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四川省遂宁市2016_2017学年高二数学下学期第二学段考试试题理

2016~2017 学年度下期第二学段考 试高二数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 第 I 卷(选 择题 共 60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分;请 将唯一正确答案填涂在答题卡上)

1.已知i为虚数单位, 则 A. ? 1 ? i

2i ? _____ 1? i B.1 ? i C.2 ? 2i
B.必要不充分条件

D. ? 2 ? 2i

2.已知a, b, c, d 为实数,且c ? d , 则“a ? b”是“a ? c ? b ? d”的 ______ A.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A, B, 若 | AB |? 5, 16 9 则 | AF1 | ? | BF1 |? _____ 3.已知F1 , F2是椭圆 A.3 B.8 C.11 D.16

4.一个命题的逆命题为真命题, 则以下命题一定为真命题的是 ____ A.原命题 B.逆命题 C.否命题 D.逆否命题

5.函数f ( x)的定义域为(a, b),导函数f ?( x)在(a, b)上的图象 如图所示,则函数f ( x)在(a, b)内的极值点有____个 A.1 B.2 C.3 D.4

6.双曲线 A. 17

x2 ? 2 y 2 ? 1的渐近线与圆x 2 ? ( y ? a) 2 ? 1相切,则正实数a的值为 ____ 2 17 5 B. C. 5 D. 4 2

7.函数f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? 7在区间(0, 2)内的零点个数为 _____ A.3 B.2 C.1 D.0

8.计算 ? e| x| dx的值为 _____ A.e ? e ? 2
4 ?2 2

4

B.e 4 ? e ?2 ? 2
B. ? 1 C. ? 2

C.e 4 ? e 2
D.2

D.e 4 ? e ?2

9.已知直线y ? x ? 1与曲线y ? ln( x ? a )相切,则a的值为 ______ A.1

1

1 10.已知命题p : 抛物线y ? 2 x 2的准线方程为y ? ? , 命题q : 函数y ? x ? 2sin x在 2 [0, ? ]上的递增区间为[ , ? ], 则下列命题为真命题的是____ 3 A. p ? q B. p ? (?q ) C.(?p ) ? (?q) D. p ? q

?

y2 11.设F1 , F2分别为双曲线x ? ? 1的两个焦点, P是该双曲线上的点, 3 且3 | PF1 |? 4 | PF2 |, 则?PF1 F2的面积为 ____
2

A.5 3

B.2 10

C.4 5

D.3 15
1 , f (1) ? 1, x2

12.定义在(0, ??)上的函数f ( x)的导函数为f ?( x), 且xf ?( x) ? 2 f ( x) ? 则函数f ( x)的最大值为 _______ e A.0 B. C. e 2

D.2e

第 II 卷( 非选择题

共 90 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.曲线y ? x ln x在x ? 1处的切线方程为 ____________
14.已知命题p : ?x ? R, ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0, 若命题p为假命题,则实数a的取值范围为 ______ .
15.已知一等边三角形的一个顶点在坐标原点,另两个顶点在抛物线y 2 ? 2 x上, 则该三 角形的面积为 _________ .

16.若方程e x ? ax 2恰有两个不同的实数根,则实数a的值为 _______

三、解答题(17 题 10 分,其余每题各 12 分,共 70 分)

17.已知命题p : ?x ? ?1, 2? , x 2 ? a ? 0恒成立;命题q : ?x0 ? R使得x0 2 ? (a ? 1) x0 ? 1 ? 0. 若“p ? q”为真, 求实数a的取值范围.

2

18.已知椭圆C : 4 x 2 ? y 2 ? 1和直线l : y ? x ? m. ⑴当直线l和椭圆C有公共点时,求m的取值范围 ⑵若直线l 被椭圆截得的弦长为 2 2 ,求直线l的方程 5

19.已知函数f ( x) ? x 3 ? 3ax 2 ? 9 x ? 4在x ? ?1时有极值. ⑴求f ( x)的解析式; ⑵求函数f ( x)在[?4,1]上的最大值和最小值.

