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# 数学物理方法-汪德新-第三版-习题答案详解

a 2 ) π k + gr a ( i b 1

e 2b + 2a

4

=

2 1

? ? ?

) πk 2 +

a gr a( i b

e2b +
3

2

a

? ? = bi + a ?

?4?

)

3

3

π

i?

e2 =

π

ni s i ?

π

s oc( 2 =

? π k 2 + ) 3 ? ( gt cr a ? i ? ?

e3 + 1

= 3 i ? 1?3?
i +1

1 = φ因? )1 n i s i

+ 1 s o c( e = i e e =
3 6 ) πk + ( i 2 π

e ?2?

3 6 3 6 ) π k + ( ni s i + ) π k + ( s oc = 2 π 2 π
2 ,1,0 = k ?

) πk 2 +

2

π

(i

e = i 由?1? ?解
i + 1? ?7? i2

e=

i3

3?

) i + 3 ( ?6?

π ≤ α ≤ 0 , α nis i + α soc ? 1 ?5?
i +1

bi + a

)4(

3

i ? 1) 3 (

e)2(

i

3

) 1(

1 ≤ ω ≤ 1? ∴? 1 ≤ x ≤ 1? ?时 1 = z

?式示表数指和式示表角三的数复各列下出写?2

x = )*z + z (

z 2 2 z 2 ? ?← 2 + ) z ( = + = ω :解 ) z ( ? 1 → 1? *z 1 1 1 =z
ω ≤ 1? 数实是 ) + z ( = ω 证求?1= z
z 1 2 1
1.1.1 题习 且?数复 z 是设.1

.1 ≤

e

1= k n

∑ 算计

? k ni s i + ? k s o c =

φ ki

e

q?1 = ns ) nq?1(1a

2

φ

s o c + φ)

2 nis 2 1= k φ = φk nis ∑ 2 n + n (s oc ? 1

2

φ

n i s ? φ)

2 nis 2 1= k φ = φk s oc ∑ 2 n + n ( nis 1

) φ 2 nis ? φ 2 soc( φ nis φ soc 4 i + ) φ 4 nis + φ 2 soc φ 2 nis 6 ? φ 4 soc( =
4

φ 4 nis + φ 2 soc φ 2 nis 6 ? φ 4 soc = φ4 soc

) φ 2 nis ? φ 2 soc( φ nis φ soc 4 = φ4 nis

!0!4 !1!3 φ n is + φ soc φ nis + 3 !4 4 i !4 3 i

!2!2 !3!1 ! 4 !0 φ soc φ nis + φ 3 soc φ nis + φ 4 soc = φ4 nis i + φ4 soc ∴ !4 2 i !4 i !4
2 2

φ

k?n

!) k ? n(! k 0= k ∑ soc φ nis = n ) φ nis i + φ soc( = φn nis i + φn soc ?解 !n k i n
k

φ4 nis 和 φ4 soc 示表 φ soc 和 φ nis 用式公弗摩棣据根?3 4 4 i + 1? ?7? ) nis i ? soc( 2 = 4 e2 = i2 i?

π

π

π

8 2 nis i ? = 1

π

2

π

i?

) i ? 3 ( 3)i + 3 ( 8 8 e =i ?= 3 = 1 1 )i ? 3 ( 3
2

3?

) i + 3 ( ?6?

?? ?2 ? 2 ?? 2 ? + n i s i soc? nis2 = α? π ? α ?? α? π ?

α? π

i

2 e nis 2 = α nis i + αsoc ?1 ?5?

α

? ? 2 2 a a ? ? + + + ) g r a ( n i s ) g r a ( s o c k i k π π ? ? 1 1 b b

2

b +

2

a

4

=

3

z ? 2z 1z ? 2z =

3

2

z ? 1z

1 = c 明证要只

0 ≠ C 若?证得论结? 3z = 2z = 1z 则?0=C 若.C 于等式分令
b?a b?a b aa ? a
?

3

3z ? 2 z 1z ? 3z z ? 2z = 1z ? 3z = 1z ? 2z 证试? 3 1 = 1 2 足满3z , 2z , 1z 数复设.7 z? z z? z

1=

=

b?a
1=

=

b a ?1 a
?

b?a

=

b? a ? 1 b?a

.

b?a ? 1 明证试 ,1 = a ,1 < b 设 .6 b? a

0

?

x 限 象VI 第 在z ? π2 + y x 限 象III 第 在z ? π + y x 限 象 II 第 在z , π + y x y 限 象I 第 在z ?

? n at cr a ? ? ? n at cr a ? ? = z gr a = ? n at cr a ? ? n at cr a ? ?

。zgra 值主角辐示表

x toc ra 用试? y

2

π

<

2 x toc ra < ? 为围范值主的切正反知已?5 y π

。证得即?等相部虚与部虚?等相部实与部实式两由

2

φ

n i s ? φ)

2 2 ni s 2 nis 2 φ φ + 2 i? = 2 2 + n ( ni s s o c ? φ) + n ( s o c φ 1 1

2
φi
2 1

e ?

φ

ni s i 2
φ)
2 +n(i 1

e

=

2 φi ? 1

e ?

1?

2 φi 1

e i

φn i

e

2 φi 1

e e

φi

=

e ?1 ? ?? ?? ?? ?? ?? ← φi = → ? ) e ? 1 ( e φni φi
?1-?乘同母子分

φ ki

e ∑ = ) ?k nis i + ?k soc( ∑
1= k n 1= k n

2 ∞→n 0=? ? m il 有 即 ? 义 定 的 限 极 按 。 求 要 述 上 足 满 可 即 n i+1 2 nl 2 nl . 时) ε( N > n 当 ? -=N 取 今 ->n 得可后理整数对取 εnl εnl 2 2 边 两 式 等 不 在 ?ε < ? ? 求 要 就 ? ε < 0 -? ? 使 要 ?0> ε 给 任 证 n n i+1 1 ? 2 ? ? 列 序 明 证 言 语 的 N - ε 用 试. 0 1 。0 为 限 极 的 ?? ? ? n i+1 ?
0 ∞→ n ∞→ n ∞→ n ∞→ n

z = 0y + 0x = ?nyi + nx? mil = nz mil 在存限极的nz?时∞ → n当而因
0

y = ny mil

?0x = nx mil

ny ? p + n y? nx ? p + nx? ≤ ny ? p + n y ε < nz ? p + nz = ? ? 2 2 ny ? p + n y? nx ? p + nx? ≤ nx ? p + nx ε < nz ? p + nz = ? ? 2 2

ε < 0z ? nz + 0z ? p + nz ≤ nz ? 0z + 0z ? p + nz = nz ? p + nz 得可?式两上及)31(式等不用利 2 2 < 0z ? n z 有
?时N>n当使?0 > ) ε( N在存?0 > ε给任?义定限极据根 , 0z = nz mil 设。性要必?证
∞→ n

ε

< 0z ? p + n z

ε

。在存限极的z则 , ε > nz ? p + nz 有?p数整正意任对?时) ε( N数然自在存?0 > ε给任

2

?法别判西科的在存限极列序数复明证?法别判西科的在存限极列序数实用利试.9

2

) 2z +
1 2

1

z ( =
2 2

2 2

z +

z

1

z 2 +

1 2 1 2

z = z =

2 ? 2 2

2

z +
? 2

2

z ?1z 2 +
? 1

z ≤

z + ) 2 z ?1z ( e R 2 +
2

z ?1z +

z 1z +

z 2z +

z 1z = ? ) 2 z + 1z ( ) 2 z + 1z ( =

2

z + 1z

2

z ? 1z ≥ 2z ? 1z , 2z + 1z ≥ 2z + 1z

。证得此由?1 = c 即 ,1 = c 见易?除相式②与式①将
3
1z ? 3z 2 z ? 1z = 3 2

z = 2 y + 2 x ≤ x = z eR 用利试.8

z ? 2z

。置位方右左线曲为

2 > y ? 2x 1 2

2 = y ? 2 x 图作 1 2

2

?解 y ? 2 x = ) yxi2 + 2 y ? 2 x (eR = 2 z eR ?1? .1 ≤

1+ z 1? z

) 4(

; 01 =

3? z + 3+ z
;

)3(

;

4

π

< )1 ? z (gra < 0 )2(
?2.1.1 题习

2 > ) 2 z ( e R )1( 1
.1

。置位的集点述下出画上面平复在试

) 列 序 数 实 是 不 ( 限 极 下 上 有 没 也 ? 限 极 无 ?1 ± ?
∞ →n

∞ →n ∞ →n

? ∞ = n z m i l 故 ? 角 辐 其 定 规 不 , 样 一 点0 = z 像 就 点 远 穷 无 ? 说

2 ∞ →n ∞ →n 1 ? = m i? l 1 = m? i l 限 极 无 ?1 ± ? ± ? 点 聚 个 四 有)8( 1 2 2 ± ? ± ,? 0 点 聚 个 七 有) 7 ( 3 1

; 0 = n z m il 证 可 理 同 , ) 1 ( 照 仿 ) 4 (

∞ →n

6 n2 6 n = nz?8? = nz)7( i)1+ n2(? so? c +1? ni? s +1? 1? (+n= nz)6( 1?ni= nz)5( n πn πn 1 i 1+ n2 n 1+ n2 6 = z)4( = z?3? = nz?2? ? ? 1?? ? 1?? ?= nz?1? n n i4+3 1 n i n n n 1?n 。限极和点聚的列序列下求.11

0 = n z m i l 得 即 ?0 为 限 极 的 ∞ → n 在 n z 明 证 过 通 ) 1 ( 解

; 0 = n z m il 证 可 理 同 , ) 1 ( 照 仿 ) 3 ( 2 2 ∞ →n ∞ →n ? = n z m il ? = n z m i? l 2? 1 1

z

?程方么什足满

ν与 μ ,下射映的 1
z

= ω在?解

?形图么什为射映?数常?

c = z eR 线直?下 1 = ω在求

.4

?轴 y 括包?面平半右

0≥x

0 ≥ x4

2

y + 1 + x 2 + 2x ≤ 2 y + 1 + x 2 ? 2x
y + 2 )1 + x ( 1+ z 1≤ 2 = y + 2 )1 ? x ( 1? z
2

)4(

4 5 1 = 2) ( + 2) ( y x
2

?圆椭为集点?

x 3 ? 52 = 2 y + 2 )3 ? x ( 5 ? 2 y + 2 )3 ? x ( 02 ? 001 = x 21
2

x 9 + x 051 ? 526 = 2 y 52 + )9 + x 6 ? 2 x (52

2

)02( = 2 y 52 + 2 x 61

y + 2 )3 ? x ( + 2 y + 2 )3 ? x ( 02 ? 001 = 2 y + 2 )3 + x (
?于当相

01 = 2 y + 2 )3 ? x ( + 2 y + 2 )3 + x (

01 = 3 ? z + 3 + z )3(
00

X

1

y
1>x② 0>y①

1 ? x<y④

1<

1? x < 0③ y
?于当相

4

1? x gtcra = ] yi + )1 ? x ( [ gra = )1 ? z (gra ?2? y

π

<

1? x gt c ra < 0 y

) i?( grAi + i? nl = ) ) i ? ( grAie i? (nl = ) i? (nl ?4?

....... ,2± ,1± ,0 = k ? ) πk2 +

2

π

?(i =

bhsa soc i + bh c a nis =
i2 a s oc + ) b e + 1
b?

)bi(nis a soc + )bi(soc a nis = )ib + a(nis ?3?
x s oc = ) xi ? e + x i e (
2 2 xhc = ) x e + x ?e( = ) xii i ?e + xii ie( = )xi(soc ?1?解 1 1
5? nl ?5?
?

) be ?

b?

e(

2 e ( a nis = 1

2 = ) xi( h c ?2? 1

)i?(nl ?4?

?数实为 b,a

)bi + a (nis )3( )xi(hc )2(

)xi(soc ?1?

........ ,1± ,0 = k πk = x 和 π) 1 + k ( = x 有即
2

?部虚与部实的它出写?值数列下算计 6 的能可不是这

0 = x nis 和 0 = x soc ?满时同需必 x 则

?

0 = x nis i + x soc = xie 若?法证反用?解

0 ≠ xie 有 , x 数实何任对?明证试 5

c2 c2 c4 c2 2 )0 , ( 1 在心圆为面平 ω在即 1 = 2 ν + 2 ) 1 ? μ ( 1 径半? c4 = 1
2

νc + ) 2

c4 c + ? μ ( c 程方圆得可方配过通 μ 2 1

2

ν+ μ μ
2

μ = ) 2 ν + 2 μ ( c∴

=

w νi + μ eR = e R = z e R = c 由 1 1

。之算计试?在存否是限极列下问 3.1.1 题习

?1

ε

.0 ≠ ) z ( f内域邻 δ的0z在) z ( f即 ,0 > ) 0z ( f ?项移

。续连致一中1 < z 域区在2 z = ) z ( f明证试.9

) z ( f 2 ? ) 0z ( f 2 ≥ ) 0z ( f ? ) z ( f 2 > ) 0z ( f 有即

2 > ) 0z ( f 有即 1

→y y+ x 0 0→x 0→z 果结同不有式上?时值同不取k当?证可xk=y令要只?在存不 2 2 mil=)z(fmi ? l 2? yx2

。0为不) z ( f中域邻个一的0z到找可?明证试?0 ≠ ) 0z ( f且?续连0z = z在) z ( f设.8

?

0z→z

?续连否是?在存否是限极的点0z在数函列下问试.7

])5?( grAi + 5 nl[

...... ,2± ,1± ,0 = k

) πk +

2

2 2 e 5? nl( = 5? nl ?5? =) 1 1 ) 5? ( g r A i

π

( i + 5 nl

2 = 1

n

zn = 1? n zΔ zΔ 0→ xΔ 0→ xΔ ? ? mil = z ? ) zΔ + z ( mil = ) z (' f 解 2 n n z ? ? n) zΔ( + … + 2) zΔ( 2?n z )1 ? n(n + zΔ1?n zn + n z ? ? ? 1
?导可处

。数导的n z = ) z ( f算计发出义定数导由试.3

。续连点1 = z 除面平全?3? 1 = z 除? 。续连

z = ω故?立成 0z 意任对式上时 ε < δ < 0z ? z ≤ 0z ? z = ) 0z ( f ? ) z ( f

δ < 0z ? z

0> δ

ε

?

0> ε
4

?

2

?

。续连面平全在

z = ω故

?数函 续连为仍乘自数函续连而?续连面平全在

?解 z = ω因?1?

1? z = ω?3? 4 ? z5

?

z = ω ? 2? ? z = ω?1? 4
.2

5 5 i + 2 1 + i + 1 1 + z +1→ z i ? = = = mil ?2? i 2 1 i ? i +1 i ? z
。在存不限极故?同不值比?时值同不取

∞=

2

z + 1 i→ z mil ?3? 1

?解 xk = y 则? k 为率斜线直若?零于趋线直沿 z 令?1?

ki + 1 xki + x 0→ z z 0→ z = mil = mil k 当? k i ? 1 x k i ? x z *
1 + z +1→ z i mil ?2? i? z

z + 1 i→ z 2 mil ?3? 1

*

z 0→ z mil ?1? z

z = w )5(

z

z e = ω?4? z z = ω?3? x = ω?2? = ω?1? 2 1
?件条 R-C 足满处何在数函列下 4.1.1 ?1 题习

y? y? yΔ yΔ 0→ yΔ 0→ yΔ + i? = mil i+ + mil = v? u? ) y ,x (v ? )yΔ + y ,x (v )y ,x (u + )yΔ + y ,x ( u xΔ zΔ 0→ yΔ 0→ zΔ mil = mil = ) z (' f ])y ,x (vi + )y ,x ( u[ ? ]) yΔ + y ,x (vi + )yΔ + y ,x ( u[ ) z ( f ? ) zΔ + z ( f

。件条R-C 为即等相别分部虚与部实边两式等让?立联式两

yΔi = zΔ即 ,0=xΔ令)2( xΔ x? x? xΔ 0→ xΔ 0→ xΔ mil i+ + mil = i+ = ) y ,x ( u + )y ,xΔ + x (u v? u? )y ,x (v ? )y ,xΔ + x (v xΔ zΔ 0→ xΔ 0→ zΔ mil = mil = ) z (' f ])y ,x (vi + ) y ,x ( u[ ? ])y ,xΔ + x (vi + ) y ,xΔ + x ( u[ ) z ( f ? ) zΔ + z ( f

.xΔ = zΔ即 ,0=yΔ令?1? 解 。件条R-C出导等相者两由

. 微 可 不 ) 0 , 0 ( 在 ) y , x ( u 即 ? 设 假 的 微 可) y , x ( u 背 违 2 2 2 ?0 于 向 趋 不 ε ?0 → x Δ 当 ? = ε? = x Δ 2 ε 有 ?y Δ = x Δ 取 今 1 xΔ ?y Δ ? + ?x Δ ? 2 2 =? yΔ ? +? x Δ ? 有 ? 入 代 0 = ) 0 ,0 ( y u ?0 = ) 0 ,0 ( x u 2 2 y Δ? xΔ ? 2

?y Δ ? +? xΔ ? 2 将并?式两上合综? 2 = ) 0 ,0 ( u ? ) y Δ , x Δ ( u = ) 0 ,0 ( u Δ 面 方 一 令 y Δ? xΔ ? 2 ? ? yΔ? +? x Δ ? ε + y Δ ) 0 ,0 ( y u + x Δ ) 0 ,0 ( x u = ) 0 ,0 ( u Δ 设 ? 微 可 ? 0 0? 在 2 2 ? 分 微 全 的 点) y , x ( 在) y , x ( u 为 称 y Δ y u + x Δ x u 且 ? 微 可) y , x ( 在) y , x ( u y d y u + xd x u=u d 作 记 ) y , x ( u 数 函 设 假 。 微 可 不) y , x ( u 数 函 明 证 法 证 反 用

? 量 小 穷 无 阶 高 的ρ 于 关 是 ?ρ ? ? 0 → ?y Δ ? xΔ ? = ρ 当 且 +? 称则?? ? = ρε 即 亦? 2 2

ρ ε + y Δ y u + x Δ x u = ) y , x ( u Δ 若 ? 数 函 元 二 为) y , x ( u 设 证
0 0? 在) y , x ( u 数 函 明 证 试 。微可不点? ?

0=y =x ,0 ? ? y + 2 x ? = ) y , x ( u 设 ? 么 什 是 义 定 性 微 可 的) y , x ( u 数 函 元 二 变 实. 4 ? 0 > y + x, 2 y 2x ?
2 2

z ?1 = )z( f z2

?2?

2

)6 + z 4 ? 2 z ( = ) z ( f ?1?
。数导的数函列下求试.2

xΔ 0→ xΔ mil = )0 ,0( xu点?0?0?在使即?足满不处处面平全)5( )0 ,0(u ? )0 ,xΔ(u

xΔ 0→xΔ xΔ 0→ xΔ 。限极的定确有没也 , mil = mil = 0 ? 2)xΔ( xΔ

x y 平 全 在 故 y soc e = y ? = , y n i s e , y s o c e= x ν μ ′ ν,y nis x e = ′ ′ ′μ x x x y nis x e = ν y soc x e = μ

) y nis i + y soc( x e =

yi + x

e = z e = ω?4?

0 = z 有只即。 0 = y = x 的立联?2?1 将

?2 ?1

xν ?= y ........0 = yx 即 yx 2? = yx 2 得 ′ ′μ 由 xμ 由 . . . . . . .y = x 即 2 y 3 + 2 x = 2 y + 2 x 3 得 y ′ ν= ′

3

y + y x = ν ? yx + x = μ ? ) yi + x () y + x ( = z z =
2
2

x y xμ y 3 + 2x = y , y x 2 = , y + x3 = ′ ν μ ′ ν,yx 2 = ′ ′ 2 2
2 3

2

2

2

ω?3?
?2?

x ν,0 = y μ ,1 = x μ 0= y ′ ν,0 = ′ ′ ′ ? 0 = ν,x =

μ ,x = ω

。在存不数导偏?时

) y + 2x ( ) y + 2x ( 2 2 2 2 = =y ′ν x ? 2y y 2 + ) 2 y + 2 x (? 2
2

′ μ ?外 0 = z 除?然显 0 = z 当件条 R-C 足满? ′x ν? = y′ μ ? y′ ν = x

) y + 2x ( 2 2 =y ′μ yx 2?

) y + 2x ( ) y + 2x ( 2 2 xμ = 2 2 =′ x ? 2y x2 ? 2y + 2x 2
2

) y + x( 2 2 2 =x ′ν yx 2

y+ x 2 2 =ν y?

y + 2x 2 =μ x

?

z z y+ x 2 2 = 2 = = ω?1? ?解 yi ? x z 1 *

? nis

y?

