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峨山彝族自治高中数学第二章函数21函数213函数的单调性导学案新人教B版必修1

2.1.3 函数的单调性 【预习要点及要求】 1.函数单调性的概念; 2.由函数图象写出函数单调区间; 3.函数单调性的证明 4.能运用函数的图象理解函数单调性和最值 5.理解函数的单调性 6.会证明函数的单调性 【知识再现】 1. a 2 ? b 2 ? _____________ 2. a 3 ? b 3 ? _____________ 3. a 3 ? b 3 ? _____________ 【概念探究】 阅读课本 44 页到例 1 的上方,完成下列问题 1 从直观上看,函数图象从左向右看,在某个区间上,图象是上升的,则此函数是______, 若图象是下降的,则此函数是_____________2 不看课本,能否写出函数单调性的定义? _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3 对区间的开闭有何要求? 4 如何理解定义中任意两个字? 5 一个函数不存在单调性,如何说明? 6 完成课后练习 A 第 1,2 题 【例题解析】 阅读课本例 1 与例 2,完成下列问题 1 1. 不看课本你能否独立完成两个例题的证明 (1) 证明函数 f ( x) ? 2 x ? 1 在 R 上是增函数 (2) 证明函数 f ( x) ? 1 ,在区间 (??, 0), (0, ??) 上分别是减函数 x 2. 根据两个例题的证明,你能否给出证明函数单调性的一般步骤,在这些步骤中你认为最 关键的地方是什么? 3 有的同学证明 f ( x) ? 么? 证明:设 0 ? x1 ? x2 ,则 是减函数 1 在 (0, ??) 上是减函数时是这样证的,你是否认可其作法,为什 x 1 1 1 ? ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,根据定义可得 f ( x) ? 在 (0, ??) 上 x x1 x2 4 完成课后练习 A 第 3,4 题,习题 2-1A 第 5 题 5 证明: f ( x) ? 减函数? 【典例讲解】 1 在 (0,??) 和 (??,0) 上均为减函数,并说明 f ( x) 在整个定义域上是否为 x 例 1.求下列函数的增区间与减区间 (1)y=|x2+2x-3| 例 2.已知二次函数 y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为 x=3 的抛物线, 2 试比较大小: (1)f(6)与 f(4) 例 3.利用函数单调性定义证明函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上是减函数. 参考答案: 例 1.解 (1)令 f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出 f(x)的图像,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分,把它在 x 轴下方的图像 翻到 x 轴就得到 y=|x2+2x-3|的图像 由图像易得: 递增区间是[-3,-1],[1,+∞) 递减区间是(-∞,-3],[-1,1] (2)分析:先去掉绝对值号,把函数式化简后再考虑求单调区间. 当 x-1≥0 且 x-1≠1 时,得 x≥1 且 x≠2,则函数 y=-x. 当 x-1<0 且 x-1≠-1 时,得 x<1 且 x≠0 时,则函数 y=x-2. ∴增区间是(-∞,0)和(0,1) 减区间是[1,2)和(2,+∞) (3)解:由-x2-2x+3≥0,得-3≤x≤1. 令 u==g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4. 在 x∈[-3, -1]上是在 x∈[- 1,1]上是. ∴函数 y 的增区间是[-3,-1],减区间是[-1,1]. 例 2.解 (1)∵y=f(x)的图像开口向下,且对称轴是 x=3,∴x≥3 时,f(x)为 减函数,又 6>4>3,∴f(6)<f(4) 3 时为减函数. 例 3.证明:取任意两个值 x1,x2∈(-∞,+∞)且 x1<x2. 又∵x1-x2<0,∴f(x2)<f(x1) 故 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. 得 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. 【达标练习】 1 若函数 y ? mx ? b 在 (??,??) 上是增函数,那么 A.b>0 B. b<0 2 ( ) C.m>0 D.m<0 2 函数 f ( x) ? 2 x ? mx ? 3 ,当 x ? [?2,??) 时是增函数,当 x ? (??,?2] 时是减函数,则 f (1) 等于 A.-3 B.13 C.7 D.由 m 而定的常数 ( ( ) 3 设函数 f ( x) 在 (??,??) 上为减函数,则 ) A. f (a ) ? f (2a ) B. f (a 2 ) ? f (a ) 2 C. f ( a 2 ? a ) ? f ( a ) 1 2 D. f (a 2 ? 1) ? f (a ) 4 如果函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 5 在区间 ( ,1) 上是增函数,那么 f (2) 的取值范围是 __________________. 5 已知 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a ) ? f (3a ? 1), 则 a 的取值范围是 _____________ 6 证明函数 f ( x) ? x ? 1 在 (0,1) 上是减函数 x 4 【达标练习答案】 1、C 2、B 3、D 4、 f (2) ? ?7 5. 0 ? a ? 1 2 6.证明:任取 x1 , x 2 ? (0,1) 且 x1 ? x 2 , 则 ?x ? x 2 ? x1 , ?y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ? x ? x2 x x ?1 1 1 ? x1


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