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【数学】2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教案(新人教B版必修1)


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2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二 分法 教案
教学目标: 1. 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件; 2. 了解二分法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系及其在实 际问题中的应用. 3. 能借助计算器用二分法求方程的近似解, 并了解这一数学思想, 为学习算法做准备. 重点,难点: 重点 通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系. 难点 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 教学过程 环节 教学内容设计 师生双边互动 材料一:二分查找(binary-search) (第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联 赛提高组初赛试题第 15 题)某数列有 1000 个各不相同的单 元,由低至高按序排列;现要对该数列进行二分法检索 (binary-search),在最坏的情况下,需检索( )个单元。 A.1000 B.10 C.100 D.500 材料二:高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数 师:从学生感兴趣 的计算机编程问 题,引导学生分析 二分法的算法思想 与方法,引入课题.

创 设 情 境

,对于 f (x) 为一次或 y ? f (x) 的零点(即 f ( x) ? 0 的根) 的思想与方法. 二次函数, 我们有熟知的公式解法 (二次时, 称为求根公式) . 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根公式,但 对于高于 4 次的函数,类似的努力却一直没有成功,到了十 九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究, 人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式,亦即,不 存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对 于 3 次和 4 次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂,一 般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其 它的一些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法,这是一 个在计算数学中十分重要的课题. 二分法及步骤:

生:体会二分查找

师:从高次代数方 程的解的探索历 程,引导学生认识 引入二分法的意 义.

组 织 探 究

对 于 在 区 间 [a , b] 上 连 续 不 断 , 且 满 足 通过不断地把函数 f (x) f (a) ·f (b) ? 0 的函数 y ? f (x) , 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零 点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步 骤如下:

师:阐述二分法的 逼近原理,引导学 生理解二分法的算 法思想,明确二分 法求函数近似零点 的具体步骤.

分析条件

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1.确定区间 [ a , b ] ,验证 f (a ) · f (b) ? 0 ,给定精 度? ; 2.求区间 ( a , b) 的中点 x1 ; 3.计算 f ( x1 ) : 环节 呈现教学材料 1 ○ 若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; 2 ○ 若 f (a ) · f ( x1 ) < 0 , 则 令 b = x1 ( 此 时 零 点 “ f (a ) · f (b) 、 、 ? 0 ” “精度 ? ” “区间中点”及 “ | a ? b |? ? ” 的 意义. 师生互动设计 生:结合引例“二 分查找”理解二分 法的算法思想与计 算原理.

x0 ? (a, x1 ) ) ;
3 ○ 若 f ( x1 ) · f (b) < 0 , 则 令 a = x1 ( 此 时 零 点

师:引导学生分析 理解求区间 ( a ,b) 的 中 点 的 方 法

x0 ? ( x1 , b) ) ;
4.判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则 重复步骤 2~4. 组 织 探 究 例题解析: 例 1.求函数 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正数零点
3

x1 ?

a?b . 2

(精确到 0.1 ) . 分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函 数图象,确定函数零点大致所在的区间,然后利用二分法逐 步计算解答. 解: (略) . 注意: 1 ○ 第一步确定零点所在的大致区间 ( a , b) ,可利用 函数性质,也可借助计算机或计算器,但尽量取端点为整数 的区间,尽量缩短区间长度,通常可确定一个长度为 1 的区 间; 2 ○ 建议列表样式如下: 零点所在区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] 中点函数值 区间长度 1 0.5 0.25

师:引导学生利用 二分法逐步寻求函 数零点的近似值, 注意规范方法、步 骤与书写格式.

生:根据二分法的 思想与步骤独立完 成解答,并进行交 流、讨论、评析.

f (1.5) >0

f (1.25) <0
f (1.375) <0

师:引导学生应用 函数单调性确定方 程解的个数.

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如此列表的优势: 计算步数明确, 区间长度小于精度时, 生:认真思考,运 即为计算的最后一步. 用所学知识寻求确 定方程解的个数的 例 2.借助计算器或计算机用二分法求方程 方法,并进行、讨 论、交流、归纳、 . 2 x ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 ) 概括、评析形成结 解: (略) . 论. 思考:本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大 致区间和解的个数外,你是否还可以想到有什么方法确定方 程的根的个数?

结论:图象在闭区间 [ a , b ] 上连续的单调函数 f (x) , 在 ( a , b) 上至多有一个零点. 环节 1) 函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f (x) 的图象与 x 轴交点 的横坐标; 探 究 与 发 现 若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 2) 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 f (a ) · f (b) ? 0 表明用二分法求函数的 近似零点都是指变号零点. 呈现教学材料 师生互动设计 师:引导学生从 “数”和“形”两 个角度去体会函数 零点的意义,掌握 常见函数零点的求 法,明确二分法的 适用范围.

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1) 教材 P74 练习 1、2 题; 2) 教材 P75 习题 2.4(A 组)第 2、4 题; 尝 试 练 习 3) 求方程 log 3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致所在区 间; 4) 探究函数 y ? 0.3 与函数 y ? log 0.3 x 的图象有无
x

交点,如有交点,求出交点,或给出一个与交点距 离不超过 0.1 的点.

课 后 作 业

1) 教材 P75 习题 2.4(A 组)第 5 题、 组)第 1 题; (B 2) 提高作业: 1 ○ 已知函数

f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 .
(1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个交点? (2)如果函数的一个零点在原点,求 m 的值.

收 获 与 体 会

说说方程的根与函数的零点的关系, 并给出判定方程在 某个区间存在根的基本步骤,及方程根的个数的判定方法; 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解, 对数学 有了哪些新的认识?

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