ν?

+ ? soc

x?

]) ? soc ρ

μ?

y?

+ ) ? n is ρ ? (

x? ρ [ ?= μ? 1
)1(

ν?

=

ρ? y? ρ? x? ρ? + = y? ν? x? ν? ν?

? n is

x?

ν?

? ? soc

?? ρ ρ? = ν? 1 μ?
y?

x?

ν?

= ] ) ? s oc ρ )

ν?

?= y?

? n is

μ?

y?

+ ? soc

μ?

x?

?? y? ?? x? ρ ?? ρ + ( = y? ν? x? ν? 1 ν? 1
=

ν?

+ ) ? n is ρ ? (

μ? ν?
,

y? y?

=

μ?

x?

x? ρ [ = ν? 1

ρ? y? ρ? x? ρ? + = ?1? y? μ? x? μ? μ?
x natcra = ?, 2 y + 2 x y = ρ得

?

? nis ρ = y , ? soc ρ = x

ρ? ?? ρ? = ?2? ν? μ?

?? ρ ρ? = ?1? ν? 1 μ?

?解 )2 ? z ()6 + z 4 ? 2 z (4 = )4 ? z 2()6 + z 4 ? 2 z (2 = )z (′ f ?1?

) z ? 1( ) z ? 1( 2 2 = = ) z (′ f ?2? 2 )1?( z 2 ? ) z ? 1(2

?为件条 R-C?中

?3 ) ? , ρ ( 标坐极在明证?

?? ρ ρ? = ν? 1 ν?

?? ρ ρ? ?= ν? 1 μ?

0 → z ? 与数导于由

)

?? ρ ?? ρ ?? e ρ i → ?? 0 ?i + ?( e = mil = ) z (′ f ν? 1 μ? i ?i ? ν?i + μ ?

?? ?ie ρ i = z ? 0 = ρ ?令?2

ν?i + μ ?= ω? ρ ? ?ie = z ? 0 = ???1? ) ?, ρ ( νi + ) ? , ρ ( μ = ) z ( f ?? ?ie ρ i + ρ ? ?ie = z ? , ?ie ρ = z 令 ?二法方

)

ρ? ρ? ρ? e → ρ? 0 ?i i+ ( e = mil = ) z (′ f ν? μ? ?i ? ν?i + μ?

?? ρ ρ? ?= μ? 1 ν?

μ?

x?

?=

y? y? ,
? n is

ν? μ?

?=

x?

μ?

x?

ν?

+ ? soc

μ?

y?

?=

x ν,0 = y μ ,x 2 = x μ y2 = y ′ ν,0 = ′ ′ ′ y = ν, 2 x = μ

。析解不?件条 R-C 足满

yi + yx = ω?3? 0 = z 于仅

2

2

yi + 2 x = ω ?2?

?解 yi2 = ) yi ? x ( ? ) yi + x ( = ω?1? yi + yx = ω?3? 2 yi + 2 x = ω?2? * z ? z ?1? 析解否是数函述下论讨试.1

x ν,0 = y μ ,0 = x μ 2= y ′ ν,0 = ′ ′ ′ y 2 = ν,0 = μ

。析解不?件条 R-C 足满不

z? 2 。 等 等 , ) ? z + z ( = z e R ?? z z = z ? 如 例 。 导 可 不 必 ?0 ≠ ) ? z , z ( F ? 2 1 ? 致 导 然 必 ?? z 含 显) ? z , z ( F = ) z ( f 数 函 变 复 若 ? 明 表 这 。 然 亦 之 反

5. 1. 1

x? y? 2 y? x? 2 ( +) ? ( = ? 件 条R-C 得 即 ?0 为 别 分 部 虚 和 部 实 式 上 由 ) + v? u? i v? u? 1 y? y ? i2 x? x? 2 z? y? z? x? z? +? = ) ?z ,z ( F ? = 0得 入 代 ( ?) i+ ( = ? i+ v? u? 1 v? u? 1 y? f? x? f? ? )

? ) z , z ( y ?) z , z ( x ? ? v = ) y ,x ( v 式 各 上 将 ? 导 偏 的? z 对 ) ? z , z ( F 求 ) ? z , z ( V = ? ? ? ? ) z , z ( y ?) z , z ( x ? ? u = ) y ,x ( u 中 式 ,) ? z , z ( U = ? ? ?

) ? z , z ( F = ) ? z , z ( V i + ) ? z , z ( U = ) y , x ( v i + ) y , x ( u = ) z ( f 得 ?y , x 代 取? z 及 z 以 z? 2 z? 2 2 i2 ? = ? , = ? ;) ? z ? z ( = y ,) ? z + z ( = x 得 y i - x = ? z 及 y i + x = z 用 利 证 y? 1 x? 1 1 1 。 性 越 优 何 有 件 条 此 ? 价 等 件 条 R ? C 与0 = ) ? z , z ( F ) ? z , z ( F = ) ? z , z ( Vi + ) ? z , z ( U = ) y , x ( vi + ) y , x ( u = ) z ( f z? ? 明证 ?

y 2 + yx 2 = ν )2( ci + z e = ci + ) y nis i + y soc( x e = νi + u = ) z ( f

ν

0=

y 2?

ν2 ?

+

x 2?

ν2 ?

c = )x ( g ,0 = )x (′ g ∴ y nis x e = ) x (′ g + y nis x e
)x(g 求?2 入代式上将

)x ( g + y nis x e = )x ( g + ydy soc x e ∫ = ν

y ni s x e = y soc x e = y?

y? x? ?2 ?= u? ν?

:分积 y 对?1 将

ν?

=

x? ?1?得件条 R-C 由 u?

y ? x ? u ? 0 = y soc x e ? y soc x e = 2 + 2 u ? u ? 2 2

0 = )0( f , 2 y + 2 x + x ? = v)5( ;i + 1? = ) i( f ,yx ? 2 y + 2 x = u)4 (

?解 y soc x e = u ?1?

yhsx soc = ν?3? y 2 + yx 2 = ν?2? y soc x e = u ?1?

vi + u = ) z ( f 数函

x ν,x = y μ , y = x μ 1= y ′ ν,0 = ′ ′ ′

。析解不?件条 R-C 足满

0 = z 于仅

y = ν, yx = μ

yhsx soc i + c + x nis = νi + u = ) z ( f

) y ( g + yhcx nis = ) y ( g + xdyhcx soc ∫ = u :分积 x 对?1?将
y h s x ni s ? ? = y? x? y? x? ? = ? y h c x s o c = ν ? = u ? ? 1? ?得件条 R-C 由 u? ν ? ?2?

yhsx nis = ) y (′ g + yhsx nis )y(g 求?2 入代式上将

c = ) y ( g ,0 = ) y (′ g ∴

yhsx soc = ν?3? ) y 2 + yx 2 ( i + )c + 2 y ? x 2 + 2 x ( = νi + u = ) z ( f c + 2 y ? = ) y ( g ∴, y 2? = ) y (′ g c + 2 y ? x2 + 2x = u

ν, 0 = yhsx soc + yhsx soc ? =

y ?

ν2 ?
2

+

x 2?

ν2 ?

) y ( g + x 2 + 2 x = ) y ( g + xd)2 + x 2 ( ∫ = u

)y(g 求?2 入代式上将

2 + x2 =

y?

y 2? = =

ν?

x? ?1?得件条 R-C 由 u?

y? x? ?2 ?= u? ν?

:分积 x 对?1 将

y ,x

2

c = 2 ν+ 2 μ

?

0≠c

?2 ?1 ?一法方

) z ( f ,0 = ν = μ 即? 0 = 2 ν + 2 μ 则? 0 = c 若
c = 2 ν+ 2 μ = )z ( f

νi + μ = ) z ( f
y?

) z ( f mI = ν若
) 0y , 0x ( ) y ,x (

D 在 )z ( f

?2?

)数常(

0

x?

ν = 0 ν + ) yd
y?

μ?

x?

+ xd

μ?

?(

∫= ν

0=
。数常为 D 内在

μ?

,0 =

μ?

?数常

= ) z ( f eR = μ 若 ?1?

)z ( f

) z ( f 若?明证

c + z 2 = c + 2 e ρ2 =
?
i

z 2 = )z ( f得此由?0 = c得式上入代0 = )0( f将 2 2 nis ρ2 + c + soc ρ2 = vi + u = )z ( f见易

?

?

ρ2 2 2 2 2 ? ρ d soc = ?d ?u + ρ d ρu = ud为分微全的u ) soc ρ2 ( d = ?d nis ? ? ρ ? 1 ρ2 ρ? ?? 2 ρ? ρ ρ? 2 2 ρ ? = , soc nis ?= = = ? ρ v? u? ? 1 v? 1 u? 2 得可?件条R ? C及 nis 2 i ρ = ρ + ? soc ρ ? =v由。法分微全用采)5( ?

2 c + soc ρ2 = u得

?

2 2 2 2 2 + ) ? 1( 2 z = + 2 z ? 2 z = )0 ,z (vi + )0 ,z (u = )z ( f得此由, =c i i i i 1 2 2 得求可式上由?1=v时1=y,0=x得i+1-=)i(f用利 c + 2 y + 2x ? yx 2 = )y ,x (v得 1 1 2 2 ) 2 y + 2 x ? yx 2( d = yd y u + xd xu? = yd yv + xd xv = vd得件条R ? C由?法分微全用采)4( 1 1

。程方线力电与线 势等的面平 ω .2 。面平半上的面平 ω 为变面平全的面平 z 则 z = ω换变作 .1 ?解 。程方线力电及线位等的近附面平体导大限无半的

0 > x 于位? 0?为势电求试 ?4

0 = y v = x v = y u = x u 有 立 联 式 四 , y u ? = x v - , y v ? = x u ; y u? = x v , y v = x u

。数常为) z ( f即?数常为v?u得此由

) z ( f 故?数常为 ) z ( ? = ) z ( f nl 故 )z ( ?知?1?3 由?数常为部实的 )z ( ?即

) z ( f gra i + ) z ( f nl = ) ) z ( f gra ie ) z ( f (nl = ) z ( ?于由

z 点即?数常为 ) z ( f

0 ≠ )z ( f

y? x?

y?

x?

0=

0 ≠ 2 c = 2 ν+ 2 μ =

μ? = μ?

μ ν 式列行树系于由 ν? μ
y?
x?

μ? 及 μ?

0=

y?

ν?

0=

y?

ν+

ν?

ν?

μ?

y?

。组程方次齐性线元二的

μ?

x?

μ

2
μ 1

0=

μ? 及 μ ? 于关是这
x?

0=

x?

ν?

ν+

ν?

ν+

μ?

x?

μ?

y?

μ

2

μ 1

z nl = ω换变作若题本

2

4

c4 = x 2 2c4? = 2 y ?为即程方线力电
?

μ4 + x 2 μ 4? = 2 μ ) 2 μ + x ?(4 = 2 ν2 μ 4 = 2 y 4 ν去消?方平的式下入代式上将
4

1 1 c 4 + x c 4 = y ?为即程方线势等 2 2

4

ν4 + x 2 ν4 = 2 ν) 2 ν + x (4 = 2 ν2 μ 4 = 2 y

μ 去消?方平的式下入代式上将

μ

yi + x = z = 2 ω = 2 ) νi + μ ( z =ω

yi + x = νμ 2 i + 2 ν? 2 μ

y = νμ 2 ? ? x = 2 ν? 2 μ ?

?数常? 2 ?数常? 1

c= μ

ν

c= ν

πk 2 i

.) ? ,2 ±,1 ±,0=k(πk=z为集点零的z nis 得即 i2 = z nis由?如例 解 e与?1 = e得0 = e ? zi e
z2i zi ?

)合集的点的0为值数函即(集点零的zhc ,zhs ,z soc ,z nis 求试.8
z?

? zhs = ' )zhc()4( ;zhc = ' )zhs ()3( ;z nis ? = ' )z soc()2( ;z soc = ' ) z nis()1 ( 明证试.7

2 2 =? ? = ' ) zhs (有?发出义定由?明证例为)3(以 证 ′ e + ze e ? ze z?

z hs =

z?

2 = e ? ze

z i? i ?

i2 e?

z i? i

e

i-=)zi(nisi-

2

)

zi ?

i2 (+ ) e ? zi e 2

zi ?

4 1 = )2 + z 2 i ? e ? z 2 i e ? 2 + z 2 i ? e + z 2 i e( = 1 2 ( = z 2 s o c + z 2 ni? s 明 证 例 为)1( 以 仅 解 e + zi e

2

z h s1z h s ± 2z h c1z h c = ) 2z ± 1z ( h c ) 6 ( ;1z h c2z h s ± 2z h c1z h s = ) 2z ± 1z ( h s ) 5 (

;1z s oc 2 z n is ± 2z s oc 1z ni s = ) 2 z ± 1z ( ni s) 2 ( ; 1 = z 2 s o c + z 2 nis) 1 ( : 数 函 变 复 到 广 推 可 式 等 恒 曲 双 与 式 等 恒 角 三 的 数 函 变 实 ? 明 证 发 出 义 定 由 试. 5
2

; 1 = z2 h s - z2 h c ) 4 ( ;2 z nis 1z n is ± 2z s oc 1z s o c = ) 2 z ± 1z ( s o c) 3 (

]) yy v + xx v ( v + ) yy u + xx u( u + 2 y v + 2 y u + 2 x v + 2 x u[2 = ) z ( f?
2

) z (' f 4 = ] 2 y v + 2 y u + 2 x v + 2 x u[2 =
2

y ? x ? 2 2 ? + ? ? 2

0 = yy v + xx v = v 2 ? , 0 =
y 2

yy

u + xx u = u 2 ?
2

2 2 2 y u( 2 =

. 数 函 和 调 为v ?u 虑 考 y ?
2

v + 2yu =

x

v + 2 x u = ) z (' f x ?
2

) yy v v + y y u u + y v +

x? x? x? x v v 2 + x u u2 = v2 + u2 = 而 因 , 2 v + 2 u = ) z ( f 得v i + u = ) z ( f 由 解 2 v? u? )z ( f ?
2 2 2 2 2

)z( f

?

2 2

)z ( f

?

) z (' f 4 = ) z ( f
2 2

2

? ? 明 证 试 ? 析 解 内D 在) z ( f 若.4

x? 0 → ? x 0→ x ? xμ mil = )0 ,0( ′ 因? 0 = 1 ε mil 且 )0 ,0( μ ? )0 ,x ?+ 0( μ
1

0→ y ?

?1

2

) y ?( + 2 )x ?(

ε + y ?)0 ,0( y μ? ′ μ + x ?)0 ,0( x ′ μ=?0,0?

0 ? ? y + 2 x ? = ) y ,x ( μ 2 ? y 2x ?

) y ,x ( μ 设?法证反用?证

?子例的微可不

) y ,x ( μ 但在存 y ′μ ? x ′ μ ?二

?件条分充的析解

。析解

)2 ( f 则

)2 ( f ?4
“ 系关?3

”程教学分积微“ 。 ” 续连

y

′μ ? x ′μ

“ 于低”微可

) y ,x ( μ “于低”在存 y ′μ ? x ′μ

y 。微可 ) y ,x ( μ 则?续连且在存 ′ μ 及 x ′μ 若 ) y ,x ( μ ?2

) 2 ) y ?( + 2 )x ?( (0 + ) y ,x ( y ′ μ + x ?) y ,x ( x ′ μ = ) y ,x ( μ = μ ?

) y ,x ( μ = μ 称则?在存

) y ,x ( μ = μ 若

?1

) y ,x ( μ 故?盾矛?1 与这 2 2 1
1

= 1ε ∴

) x ?( + )x ?( 2 2 ) y ( ) x ?( = ? + 2 2 x ? 2 ) x ?(

0 → y ?= x ? 令。零于趋式方意任以可 y ? 与 x ? 然既
)0 ,0( μ ? ) y ?+ 0 ,x ?+ 0( μ = )0 ,0( μ?
?义定的

ε

?3

) y ?( + 2 )x ?( ) y ?+ 0 ( + 2 ) x ? + 0 ( 2 = 0? 2 y ? 2 )x ?( ) y ? + 0 ( 2 ) x ?+ 0 (

)0 ,0( μ? 由?面方一另

?2

1

2

) y ?( + 2 )x ?(

ε + 0 + 0 = )0 ,0( μ?

y? y 0 → ? mil = )0 ,0( y ′μ )0 ,0( μ ? )x ?+ 0 ,0( μ

y? 0→ y ? 0= mil = 0 + 2 ) y ?+ 0 ( 0? 0 i 2 ) y ?+ 0 (

x? 0 →x ? 0= mil = 0 + 2 )x ?+ 0( 0i 0 ? 2 )x ?+ 0(

td) ti2 ? t ? t4 ? ti2 + ti2 + t(
5 4 4 3 3 2

1

2

∫=
i +1

td) ti2 + 1( ) t ? ti2 + t(
4 3 2

1 2

∫ = zd z ∫ = I
2 i4 +2

4

td) ti2 + 1( = zd t ? 3 ti2 + 2 t = 2 ) ti + 1( 2 t = 2 z , 2 ti + t = yi + x = z ?1? ?解

i+1

2 ≤ t ≤ 1中其? 2 t = y , t = x 线物抛沿?1?
?是 l 线曲中其? zd
3

2 = θ d i θi e

π2

π∫ =

2

z

i4 +2

∫ 分积算计?2

I 故 ? θi e = z ?上线路分积的周圆位单沿在?3?

2 = e ?1 =
πi
θi

π

? e = z ?上线路分积的周圆半下圆位单沿在?2?
1? 1

0

?i

e= ?d eii1
?i

π
0

∫ = zd z ∫ 故
l

2 2 0 2 1? 2 0 1? x ? = xdx ∫ + xdx ? ∫ = zd z 1= + = x + 1 1 12 1 0 2 1 1 0

∫故

,xd=zd, x = z ,0=y?上线路分积的轴实沿在?1? ?解

。周圆半下的圆位单)3(。周圆半上的点原在心中?1 到 1接连?2? ?段线直的 1 到 1-接连?1? ?是 l 线曲中其? zd z 1.2.1 题习
l

∫ 分积算计.1

2 0 0 = td) t6 ? 3 t2 ? 21 + 2 t42( ∫ = }tdt2])3 + 2t(-)t2(3[ + td2] 2)t2( + )3 + 2t(2[{ ∫ = 3I 33 1 1 故?1=t和0=t应对别分)4,2(及)3,0(点?上线物抛在)3( 6 3 0 = yd) y ? 2 ? 3( ∫ + xd) 2 x + 3 ? 2( ∫ = 2I故,0=xd 301 4 2

,2=x?上线路的)4,2(到)3,2(由再;0=yd,3=y?上线路的)3,2(到)3,0(沿)2( 6 3 3 = yd)45 + y 93 ? 2 y 8( ∫ = }yd] y ? )6-y2(3[ + yd2] 2 )6-y2( + y 2[{ ∫ = 1I 79 4 4 故?6-y2=x即,0=6-x-y2为程方线直的)4,2(到)3,0(沿)1( 解 .1 ≤ t ≤ 0中其 ,3 + 2t=y,t2=x线物抛沿)3(
) 3.0 (

?线折的)4,2(到)3,2(由再?)3,2(到)3,0(沿)2(?线直的)4,2(到)3,0(沿)1( 为别分线曲分积 ,] yd) y ? x3( + xd) 2 x + y 2([
) 4.2 (

∫ = I分积算计试.3
i+1

i6 ?

3 1 1 ? = yd] yi4 ? ) 2 y ? 4([ ∫ i + xd] xi2 + )1 ? 2 x ([ ∫ = 68 4 2

i6 ?

) ydi + xd(] yxi2 + ) y ? x ([
1? 2
2 2

3 1 ? = xd ) i3 + 1(])2 ? x 3( xi2 + 2 )2 ? x 3( ? 2 x [ ∫ = 68 2
i+1

。线折的 i4 + 2 到再? i + 2 到 i + 1沿?3?

) ydi + xd(] yxi2 + ) y ? x ([
2 2

i 4 +2

∫= I

2 ? x3 = y 即? 1 ? x = 1 ? y ?为程方线直
i6 ?

1? 4

i 4 +2

∫ = zd z ∫ = I
i+1 2 i 4 +2

3 3 = ]) i ? 3 ? i3 + 1( ? )46 i ? 69 ? 84 i + 8([ = 68 1
2
6 5 4 3

。线直的 i4 + 2 到 i + 1接连沿?2?

