ x ? t a∫ a 2 + = ] ξ d ) ξ( ψ ) ( d ) ( [ ξ ξ ψ 1 ta + x 0 0 x ? t a∫ a 2 = 1
ta + x

∫ + ) ξ? ( d ) ξ? ( ψ

0

ξ d ) ξ( ψ

ta + x

0



?知可件条界边类一第由 数 函 奇 为) x ?

ξ代ξ? 用项一第 a2 a2 ta ? x ta ? x ∫ + ξ d ) ξ( ψ ∫ [ = ξ d ) ξ( ψ 1 1 0 ta + x 时ta<x 当 故

2 ?[ = 0 > x ,t a < x ,]) x ? t a ( ? ? ) t a + x ? 1 2 π 0 ? ∫ ?[ ] kd) x ? ta ? k ni s ) k ( s ? ? )ta + x ? 2 1 ∞ 2 1

?[ ]) t a ? x ( ? + ) t a + x ?

] kd) ta ? x ? k n i s ) k ( s ?ψ

0 ∞



π
2

+ kd) ta + x ? k ni s[ ) k ( s ? ?
0 ∞

? k d] ) t a ? x ( k ni s + ) t a + x ? k ni s [ ) k ( s ?



π

换变弦正 π 2 0 [ = 2 1




1

= 项一第
0 ∞

k d x k n i s t a k n i s ) k ( s ?ψ

ak 1



π

2

+

0

π

] t a k n i s ) k ( s ?ψ

? ∫ k d x k ni s t a k s o c ) k ( s ? = 2 ∞ ak ?[ 1 ?s F = [ sF + ] t a k s o c ) k ( s ? 1 1?

] ) t ?k ( s ? u [ 1 ?s F = ) t , x ( u 演 反. ) 3 (

? = ] t αe n t[L


算计 2.3.21

)α? p ( f

?

= td t) α? p ( ? e) t ( f



0

∫ = td e) t ( f
tp ?

e



0

∫=? ?) t ( f



e? ? L ?证
1.3.21

0

σ > ) α ? p ( e R , ) α ? p ( f = ] t α e ) t ( f [ L ?理定移位明证试
?

换变斯拉普拉
τ? t

3. 2 1
0

τd ) τ? t (

e
0

∫π
0 t

2 2

k a / 2x ?

τdxk soc ) τ? t(

2 2

k a?

e ∫ τd) τ( q
t t 0 t

) τ( q



a
2

?=

a?=

τdxk soc ) τ? t(
τd ) τ? t(
k a?

2 2

k a?

e) τ( q ∫ kd
0

0





2

a ? = ) t ,x ( u
得,演反)4(

2 2

e ) τ( q 2 a ∫ ? = ) t , k ( cu
t ?

得可法异变数常用利, ) t , k ( cu 数函像求)3(
?

) t( q

2

a ? = ) t , k ( cu k a +
? 2 2

? 0 = ) 0 , k ( cu? ? ? ? ? td
?

? ) t , k ( cu d ?
题问值初的程方分微常为化转题问解定

? ) t ,x ( xx u? ? cF ) t ( q ?) t , k ( cu 2 k ? = ) t ,0 ( x u ?) t , k ( cu 2 k ? = ?
? ?

) t , k ( cu d = ?
td
?

? ) t , x ( tu ? ? cF

得理定分微及义定由,换变弦余叶立傅作件条始初和程方对)2(

?入输量热无处远穷无?

0 > t ,∞ < x < 0

0 = ) t ,∞ ( x u

0 = ) 0 ,x ( u? ? , ) t ( q = ) t ,0 ( x u? ? 0 = xx u2 a ? tu?