20.过点N (0, 2)的直线交抛物线y ? 2 x 2于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )两点, O为坐标原点. ⑴求?AOB面积的最小值; ⑵设抛物线在A, B处的切线交于点M , 求点M 的纵坐标.

3

1 2 x ? 2a 2 ln x, g ( x) ? ax( x ? 0). 2 ⑴当a ? 1时, 求f ( x)的单调递增区间; 21.已知函数f ( x) ? ⑵若函数f ( x)的图象恒在函数g ( x)图象的上方, 求实数a的取值范围.

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的右焦点为F (1, 0), 且点(?1, )在椭圆上, 过点 2 a b 2 P(4, 0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A, B两点. ??? ? ??? ? ⑴求椭圆C的方程;⑵求OA ? OB的取值范围; 22.椭圆C : ⑶若点B关于x轴的对称点为E , 证明:直线AE过定点.

4

遂宁中学外国 语实验学校 2016~2017 学年度下期第二学段考试 高二数学试题(理科)参考答案

参考答案: 一、选择题:1-5.BBCCC 6-10.DCADA 11-12.DB 二、填空题:13. y ? x ? 1 ;14. [0,1) ;15. 12 3 ;16. 三、解答题 17.解析:∵ ?x ? [1, 2],x 2 ? a ? 0 恒成立, 即 a ? x 2 恒成立,∴ a ? 1 ,即 p : a ? 1 ; ··················4 分
2 +(a ? 1)x0 +1=0 , 又 ?x0 ? R 使得 x0

e2 4

?? ? (a ? 1)2 ? 4 ? 0 , a ? 3 或 a ? ?1 ,即 q: a ? 3 或 a ? ?1 .

·········8 分

?a ? 1 又 p 且 q 为真,则 ? ······················1 0 分 ?a ? ?1或a ? 3

得 a 的取值范围为 ?a a ? ?1? .·······················12 分

?4 x 2 ? y 2 ? 1 18.解析: ? 5 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 1 ? 0??2分 ? ?y ? x ? m ? ? 4m 2 ? 20m 2 ? 20 ? 0 ? ??4分 5 5 ?m? ??6分 2 2 设直线l与曲线C交于A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) x1 ? x2 ? ? 2m m2 ? 1 , x1 x2 ? 5 5 ??8分 ?16m 2 ? 20 2 2 ? ??11分 5 5 ??12分

则 | AB |? k 2 ? 1? | x2 ? x1 |? 2 ? ??4m 2 ? 5 ? 5 ? m ? ?1 ? 直线l的方程为y ? x ? 1

19.解析:(Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 6ax ? 9 ,由题知 f ? (?1) ? 0 , 3 ? 6a ? 9 ? 0 ,得 a ? 2 . ∴ f ( x) ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 4 ························· 6 分
2 (Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 12 x ? 9 ? 3 ? x ? 3?? x ? 1? ················· 8 分

则方程 f ?( x) ? 0 有根 x ? ?3 或 x ? ?1 .

5

x
f ?( x) f ( x)

? 3? ? ?4,
+ 增

?3

? 1? ? ?3,
- 减

?1

, ? ?11 ?
+ 增

0 极大值

0 极小值

·································· 10 分

?[f ( x)]极小 ? f (?1) ? 0 ,?[ f ( x)]极大 ? f (?3) ? 4 ,而 f (?4) ? 0,f (1) ? 20
?[f ( x)]max ? f (1) ? 20 , [ f ( x)]min ? 0 . ················· 12 分

20 .解析:由题意知直线
y ? kx ? 2

l

的斜率存在,设

l

的方程为

? y ? kx ? 2, k 联立 ? 得 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ?1 . ········· 2 分 2 2 ? y ? 2x ,

(Ⅰ) S?AOB ? S?AON ? S?BON ?