3 1? 6 3? 1 ) ti ? t3 ? t3i + t( = ? t ? t ? ti + ? = 1 2?6 2 5 4 t? 3

2 lM2 。 证 即 ? ε ≤ I Δ 有 就 ? δ ≤ z Δ 要 只 ,) , ( ni m < ε 令 d 3dε d 2 此 因 ? 于 小 要 还 I Δ 到 虑 考 。ε ≤ I Δ 有 时 3 δ ≤ δ在式上 d lM2 2 ) ? d( d 2 d d L? ∫ δ ≤ I Δ 有 入 代 d = ξ ? z nim 3 δ ξ d ≤ lM2 M 2 < z Δ 令 妨 不 ? 限 极 分 积 的 时0 → z Δ 论 讨 是 题 本 因 。 立 成 式 上 d ) zΔ ? z ? ξ ( z ? ξ ) ξ( f
2 L

? ∫ zΔ

ξd

) z Δ ? z ? ξ( ) z ? ξ( L ? ) z ? ξ( ) z Δ ? z ? ξ( ) z ? ξ( ∫ 2 2 ξ = d ] ? [ ) ξ( f 1 1 z Δ ) ξ( f

L

? ∫

= IΔ

。 序 顺 分 积 求 与 限 极 取 换 交 以 可 ? 明 证 发 出 义 定 限 极 由 试 ? 续 连 D 在 ) ξ( f 若. 5
i π? = θ di i π = θ di i π? = θ d i
2

) z ? ξ( L ? ) z Δ ? z ? ξ( ) z ? ξ( L ? → zΔ ∫ ∫ 0m d il 即 ξ = ) ξ( f ) ξ( f

π

π2

π

∫=
0

z R C ∫ = = 4 I , 0 ≤ θ ≤ π , θi e = z ? 上 圆 位 单 在 ) 4 ( zd z R C ∫ = 3 I , π2 ≤ θ ≤ π , θi e = z ? 上 圆 位 单 在 )3( zd
RC

2 π3 2

π

∫=

z zd
RC

∫=
1

2

I,

π3

2

≤ θ≤ 2

2

π

, θi e = z ? 上 圆 位 单 在 ) 2 (

2

i π = θ di

π

?

2

π

=

θi

e θi ed

π

?

2

π

∫=

z zd

∫=

I,

2

π

≤ θ≤

π

? , θi e = z ? 上 圆 位 单 在 )1( 解

? 周 圆 半 右 的 圆 位 单 ?i 到i ? 接 连 )1( 为 别 分 线 曲 分 积 ,

? 周 圆 半 下 圆 位 单 的1到1 ? 接 连 )3 ? ( 周 圆 半 左 圆 位 单i 到i ? 接 连 ) 2 ( z l∫ 分 积 算 计. 4 zd

。算计化简大大可?零为不才分积项幂次一有只即 1?, n δi π2 = zd n ) a ? z (

61 i23 i2 + z 2 = i + z i23 )4 + z ( 2 = i + z ? ? ∫ ∫ 2 2 ? = i π2 ?= ? = ?b? π 1 zd 1 zd )4 + z ( 61 i23 i2 ? z i23 2 = i ? z 2 = i ? z ? ∫ ? ∫ 2 2 = = ?a? 1 zd 1 zd

π

= i π2

? ∫

?按奇有内路回在及以?零为分积项的析解内路回在用利

i2 + z i2 ? z i4 i4 8 = z ∫ ? = I )c( ( ? 0 = ) i π2 ? i π2( = zd) 1 1 1 1
= i π2i

)i2 + z ( )i2 ? z ( 61 i2 + z i2 ? z i23 +2 ? = )2 ( ?) ( 1 1 1 1 1 1 )4 + z (8 )4 + z (8 )4 + z (8 )4 + 2 z ( 2 2 2 2 2 ? = =2 4 ? 2z 1 )4 ? 2 z ( ? )4 + 2 z ( 1

)2(

i2 + z 2= i+ z i4 2 i4 ? ∫ ? = I )b( ? = i π2 i ? = zd 1 π 1 2 i4 i2 ? z 2= i? z i4 = = I ?a? 1 zd 1

π

? ∫

)

i2 + z i2 ? z i4 z +4 ? ( =2 1 1 1 1 ?1?

。零为分积项的析解意注?式分高最成展?解

8 = z 周圆 ?c?

2 = i ? z 周圆?a? ?为 l 线曲中其
)4 + z ( l ∫ 2 ?2? zd
;

2 = i + z 周圆?b?

;

4 + 2 z l∫ zd ?1?

。分积列下算计.1 2.2.1 题习

) z ?+ z ( F 故关无径路于而关有置位点端两与只分积?析解 ) z ( f 由 ?设 ) z ( f = ) z (′ F 且?数函析解的内 D 是 ξ d) ξ( f
0z

1l

? ∫

z

∫ = )z ( F

? ∫

? ∫

i π2 =

z 1l? ∫ = zd) z ( f zd

1l

? ∫

1? = z 及 0 = z 于位点奇的 ) z ( f? 1 + 1 = 1 + z22 = ) z ( f 数函积被 ?解
z
?2 = z ?4? ?

1+ z

z+ z

z + 2 z l∫ ?周圆为 l 线曲中其? , zd1 + z 2 分积算计?3
。零为分积故?析解内 D 域区通复闭在 1 数函积被?解
i ? z l∫ 线 界 边 内 及 2 = i ? z 线 界 边 外 由 l 线 曲 中 其 ? zd 分 积 算 计 .2
i?z

4 2 ; = ? z ?2? 1 1

4 = 1 + z ?3? 1

4 ; = z ?1? 1

。成构1 = i ? z

23 61 = 2 d ? = 2b , ? = 1c = 1a 1 1

?

) i2 ? z ( ) i2 ? z ( ) i2 + z ( ) i2 + z ( )4 + 2 z ( +2 + +2 = 2 i2 d + 2c i1d + 1c i2b + 2a i1b + 1a 1

0 = ) i π2 ? i π2(

i23 i2 + z i2 ? z 8= z i23 )4 + z ( 8 = z ∫ ? ∫ 2 2 ( ? = zd ) ? = )c( 1 zd zd 1 zd

0= 4I知可理定西科由?部外的 1 = i3+z 路回分积在?i-=z在点奇数函积被)4( 1+ z 3 ? z 4 = z ∫ ( ? + = 3I i π6 = i π2 + i π2 ? 2 = zd) 1 2
l

∫由?部内的4 = z 路回分积在1? = 2z?3 = 1z点奇 知可1?,nδi π2 = zd n)a ? z( ?

1+ z 3 ? z )3 ? z ()1+ z ( + = 式形部分为解分可数函积被)3( 1 2 1? z3 .0= 1I知可理定西科的数函析解由?部外的 1 = z 路回
2,1

.0= 2I知可理定西科由?析解)点远穷无含不(面平全在znis数函积被)2( 分积于位 ,2 = 3 i ±1? = z ,3 i ±1? = 2,1z为点奇个两的数函积被)1( 解

i + z 1= i3+z? ∫)4( zd z soc )3 ? z ()1+ z( 4= z? 1= z? ∫ ∫ 4 + z2 + 2z 1= z? ∫)1(分积算计试.5 ) 3 ( ) 2 ( ; ;zd ; n i s z d z 1? z3 zd z? 0→ z ? mil = ) z (′ F ?知可定数导由 ) z ( F ? ) z ?+ z ( F

)z ( f =

ε = ξd

z ?+ z

z

∫ε

) z ( f ? ξd ) ξ( f

z? < ξ d ) z ( f ? ) ξ( f 1
z ?+ z

z? z∫ z ? = ) z ( f ? 1 ) z ( F ? ) z ?+ z ( F ?有仅
z ?+ z

z

z? z? z ≤ ξ d]) z ( f ? ) ξ( f [ ∫ = 1 1 z ?+z

?质性的分积用利? δ < z ? ξ 则? δ < z ? 取今。 ε < ) z ( f ? ) ξ( f 有 δ < z ? ξ 当使? 0 > δ在存? 0 > ε 给任?续连 z 在 ) z ( f 由又 ?时 ?线直取 z ?+ z 到 z 中其?
0z

ξd) ξ( f

z

z ?+ z

∫ = ξd) ξ( f

0z

z

∫ ? ξd) ξ( f

z ?+ z

∫ = ) z ( F ? ) z ?+ z ( F

4 质性分积由?取任可径路分积的 ) z ( F 与

1 = ) Z ( f 取可均分积个四?时式功西柯用应

zd])

i4 4 0 = ) i π2 ? i π2( ? ) i π2 ? i π2( = 1 1 1? z i + z i ? z i4 1 + z 1 ? z 4 2 = z ∫ ∫ 4 2= z ? ( ?) ( [ ? ? ? = ?3? 1 1 1 1 1 1 zd

?零 为 数函 其。 0 = z 点奇去可 有只 内圆 在数 函积 被? 说来 理定 西柯 从 ?析解内圆在 z nis = ) z ( f ?看来度角的式公西柯用应从

1 = )z ( f

0=

0= z

z nis i π2 = zd

z 5 = 1 ? z ? ∫ ?2? z n is

0 = i π2 ? i π2 = zd)

1

?分积列下算计 .1 3.2.1 题习
) 1θ ? 2 θ( Ki = zd) z ( ?

RC

RC

∫ mil

∞→ R

) 1θ ? 2 θ( ε <

∫ K ? ) z ( ?z xam ≤

z RC RC ∞→ R ] K ? ) z ( ?z [ ∫ = ) 1θ ? 2 θ( Ki ? zd) z ( ? ∫ mil zd a?z zd
RC

RC

∞→ R

∫用利?ε <
2

K ? ) z ( ?z 有

∫ mil 则?立成致一 K = ) z ( ?z mil 上) θ ≤ θ ≤
∞→ R

1

θ ,∞ → R

′ zd

′z ? z )′ z ( f

′z ? z l? ∫ i π2 + z d ′ 1 )′ z ( f

Rc ? ∫ i π2 = ) z ( f 。析解中域区通复闭 1

l 为 ′ z ?点的部外 l 线曲闭为 z 中其 ′zd )′z ( f

′z ? z l? ∫ i π2 = ) z ( f 1

?则? ?关无角辐与即?零于趋地致一 ) z (

f ,∞ → z 当

!n = z
n

0= ξ

ξz

!n e = 0= ξ z
n

ξz

!n ξ ∫ i π2 1+ n l? 。数然自为 n ?线曲的点原围包为 l 中其? z = ξd e 1 ?明证试?3 n ξz

ξ d 1+n

) a ? ξ( l i π2 ? ∫ = ) a( ) n ( f 用利 ?证 ) ξ( f !n

ξd ! n ξ l ∫ i π2 en = ξd 1+ n ? ξd 1 e 1 ξz

iπ =

0= z

z

2 。了数分有就也?点极阶一有 π = z 在数函积被则? z soc 2 是子分果如
。致一 1?, n δi π2 =
2

zd !2 z = z 1 ? ∫ e2 = zd 3 ?2? d i π2 e z
2

∫ 与?了数分有就方次一是母分果如 zd n ) a ? z ( ?
l
2

0=

π

=z

z soc i π4 =

π

=z

) z n is 2 (

2 ) ? z( 2 π zd !1 2= z ? ∫ = zd ?1? d i π2 z ni s 2

?分积列下算计
5 = iπ
2 ?= z 1

.2

2 +z ) 2 ? z (2 1 1= z ? ∫ )2 ? z ()1 ? z 2( 1= z ? ∫ i π2 = zd = ) 2 ? z (2 z z dz z

? 4?

)0( f π2 = θd)0( f
π2
0

∫ mil
0→ r 0

π2

0

∫ = θd) er( f θi

π2

0

∫ mil
0→ r 0

π2

επ2 = θd ε

π2

0

∫ < θd])0( f ? ) er( f [ θi
θi

π2

∫ ≤ θd])0( f ? ) er( f [ θi
π2
0

0 0→ r

,0 > δ给任?着味意续连域邻的点原在) er( f知可义定性续连数函变复由 解
π2

∫ 有?时 δ < r当使

∫ mil 证?续连域邻的点原在) z ( f设.6
n

) ea( 0∫ zi 1= z ? 0∫ ∫ n θi zd 1+ n e R = d e R = d eR=I a a e θ θ n n ) θn ? θ nis a ( i + θ soc a e e π2 π2 ea
z
θi

!n zd ! n = 0= z ) n (eR n a = a π2 e d π2 z n

zi = θd , θd θieai = zd得可 , θiea=z令 解 zd
θsoc a

.0>a数常中式?θd) θn ? θ nis a(soc

e

π2

0

∫ =I分积算计.5
Rc

π2i M

R ?R z

0 → M ∴ ? 0 → 地致一 ) z ( f ?时 ∞ → R 当
z ?R z ? ′z ≤ ′zd M )′ z ( f
Rc

′ zd

z ? ′z )′z ( f

z ? ′z l? ∫ i π2 ) z ( f = ∴ = 0 z d ′ 1 )′z ( f

? ∫∴

= ′ zd

Rc

? ∫

z ? R = z ? ′ z ≥ z ? ′ z 由? R = ′ z 上 Rc 又 M ≤ )′ z ( f ?值大最上 Rc 在 )′ z ( f 为 M 设

? ∫

′ zd

z ? ′z )′ z ( f

Rc

? ∫ ≤ ′ zd

z ? ′z )′ z ( f

Rc

? ∫

?知可 5 质性的分积由?算计来∞→ R 用利可
Rc

?关无小大 R 与

? ∫

?知理定西柯由。零为项一第明证现

RC

z- ξ R R π2 = ≤ ξd 2 M R π2 M ) ξ(f

? ∫ π2 ≤
1

R ∞→ R ∞→ R mil = ) z (' f mil 见易 M

ξd 2

)z- ξ( RC i π2 ? ∫ = ) z (' f 有?模取端两)1 = n ( ) ξ (f 1

。数常为必) z ( f则?界有时∞ → z当且?析解上面平复在 ) z ( f 设?理定尔维刘明证.9

θd ) er + z ( f
θi

0

π2

0

er π2 θi = θd i e r θi ) θier + z ( f 1

π2

∫ i π 2 = ξ d z- ξ ? ∫ i π2 =)z(f有即
l

1

) ξ( f

1

θd) θier + z ( f

π2

?内域区析解于位?周圆在它于等?值的心圆在数函析解?理定均平明证.8

?0=) ξ(g-) ξ(f=) ξ(H有 ξ点一任上l线曲由样这

)z(g=)z(f 得即,0=)z(g-)z(f=)z(H有z点一任部内l线曲致导

z- ξ l i π2 ? ∫ =)z(H 0 = ξd ) ξ(H 1

. π 2 nis = π

)

(

?= x | x soc x nis 2? = π

1hc = xd])1 + x ( δ + )1 ? x ( δ[

?= x | 2 nis

xd ∞? ? = xd π ? x ' δx 2 nis ∫ )3 ( d ∞ 1 = 0 soc = xd) x ( δx soc
∞? ∞

2 ∞? ∞? e ∫ = xd)1 ? 2 x ( δx e ∫ ) 2 ( 1x ∞ ∞

)

(

∫ )1(

∞? ∞

xd π ? x

)

(

'

δx 2 n i s

∫ ) 3(

x d) 1 ? 2 x ( δ x e

∞? ∞

∫ ) 2(

x d) x ( δx s o c

∞? ∞

∫ )1(

?| natcra 1 = ∞∞

π
1

2.1.8

ε

=

2

) ε + x ( π ∞?∫ ∞→ ε v + 1 ∞? π 2 ∫ mil = xd 2 ε vd ∞ 1 ∞
mil = ,0 =

επ ∞ → ε
1

)

)

2

ε + 2 x ( π ∞→ ε ε
mil

,时0 = x当 ?时0 ≠ x当 解

2

ε + 2 x ( π ∞→ ε ε
mil

2

)

2

x n + 1( π ∞→n
2

n

mil = ) x ( δ

)

2

ε + x ( π ∞→ ε ε

mil = ) x ( δ

2 2

π n?

e

π

∞→ n

n

mil = ) x ( δ
1.1.8

0 = xxw 2 a ? ttw ?性意任的 x 由

x ) xxw 2 a ? ttw ( = 1 x x x x x ]) 2 ? x + 2 + x ? xxw ( 2 a ? ttw [ = 1 w2 w2 w2 w2 x x 3 4 a2 ? a ? ttw = w ? x xw 2 x 2 )w ? x xw ( ? x xw 2 3 x x x x 2 ( + x ) 2 x ( 2 a ? ttw = 1 w ? xw 2 a2 w? w )

0t x? x ? x xx ? x ? ?x? ] ? ? + ? ?[ 2 a ? ? ? = 0 ?w ?2 ?w ? ?w ?

x = ) t ,x ( u 即? ) t ,x ( ux = ) t ,x (w 令?解 ) t ,x (w x + xx u( 2 a ? ttu 为程方动振纵的杆锥圆细知已 2.1.01 2

ta 2 ? 2 ?

tx + 2 t2 ax 3 + 3 x = a4 + t ax 3 + 3 x = 1 22

sd s

ta ? x

ta + x

∫ a 2 + ] ) ta ? x ( +
1
3 3 2

2 ta ? x 2 a 2 s ? + ) 2 t2 ax 3 + 3 x (2 ? = 1 ta + x 2 1 1 2 ) ta + x ([ = ) t ,x ( u)2( 1
3

) 3 t3 a + ta 2 x 3(2 ta + x
3

3 t a + t2 x + ta soc x nis = 1

ta ? x 3 a 2 s ? + ta soc x nis = 1 1 1

a6 + t a s o c x n is = 1

sd 2 s
ta ? x ta + x

ta ? x

sd ) s ( ?

∫ a2 + ]) ta ? x ( ? + ) ta + x ( ?[ 2 = ) t ,x ( u)1(
ta + x

∫ a2 + ]) ta ? x (nis + ) ta + x (nis[ 2 =
1 1

1

2

x = )0 ,x ( tu

x = )0 ,x ( tu

,x nis = )0 ,x ( u

, 3 x = )0 ,x ( u

,0 = xx u2 a ? ttu)2( ,0 = xx u2 a ? ttu)1(

)3( ??? 1c = )x ( 2 f ? )x ( 1f 分积式?2?将

)2( ??)x (′2 fa ? )x (′1fa = )0 ,x ( tu = 0? ? )1( ???)x ( 2 f + )x ( 1f = )0 ,x ( u = 0?

) ta ? x ( 2 f + ) ta + x ( 1f = ) t ,x ( u ?为解通①?解 0 = )0 ,x ( tu

?件条始初由②

∞<x <0

? ) t(h = ) t ,0( x u? ,0 = ) 0 ,x ( u? ? 0 = xx u2 a ? ttu? e+

t ε?

ξd]) ξ( φ + ) ξ( ?ε[
]) ta ? x ( ? + ) ta + x ( ?[
0= t

ta ? x

ta + x

∫ a2
1

]) t ,x ( tu t εe + ) t ,x ( u t εe ε[ =

)x ( φ + )x ( ?ε = )0 ,x ( tu + )0 ,x ( u ε =
0= t t 0= t

2 1

t ε?

e = ) t ,x (w t ε? e = ) t ,x ( u ∴ ]) t ,x ( u t εe[ = )0 ,x ( tw

)x ( ? = )0 ,x ( u =

) t ,x ( u e = )0 ,x (w
?为件条始初的 w 于关)2(

0 = xxw 2 a ? ttw ∴

) xxw 2 a ? ttw ( t ε? e =

,0 ≠

t ε?

e 于由

xx

w t ε? e 2 a ? w t ε? e 2 ε+
xx

t

w t ε? e ε2 + w t ε? e 2 ε2 ? ttw t ε? e + tw t ε? e2 ? w t ε? e 2 ε =

+ ) tw t ε ? e + w t ε? e ε?( ε2 + t) tw t ε? e + w t ε? e ε?( =

w t ε?e2 a ? w t ε?e2 ε

xx

)w t ε? e( 2 a ? )w t ε? e( 2 ε + t)w t ε ? e( ε2 + tt)w t ε? e( = 0

) t ,x (w t ε? e = ) t ,x ( u 即? ) t ,x ( u t εe = ) t ,x (w 令)1(?解
∞ < x < ∞? ∞ < x < ∞? ? ,)x ( φ = )0 ,x ( tu ,) x ( ? = )0 ,x ( u? ? 0 = xx u2 a ? u2 ε + tu ε2 + ttu? ?

:程方入代

x x ]) ta ? x ( 2 f + ) ta + x ( 1f [ = ) t ,x (w = ) t ,x ( u 1 1 ) ta ? x ( 2 f + ) ta + x ( 1f = ) t ,x (w

.度浓的点置位意任求?零为外球?为度浓初的体气内球?零为度速初 的点质体气有所设假?型模想理为作?球的为径半个一是域区动振始初的体气匀均 1.2.01

a >t x a ≤t x

) ta ? x ( 2 f + ) ta + x ( 1f = ) t ,x ( u
?有即?解通入代④

? ? 0 ηd) η(h ∫ a?? a ?t x ?= ? 0? ?