0 t

u ? = ] ud u ni s

∫[L

β?p nl = α? p

0 = 1 nl

5.3.21

β?p β ? ′ p ∞ →′ p nl + m il ? = α? p α ? ′p

p ∞

α ? ′p β ? ′p p∫ t ? =] ( [L ′pd) e ? tβe 1 1 ∞ tα t p ] [ L = ′ p d )′ p ( F ∫ ) t( f ∞ ?理定分积数函象由 α? p β?p ? = ] t αe ? 1 1


β ? ′p nl ? = α ? ′p

)p ( F =

e[L 因 ? 解

t ? = ]) t αe ? t β e( [L 算计 4.3.21 1

]) t( f ) t?([L = ) p ( F
n

)1 + 2 p ( 1 + 2 p pd 2 = = ] t nis t? [L 1 d p 2? pd 理定分微数函象由 d
n n

)p ( F =

? = ] t nis t[L 算计 3.3.21
) α-p( 1+n = ] t αe n t[L则 !n p 1+n =] nt[L令 !n

1+ 2p =]tnis[L知已?解 1

) α ? p ( F = ] t αe)t(f[L?理定移位由 )p(F=])t(f[L若?解

p 1

= ] 1[ L ? ? 函 = = 象

p d ) p ( y ] ) 0 ( y p d ] ) t (′ y [ L d ? →

d

p

? ) p ( y p [ 微 p d d 数

? ) p ( y 理 定 分

] ) t (′ y ) t ? ( [ L ? 2 ? p ? ) p ( y 入 作 程 方

= ] ) t (′ y t [ L
2

? ) p ( y p 件

) 0 (′ y 将 并 ? 换

? ) 0 ( y p 变 氏 拉

2

= ] ) t ( ′′ y [ 条 始 ? 初 解

p

=



对 ) 1 (

2 = )0(′y ,1 = )0( y ? ? 1 = ) t( y + ) t(′yt ? ) t(′′y ? 。题问值初的程方分微常解求
= ] u p [ L u ni s 1
0 t

6.3.21

p 1

= ] u d

u u ni s

0 t

∫[L

= ]t d)t( f

∫[

L ? 理 定 分 积 由. 3 2

p n at cr a 1 p ])t( f [ L 1 p n at cr 1

a = p n at c cr a = p n at cr a ?
∞ p

p 1 + 2′ p n at cr a = ′ p d 1 1



π

=

′ p d )′ p ( F p



p



u = ] [ L u ni s t [ L )t( f = ]

? 理 定 分 积 数 函 象 由. 2 ) p ( F = 1 + 1
2

= ] t n i s [ L 因. ? 1 解

) 0 > t 当( 0 = )t( f
k

k)t-( = ) t ( f = ] ) p ( F [ 1?L = ] k p [ 1?L ?t(δk pd k [ L = ]kp d 1?
k 0 ∞ k k

) t ? ( = ]) p ( F
0=t tp-

pd [ L = ? t (δ! k d 1?

)1 =

e = t dtp- e ? t ( δ

理 定 分 微 数 函 象 由

∫ =] ?t(δ[L 中 其 ?
pd k [ L d 1?
k

) 0 > t ( 0 = ] k p [ 1 ? L ?, 2 , 1 , 0 = k 当 明 证 先 ) 1 ( )??
2

? t ( δ k = ] 1 [1 - L ?k = ] k p

8 2 p p + ?(c + 2 ) α + c( + = p 1 2 1

p p 8 2 2 + +)?? + ? 1( 2 ? p c = ) p ( y 2 1 p p 4 2 数 函 成 展
2

2 ? p

e 将 此 为 演 反. ) 3 (

p p 2 + + 2 1

2

2 ? p

e 2? p c = ) p ( y ? 解 通 程 方 次 各 非
2

p p + ? 解 特 程 方 次 各 非 2 1 ec =
2

2 ? p

p nl 2 ?

2

p

2 ? 1

pd)

p +p ( 2

∫?

ec = ) p ( y

e 2? p c =

? 解 通 的 程 方 次 各 )p (y 解 求.)2(
2

p p p pd + + 1 = ) p ( y? + p( + 则 1 2 2 )p (y d p pd = )p (y + p + 1 )p (y d
2

)p (y + 2 ? p ? )p (y

p

得 程 方 入 代

展 用 可 , ω± =

2 ,1b点极阶二有上面平p ,零于趋地致一 ) p ( f 时∞ → p 为 因

:解

) t ( f求理 定 开 展 用试 , 2

)

?