1 1 ? 2 x1 ? ? 2 x2 2 2

··············· 3 分

? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 =

1 2 k ? 16 ? 2 (当 k ? 0 时取“=”) ······· 5 分 2

所以 ?AOB 的面积的最小值为 2 . ······················ 6 分 (其他解法参照给分) (Ⅱ) y ? ? 4 x ,? y ?
x ? x1

? 4 x1 ,得 AM 的方程为 y ? y1 ? 4 x1 ( x ? x1 ) ,

即 y ? 4 x1 x ? 2 x12 ,同理 BM 的方程为 y ? 4 x2 x ? 2 x2 2 , ············8 分 消去 x 得 ( x1 ? x2 ) y ? 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) ,? x1 ? x2 , y ? 2 x1 x2 ? ?2 , 所以 M 点的纵坐标为 ? 2 . ························12 分 21.解析:(Ⅰ)由 f ?( x) ? x ? ∵ x ? 0 ,∴ x ?
2 ( x ? 2)( x ? 2) ,令 f ' ( x) ? 0 知, ? x x

2 ,所以 f ( x) 的单调递 增区间为 ( 2, ??) . ·········4 分
1 2 x ? 2a 2 ln x ? ax( x ? 0) , 2

(Ⅱ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

h?( x) ? x ?

2a 2 ( x ? a)( x ? 2a) ?a? , ··················· 6 分 x x

? f ( x) 的图象恒在 g ( x) 的图象的上方,? 只要 h( x) min ? 0
2a) 上递减,在 (2a, ? ?) 上递增, ① a ? 0 时, h( x) 在 (0,

6

? h( x)min ? h(2a) ? ?2a 2 ln(2a) ? 0 ,? 0 ? a ?
②当 a ? 0 时, h( x) ?

1 . ·············· 8 分 2

1 2 x ? 0 恒成立. ··················· 10 分 2

? a) 上递减,在 (?a, ? ?) 上递增, ③当 a ? 0 时, h( x) 在 (0,
? h( x) min ? h(?a) ?
3 3 2 3 a ? 2a 2 ln(?a ) ? 0 ,即 ln(?a) ? , ? e4 ? a ? 0 , 2 4 3

综上, a 的取值范围为 ?e 4 ? a ?

1 . ··················· 12 分 2

22.解析: 2a ? 4 ? 又c ? 1, 故b ? 3 ? 椭圆C的方程为

9 9 ? 0 ? ? 4 ? a ? 2 ??1分 4 4

x2 y 2 ? ?1 ??2分 4 3 设直线AB : y ? k ( x ? 4), A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )??3分

? y ? k ( x ? 4) 由? 2 得 : (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0??4分 2 3 x ? 4 y ? 12 ? 1 ? ? 322 k 4 ? 4(64k 2 ? 12)(3 ? 4k 2 ) ? ?4(144k 2 ? 36) ? 0 ? 0 ? k 2 ? ??5分 4 2 2 32k 64k ? 12 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 [ x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16]
2 64k 2 ? 12 128k 2 2 64 k ? 12 ? k ( ? ? 16) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 64k 2 ? 12 36k 2 100k 2 ? 12 87 ? ? ? ? 25 ? ??7分 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ??? ? ??? ? 13 1 0 ? k 2 ? ? 3 ? 3 ? 4k 2 ? 4 ? ?4 ? OA ? OB ? ??8分 4 4

?

B, E关于x轴对称 ? E ( x2 , ? y2 ) 直线AE : y ? y1 ? 令y ? 0得:x ? y1 ? y2 ( x ? x1 ) x1 ? x2

? x1 y1 ? x2 y1 x y ? x y kx ( x ? 4) ? kx2 ( x1 ? 4) ? x1 ? 1 2 2 1 ? 1 2 y1 ? y2 y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ? 8)

128k 2 ? 24 128k 2 ? 2 2kx1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) 3 ? 4 k 3 ? 4k 2 ? 1 ?x ? ? 32k 2 k ( x1 ? x2 ? 8) ?8 3 ? 4k 2 故直线AE恒过点(1, 0)

??12分
7



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