1

2 = ) ta + x ( 1f ?4?到意注 c

? a 2 ? 0 )8( ? > t ? ηd) η(h ∫ a?? a 1c x ?t x ? = ) ta ? x ( 2 f ? 2 ? a )7( ? ≤ t ? 1c ? x 2 ? ? 0 )6( ?0 < ξ ? ηd ) η(h a ∫ a ?? 1c ξ ? = ) ξ( 2 f ∴ 2 ? ? )5( ?0 ≥ ξ ? 1c ? 2 0 ? ηd ) η(h a ∫ a? = c ξ
1 1

c ? ηd ) η(h

0 a

ξ

∫a ? 2 =
1

c

1

c ? ηd ) η(h a ∫ a ? ) ξ( 1f = ) ξ? ( 2 f ∴
0

ξ

1

a 0 )0( 2 f ? )0( 1f + sd ) (h ∫ = ) ξ?( 2 f ? ) ξ( 1f s ξ

c + ηd ) η(h a ∫ a =
0

ξ

a = η令 s

?分积并 0 > ta = ξ 令

) t(h = ) ta?(′2 f + ) ta(′1f

a ) (h = ) ξ?(′2 f + ) ξ(′1f

ξ

? = ) ta ? x ( 2 f 时此求面下?零于小可 ta ? x 但? 0 ≥ ta + x 因③
)5( ???)0 ≥ x ( )4( ???)0 ≥ x ( : )3( ? )1( : )3( + )1(

1

2 ? = )x ( 2 f c
1

2 = ) x ( 1f c

,? ?于小可也于大可既 ta ?R 而 ?C = ) ta + R ( 1f , 0R > ta + R 量宗,外球于位点 M 当)5(
0

R>R

0 0

R>R

0

R<R

, C? ? ? 2 ? = ) R ( 2f , C ? 0uR ? 1?

R<R

? , C? 2 ? = ) R ( 1f , C + 0uR ? 1?

C2 = ) R ( 2 f ? ) R ( 1f

0

R>R

0 = ]) R ( '2 f + ) R ( '1fa[

R = 0= t| tu 1

0

R<R

0

R 0? tu ? = ] ) R ( 2 f + ) R ( 1f [ = ) t , R ( 0 = ? 1 u?

?f与1f 球?4? 得可,式①件条试初入代式④ ,③ 将?式形数函的

] ) t a ? R ( 2 f + ) t a + R ( 1f [

R = ) t ,R ( u 1

) ta ? R ( 2 f + ) ta + R ( 1f = ) t ,R ( v
0=
RR

) uR ( 2 ?
2

R?

v 2 a ? t tv

R R? R R? = + 2 = u 2? 1 u? 2 u 2 ?

0

R≥R

0

R<R

? 0 = 0= t| tu? ? 0? ? = 0= t| u? 0u? ? ? 0 = 2 ? 2 a ? ttu?

.可即

0R 2 R nis 成换 0u 题上将中 ]) ta ? R ( 2 f + ) ta + R ( 1f [ = ) t ,R ( u 在 :解 Rπ 1

0

R<R

? 0 = 0= t| tu? ? 0R > R 0? ? = 0= t| u? ? ) 0R 2 / R π( nis? ? 0 = 2? 2 a ? ttu?

ta + R < 0R < ta ? R
0

ta + R < ta ? R < 0R

.题问解定解求 2.2.01

R < ta + R < ta ? R

] ) t a ? R ( 2 f + ) t a + R ( 1f [

? 0? R2 ? 0 ?= u ? ta ? R ? u?
0

0 0

R = ) t ,R ( u 1

R > ta ? R

, 0R > R

R < ta ? R

] ) t a ? R ( 2 f + ) t a + R ( 1f [

, 0R < R

, 0u

? ,0 ? R2 ? = ? t a - ??

R = ) t ,R ( u 1

) t( T 求?3? l2 n =) x( λ 得 π)1+n2( l n nis=) x( X 2 x π) +n( 1 0=)l(′X ? 0=)0(X 0 = ) x ( X λ + ) x (′′X 由

0=) l(′X 得 0=)t,l( u 由, 0=)0(X 得 0=)t,0(u 由

? 0 = ) t ( T a λ + ) t (′′ T? 2 ? ? 0 = ) x ( X λ + ) x (′′ X ?

x

) t( T) x ( X = ) t ,x ( u 令. 量变离分)1(?解 ? . 0 = ) t , l ( x u , 0 = ) t, 0 ( u ? ? 0 = xx u 2 a ? tt u ? ?

n

?) ta + x ( }?

?+? ? ) ta ? x ( nk nis + ) ta + x ( nk nis? ? nC k soc ? ) ta ? x ( nk soc?

ta + x

n n

n k nis ) ta n k nis nD + ta n k soc nC ( ∑ = ) t , x ( u

{∑ 2 = 1
∞ 1= n ∞
1= n ∞

a速相 , nk数波 , nω率频角用利并 ,

. .系关的式公尔贝朗达与式)41(论讨 , a nk = nω 系关的 l n / l2 nλ = nk数波的波谐次n 入引 1.1.11 π2 法量变离分的中系标坐角直 1.1.11

πn

=

π2

=

1= n l 2l nis nA ∑ = )0, x ( u= x ) x ? l( 由 x πn h4 ∞

1= n l l l n n ) (nis ]) (nis B + ) (soc A [ ∑ = ) t , x ( u x πn ta πn ta πn ∞
n

B

,n

A 数系定件条始初由?性交正的数函征本据根???

l l nis nB + soc nA = ) t ( nT ta πn ta πn
? ? ? ,2 ,1 = n
?)

l n (nis=)x( X x πn

, 2)

πn

l

(= λ 值征本

2 2 p2 2l x ) x ? l( = h + ) ? x( -=)h ? u( 故? )h, ( 在点顶 2 l l h4 1 p 2? = u ?为式形准标的线物抛
? l 0 = )0 ,x ( tu ,x ) x ? l( 2 = )0 ,x ( u? h4 ? 0 = ) t , l(u ,0 = ) t ,0( u? ? 0 = xx u 2 a ? ttu? ?

?为解的题问值征本????得后量变离分???

2x

2 ( 为点顶的线物抛?线 l

2 ,1,0 = n
)x π

l2 l2 l2 n n (nis ]) ta π (nis B + ) ta π (soc A [ = 1+n2 1+n2 1+n2

n n n ) t( T) x ( u = ) t , x ( u

l2 l2 n n n ) ta π (n i s B + ) ta π (soc A = ) t( T 1+ n 2 1+ n 2 l2 n n n 0 = ) t( T a ) π ( + ) t( ′′ T ?程方 ) t( T 入代 λ 将 2 2 1+ n 2

?为动振征本内管?4?

0= n l2 l2 l2 n n )x π (nis ]) ta π (nis B + ) ta π (soc A[ = ) t ,x ( u ∑ 1+ n 2 1+ n 2 1+ n 2 ∞
?为解通)3(

0=n l2 SY ?得 ) x π (nis nA ∑ = )0 , x ( u = 0 1+ n 2 x F ∞ n t 0 = B 得 0 = )0 , x ( u 由)4(

l2 n ) (=) x( λ ? 2 π)1+n2(

l n nis=) x( X 2 x π) +n( 1

?得可件条界边及程方定泛由)2(

)定固端0= X (

SY = )0 ,x ( u ∴ x 0F x x S Y= Y=P = 0 )0, x ( u ) 0 ,0 ( u ? ) 0 , x ( u F x 故? ) 0 ,0 ( u ? ) 0 , x ( u SY ) x ,0( 律定克胡据根? 0 = )0 , x ( u 件条始初 x F
0 = )0 ,x ( tu 0 = ) t , l( x u ? SY , 0 = )0 , x ( u ? xF ? ,0 = ) t ,0( u? ? 0 = xx u2 a ? ttu? ?
?为题问解定 )1(?解 4.1.11

? Y 为量模氏杨?S 为积面截横的杆设?动振 F 力掉去在杆求?长拉被而 0F 力受端一另?定固端一?杆的 l 为长

1= n l l 3n 3π ) (n i s ) (soc = ) t ,s ( u ∴ ∑ x πn ta πn ] n)1? ( ?1[ ∞ h 61 1= n l l n t (nis ) ( nB ∑ = )0 , x ( u = 0 由 0= B得) x πn a πn ∞

l 3h 3 π 2l ∫ l n nis x ) x ? l( c = xd = A∴ ] n)1? ( ?1[h 61 x πn h4 l 2

l 2 0∫ 0∫ l 0 ∫ 0 = xdx 0 l ε2 ? xd l ε = xd ) x ? l ( ε2 l 1 = A

0=n l 2 得 ε2由 ? soc nA ∑ = )0 ,x ( u=?x- ? x πn l ∞

n t 0 = B 得 0 = )0 , x ( u 由

0= n l l l n n ) (soc ] n is B + soc A[ ∑ = ) t , x ( u x πn ta πn ta πn ∞
l l n n soc=) x( X ? ? ?=) x( λ 2 πn x πn

.数系定件条始初由,性交正数函征本据根)4(

?x 2 l l 同 相 式 形 ?x - ? ε2 = )0 ,x ( u 与 ? = l l ε ) 0, x ( u2 2

2

?

2 l ? = ?x- ? ε2 = )0 ,x ( u ∴ lε l

2 x? l ) 0, x ( u

2 ? t ? 0 = )0 ,x ( u ,)x ? ( ε2 = )0 ,x ( u? l ? x ? ? 为题问 解定)1(?解 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u ? ? xx tt u2 a ? u ? ? 0=
。动 振的杆解求?动振由自其任后手放, ) ε2 ? 1( l 为小缩度长而从压受端两? 杆的 为长 5.1.11

0=n S Y l2 l2 2)1+ n 2 ( 2π = = ) t ,x ( u n is soc x π)1+ n 2 ( ta π)1+ n 2 ( l0F 8 n)1? ( ∞ SY c l l2 2 )1+ n 2 ( SY2 π n ∫ 0Fl8 )1? ( = xd x π)1+ n 2 ( nis x 0F l 2 = A n

1

。布分度温的上杆时 0 > t 在求? )x ? l( x = ) x ( ? 布分度温始初其知已?度零为持保端两的杆?杆细匀均的热绝界外与身杆? l 为长 7.1.11

0= n a π l2 l2 2)1+ n 2 ( 2 ∑ 0 = ) t, x ( u ∴ nis nis ta π)1+ n 2 ( x π)1+ n 2 ( 1 ∞ vl8 a π )1+ n 2 ( 2 ) 1 2 ( l a n + π 2 2 ∫ nis 0v 0 = xd = nB得 0vl8 l 2 x π)1+ n 2 (

0=n l2 l2 l2 nis] nis nB + soc nA [∑ = ) t,x ( u ta π )1 + n2 ( ta π )1 + n2 ( x π )1 + n2 (
.数系定件条始初由,性交正数函征本据根)4(

0= n l2 l2 nB ∑ = )0 , x ( tu = 0v 由 nis x π )1 + n2 ( a π )1 + n2 ( ∞ 0= n l2 nis nA ∑ = ) 0 ,x ( u = 0 由 ta π )1 + n2 ( ∞

,0= nA 得

∞ 加叠性线的解特)3(

? ? ? ,2 ,1 ,0 = n

,

l2 n ) (=) x( λ ? 2 π)1+n2(

l n nis=) x( X 2 x π) +n( 1

? t 0v = )0 ,x ( u ,0 = )0 ,x ( u? ? x 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u ? ? ? xx tt u2 a ? u ? 0=

l l 2)1+ m 2 ( 0 = m 2 π soc soc = ) t ,x ( u ∴ ∑ 1 ta π)1+ m 2 ( x π)1+ m 2 ( ∞ l ε8 2 2 l n 2 π2 n ∫ = xd ] )1? ( ? 1[ soc ) x ? ( ε2 0 l 2 = A n l ε4 x πn l

?得

πxn

0= n l soc nC ∑ = )0 , x ( u = x 由 ∞

?数系定件条始初由?性交正数函征本据根)4(

πxn
? ? ? 2 ,1 ,0 = n

0= n l e nC ∑ = ) t , x ( u soc t 2 a2 π2 n ? ∞
,
2

l n , soc=) x( X x πn

π )1 + n2 (
2

l4

= nλ

2

?为别分数函征本与值征本)2(

。律规的化变度温其求? x = )0 ,x ( u 时始初?热绝端两杆细的 l 为长 8.1.11

? ? x = )0 ,x ( u ? ? 为题问解定)1( ?解 0 = ) t , l( x u ,0 = ) t ,0( x u? ? ? xx t u2 a ? u ? 0=

l

πx )1+ n 2 (

nis

] )1? ( ? 1[ n

2 a2 π 2)1+ n 2 ( 3 π3n 2 l4 = xd

2l

?

3)1+ n 2 ( 0= n 3 π = ) t ,x (u ∴ e ∑ ∞ 2 l8 1

πxn

l l n ∫ n is ) x ? l ( x 0 l 2 = C

πxn

1= n l nis nC ∑ = )0 , x ( u = ) x ? l( x 由 l

1= n l l ni s e nC ∑ = ) t , x ( u 2 πxn ∞ ? t2 a 2 π2 n

.数系定件条始初由?性交正数函征本据根?4?

l nis=) x( n X x πn

l n ) (=) x( λ 2 πn

? ? )x ? l(x = )0 ,x ( u ? ? 为 解定 ?1??解 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u? ? ? xx t u2a ? u ? 0=

t2 a 2 π 2 )1+ n 2 (
2

l4

?

e

πx )1+ n 2 (

l2

)1+ n 2 ( 0 = n π nis ∑ 0 = ) t ,x ( u 1 ∞ u4

π)1+ n 2 ( l2 0 0∫ l n 0u4 = xd πx )1+ n 2 ( nis u l 2 = C ∴ 0=n l2 0 nis nC ∑ = )0 , x ( u = u 由 ∞
πx )1+ n 2 (

0= n l2 l4 e nC ∑ = ) t , x ( u n is 2 πx )1+ n 2 ( ∞ ? t2 a 2 π 2)1+ n 2 (

2

,
2

l2 n nis=) x( X … 2 ,1 ,0 = n , x π)1+n2(

π )1 + n2 (
l4
2

= nλ

? ? 0u = )0 ,x ( u ? ? 为 题问解定)1( ?解 0 = ) t , l( x u ,0 = ) t ,0( u? ? ? xx t u2 a ? u ? 0=

l 2)1+ k 2 ( 0 = k 2 π 2 l e ? = ) t ,x ( u soc ∑ 2 1 πx )1+ k 2 ( l ∞ l4 ? t2 a 2 π 2)1+ k 2 ( l 2 π2 n 2 π2n ]1 ? )1? ([ soc = 0| = n l πxn l2 l2 l l πn ∫ 0 ] xd n is 0 l ? l| πxn nis x [ 2 = πxn πn l l l n 0∫ l ∫ nis dx 0 l l 2 = xd πxn soc x l 2 = C πxn 2 l 0 = xd = C : 0 = n 1 l

。布分度温的杆求?热绝端一另 ?变不为持保度温端一其让??温常? 为度温始初?热绝身杆?杆细匀均的 为长?9.1.11

β

= l 即 ?时

2a2 π 2a2 π 2l

2l

= β当

?3?

β

。加增而加增 t 随 ) t ,x ( 1u

< l 即 ?时

< β当

?2?

β

。加增而加增 t 随 ) t ,x ( 1u

> l 即 ?时

2a2 π

2l

> β当

?1?

。可即件条的加增 t 随不 ) t ,x ( 1u 论讨故。加增间时随不 必 n u 即? 0 数指? 1 > n 对则?加增随不 1u 则? 0

< t)

< t)

2 a2 π

2l

? β ( 数指若, 1 = n 对因

2 a2 π

2l

? β(

πxn

l

ni s

t)

2 a 2 π2 n
t)

2l

? β(
l

1= n e nC ∑ = ) t , x ( u ∞

l 0 = ) t( nT) 2 ? β ( ? ) t(′nT得程方入代 a 2 π2 n
2 2 2

a πn
2

? β(

e nC = ) t( nT

2

.3

… 2 ,1 ,0 = n ,

1= n l nis ) t( nT ∑ = ) t , x ( u ?为解通 πxn ∞ l n nis=) x( X ?得件条界边 及程方定泛由 x πn
0 = ) t , l( u , 0 = ) t , 0( u

.2

?件条界边 .1

uβ =

xx

t u2 a ? u

?为程方定泛则, ) t ,x ( u 为度浓子中设?解 。度厚大最的加增间时随不度浓子中求?块铀状层的 为度厚究研??慢快殖增映反? u β 为示表可而从?度浓子中的处该于比正数子中的生 产中积体位单在中秒每?程过殖增的子中有还?外动运散扩的 子中除?中块铀在 01.1.11

? ? ) x (w ? 0T = )0 ,x ( u ? 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u? ? xx t ? u2 a ? u ? 0=
?题问解定的 ) t ,x ( v .2

x ) l α?e ? 1(

l2 a 2 α 2 a2 α ? ) l α? e ? 1( = )x(w ∴ A A

2 a2 α 2 a2 α , + l1C + l α?e ? = )t,l(w=0由 A A 2 a2 α 2 2 a2 α = C ∴, 2C + ? = )t,0(w=0 由 A A
2

) l α? e ? 1(

2 a2 α ? = 1C ∴ A

C + x 1C + x α?e

2a α 1C + x α?e A ? = w ?次两分积 2a xx e ?= w x α? A 0 = tw 则? )x (w = ) t ,x (w 取若

2a2 α ?=w A

) t ,x (w + ) t , x ( v = ) t ,x ( u 令?一法方?解

x α?

eA =

? ? 0 = ) t , l(w ? ? 足满 ) t , x (w 设 0 = ) t ,0(w ? xx t ? w2a ? w?

? ? )量常( 0T = )0 ,x ( u ? 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u? ? xx t ? u2 a ? u ?
x α?

eA =

? 1=n l eA ? nis ) t( n f ∑ = x α- ? x πn ∞ ? 1=n l nis nC ∑ = 0T ? x πn ? ∞ ? 1=n nis ) t( nT ∑ =)t,x(u ? ?
l x πn

.2 .1

… 2 ,1 = n ,

l 0 nis{按 T, eA,)t,x(u将 开展} x αx πn l n nis=) x( X 为集数函征本 x πn

l ] x

)

l α?

e ? 1( ? )

l α?

α a l nis e ? 1([ 2 2 + A x πn t

2 π2 n 2 a

l

?

ei

) 2 π2 n + 2 l2 a ( πn 2 a πn } +] )1? ( ?1[ 0 { ∑ = ) t , x ( u ] n)1? (? l α?e [ 2 lA 2 n T2 ?得 ) x (w + ) t , x ( v = ) t , x ( u 入代 ) 2 π2 n + 2 l2 a ( πn 2 a πn + ] )1? ( ? 1[ 0 = n ] n)1? ( ? l α?e [ 2 lA 2 T2 2 l n ∫ xd nis ]) x (w ? 0T[ 0 l 2 = A∴ x πn 1= n l 0 nis nA ∑ = )0 , x ( v = ) x (w ? T 由 ∞

πxn

1= n l n l e A ni s = ) t ,x ( v ∑ 2 πxn ∞ ? t2 a 2 π2n ? l ? nis? 集数函征本对 ) t ,x (v 将 ?1? ? πxn ?