2

ω ? 2p (
1

= ) p ( f 知已 7.3.21
?

cL ) ( + 2p cL cL 2 cL 1 nis 0 = ] [1?LcL 0 = cL t q q 1 ] cL + p 1 2 1

[1?L

cL = ])p(I[1-L用利 q
0

演反.2

cL pc 2 + p +c 1 2 cL 1 = = )p(I 0q p c 1 2 1 0q p c pc p 2 = ) 2 + L()p(I : 1 0q 1 1 p c p c +})0(I-)p(Ip{L = 1 0 q )p(I 1 .1 解 换变氏拉作程方对?

0

? 0 = )0(I ? c td ? 0 c = td) t (I ∫ + L? Id ? q t 1 ) t(

解值初的程方分微解求.7.3.21
p p t)2 + c( + 1 = ] 2 )2 + c( + [1?L 1 1

p p y ] 2 )2 + c( + [1?L = ]) p ( y [1?L = ?t? 1 1

p t = ] 2 [1?L 1 p 1 = ] [1?L 又 1

0 = 2c 得 限 有
x a p

∞→x

) p , x (u 由 ) 1( e1c = ) p , x (u

解特程方次齐非 + 解通程方次齐为解通程方
∞→ x ? ? 限有 )p,x(u ,0 = )p,0(u ? ? w + 2p 2 a a xd ? 2 2 ? ?= ? 2 p 1 )p,x(u 2p )p,x(u 2 d ?

) w + 2 p(p 2 + 1

e2c +

a x ? p

) p , x (u 数 函 象 解 求.2

w+ p xd 2 2 2 a-)0,x( t u-)0,x(up=)p,x(u 2p = p )p,x(u 2 d 2

换变氏拉的t于关作件条界边及程方对? .1 解 t u?0 = )0 , x ( u ? ,x? 0=)0 ? 限有 ∞→x )t,x(u ,0 = ) t ,0(u ? ? u 2 a ? tt u ? tw soc =
xx

题问解定解求 法 换变 斯 拉 普 拉 4. 2 1

1.4.21

ω2 ) tωhs ? tωhctω( 3 = 1 ?? ? ? ? ? ) ( ? ? ω p ? ? ? ? 2) 2 ω ? 2 p ( ? 2 2 2 ω, s eR? i π2 = ) t ( f ? ω? , ? s eR + ? ? ?? ? e e tp tp ? ? ? ?? ?
得此由,演反行进理定开

动振的弦界无半解求 .2.4.21

a 2 w? < t, nis 2 ? x tw 2 2 ? a 2 2 w ? = )t ,x( u ≥ t, a ni s ? ni s[ 2 ? 2 2 x t w 2 ? ) -t( w ? x ? a < t ,0 ? x ? a ) w + p(p 2 2 w? =] 2 ≥ t, [ 1 ?L 2 ? x e n i s a a 2 2 x ? ? p ? t( w ? x

τ <t ? 0 ? ? = ) τ ? t ( f = ]) p ( F e [ L 1? τp ? τ ≥ t ,) τ ? t ( f ?
) p ( F τ p ? e = ] ) t ( f [L τ p ? e = ] ) τ ? t ( f [ L

)

]

理 定 迟 延 由) 2 ( 2 w w n i s 2 = ) t w s o c ? 1( 2 = α tw 2 1 w+ p p w ) w + p(p 2 2 ]2 ? [1-L 2 = ] 2 [ 1-L 由 ? 1? p 1 1 1 ) w + p(p ) w + p(p 2 2 [1-L- ] 2 [1-L = ]) p, x( u[ 1-L =) t, x ? u e 1
2 a x ? p

演 反.3

x

a ? p

e

) w + p(p ) w + 2 p( p 2 ? 2 = ) p , x (u 1 1
2

) w + 2 p(p 2 - = 1c 得 1 ) w + 2 p(p 2 + 1 c = ) p , 0 (u = 0 由 1 ) 2 w + 2 p(p + a e 1 c = ) p , x (u 1 x ? p