?

l x πn

n is n f

∑=
1=n ∞

l a πn

= n γ令并?性交正的 }
2

l x πn

nis{由

l x πn

1=n l nT[ ∑ nis ]) t( nT 2 + ) t( ′ a 2 π2 n ∞

x α-

eA,)t,x(u 将.3

l l πn 0 l π2 l n ∫ ] n )1?( ? 1[ 0 = | soc ) ?( 0 = xd x πn nis 0T 0 l 2 = C l T2 l x πn T2 π n+ α l 2 2 = nf ∴ ] n )1?( l α-e ? 1[ 2 2 πnA 2 αl αl ] n )1?( l α-e ? 1[ 2 2 = ) 2 2 + 1( n f ?项移 πnA 2 πn 2 2 αl αl A2 2 2 2 2 n i ? ? ? f ] 1 ) 1 ( e [ ?= n x αl 2 π2 nA 2 πnA 2 αl l 0∫ 2 2 x α-ed x πn soc l πnA 2 ? = αl l l l nis x α-e[ ?= x πn A2
∫ ] xd x πn soc x α-e 0 l

πn

? 0l|
xd

l l ∫ nis x α-e 0 l A2 x πn

= nf

?解得入代 )t,x(u 数系将 .4

nC ?

n 2 n

nr r 2 = nB , n C = nB ? n f f

: 性交正}

l x πn
n 2 n

nis{由

l x πn

nis ) t( nC ∑
1=n ∞

l = x πn

r 1=n nis ] nB ? [ ∑ ∴ f ∞
0
n

T = )0 ,x ( u由
B 数系定件条始初由.4
n 2 n

l x πn

n is ]

t2nr ?

r 1=n e nB ? [ ∑ = f ∞
1=n ∞ n 2 n

l x πn

nis ) t( nT ∑ = ) t ,x ( u
n γ? t2

e nB +

γ

f

= ) t( nT

e nB = 2 ? ) t( nT n γ? nf t2 : 得可数指取后分积
n

γ

n

γ

td

n γ? = ]2 ? ) t( nT[ 2 nf

n n n γ + ) t( nT f ) t ( T = ′ 2

]2 ? ) t( nT[ d nf
n

γ

l l soc t ω nis A = soc ) t( n f xπ x πn

∑ = ) t ,x ( f
0=n ∞ 1=n ∞

l soc ) t( nT x πn 开展} l soc{照按) t ,x ( x πn }

∑ = ) t ,x ( u
)1(

f ,) t ,x ( u 将 )2(

l soc{为集数函征本 x πn

0 > t , l < x < 0 , t ω n is
l x πn

? ? 0 = )0 ,x ( tu ,0 = )0 ,x ( u ? ? 0 = ) t , l( x u ,0 = ) t ,0( x u ? l xx tt soc A = u2 a ? u ? ? xπ nis }

t 2)

l (? a πn

πn e] n )1?( ? 1[ 0 + T2

]

t 2)

l (? a πn

) α l + π n( a πn 1=n {∑ = e ? 1[ 2 2 2 2 2 ] l α? e n )1? ( ? 1[ 2 lA 2 ∞ n is ]
t2nr ?

l x πn l x πn

e nC + )

t2nr ?

nr 1=n 2 [ ∑= e ? 1( n f ∞

n is ]

t2nr ?

nr nr 1=n 2 2 (? n [ ∑=)t,x(u e ) nC ? n f f ∞

1 1= n 2 γ ? 2w n n n n 0 0 ) t γ nis b + t γ soc a( ∑ + ? b + t a=)t,x(u l ∞ soc tw nis A xπ

:)t,x(u回代)3( ,)2( ,)1(将 )1 > n ( t n γ nis nb + t n γ soc na = ) t( nT得?3? 由 1γ ? w 2 2 ? t1 γ nis 1b + t1 γ soc 1a = ) t( 1T t w n is A
1 2 r ? 2w = c∴ A? 1 tw nis A = tw nis c r + tw nis wc ? 2 2
c 求程方入代解特将

l l 1 1 1 tw nis c + n is b + soc a = ) t( T 得?2?由 ta π ta π 0 0 0 b + t a = ) t( T 得?1?由 n n n 0 = ) t( T r + ) t( ′′ T ,1 > n )3( 2 1 1 1 tw nis A = ) t( T r + ) t(′′ T ,1 = n )2 ( 2 0 0 = ) t( ′′ T ,0 = n )1(

l soc tw nis A xπ

=

l a πn

=

n γ令 , }

l soc{由 x πn

l soc ]) t( nT x πn

2

0=n l 2 nT[ ∑ + ) t(′′ a 2 π2 n ∞

l ) ( ? 2w πa 2 l l l a π soc ] tw nis ? n is w [ = xπ a π ta π lA 1 1 1 γ? w ) γ ? w( 1 γ l 2 2 2 2 + l ? = ) t ,x ( u ∴ soc t1r nis xπ wA soc tw nis A xπ )1 ≠ n (0 = nb ∴ )1 ≠ n ( ,0 = nr nb 1 1 ) γ ? w( 1 γ γ? w 2 2 2 2 = 1b ∴, = 1r1b wA wA
?得?性交正的 }

0 = 0a

1 1= n γ? w 0 l 2 2 n n ? a=)0,x( t u=0由 soc γ b ∑ + l x πn ∞ soc wA xπ 1 1= n γ? w l 2 2 0 n n soc t γ nis b ∑ + l ? t a=)t,x(u ∴ x πn ∞ soc tw nis A xπ
?1? ?2?

l soc{ 由再 x πn

0=)0,x(u?件条始初

0=)t, l(u,0=)t,0(u?件条界边

b = uf + xx ua ? tu?为写简

s ρc s ρc ρc u ? + xx u = tu ?4? Lh r 2 I k 有即?tdvd ρ c以除

tdxdLuh ? tdxdr 2 I + tdvd xx uk = udvd ρ c ∴

.udvd ρ c = Qd足满 , ud升度温体导内vd 卡42.0当相耳焦1

?量热示表卡用( tdxdr 2 I 42.0 = tdR 2 I 42.0

?量热示表耳焦用( tdxdr 2 I = tdR 2 I

tdxdLnh ? = tdxdL ) s| u ? 1u(h ?为量热的入流面侧过通

。量热的质介围周到流为tds ) 1u? s| u(h = Qd

tdSxd )

?出指律定却冷顿牛由)2( tdvd xx uk = x? x? x? x? k ? tdS xd + x| k ( k = td S x | u? ? u? u?
tdS 为量热入流端两过通 n? ? k = Qd律定叶立付由?1 u?

}

l x πn

nis{由

l x πn

nis ) t( nb ∑ =
1=n ∞

l x πn

nis}) t( nT] f

l nT{ +? ? [ + ) t( ′ x πn
2

∑ ?1 ?
1=n ∞

πn l πn ] )1 ? ( ? 1[ n b2

=

0 l s oc |] l x πn

l ?[ b2

l = xd x πn

0 l n i s b ∫ = nb 中 其 2 l

l x πn

n i s ) t ( nb ∑ = b
1=n ∞ 1=n ∞

l x πn

n i s ) t ( nT ∑ = ) t , x ( u
πn ] )1? ( ? 1[ n b2

l x πn

n i s {为 数 函 征 本 按 b 及 ) t , x ( u 将. 1

=

0 l πn |] soc l x πn l

l ?[ b2

l = xd x πn

0 l nis b ∫ = nb中其 2 l

l x πn

nis ) t( nb ∑ = b
1=n ∞ 1=n ∞

l x πn

nis ) t( nT ∑ =)t,x(u

l x πn

nis{为数函征本按b及) t ,x ( u将.1

s ρc l 2 + ] [)1 + k 2 ( 0 = k πρ c l Lh 2 π2 a 2 )1 + k2 ( ∑ nis = x π)1 + k2 ( e ?1 r2 I4 ∞
t] l s ρc 2 [? + Lh 2 π2 a 2 )1+ k 2 (

l 2 f+ l π a )1 + k2 ( 0 = k 2 2 2 ∑ = ) t ,x ( u ∴ e ? 1{ nisi} l 2 π)1 + k2 ( x π)1 + k2 ( t] f + [? ∞ π a )1+ k 2 ( 2 2 2 b4 l f + 2) ( α πan n πn ? = nb ? = A ] n )1? ( ? 1[ b2 l nis{由 ?性交正} x πn l α 1= n nis ) nA + ( ∑ =)0,x(u=0 nb x πn ∞
n

A 定 件 条 始 初 由) 2(

l ni s ) x πn

t α?

enA +
t α?

α
n

enA +

b

(

1= n ∞

n

α
b

= )t,x( u = ) t( n T td

]

α
nb

? ) t( n T[ α? =

]

α
nb
l x πn

) t ( n b = ) t ( n T ] f + 2?

? ) t( nT[ d

? [ + ) t ( ′n T

? l a2 a2 0 = )0 ,x ( tv ,x ) + 2 ( ? x 2 = )0 ,x (v? 2 B lA A ? ? ? ? ? 0 = ) t , l( u ,0 = ) t ,0(v xx tt u2 a ? u 0= :为解定的)t,x(v.2

l a2 a2 x ) + 2 ( + 2 x 2 ? = ) t , x (w ∴ B lA A ? l a2 + 2 = c得lc + lb = ) t , l(w = B由? 2 B lA ? 件条界边入代 ? xc + 2 xb = w得 d = ) t ,0(w = 0由 ? a2 2 ? = b ∴ , A = ab2 ? 程方入代 2 A ,件条界边及程方足满 d + sc + 2 xb = ) t ,x (w且 ) t ,x (v + ) t ,x (w = ) t ,x ( u令.1:解

0 > t , l < x < 0 ,A =

? ? 0 = )0 ,x ( tu ,0 = )0 ,x ( u ? ? B = ) t , l( u ,0 = ) t ,0( u ? xx tt ? u2 a ? u?

) t ,x (v + ) t ,x (w = ) t ,x ( u令.1:解 ? ? 52 = )0 , x ( u ? 04 = ) t ,3( u ,01 = ) t ,0( u? ? ? xx t ? u2 ? u 0=

)1 + x (01 = )x (w ∴ 3 01 = =a得b+a3=)t,3(w=04 b-04 01=b得b=)t,0(w=01入代

1= n l a2 a2 l l ( + 2 ? = ) t ,x ( u ∴ nis soc nA ∑ + x ) + 2 x πn ta πn B lA ∞ 2 xA a2 a2 l l l n ∫ xd n is ] x ) + 2 ( ? 2 [ 0 l 2 = A∴ B lA x πn 2 xA

1= n l l 2a2 2a2 nis nA ∑ = )0 , x ( v = x ) + (? 由)3( x πn B lA ∞ 2 xA 1= n l l n is soc nA ∑ ta πn x πn ∞

0 = nB得)0 ,x ( tv = 0由)2(

= ) t ,x ( v ∴

)

1= n l l l n n (nis ] n is B + soc A[ ∑ = ) t , x ( u x πn ta πn ta πn ∞

: 为解通的件条界边足满)1(

? πn ? k2 = n , 06 ? = ? 1 + k2 = n ,0? πn ] n )1?( + 1[ = 03 πn πn )1?(3 = + ] )1? ( ? 1[ n 03 02 n πn πn 3 0 3 0 ] d soc ∫ ? | soc x [ + ] )1? ( ? 1[ = x x πn 02 n 03 3 x πn 3 πn 3 3 0 3 0 πn 3 soc dx ∫ + | soc 51 ? = x πn 3 02 3 x πn 3 2 3 3 0 3 xd nis )x 01 ? 51( ∫ = nA ∴ x πn 3 2 1= n 3 nis nA ∑ = )0 ,x (v = x01 ? 51由)2( x πn ∞
1= n 3 n is e nA ∑ = ) t ,x (v 9 x πn t 2 ) πn ( ? ∞ 2

: 为解通的件条界边足满)1( ? ? x 01 ? 51 = )1 + x (01 ? 52 = )0 ,x (v? ? 0 = ) t ,3(v ,01 = ) t ,0(v ? ? xx t ? v2 ? v 0= 题问解定) t ,x (v.2

2

b a nis nis = mnv y πm x πn b a …,2 ,1 = n ,m ,) 2 + 2 ( π = mnλ m 2n

)y(y )x(X=)y,x(v令. ) 2 (

0=y β+ y ? ′ ′ ?:程方入代 0=X α+′′ X ?

0=)b,x(v=)0,x(v=)y,a(v=)y,0(v 0 = Tλ + ′′ T ? ? : 程 方入 代 0 = v λ + yy v + x x v ? :件 条界 边入 代

? ? ) y ,x ( ψ = )0 ,y ,x ( u ,) y ,x ( ? = )0 ,y ,x ( u ? 0 = ) t ,b ,x ( u = ) t ,o ,x ( u = ) t ,y ,a( u = ) t , y ,0( u? ? yy xx tt ? u ? u ? u? 0 > t ,b < y < 0 ,a < x < 0 ,0 =

) t( T) y ,x ( v = ) t , y ,x ( u令. )1( : 解

3 )1 + x ( 01 + nis x πn2

9 ? t2 π2 n 8

n2 1= n π e ∑ = ) t ,x ( u ∴ 1 ∞ 06

?为题问解定?1??解 。布分度温定稳的上面截横这 求?度温的低较持保边三它其?度温的高较持保边一的它?形矩为面截横的片热散.71.1.11

?? ? 1= m , n ? ? ? ? ? b a a a ? b ? ? b ? nis nis ? ? 2 + 2 t π ? nis m, nB + ? 2 + 2 t π ? soc m, nA ? ∑ = ) t ,y ,x ( u y πm x πn ? ? 2 m 2 n ? ? 2m 2n ? ? ∞
?以所
mn

1= m , n b a b a nis nis 2 + 2 πmnB ∑ = )0 , y ,x ( tu = ) y ,x ( ψ由 y πm x πn m 2n ∞ 2

yd x d

n b+ m a π b a 0 0 2 2 2 2 = nis nis ) y ,x ( ψ ∫ ∫ y πm x πn 4 b a

B得

1= m , n b a nis nis mnA ∑ = )0 , y ,x (u = ) y ,x ( ?由 y πm x πn ∞

ydxd

b a 0 0 ba nis nis ) y ,x ( ? ∫ ∫ = mnA得 4 y πm x πn b a 数系定件条始初由. ) 6 ( b a ni s ni si y πm x πn
t π( s o c
1= m, n ∞ mn

b a ]) 2 + 2 m n 2
2

b a t π ni s mn B + 2 + 2 m 2n
1= m, n ∞ 2

A[

1= m, n ∞

=

) t ( m n T) t , y , x ( m n v b a ) 2 + 2 m 2n
2

2

= ) t , y , x ( mn u

∑ =)t,y,x(u

) t ( T 求 i) 4 (

1= n a a h s nA 2 ∑ = nis y πn x πn ∞ 1= n ∞

a nis ) a e ? x πn ? y n
π

a n n B A 得 性 交 正 的 ? = } nis{由 x πn 1= n a nis ) nB + nA ( ∑ =)0,x(v=0由 x πn ∞

a y πn

e ( nA ∑ = ) y ,x ( v ∴

?为解的件条界边的x足满.)3( 1u ? 2u = ) b , x ( v ,0 = )0 , x ( v ? ? ? 为解定 的 新 ) y , a ( v ,0 = ) y ,0( v ? ? ?
0 = y y v + xx v
1

u + ) y , x ( v = ) y , x ( u令

? ? 2u = )b ,x ( u , 1u = )0 ,x ( u ? 1 1 ? = ) , ( , = ) , 0 ( u y a u u y u ? ? yy xx ? u+ u 0=

a h s 1 + k2 0= k π a π ) 1 2 ( b + k ∑ nis + 1u = a x π)1 + k2( 1 ∞ ) 1u ? 2u( ψ hs y π)1 + k2(

) y ,x (v + 1u = ) y ,x ( u ∴ a h s πn x πn 1+ k 2, n = δ 1u ? 2u a nis πn x πn ] n )1? ( ? 1[ 1 2 = u? u a hsa a πn 0 π x n |] soc ? [ = a 1u ? 2u a x πn a hsa a 0 x πn xd nis ∫ 1 2 = nA ∴ x πn u? u a a a a 0 xd h s nA 2 nis ) 1u ? 2u( ∫ = x πn x πn a 2 1= n a a h s nA 2 ∑ = )b ,x ( v = 1u ? 2u由 nis x πn b πn ∞

a a n is = ) x ( n X , 2 ) ( = n μ 得 …2 ,1 = n , πn x πn 0 = ) a ( X ,0 = )0( X ? ? ? 0 = X μ + ′′ X

? 0 = ) t ,a ,x ( u ,0 = ) t ,0 ,x ( u ? 0 = ) t ,y ,a ( u ,0 = ) t , y ,0( u? ? 0 = ) yy u + xx u( 2 v ? ttu ?

μ? = ) λ +

?题问值征本解求 ? . 4? 0 = Y) λ ? μ ( + ′′ Y? ? 0 = X μ + ′′ X ? X Y (? = ′′ Y ′′X

。率频征本的动振膜形方求
xx

a < y < 0 , a < x < 0 ,0 = ) yy u +

u ( 2 v ? tt u 为 程 方

?证得即子因公出提并?式①入代式②将 ②
3 n 0 n 0 ?

) ) (u( u ) ( ) ( ∫ ) u ( J 4 ? ) u ( J = ξ d ξ) ( u ξ
)0 (
n 1

)0(

n

1

n 0

?

?

)

(

) (
)0 (

? b ? ? 0 u ?j ?ξ ∫ 4 b = ρ d? ρ n ? 0j 3 ρ ∫ = I ξ d ξ)0n ( u? ? b ? ) 0( b 为写改可?则? = ξ令 ?解 ρ ? ? ? ? 0 u ? n b ? ? 2 )0( ? )0( u 0∫ 0 nu 1j ? ? ? 1 = d j =I ρ ρ ρ ? ? 3 4 b u b ? )0n ( ? ? ? 4

) (

mn

f

2

a2 π2 = = n + 2 m v mnw

?为率频动振征本的膜形方 a a nis mnB + soc mnA = ) t( mnT t 2n + 2m v π t 2n + 2m v π a 0 = ) t( T π) 2 ( v + ) t(′′ T n + 2m 2
2 2

? ) t( T求 . 5? a a ) ( + 2 ) ( = mv + n μ = nmλ ∴ 2 πm πn a a …,2 ,1 = m , nis = ) y ( my , 2) (=v得 y πm πm 0 = ) a( Y ,0 = )0( Y? ? ?
0 = Yv + ′′ Y

0u = )0 , ρ ( u ? ? 0 = ) t ,b( u ? ? 0 = u 2 ? 2 a ? tu ?

。化变的度温内柱求??数 常? 0u 为度温始初设?度零为持保面侧其?体柱圆质介热导长限无的 b 为径半 3.2.11 解得即

) ? , ρ ( u 入代
0

a 0 a nis ) ?( f ∫ ?d 2

?πn

a

a

πn

a

?

ρ = nC ∴

?πn

n is

πn

a

ρ nC = ) ?( nφ) ρ ( nR = ) ? , ρ ( nu

? ? ? 限有)0(R 0 ) a ( ) 0 ( φ φ = = ? ? ? 0 = R λ ? ′R ρ + ′′R 2 ρ ? 0 = φλ + ′′ φ ? 解定的程方分微常个两得件条的 ) ?,0(u 及 )0, ρ(u 与程方入代试上将 .1 ) ?( φ) ρ(R = ) ?, ρ(u 设?解 ? ? 限有) ?,0( u)4( ? 0 = )a , ρ ( u = )0 , ρ ( u)3( ? ? ) ?( f = ) ?, 0ρ ( u)2( ? ? ρ? ρ ρ? ρ? ρ a < ?< 0 = u2 ?)1(? ) (0 = 2 2 + ) ρ ( ? 1 u2 ? 1 u? ? ρ < ρ <0
0
?题问解定的内域区形扇解求试 2.2.11

) ρ nλ( 0 J t nλ a ? e nC ∑ = ) t , ρ ( u
0= n ∞
2 2

b

μ设.6 根个n第的数函尔塞贝阶零为) 0n ( …2 ,1 = n ,) ρ nλ( 0 J e = ) t , ρ ( nu
nλ a ? t2 2

n )0(

μ

= nλ ∴

) ρλ( 0 J = ) ρ ( R 为有的0= ρ在,程方耳塞贝阶零是程方) ρ ( R.4 ? ρd ρd ρ? ρ( b ≤ ρ ≤ 0 ,0 = R λ + ) 2 ?:得此由 1 R d d ? ?

: 为解特的件条界边及程方足满 ) b λ ( 0 J=0=)b(R 即 0=)b(R得) t( T)b( R = ) t ,b( u = 0 .5

0 > t ,0 = T2 λ 2 a + ′ T

TR a ρ d ρ d Rρ T a 2 = 2 :得 λ? = ) ρ( 乘 2 Rd d 1 1 ′T ρd ρd ρ a-′TR:得 ρ( Rd d T2 0=) ) t( T) ρ ( R = ) t , ρ ( u令

?为程方定泛故?关无 ?与u?性称对轴有又?关无z与u 知件条设题由?柱圆长限无是于由?中标坐柱在 化简的程方定泛.2

。程方尔塞贝阶零分微常的

) z (Z 于关及值征本一得?量变离分

.2

? 限有) z ,0( u ,0 = ) z ,a( ρ u ? ; ) ρ(f = )h , ρ ( u ,0 = )0 , ρ ( u? ? ;h < z < 0 ,b < ρ ,0 = u2 ? ? ) μ( J μ
n )0(

)

ρ

b

n )0(

μ( 0 J

t )
2

nμa )0(

(?

e ∑ u2 = ) t , ρ ( u ∴

)b nλ( 1J b ) n μ ( 1J n μ )b nλ( 1Jb nλ )0( )0( 2 2 = = = nC ∴ 0u2 0u2 nλ )b nλ( 1J 0u2 b nλ nλ nλ xd 0 0 ∫ 2 )x ( 1Jx 2 = xd])x ( 1Jx [ )bnλ( 1J = = 1 d bnλ 1 bnλ

b

xdx )x ( 0 J

0

bnλ

n 2

λ

1

= ρ d ρ ) ρ nλ( 0 J
1 2 2

0 b

) ρ nλ( J b
0=n ∞

?得可式公推递用利

) ρ nλ( 0 J nC ∑ = )0 , ρ ( u = 0u
b

ρ d ρ ) ρ nλ( 0 J

0 0

∫ u2 =

n

C∴

b 1 = )0( 0J = ) ρ n ( 0 J ∴ ??0为?根个二第的0 = )x ( 1J是) 00 μ ? ( μ ? )0( b 解的0 = )x ( 1J是就) ρ n ( 0 J根的0 = )x ( ′0 J ,)x ( 1J ? = ) x ( ′0 J由 μ ? )0( b b b 0 0 ρ d ρ) ρ ( f ∫ 2 = ρ d ρ ) ρ n ( 0 J) ρ ( f ∫ 2 = h 0B + 0A 2 2 μ ? b )0(
b

0 = nB + nA ,0 = 0 A得此由 ? 1=n b ? )ρ n ( 0J) b enB + b enA(∑ + h0B + 0A = )h ,ρ(u = )ρ( f ? μ ? h h ? nμ nμ ∞ )0( ? ? )0 ( )0 ( ? ? 1=n b ? ? )ρ
n )0(

μ ?
b

( 0J) nB + nA(∑ + 0A = )0,ρ(u = 0

1=n

.6

…,2 ,1 = n ,)

z

nμ ? )0(

?

e0B +

z

nμ ? )0(

b

enA ( ∑ + z 0B + 0A = )z , ρ (u

b

…,2 ,1 = n ,

z

nμ ? )0(

?

e 0B +

z

nμ ? )0(

b

e nA = ) z ( n Z

…2 ,1,0 = n ,

b
n )0(

μ ?

= nλ中其 ,) ρ

z 0B + 0A = ) z ( 0 Z ) z ( Z 解求 . 4 b

n )0(

μ ?

( 0 J = ) ρ ( nR

0 = ) z ( Z 2 λ ? ) z (′′ Z ? ? 限有)0( R ,0 = )b(′R ? 程方 ? 0 = R 2 ρ 2 λ + ′R ρ + ′′ R 2 ρ ?

0 J于由 …,2 ,1 = n的 μ?根的)x ( 0J是不0以所?0 ≠ ?0? b b

…,2 ,1 = n ,

n )0 (

n )0(

μ

= nλ中其 ,) ρ

n )0(

μ

( 0 J = ) ρ ( nR

? 0 = ) z ( Z 2 λ-)z(′′Z ? ? 限有)0( R,0= )b( R ? 程方尔塞贝阶零0 = 2 R 2 ρ 2 λ + ′R ρ + ′′R 2 ρ ?

。程方分微的)z(Z 于关及题问值征本一得:量变离分.2

? 限有) z ,0( u ,0 = ) z ,b( u ? ? k k z z ? q = )h , ρ ( u , q = )0 , ρ ( u? ? h < z < 0 ,b < ρ ,0 = u2 ? ?

?示表 ) z , ρ ( u = u 用可顾?性称对轴有布分度温于由?解 :题问解定.1 .布分度温定稳内柱求, 零为持保度温侧柱,出流流热 的样同有 底 F?入流流热的 q 度强的布分匀均有底上?h 为高?b 为径半的体柱圆 .5.2.11

b )h n (hs 1=n ) nμ b b μ ? ( 0J ? 0 2 )0( ∑ ( 0 J) ρ ( f ∫ ) 0 ( + ρ dρ)ρ nμ b b 2 ? b 0 )0( ρ ρ ) ( J ) ( hs ∞ nμ nμ ? ? )0( )0( 0∫ 2 bh = )z , ρ (u z2

ρ d ρ) ρ ( f

b

b h n hs 2 0 n μ b ( J b μ ? ? 0 ) ρ d ρ ) ρ n ( 0 J) ρ ( f ∫ ) 0 ( 2 2 ? ) 0 ( = nB ? = nA 2 1 μ ? b )0( b 0∫ h 2 b = 0B?0 = 0A?得可式上由 2

ρ dρ)ρ

n )0(

μ ?

( 0 J) ρ ( f

b

nμ( 0 J b b ? 0 ) ( 0 J) ρ ( f ∫ ) 0 ( 2 2 = ρ dρ)ρ 2 n )0(

μ ?

b

h

nμ ? )0(

b

?

e nB +

h

nμ ? )0(

b

e nA

b
n )0(

μ

( 1J ]

z

)h

b
n )0(

nμ )0(

b

μ

( hs ) ) 0 n μ ( 1 J 2 ) 0n μ 1= n ( ( 1 )h b
n )0(

?

e)

h

nμ )0(

b

e ? 1( +

z

nμ )0(

b

e)

h

nμ )0(

b

?

e ? 1([i

μ
)

( hs ) ) 0 n μ ( 1 J 2 ) 0n μk ( (
h
nμ )0(

k = )z , ρ (u ∴ qb = nB

b

e ? 1(bq

)h

b
n )0(

μ
)

μ ( 1 J 2 ) 0n μk ( hs ) ) 0 n ( (
nμ )0(

h

b

?

e ? 1(bq

= nA:得此由

? ) )0n μ(1J )0n μk ? ( ( n n = e B ? e A b b ? bq2 h h ? nμ nμ ? ? )0 ( )0 ( ? ? ) nμ(1J nμk b ) nμ( 1J nμk2 0 )0( )0( = ρ dρ)ρ ( 0J ∫ )0( 2 )0( = nB ? nA? nμ bq2 q2 ? b )0( 性交正的})x ( 0 J{由 ? 1= n b k? ) ρ n ( 0 J) b e nB ? b e nA ( ∑ = ) k , ρ ( z u = ? q μ z z ? nμ nμ ∞ )0( ? ? )0( )0( ? ? b b 1=n ? ? )ρ
n )0(

μ

( 0 J) nB ? nA (

n )0(

μ

∑ = )0 , ρ ( zu =
∞ 1= n ∞
z
nμ ? )0(

k q

b
n )0(

μ

( 0 J)

z

nμ ? )0(

b

?

e nB +

b

e nA ( ∑ = ) z , ρ ( u

。数级叶立付义广成开展数函球化一归按别分数函的上间区在义定列下将 3.3.11
'

mm

xd ) x ( lP) x (
|m| 1? 1
'

| ' m|

'

l

P

1? 1

δ ll δ =
'
' '

'

nm

δπ2 mlC m lC =
π2
0

xd ) x ( |m| lP) x ( | m|' lP

∫ ?d

?mi ?' mi ?

e

e

ml

C 'm' lC = θ d θ nis ) ?, θ( * Y

?解 明证细详的式?91?出给试 2.3.11

)1+ l ( ?

rB + l rA = ) r ( lR

π

0

∫ ?d ∫
π2
0

eB + ξleA = ) ξ( l? ∴ ξ)1+ l ( ? 2 2 )1 + l(?? ?= = = k∴ ? )1 + l2( ± 1? )1 + l( l4 + 1 ± 1? l : 程方征特得程方入代 ξ?e = ) ξ(?将.2 0 = ) ξ(?)1 + l( l ? ) ξ(′? + ) ξ(′′? 0 = ) ξ(?)1 + l( l ? ) ξ(′?2 + ) ξ(′? ? ) ξ(′′? 0 = )1 + l( l ? k + 2 k

ξd γ γ d ξd γ d γ ξd γ γ d γd ) ( ( +) ( =) = 2 Rd 1 d Rd d 1 Rd 1 d R 2 d

ξd 2 γ 2 ξd 2 γ ? = Rd 1 R 2 d 1

?程方入代

ξd γ γ d ξd γ d = ? = Rd 1 ξd Rd Rd ) ξ(? = ) r ( R .r nl = ξ设.1
?证

?是解的

rB + l rA = ) r( R 1? l ? 0 = ) γ( R )1 + l( l ? ) r(′Rr2 + ) γ(′′R 2 γ 明证.1.3.11

?项一第入代后数导的项一第算计?2?

xd xd 1? 1? ]xd )1 ? x ( l x 6? ∫ ? )1 ? x ( l ) 2 x3 ? 1([A ? = 2 d d 1 l 1 l
l 2 l 2 1+ l

xd xd 1? 1? ]xd )1 ? x ( 1+ l ) x3 ? 1( ∫ ? )1 ? x ( 1+ l ) 3x ? x ([A = 2 d 2 d 1 l 1 1+ l
l

] )1 ? x ( 1+ l
l 2

1+ l

xd !)2 + l( ! l 2 1 ? 1+ l [ d ) 3x ? x ( ∫ = d 1 !)2 ? l( 1 + l2

xd ! l 2 !)2 + l( 2 1 ? l xd )1 ? x ( 2+ l x ∫ = d ) 2 x ? 1( 1 !)2 ? l( 1 + l2
l 2 2+ l

2 1? !)2 + l( xd)x ( lpx ∫ = lc ∴ 2 1 !)2 ? l( 1 + l2 1 + l2 !)2 ? l( 1? kl δ = xd)x ( kp )x ( lp ∫由 2 2 2 !)2 + l( 1
2= l ∞ 2

m

)x ( lp lc ∑ = x ∴

1? ,1

e ? soc = ) ?, θ( f )2( ?2 i 3 3 + 11Y =

Y

π2

π2

8 3 8 3 e θ n is ? ? + ?ie θ nis ? ? = ?i ? π3 π2 π3 π2 2 2 e θ nis + ?ie θ nis = ) ?, θ( f : 解 1 1
?i ?

? soc θ nis = ) ?, θ( f )1(

1? xd xd ? 1 ∫ 1? l ? ? 0 = ]xd )1 ? x ( 1? l 6 ) 1 ( x x 6[A ? = 2 2 l l d 1 d 1? l 1? l 1? 1

k2 = l当,! l 2 + l2

? 1 + k2 = l当,0 ? !)2 + l( ! l 1+ l2 ? = lc ∴ ? !)2 ? l( 1 + l2 ?

l 1

)1 ? x ( 1? l
2

1? l

xd 1? x 6 ∫A ? d 1 项二第

] )1?( + 1[! l 2)2?(A ? =
l l

1? 1

l

)1 ? x ( l
2

xd ) x3 ? 1(A ? 项一第 d 2
l

1 + k2 = l当,0 ? ?= k2 = l当,! l 2+ l2A ?

1? 1

} l)1 ? x ( ) l(] l)1 + x ([ llc + ? + ) l(] l)1 ? x ([ l)1 + x ( 0lc{ = xd 1? xd 1? ] )1 ? x ( )1 + x ([ l = )1 ? x ( l 2 d 1 l d l 1
l l l

)零为余其(! l l)1 ? 1?( llc +! l l)1 + 1( 0lc =

] l)1?( + 1[! l l2 =

4 2 1 ? ) ?2 i ? e + ?2 ie( θ 2 nis + ) θ 2 soc ? 1( = 1 1 2 θ nis = 1 ? ? 2 soc θ 2 nis = ) ?, θ( f )3( 1? ?2 soc + 1 2 k)1 + k()1 ? k2()1 + k2 ( 1= k
2, k 2

Y

2 , k 2Y π4

π)1 + k4(

)1 + k4 ( = k )1 + k()1 ? k2()1 + k2(4
?2 i
2p e) θsoc( k2

2 ∑ = ) ?, θ( f ∴

1 + π4 !)2 ? k2 ( 2, k 2 Y = π4 !)2 + k2(
m

?mi

π4 !) m + l( e) θsoc( lp = ) ?, θ( mlY用利 1 + l2 !) m ? l(
?2 i

k )1 + k()1 ? k2 ()1 + k2 (2 1= k ∑ e) θsoc( p = )1 + k4( ∞
k2 2 k2 2

e θsoc = ) ?, θ( f ?2 i )1 ? k2 ( k2 )1 + k2()2 + k2( 1= k ∑ )x ( p = )1 + k4 ( ∞

1≠ k )1 ? k2 ( k2)1 + k2()2 + k2( )x ( p 2 )1 + k4 ( ∑ = 1 ∞ k2 2 k2 2

1= k 2= l ! )2 + k 2 ( )x ( p 2 )1 + k4( ∑ = )x ( lp lc ∑ = x ∴ 2 ! )2 ? k 2 ( ∞ ∞

) θsoc( lp lA ∑ = θ2soc:得)3(由)2(
0= l ∞ 0= l ∞

) θsoc( lp r lA ∑ = ) θ, r ( 1u ∴,0 = lB得)1(由)1(
l

? 0= l r ? l ) 1+ l + r lc( ∑ = )0 , r ( 2 u : 外球 ) θsoc( P ? l l D ∞ ? 0= l ? r ? 1+ l l l 1 ∑ + r A = θ ) θsoc( P ) ( ) , r ( u : 内 球 lB l ?

? θ2soc=) θ,1(u:系关值边 ? ? 0为定规,限有) θ,∞( 2 u ? ? 限有) θ,0( 1u : 件条界边 ? 1 > r ,0 = 2 u 2 ? ,1 < r ,0 = 1u 2 ?:程方?

2? , 2Y

51

π2

+ 22Y

π2

+ 02Y 5

π4

? 00Y

π61

?=

2? , 2Y

π23 1
?2 i ?

51

4

+ 22Y

π23 1
?2 i

51

4

+ 02Y

4 e θ 2 nis + 1

4 6 3 e θ 2 nis + )1 ? θ 2 soc 3( ? ? = 1 1 2

π61 1

6

? 00Y π4

3 ?= 2

0= l 3 3 ) θsoc( 0p + ) θsoc( lp = θ soc = ) θsoc( lp lD ∑ 2 1 2 ∞

γ 3 r 3 ) + ( = 1 ? θ 2 soc 3 1 1 2 2 r3 r3 ) ? θ 2 soc ( 3 + = 1 3 2 1 r3 r3 ) θsoc( 2p 3 + = 2u ∴ 2 1 3 3 )2 ,0 ≠ l(0 = lD , = 2D , = 0D 2 1 : 得性交正}) θsoc( lp {由

:得)3(由)4( r 0= l ) θsoc( lp 1+ l ∑ = 2u ,0 = lC得由)3( lp ∞ 3 3 3 3 r) ? θ 2 soc( + = ) θsoc( 2p 2 r + = 1u ∴ 2 1 1 2 1 3 3 )2 ,0 ≠ l(0 = lA , = 2 A , = 0 A 2 1

) θsoc( 0p

:得性交正}) θsoc( lp {由 0= l 3 3 ) θsoc( 0p + ) θsoc( 2p = ) θsoc( lp l A ∑ ∴ 1 2 ∞ 3 3 ) θsoc( 0p + ) θsoc( 2p = θ2soc ∴ 1 2 2 2 2 ? θ2soc = )1 ? θ2soc3( = ) θsoc( lp又 1 3 1

0= l r ) θsoc( lp ) + r lA ( ∑ = ) θ, r ( u B l ∞ 1+ l l

? ? 限 有0 = ) ? ,0 ( u ? ? 2 ? ? π ≤ θ < , 0 u?? ? π 0 ? ? r u θ ) , ( = 2 ? ? ; ≤ θ ≤ 0,0u ? ? ? π ? 2 ≤ θ ≤ 0 , 0r < r ,0 = u 2 ? ? ?

π

?为题问解定的新.3 。零为度温面底证保能才样这?题问球全为化题问球半把?拓延奇作将.2

? 2 0 = ) ,r( u ? π ? 0 0 ? θ u ) , r ( u = ? 2 ≤ θ ≤ 0 , 0r < r , 0 = u 2 ? ? ?

π

: 为 题 问 解 定.1
:解 。布分度 温定稳的球半该求试?零为度温持保面底的球半? 0

u 度温的定一持保面球的球半一 5.3.11

? 0r !!)2 + n2( ? 1 + n2 = l , )1?( 0 1+n 2 !!)1 ? n2 ( n u)3 + n4( ? ? = 1+ n 2A ? ? ?
0r 2 1 = l, 0 u3

0 = L A时数偶及0 = l当?见可此由
xd )x ( lp ∫] l)1?( ? 1[ 0
0 1 0 1 0r 2 l = lA ∴ u)1 + l2( 0

xd)x ( lp
2

l

)1?(? = xd)x ( lp

1 0

∫ ? = xd)x ( lp

1?

xd !l 2 l )x( lp )1?( = )1? x( l = )x( lp用并?x替代x ?用项二第 d 1
l l l

]xd)x( lp
π

0 2 2 r 0 l ] θd θnis) θsoc( lp 0u? π∫ + θd θnis) θsoc( lp 0u 2 ∫[ l = A 1+ l2 1? 0

0∫ ∫ l0r2 = l 1 + ) ( ? [ x d x p 0u) 1+ l2(

π

θd θ nis ) θsoc( lp ) θ, 0r( u
l

) θsoc( lp 0r lA ∑ = ) θ, 0r ( u
0= l ∞

π

0 0∫ l r2 = lA ∴ 1 + l2

) θsoc( lp r lA ∑ = ) θ, r ( u : 到得以可)1(由)2(
0= l ∞ l

0 = lB得限有) θ,0( u由)1(

? 限有)0( u ? 0 0 ? u r u ) ( = ? 0 r < = ?? r u , 0 2

? 2 0 = ) , r( θu ? π ? 0 0 ? u ) , r ( u θ = ? 2 ≤ θ ≤ 0 , 0r < r ,0 = u2?? ?

π

:为题问解定.1

0r )!n()1 + n ( 2 0=n 1+n 1+ n 2p ∑ ) ( 0u 2 = ) θ1r( u ) θsoc( 1+ n 2 r !)n2()3 + n4 ( n )1? ( ∞ 0 r ) ! n ( ) 1 + n ( 2 1+ n 2 2 1+n = 0 ! ) n 2 ( ) 3 + n 4 ( )1 ? ( u n 0r ! n 2 ! )1 + n ( 2 n 1+n 1+ n 2 = 0 u ) 3 + n 4 ( )1 ? ( !)n2( n

:解 。布分度温定稳内球半求试?热绝面底球半若?中题上在 .6.3.11

0r ! ! ) n 2 (!! ) 2 + n 2 ( 1+ n 2 = !! ) n 2 (!! )1 ? n 2 ( 0 u ) 3 + n 4 ( n )1 ? (

0r !!)2 + n2( )1? ( 0 1+n 2 = 1+n 2A !!)1 ? n2( n u)3 + n4 ( 0r 2 = 1A?即 u3 0

? ) θ ,?( 1u为记简可?关无 ?与u于由?示表 ) ? , θ ,?( 1u 势电内壳?一??解

?布分势电的外内壳算计别分试? θ nis 0u 为布分势电的上壳球的 0R 为径半 8.3.11 2 0

? soc θ nis

R

) θsoc( p R)?m nis mlF + ?m soc mlE(∑∑ = )?, θ, 0R(u∴

R

= ) ? , θ ,R ( U
0=m 0= l ∞ ∞

l m

0 l

ml

F = lcmB , mlE = lcmA令 ,0 = lD得限有)?, θ,0(u由)1(
1+ l l

0=m 0= l R ) θsoc( p ) + R lc()?m nis mB + ?m soc mA (∑∑ = )?, θ,R(u D l ∞ ∞ l m

? 限有) ?, θ,0( u ? ? soc θ nis = ) ?, θ, 0R ( u? ? ? 0 = u2 ?