τ<t,0? ? = ) τ ? t ( f = ])p (F e[ L理定迟延由 τp ? 1τ ≥ t ,) τ ? t ( f?
p tb = ] 2 [1-L)1( b p p ] 2 [1-L + ] a e 2 -[1-L = b b x p

a a tb + ) ? t (H ) ? t (b? = x x ? a ? < t,tb? x ? = ) t ,x ( u a a ? ≥ t , tb + ) ? t ( b ? ? ? x x ? a ? < t,0? p x ? = ] e 2 -[ L a a ? x a - b 1? p ≥ t ,) ? t (b? ? ? x x

p ]2 + b

a x p

e

2

p -[ L=])p,x( u [1-L=)t,x(u b 1演反.3 p p 2 + a e 2 -=)p,x( u b xp b -

2

p p -= 1c , 2 + 1c=)p,0( u = 0由?2? b b p 2 + b
a x p

e1c=)p,x( u

0= 2 c得0 =
2

∞→ x

)p,x( x u 由)1(

p + b

a x p

e2c +

a x p

e1c=)p,x( u解通 )p,x( u求.2

0=)p,x( u

2

2

? ∞→ x 0= )p,x( x u ,0=)p,0( u ? ? xd a-)0,x( t u-)0,x(up-)p,x( u 2 p ? d 2 ? b=)0,x( t u,0=)0,x(u ? ? 0 = ∞→ x )t,x( x u ,0=)t,0(u ? ? 0= xx u 2 a- tt u ?

。换变氏拉的t量变于关作件条界边及程方对? .1 解

ξd e
2

ξ-

t a2 x ∞



π
0

ξd ξ - e
2

t a2 x ∞



π
2

? 1( th ? e 0 u = ) t ,x (u ] e

u2

th ?

e

) t ( f t αe =]) α? p ( F [ 1?L ]) t ( f e [L =] α? p [ F理定移位


=

ξd ξ - e
2

t a2 x ∞



π
0

x

u2

=]

a ? h +p

h+ p [ L u 1?
0

x

a ? p

p e 0 [ 1?L u

]

x

a ? h +p

e

h+p e0 u = ] 0 [ 1?L由 th ? u h+p h+p [ L ? ] 0 [ 1?L = ) t ,x (u u 1? u
0

演反.3
x a ? h +p

e

h+p h+p ? 0 = )p , x ( u u u
0

h+p h+ p ? = 1c , 0 + 1c = )p ,0(u = 0)2 ( 0u u h+ p + e1c = )p ,x (u u x h +ap ?
0

0= 2c得0 =
x a ? h +p

∞→ x

)p ,x ( x u )1(

h+p + u
0

x

a h +p

e 2c +

e1c = )p ,x ( u解通 )p ,x (u解求.2

0 = )p , x ( u h + )p , x ( u

∞→ x ? 0= ) p , x ( x? u 0 = )p ,0(u ? a a xd ? 2 ? = )p , x ( u 2 ? )p , x ( u 2 ? 0u h+p d? 2 xd 2 a ? )0 , x ( u ? ) p , x ( u p d 2 2 0 u = )0 , x ( u ? ? 0 = ∞→ x )t,x( x u ,0=)t,0(u ? ? 0>t,∞<x<0,0=uh+ xx u 2 a- t u ?

.1 解 换变氏拉的t量变于关作件条界边界边及程方对?

题问导传热解求.3.4.21

t 2a 4 / 2x ? ? ? ) tΔθ+ t ( ?? ?? y?

e

2 3

t π a2 x

? ) x ( ? ? ) tΔ + t ( ?? ? mil ? tΔ / ?
0 → tΔ

e mil

0 → tΔ

π
2

=

?= = yd
y?

2

tΔ / ) yd

2

y?

e

)x ( ?


∫? yd

e

) tΔ + t ( ?


∫( mil

0 → tΔ

π

e

)x ( ?


∫π

2

2

2

td 2 d

得可?质性的限极积乘数函及以理
a2 / x


值中分积?义定的商微用利 ,

t a2 t = ) x ( ? 令? yd y ? e x 2
2 t2a 4 / 2x ?

∫π
e

t π a2 x

td 算计了为?解 2 d

e3

= yd

2

y?

t a2 / x ∞

∫π

td 明证试 4.4.21 2 d



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