?为式形的解.2

?为题问解定.1 解 。布分
0

A = ) 0r( u = 0u A = ) r( u

r + A = ) r( u B

.布分势电 的间面球两求 ,数常为2u , 1u , 0u 中其, θ soc 2u + 1u 为势电面球外, θ soc 0u 为势电的面球内 知已,点原标坐为心球以,b为径半外 ,a 为径内的面球心同 9.3.11
2

0

R>R

? ? ? ) θ soc ( 2P R ? R ? 0u 3 = ) θ ,R ( 2u R 0R ? 2 ?
3 0 3

) 2 ,0 ≠ l ( 0 =

l

B

3 0R 0u ,2 ? = 2B 2
0

, 0u 0R

3 = 0B 2

)21(

) x ( lP
1+ l

R

l

? 0u ?) x ( 2P ? ) x ( 0P ? B∑ =?
0= l ∞
0= l ∞

3 2

)11(

) θsoc ( lP
1+ l

R

l

B ∑ = ) θ,R ( 2u

)01( )9( )8(

? 0 = ) θ ,∞ ( 2 u ? ? ? ) θsoc ( 2P ? ) θsoc ( 0P ? ? 0u 3 = θ nis 0u = ) θ, 0R ( 2u? ? 2 ? 2 ? 0 = 2u ??
0

R>R

2

0

R<R

. ) θ,?( 2u为记简可?关无 ?与u于由?示表 ) ?, θ,?( 2u 用势电外壳)二( ? ? 0 ? ) θ soc ( 2P 0u 2 R ? 1? 0u 3 = ) θ ,r ( 1u R ? 2 ?
2

)6 (

) 2 ,0 ≠ l ( 0 =
0= l ∞

l

A

,

0 2 0

R3 ? = 2A u2

, 0u

3 = 0A 2

)5(

?) x ( P ? ) x ( P ? ? ) x ( p R lA ∑ = ?
l 0 l
2 0
0= l ∞

0

u

3 2

)4(

) θ soc ( lp l R lA ∑ = ) θ ,R ( 1u

)3( )2 ( )1(

? 界有 ) θ,0 ( 1u? ? ?) ?0 3 1 ? (2 ) (0 ? ) 0 (1 ? ? θ θ θ θ ? = = s o c P s o c P u n i s u , R u 2 2 ? 0 = 1u 2??
0

R<R

0 = )x ( y λ + )x ( y

)x ( ρ )x ( ρ )x ( ρ ? ) x ( 'y + ) x ( "y )x ( Q )x ( k )x ( k
'

:解

0 = ) x ( y ) x ( ρλ + ) x ( y ) x ( Q + ) x ( y ) x ( k + ) x ( y ) x ( k
' ' "

)2(

b<x<a b<x<a

? xd ? xd ) x ( k? ,0 = ) x ( y ) x ( ρλ + ) x ( y ) x ( Q ? ? ? ) x ( y? ? ? 程方型刘-斯为化

)1(

,0 = ) x ( y λ + ) x ( y ) x ( c + ) x ( ' y ) x ( b + ) x ( " y ) x ( a 式形遍普的程方分微常次齐形线阶二将试 1.4.11

. 解有即 , ) θ ,R ( u 入代数系将? 0 = lB = lA 故?合巧会不般一 b 1+ l b l 1 0= a a l 1
l

) b ? 5 a (3 5 2 = 2B u b a2 3 5 b ? 3a 0u 3 ? = 1B b a 3 2 ? ? ? 3 + 1u ? b ? a = 0B ? 2u ? ba

b b b b 3 3 3 2 l )3 ≥ l ( 0 = 1+ + lb lA , 2 + b 2A = 2 ,0 = 1 + b1A , 2 + 1u = 0 + 0A lB B 2 u2 B u B ? R ? l 3 3 得, ) θ soc ( lP? 1+l l + l R lA ? ∑ = ) θ soc ( 2P 2 + 2 + 1u 由 ? ? u2 u B R a a ) 2 ≥ l ( 0 = 1+ l + R lA ,0u = 2 + 1aA 0 = + 0A 1B lB 0B l 由 ? R ? l 得 , ) θsoc ( lP? 1+l l + l R lA ? ∑ = ) θ,a ( u = ) θ soc ( 1 P 0u ? B ?

? ? l ? 1+ l R + R lA ? ∑ = ) θ,R ( u ) θsoc ( lP? lB l ?

.数系定)3(

? 3 3 ) θsoc ( 2P + + 1u = θ soc 2u + 1u = ) θ,b ( u? 2u2 2u 2 ? ) θsoc ( 1P 0u = θsoc 0u = ) θ,a ( u? ? 0 = u 2?? ? b<R<a

.数函征本的λ值征本于属的 F 为称 ) x ( λ ψ,值征本的 F 为称 λ 中式
∧ ∧

) x ( λ ψλ = ) x ( λ ψ F

:解

.例特个一的题问值征本符算米厄中学力子量是题问值征本刘-斯?明证试 .域区个整的化变 x 量变

? ? ? ? ∫ ) ( ) ( ) ( )x ( *?∫ ? xd ? x F ? x ψ = xd x ψ F ∧ ∧
* ∧

.号符算运是就符算谓所.题问值征本的符算米厄到遇常经,中学力子量在 3.4.11

.明证以可也似类,件条界边次齐为端一另,件条界边然自为端一的 ]b , a [ 间区若 .零为式)63(故 ,0 = ) b ( k = ) a ( k 有件条界边然自 )4( ) b ( ny ,0 ≥ ) a ( ny ,0 > h ,0 > ) x ( k于由

? ? ? ? n n n n n n ? 2 ) b ( y ) b ( k + 2 ) a ( y ) a ( k ? h = ?) b ( yh? ? ) b ( * y ) b ( k ? ) a ( yh ) a ( * y ) a ( k
2 2

.零为于等或于大其知式)63(入代 ,0 ≥

' ' n ' n '

n y ,0 = ) a ( n y有而因 ,0 = ) b ( n y ,0 = ) a ( n y 有件条界边次齐类一第)1(?解 0 = )b( * *

.零于小或于大其知式)63(入代

ny ) a ( k + ) b ( ny ) b ( ny ) b ( k ? 0 ≥ ) a ( n' y ) a ( * ' * 有均?下件条界边然自及件条性期周?件条界边次其在?明证试 2.4.11 .程方型刘-斯的应相式)1(为即?式)2(入代式⑤?④及以?式一第的式③将

)x ( a ) x ( k? = ) x ( Q )x ( c

)x ( a )x ( k = ? 为比之式三.一第的式③ )x (c )x ( Q

xd

) x (a ∫ ) x (b

e = )x ( k

)x ( c =

)x ( ρ ? )x ( Q

)x ( a )x ( k 得, 分积x 对边两, 为比之式二.一第的式③ = )x ( b )x ( k ' )x ( ρ )x ( ρ , )x ( a = )x ( k )x ( k
,)x ( b =
'

.题问个这解理入深在时课学力子量学在议建,证得论结述上,符算米厄是 L 见可

? ? a a∫ ? ? ∫ ) ( ) ( ) ( ) ( xd ? x L x ? ? * ? x ψ b = x d x ψL b ∧ ∧
*

)x( y λ = )x( y L

? xd ) x ( ρ ) x ( ρ ? xd + ? ) x ( k? ?=L ? ? 1 )x ( Q ? d ∧

L 符算入引

)x ( y λ = )x ( y ? ?

? ) x ( ρ ? xd ? ? ? xd ) x ( ρ ? + ? ) x ( k? ?? ? d ? ? 1 ? ? ? )x ( Q

。形情 0>k 及 0<k 论讨别分要?理定数留用应为

xd

2

x + a ∞?
xki ?

e

2

∫ = xd
2

xki ?

e) x ( f

∞? ∞

∫ = ) k(c ?解

。换变叶立傅的?0>a?

x + 2a = ) x ( f 数函求?3.1.21 1

2

) ωi + α( + ) 0 γπ2 (
2 0

γπ2

=

td

}

? α+ ) ω? 0 γπ 2 ( i? ? t?

?

e?

? α? ) ω? 0 γπ2 ( i? ? t? 0 ∞

e

{ ∫ i12 =
0 ∞ tωi ?

td tωi ? et 0 γπ2 nis t α? e

∫ = td) t( f

e

∞?

∞+

∫ = ) ω( f

?

ωd t ωie) ω( c

∞?

∞+

∫ π2 = ) t( f ?解
1

。 ) ω( f 换变叶立傅的
?

0< t 0> t

0? ? = ) t( f t0 γπ2 nis t α? e?

ω ? 0 γπ2 ω + 0 γπ2 + = T) ω ? 0 γπ2(nis T) ω + 0 γπ2(nis
0 0 0 T T?

0

td] t) ω ? γπ2(soc + t) ω + γπ2(soc[ ∫ 2 = td ) t ω nis i ? t ω soc( t γπ2 soc ∫ = ∫ = ) ω(c td t ωi ? e) t( f
∞? ∞+

. ) ω( c 换变叶立傅的

T≥ t当 T< t当

0? ? = ) t( f 列波限有求试?1.1.21 t0 γπ2 soc?

ωd t ωie) ω( c

∫ π2 = ) t( f ?解
1

∞+

∞?

T+

] 2 x β nis[ Fi + ] 2 x β soc[ F = ] 2 x β nis i + 2 x β soc[ F = ]

2 ? ?入代 b ? = b将(0 < b , ? ? π ? x 0∫ 0 = b ,0? = xd xb nis ∞ ? 2 0 > b, ? π?

? k <a且0<k或0>a>k当 ,0? 2? 0>k=a当? ? = ) k ( f π? ? ? k >a且0<k或0>k>a当? π?

。换变叶立傅的 x β soc = ) x ( f 数函求 .5.1.21
2

2

x βi

e[ F 理定性线由?解

xd

?理定数留由 x x 0 0∫ ∫ xd + xd = x ) k ? a (nis ∞ x ) k + a (nis ∞ x x ∞? ∫ 0 ∫ 2 = xd) xk nis i ? xk soc( = xk soc xa nis ∞ xa nis ∞
x d xki ? e x ∞ ? ∫ = xd xki ? e) x ( f xa nis ∞
∞? ∞

∫ = ) k( f ?解
?

。数实正为 a?换变叶立傅的

x = ) x ( f 数函求 .4.1.21 x a n is

a k?

e

a

π

= ) k ( c ?合综

a a x + 2 a ∞?∫ = e = e = )x ( d 2 ak ? π a k? π e ∞ xki x + 2 a ∞?∫ x + 2 a ∞?∫ 2 )x ?( d 2 = = ) k (c x d e ∞ x 替代x ?用 e ∞ xki ?
xki ai = z 2

a k?

a ai2 e = i π2 = e

) ai( Fs eR i π2 = xd 2

π

z + 2a
z ki

0 > k )2 ( i π2 =

ai k i

x + 2 a ∞?∫ e
x ki

e

0 < k)1(

= ) k (c

kd}xk nis ] ξd ξk soc ) ξ( f

∞? ∞

∫ π[ + xk soc ] ξd ξk soc ) ξ( f ∫ π[{ ∫ = )x ( f
∞? ∞ 0

1

1

?证

kdxk soc ) k ( cc

0

2
0

? π = )x ( f ? ? ? ∫ = ) k ( c?
c

xdxk soc )x ( f kdxk nis ) k ( sc

0

2
0

? π = )x ( f ? ? ? ∫ = ) k ( c?
s

xdxk nis )x ( f

。换变逆和换变弦余正叶立傅出导试.6

2
4

π

β 4 β4 ) ? (soc = π k
2

π

i

e = ξ d ξie

0

∫用

π

2

] e

e+
ξi

ξd

2

ξi ?

e

∞? ∞

β
1

4 β4 ) ? (i π 2k

4 β4 ) ? ( i? π 2k 0 ∞

2 β 2 e[ = *) π 1 π
ξi ?

4

π

i

e(

β4
2

e

β
1

k

i

+

2
4

π

π

i

e

β4
2

k

i?

e

β

1

=

β4 i k
2

+ ξd e
2

e

∞? ∞

β4 i? k
2

β β e = d ξ
1

2

β4 i k
2

2 β 2 ∞? e + d e ∫ e = ξ 2 ξi ∞ β 4 i ? 1 1
2

k

xd

β4
2

k

i+ 2 )

β2
k

+x ( βi

∞? 2 ∞? 2 ∞? 2 ∞? 2 e ∫ + xd e ∫ = xd xki? x βi ? e ∫ + xd xki? x βie ∫ = β4 β2 1 2 2 ∞ 1 ∞ 1 i? 2 ) ? x ( βi ∞ 1 ∞
2

k

k

xd xki ? e 2 x β soc

∞? ∞

∫ = ) k( f

?

?二法方
。果结的同相到得以可也分积接直

4 β4 β β ) ? (soc = ] 4 β4 e [eR = ) k ( f ∴ k π ) ? ( i? π ?

π

2

π

2

k

4 β4 ) ? ( i? π 2k

e

β = π

2
4

e2

π
xd )
2

π

i

β4
2

k

i?

β β ∞? e = d ξie ∫ β 4 e = ξ ∞ i?
1
2

β4
2

k

x βi

e ( F eR = ] 2 x β soc[ F = ) k (c由?一法方
k

i? 2)

β2

e

∞? ∞

βi ? x?

∫ = xd

xki ?

e
2

x βi

e

∞? ∞

2

k

∫ =]

2

x βi

e[ F

2

a + 2k = a

]

a + ki a ? ki 2 0 ) a + ki(? a ? ki 2 [ = ] ? [ = ? e x ) a ? ki ( e 1 1 1 1 x ) a + ki ( ?

xd] x ) a + ki ( ? e ? x ) a ? ki ( e[ xdxk soc xa ? e
2 ∞ 0

0

∫2 =
1
c

a+ k a ? 2 ) ki( 2 = 2 ?= k k

∫ = ) k( c

]

a + ki a ? ki i2 0 ) a + ki(? a ? ki i2 ? [ = ] ? [ = 1 1? 1 e x ) a ? ki ( e 1 x ) a + ki ( ?

xd] x ) a + ki( ? e ? x ) a ? ki (e[ xdxk nis xa ? e
∞ 0

0

∫ i2 =
1
s

∫ = ) k( c

。零为不均sc及cc则?数函偶是不也数函奇是不既)x ( f ?解
kd]xk nis ) k ( sc + xkoc) k ( cc[
0 ∞

∫ π = )x ( f ?一?
2
xa ?

。0>a?中其?换变弦余正叶立傅

e = ) x ( f 求?7
0 ∞

kdxk soc ) k( cc

2
0

? π = )x ( f ? ? ? ∫ = ) k ( c?
c

xdxk soc )x ( f

) k ( cc

π
2

=)k(A令

0 = ) k ( sc ? ? ?

ξd ξk soc ) ξ( f

0

? ∫ π = ) k(A ? 2

kdxk nis ) k( sc

0

2
0

? π = )x ( f ? ?
s

xdxk nis )x ( f

∫ = ) k ( c? ?

ξd) ξ ? x ( 2 f ) ξ( 1f

∞? ∞

∫ = )x ( f
2

*

1f ?证 )x?

1f 证试?01.1.21 ) x ( 1f * ) x ( 2 f = ) x ( 2 f * ) x ?

? ? ∞?∫ = xd? ? e ) x ( f e? ? ∞?∫ = ? ?) x ( f e? ?F ) 0k ? k ( f = xd? e )x ( f ? x ki ? x ) 0k + k ( i ? x 0ki x 0 ki
? ∞

. ) 0k ? k ( f = ? ?) x ( f
?

x 0 ki

e? ? F?理定移位明证 9.1.21

:解

xπ xi xi π2 ( = ? ? = x a ni s e x ai e 1 x ai

a?

a xki

xi π2 ∞? π2 = kd xkie ∫ = 1 e 1 ∞
∞? ? ∞

k d x ki e ) k ( f
。)x(f 求

a > k ,0? ? = ) k ( f 知已?8.1.21 ,1? ? a< k
.式二第明证可理同

∫ π2 = ) x ( f ?解
1

k d ) k ( s 2 f ) k ( s 1f
? ? ∞

0

∫2
∞ 0

π

=

? k d ? k d x k nis ) k ( s 1f ? ?

? 0∫ ? ) x ( 2f ?

= x d ) x ( 2 f ) x ( 1f

0

? ? ? ?

k d ) k ( c 2 f ) k ( c1f
? ?

∞ ∞ 0

0

∫2
π

kd ) k ( s 2 f ) k ( s 1f
? ?

∫2

π

= x d ) x ( 2 f ) x ( 1f

= x d ) x ( 2 f ) x ( 1f

∞? ∞

0

∫ ∫

.7.1.21 .证可分

k?

e 明 证 即 亦 , k ? e = ) k ( C f 明 证要 只? 见 可
?
0

π

xdxk soc ) x ( c f ∫ = ) k ( C f 2 ∞ ? x +1 = ) x ( Cf 义定的换变弦余叶立傅由?数函偶是 2 1 2 x + 1 0∫ 明证试 6.1.21 1 ∞ . 0 > k 知 已, k ? e

π

= xdxk soc

2

π> k π≤ k ≤ 0

0? ? = ) k ( s f 道知于当相?演反的换变弦正叶立傅求是上际实题本 k nis? ?

xdxk nis ) x ( f

0 ? kdxk nis ) k( s f ∫ = ) x ( f ? ? ∞ ? 0∫ π s = ) k ( f? ? ? ∞

2

π> k π≤ k ≤ 0

0? ? = xdxk nis ) x ( y 0∫ 程方分积解求.21.1.21 k nis? ∞

:为换变弦正叶立傅?解

]) x ( ? * ) x ( y [ F = ] 2

] )a ? b( + 2 x [ πb 2 = )x (y 1 π b )a ? b( + x b 2 ]2 [F = e = ]) x ( y [ F 1 a ? b a ) a?b ( k ? a a + 2x a [F e =]2 ak? π 1 b + 2x b e =]2 [ F由 bk? π 1 a + 2x [ F]) x ( y [ F = ]) x ( ?[ F]) x ( y [ F = 1 ]2 a + ) ξ ? x( b + 2x ∞ ? ∫ [F = ] 2 [F 1 ξ d) ξ( y ∞

。换变叶立傅值取边两程方对

。积卷的

2

a + 2x = ) x? ?与) x ( y 是分积?解 1

。1 < a < 0 ,

2

b+ x a + ) ξ ? x ( ∞?∫ 2 程方分积解求?11.1.21 = 2 1 ξd) ξ( y ∞ )x ( 1f *)x ( 2 f = yd ) y ? x ( 1f ) y ( 2 f
∞? ∞

) yd ?() y ( 2 f ) y ? x ( 1f

∞? ∞

ξ? x = y令
∞? ∞

= )x ( 2 f *)x ( 1f
2 *

∫=

ξd) ξ ? x ( 1f ) ξ( 2 f

∫ = )x ( f

)x ( 2 f

。 ] t ka nis[ F 及 ] t ka soc[ F 出求可理定数留用利

] t2 ka nis[1? F * ]) k( ? ψ[1? F ? ] t2 ka soc[1? F * ]) k( ? ?[1? F =

2

1?

2

1?

] t2 ka nis ) k( ? ψ[1? F ? ] t2 ka soc ) k( ? ?[1? F = ) t ,x ( u

ψ? t2 ka soc ) k( ? ? = ) t , k( u t2 ka nis ) k( ? ?

?解得可。题问值初的程方分微常解求? ?2?

? ψ2 ka ? = )0 , k( tu ? = )0 , k( ? ) k( ? u? ? ,) k( ? td ? 2 ? ) t , k( ? u2 d ? 0 = ) t , k( u ? 4 k2a +

?换变叶立傅作件条始初及程方对.?1? ?解

? = ) t ,x ( u 求

)x (′′ ψa = )0 ,x ( tu 0 > t ,∞ < x < ∞?

0=

) x ( ? = )0 ,x ( u? ? u2 a + ttu?
xxxx

?题问解正为结归可动振由自的下度速初和移位初在梁长限无 1.2.21

]

0= k

x ?1 2 = x π nis 1+ x 1? x 2 1+ x 1? x 2 ? [ =] ? [ = x π nis x π nis ? 1 )1 + x ( π nis )1 ? x ( π nis 1

π

]

1? x 2 1+ x 0 2 ? [ = kd])1 + x ( k soc ? )1 ? x ( k soc[ ∫ = )1 + x ( k nis )1 ? x ( k nis 1 ∞ 1 kdxk nis k nis
0 ∞

∫ = kdxk nis ) k( s f

0

? ∞

∫ = )x (y

2
4

0

π

π

i

e = xd e
2

xi

ud

2 ui

e

0

*2

ta 4 2x ∞? ∞

i?

e eR

ta π2 1

=

ta ud

2 ui

e

ta 4 2x

i?

e eR

π2 = 1 π2 = 1

k d ta 4
2x

i ? 2)

ta 2 x

+ k ta ( i

e

∞?∫ eR ∞

kd ) kx + t kd ] e[

2 ka ( i

e e

∞?∫ eR ∞? ∞ 2 ∞

π2 = 1

xki t2 kai

e

π2 eR = 1
1?

t 2 k ai

1?

F eR = ] t ka soc[

F

ta π2 2 ta 4 ta 4 ∞? ta π2 2 ? ] nis+ soc[ ) ξ( ψ 1 ) ξ? x ( ) ξ? x ( 1 ∞ 2 ta π2 2 ta 4 ta 4 ∞? ta π2 2 = ] nis+ soc[ ) ξ( ? ) ξ? x ( ) ξ? x ( 1 1 ∞ 2
2 2

∫ ∫

?注附

ta π2 2 ta π2 2 ta 4 ta 4 ta 4 ta 4 ) nis+ soc( *) x ( ψ?) nis+ soc( *) x ( ?= ) t, x ( u x x x x 1 1 2 2 2
2

ta π2 2 ta 4 ta 4 = ] t ka soc[ F ) nis + soc( 2 1? x x 1 2
2

ta π2 2 ta 4 ta 4 =] t2 ka nis[ 1? F ) nis? soc( x x 1 2
2

?3

ξd

t2 a 4 ? ) ξ? x ( 2 ? ?

e) ξ( ? e3

∞? ∞

3

) t π a2 ( 1

) t π a2 ( 1

=

?注附

?= * )x ( ? ?

2

t2 a 4 ? z + 2 y + 2x

?[ F = ] t k a ? e[1? F * ]) t , k ( ? 2 2 ? 1? ] e) t , k ( ? u ?[ F = ]) t , k( u[ F = ) t , x ( ? t k a? ? ? 1? ? 1?
2 2

t2 k2a ?

? ) k ( ? = )0 , k ( u ?? ? ? ? td ? ? 0 = ) t , k(u ? k a+ ) t , k (u ? d? ? 2 2 ?
0> t ∞< z , y , x <∞?

e) k ( ? = ) t , k (u ? ? ? ?

。换变叶立傅重三件条始初及程方对 ?1? ?解

) z , y , x ( ?=) 0, z , y , x ( u? ? 0=) zz u+ yy u+ xx u ( 2 a? tu?

ta π2 2 ta 4 ta 4 ) nis? soc( =] t2 ka nis[ 1? F?理同 1 x x 2 2 ta π2 π2 ta 4 ta 4 ) nis+ soc( = 1 x x 2 2 2 2 ta π 2 ta 4 ta 4 ) nis soc ( + = 1 2x 1 1 x 2 ta π 2 ta 4 4 ) ? (soc = x π 1 2 ta π2
4

?为值初的程方导传热维三解求?2.2.21

π

i

ta 4 2x

i?

e eR

1

=] t2 ka soc[ 1? F

2

) y , k(w ? 数函解求 )3(

0=

∞→ x

。换变叶立傅的 x 量变于关作件条界边和程方对.?2? 。解值边的)y,x(w 解求

) y ,x ( y? u 关无y与0 = ) y ,x ( u ,∞ → x 当

? 0 = ∞→ x ) y ,x ( xw ,0 = ∞→ x ) y ,x (w ? ? ∞→ y 。界有 ) y ,x ( y u = ∞→y ) y ,x (w ? ? )x ( g = )0 ,x ( y u = )0 ,x (w ? ? y? = yyw + xxw ? ? ? 0 = ) yy u + xx u(
a y

。题 问 值边 一 第为 变 题问 值 边

∫ = ) y , x ( u则

? ? 0= ∞→ x )y,x(x? u 0= ∞→ x ) y , x ( u? ∞→ y 界有 ) y , x ( y u,) x ( y =) 0, x ( y u? ? 0= yy u+ xx u? ?
e

?解 ) y , x ( yu= ) y , x ( w 令?1?

。题问值边的程方氏拉上面平半在解求 3.2.21

) t π a2( 1

2 z + 2 y + 2x

t2 a 4

e

∏ 3) π2 ( =
1= α 3

?

t a4 2 ? j 2 x

1

j kd

e

1= α ∞?∫ ∏ 3) π2 ( = j kd ∞ 3

t2 a 4 t 4 ? 2) ? j kt a ( ? j jx2 2 x

) π2 ( ?∫ 3 k d kie t k a ?e ∞ ∞ 1 =] t2 k2 a ?e [1? F x ?3 ? ? 2 2

1

j x j ki t j k a ? 2 2

e

e

1= α ∞?∫ ∏ 3) π2 ( = ∞ 3

1

) x ? ξ ( + 2 η a∫ ∞ ?∫ π2 2 ξ ξ ) ( g d = ] 2 ) x ? ξ( + 2 η[ d y 1 ∞

) x ? ξ( + a ∞ ? π2 ∫ 2 ξd 2 ξ n l ) ( g = ] 2 ) x ? ξ( + 2 y [ d 1 ∞

ηd] ξ d

) x ? ξ( + 2 η ∞ -∫ π a∫ 2 [ = η y ) ξ( g ∞

ηd) η,x ?w

a y

∫ =)y,x(u

)y,x(u 求)y,x(w 由.)5(

∞? ∞

)x ? ξ( + 2 y ξd 2 ) ξ( g
k d)x ?
ξ( ki ? y k ?

∫ π = )y ,x (w
y
0

?得式原回代

) x ? ξ( + y 2
ξ( ki ? y k ?

2

y

= 由 = = = w

e

0

+ k d ) x ? ξ ( ki ? y k e

∞?

= x d)x?

e

∞? ∞

π2 ∞? ∞? ∫ ∫ kd e d ) ( g ξ ξ ) x ? ξ ( ki ? y k ? 1 ∞ ∞ π2 ∞? ∞? ∫ ∫ ξ d x ki + y k ? e ] ξ ki ? e) ξ ( g [ 1 ∞ ∞ π2 ∞?∫ k d x ki e y k ? e) y , k ( ? g 1 ∞ π2 ∞?∫ = )y ,x( 1
k d x ki e) y , k ( w ?

y k?

eB = ) y , k(w ? ?0 = A故?界有 ∞→y ) y , k( u ?由
y k?

y k?

e) k ( g ? = ) y , k(w ? ,B = )0 , k(w ? = ) k( g ?由
。换变叶立傅的数函作,演反.)4(

eB +

yk

eA =

y 2k ?

eB + y

2

k

eA = ) y , k(w ?

ak + t a k s o c ) k (s ? t a k n i s ) k ( s ?ψ u ? = ) t ?k ( s ? 1 ) t ?k ( s ? u 数 函 象 解 求)2( ? 0= t td ? ) k( s ? ,) k( s ? ψ= ? = )0 , k( su? ) t , k ( su ?d ? ? td ? 2 0 = ) t , k( su k a + ) t , k ( su2 d ?
2 2

xdxk nis ) k ( s? f

0

2
0

? π = )x ( f ? ?
s

) k ( s? f = xdxk nis )x ( f

∫ = ) k ( c? ?

。解求换变弦正或?拓延奇作类一第为件条界边?题问的域区界无半是这?解

ψ= ?x? ?0 ,x ( tu
0 > t ,∞ < x < 0 0=
∞→ x

) t ,x ( u

? )x ( ? = )0 ,x ( u? 0 = ) t ,0( u? ? 0 = xx u2 a ? ttu?

ξ d ) ξ( ψ

a2 x ? ta ∫ = ) ξ( d ) ξ( ψ 1 ta + x 0∫ x ? t a∫ a 2 + = ] ξ d ) ξ( ψ ) ( d ) ( [ ξ ξ ψ 1 ta + x 0 0 x ? t a∫ a 2 = 1
ta + x

∫ + ) ξ? ( d ) ξ? ( ψ

0

ξ d ) ξ( ψ

ta + x

0

?知可件条界边类一第由 数 函 奇 为) x ?

ξ代ξ? 用项一第 a2 a2 ta ? x ta ? x ∫ + ξ d ) ξ( ψ ∫ [ = ξ d ) ξ( ψ 1 1 0 ta + x 时ta<x 当 故

2 ?[ = 0 > x ,t a < x ,]) x ? t a ( ? ? ) t a + x ? 1 2 π 0 ? ∫ ?[ ] kd) x ? ta ? k ni s ) k ( s ? ? )ta + x ? 2 1 ∞ 2 1

?[ ]) t a ? x ( ? + ) t a + x ?

] kd) ta ? x ? k n i s ) k ( s ?ψ

0 ∞

π
2

+ kd) ta + x ? k ni s[ ) k ( s ? ?
0 ∞

? k d] ) t a ? x ( k ni s + ) t a + x ? k ni s [ ) k ( s ?

π

1

= 项一第
0 ∞

k d x k n i s t a k n i s ) k ( s ?ψ

ak 1

π

2

+

0

π

] t a k n i s ) k ( s ?ψ

? ∫ k d x k ni s t a k s o c ) k ( s ? = 2 ∞ ak ?[ 1 ?s F = [ sF + ] t a k s o c ) k ( s ? 1 1?

] ) t ?k ( s ? u [ 1 ?s F = ) t , x ( u 演 反. ) 3 (

? = ] t αe n t[L

)α? p ( f

?

= td t) α? p ( ? e) t ( f

0

∫ = td e) t ( f
tp ?

e

0

∫=? ?) t ( f

e? ? L ?证
1.3.21

0

σ > ) α ? p ( e R , ) α ? p ( f = ] t α e ) t ( f [ L ?理定移位明证试
?

τ? t

3. 2 1
0

τd ) τ? t (

e
0

∫π
0 t

2 2

k a / 2x ?

τdxk soc ) τ? t(

2 2

k a?

e ∫ τd) τ( q
t t 0 t

) τ( q

a
2

?=

a?=

τdxk soc ) τ? t(
τd ) τ? t(
k a?

2 2

k a?

e) τ( q ∫ kd
0

0

2

a ? = ) t ,x ( u

2 2

e ) τ( q 2 a ∫ ? = ) t , k ( cu
t ?

?

) t( q

2

a ? = ) t , k ( cu k a +
? 2 2

? 0 = ) 0 , k ( cu? ? ? ? ? td
?

? ) t , k ( cu d ?

? ) t ,x ( xx u? ? cF ) t ( q ?) t , k ( cu 2 k ? = ) t ,0 ( x u ?) t , k ( cu 2 k ? = ?
? ?

) t , k ( cu d = ?
td
?

? ) t , x ( tu ? ? cF

?入输量热无处远穷无?

0 > t ,∞ < x < 0

0 = ) t ,∞ ( x u

0 = ) 0 ,x ( u? ? , ) t ( q = ) t ,0 ( x u? ? 0 = xx u2 a ? tu?

0 t

u ? = ] ud u ni s

∫[L

β?p nl = α? p

0 = 1 nl

5.3.21

β?p β ? ′ p ∞ →′ p nl + m il ? = α? p α ? ′p

p ∞

α ? ′p β ? ′p p∫ t ? =] ( [L ′pd) e ? tβe 1 1 ∞ tα t p ] [ L = ′ p d )′ p ( F ∫ ) t( f ∞ ?理定分积数函象由 α? p β?p ? = ] t αe ? 1 1

β ? ′p nl ? = α ? ′p

)p ( F =

e[L 因 ? 解

t ? = ]) t αe ? t β e( [L 算计 4.3.21 1

]) t( f ) t?([L = ) p ( F
n

)1 + 2 p ( 1 + 2 p pd 2 = = ] t nis t? [L 1 d p 2? pd 理定分微数函象由 d
n n

)p ( F =

? = ] t nis t[L 算计 3.3.21
) α-p( 1+n = ] t αe n t[L则 !n p 1+n =] nt[L令 !n

1+ 2p =]tnis[L知已?解 1

) α ? p ( F = ] t αe)t(f[L?理定移位由 )p(F=])t(f[L若?解

p 1

= ] 1[ L ? ? 函 = = 象

p d ) p ( y ] ) 0 ( y p d ] ) t (′ y [ L d ? →

d

p

? ) p ( y p [ 微 p d d 数

? ) p ( y 理 定 分

] ) t (′ y ) t ? ( [ L ? 2 ? p ? ) p ( y 入 作 程 方

= ] ) t (′ y t [ L
2

? ) p ( y p 件

) 0 (′ y 将 并 ? 换

? ) 0 ( y p 变 氏 拉

2

= ] ) t ( ′′ y [ 条 始 ? 初 解

p

=

2 = )0(′y ,1 = )0( y ? ? 1 = ) t( y + ) t(′yt ? ) t(′′y ? 。题问值初的程方分微常解求
= ] u p [ L u ni s 1
0 t

6.3.21

p 1

= ] u d

u u ni s

0 t

∫[L

= ]t d)t( f

∫[

L ? 理 定 分 积 由. 3 2

p n at cr a 1 p ])t( f [ L 1 p n at cr 1

a = p n at c cr a = p n at cr a ?
∞ p

p 1 + 2′ p n at cr a = ′ p d 1 1

π

=

′ p d )′ p ( F p

p

u = ] [ L u ni s t [ L )t( f = ]

? 理 定 分 积 数 函 象 由. 2 ) p ( F = 1 + 1
2

= ] t n i s [ L 因. ? 1 解

) 0 > t 当( 0 = )t( f
k

k)t-( = ) t ( f = ] ) p ( F [ 1?L = ] k p [ 1?L ?t(δk pd k [ L = ]kp d 1?
k 0 ∞ k k

) t ? ( = ]) p ( F
0=t tp-

pd [ L = ? t (δ! k d 1?

)1 =

e = t dtp- e ? t ( δ

∫ =] ?t(δ[L 中 其 ?
pd k [ L d 1?
k

) 0 > t ( 0 = ] k p [ 1 ? L ?, 2 , 1 , 0 = k 当 明 证 先 ) 1 ( )??
2

? t ( δ k = ] 1 [1 - L ?k = ] k p

8 2 p p + ?(c + 2 ) α + c( + = p 1 2 1

p p 8 2 2 + +)?? + ? 1( 2 ? p c = ) p ( y 2 1 p p 4 2 数 函 成 展
2

2 ? p

e 将 此 为 演 反. ) 3 (

p p 2 + + 2 1

2

2 ? p

e 2? p c = ) p ( y ? 解 通 程 方 次 各 非
2

p p + ? 解 特 程 方 次 各 非 2 1 ec =
2

2 ? p

p nl 2 ?

2

p

2 ? 1

pd)

p +p ( 2

∫?

ec = ) p ( y

e 2? p c =

? 解 通 的 程 方 次 各 )p (y 解 求.)2(
2

p p p pd + + 1 = ) p ( y? + p( + 则 1 2 2 )p (y d p pd = )p (y + p + 1 )p (y d
2

)p (y + 2 ? p ? )p (y

p

2 ,1b点极阶二有上面平p ,零于趋地致一 ) p ( f 时∞ → p 为 因

:解

) t ( f求理 定 开 展 用试 , 2

)

?

2

ω ? 2p (
1

= ) p ( f 知已 7.3.21
?

cL ) ( + 2p cL cL 2 cL 1 nis 0 = ] [1?LcL 0 = cL t q q 1 ] cL + p 1 2 1

[1?L

cL = ])p(I[1-L用利 q
0

cL pc 2 + p +c 1 2 cL 1 = = )p(I 0q p c 1 2 1 0q p c pc p 2 = ) 2 + L()p(I : 1 0q 1 1 p c p c +})0(I-)p(Ip{L = 1 0 q )p(I 1 .1 解 换变氏拉作程方对?

0

? 0 = )0(I ? c td ? 0 c = td) t (I ∫ + L? Id ? q t 1 ) t(

p p t)2 + c( + 1 = ] 2 )2 + c( + [1?L 1 1

p p y ] 2 )2 + c( + [1?L = ]) p ( y [1?L = ?t? 1 1

p t = ] 2 [1?L 1 p 1 = ] [1?L 又 1

0 = 2c 得 限 有
x a p

∞→x

) p , x (u 由 ) 1( e1c = ) p , x (u

∞→ x ? ? 限有 )p,x(u ,0 = )p,0(u ? ? w + 2p 2 a a xd ? 2 2 ? ?= ? 2 p 1 )p,x(u 2p )p,x(u 2 d ?

) w + 2 p(p 2 + 1

e2c +

a x ? p

) p , x (u 数 函 象 解 求.2

w+ p xd 2 2 2 a-)0,x( t u-)0,x(up=)p,x(u 2p = p )p,x(u 2 d 2

xx

1.4.21

ω2 ) tωhs ? tωhctω( 3 = 1 ?? ? ? ? ? ) ( ? ? ω p ? ? ? ? 2) 2 ω ? 2 p ( ? 2 2 2 ω, s eR? i π2 = ) t ( f ? ω? , ? s eR + ? ? ?? ? e e tp tp ? ? ? ?? ?

a 2 w? < t, nis 2 ? x tw 2 2 ? a 2 2 w ? = )t ,x( u ≥ t, a ni s ? ni s[ 2 ? 2 2 x t w 2 ? ) -t( w ? x ? a < t ,0 ? x ? a ) w + p(p 2 2 w? =] 2 ≥ t, [ 1 ?L 2 ? x e n i s a a 2 2 x ? ? p ? t( w ? x

τ <t ? 0 ? ? = ) τ ? t ( f = ]) p ( F e [ L 1? τp ? τ ≥ t ,) τ ? t ( f ?
) p ( F τ p ? e = ] ) t ( f [L τ p ? e = ] ) τ ? t ( f [ L

)

]

2 a x ? p

x

a ? p

e

) w + p(p ) w + 2 p( p 2 ? 2 = ) p , x (u 1 1
2

) w + 2 p(p 2 - = 1c 得 1 ) w + 2 p(p 2 + 1 c = ) p , 0 (u = 0 由 1 ) 2 w + 2 p(p + a e 1 c = ) p , x (u 1 x ? p

τ<t,0? ? = ) τ ? t ( f = ])p (F e[ L理定迟延由 τp ? 1τ ≥ t ,) τ ? t ( f?
p tb = ] 2 [1-L)1( b p p ] 2 [1-L + ] a e 2 -[1-L = b b x p

a a tb + ) ? t (H ) ? t (b? = x x ? a ? < t,tb? x ? = ) t ,x ( u a a ? ≥ t , tb + ) ? t ( b ? ? ? x x ? a ? < t,0? p x ? = ] e 2 -[ L a a ? x a - b 1? p ≥ t ,) ? t (b? ? ? x x

p ]2 + b

a x p

e

2

p -[ L=])p,x( u [1-L=)t,x(u b 1演反.3 p p 2 + a e 2 -=)p,x( u b xp b -

2

p p -= 1c , 2 + 1c=)p,0( u = 0由?2? b b p 2 + b
a x p

e1c=)p,x( u

0= 2 c得0 =
2

∞→ x

)p,x( x u 由)1(

p + b

a x p

e2c +

a x p

e1c=)p,x( u解通 )p,x( u求.2

0=)p,x( u

2

2

? ∞→ x 0= )p,x( x u ,0=)p,0( u ? ? xd a-)0,x( t u-)0,x(up-)p,x( u 2 p ? d 2 ? b=)0,x( t u,0=)0,x(u ? ? 0 = ∞→ x )t,x( x u ,0=)t,0(u ? ? 0= xx u 2 a- tt u ?

。换变氏拉的t量变于关作件条界边及程方对? .1 解

ξd e
2

ξ-

t a2 x ∞

π
0

ξd ξ - e
2

t a2 x ∞

π
2

? 1( th ? e 0 u = ) t ,x (u ] e

u2

th ?

e

) t ( f t αe =]) α? p ( F [ 1?L ]) t ( f e [L =] α? p [ F理定移位

=

ξd ξ - e
2

t a2 x ∞

π
0

x

u2

=]

a ? h +p

h+ p [ L u 1?
0

x

a ? p

p e 0 [ 1?L u

]

x

a ? h +p

e

h+p e0 u = ] 0 [ 1?L由 th ? u h+p h+p [ L ? ] 0 [ 1?L = ) t ,x (u u 1? u
0

x a ? h +p

e

h+p h+p ? 0 = )p , x ( u u u
0

h+p h+ p ? = 1c , 0 + 1c = )p ,0(u = 0)2 ( 0u u h+ p + e1c = )p ,x (u u x h +ap ?
0

0= 2c得0 =
x a ? h +p

∞→ x

)p ,x ( x u )1(

h+p + u
0

x

a h +p

e 2c +

e1c = )p ,x ( u解通 )p ,x (u解求.2

0 = )p , x ( u h + )p , x ( u

∞→ x ? 0= ) p , x ( x? u 0 = )p ,0(u ? a a xd ? 2 ? = )p , x ( u 2 ? )p , x ( u 2 ? 0u h+p d? 2 xd 2 a ? )0 , x ( u ? ) p , x ( u p d 2 2 0 u = )0 , x ( u ? ? 0 = ∞→ x )t,x( x u ,0=)t,0(u ? ? 0>t,∞<x<0,0=uh+ xx u 2 a- t u ?

.1 解 换变氏拉的t量变于关作件条界边界边及程方对?

t 2a 4 / 2x ? ? ? ) tΔθ+ t ( ?? ?? y?

e

2 3

t π a2 x

? ) x ( ? ? ) tΔ + t ( ?? ? mil ? tΔ / ?
0 → tΔ

e mil

0 → tΔ

π
2

=

?= = yd
y?

2

tΔ / ) yd

2

y?

e

)x ( ?

∫? yd

e

) tΔ + t ( ?

∫( mil

0 → tΔ

π

e

)x ( ?

∫π

2

2

2

td 2 d

a2 / x

t a2 t = ) x ( ? 令? yd y ? e x 2
2 t2a 4 / 2x ?

∫π
e

t π a2 x

td 算计了为?解 2 d

e3

= yd

2

y?

t a2 / x ∞

∫π

td 明证试 4.4.21 2 d