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【数学】安徽省野寨中学、岳西中学2011届高三上学期联考(文)

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切问而近思

届野寨中学、 2011 届野寨中学、岳西中学 高三联考·数学(文科) 高三联考·数学(文科)试题
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意 选择题: 要求的. 要求的. 1.设集合 A、B 是全集 U 的两个子集,则 A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 已知 z 是纯虚数, A.2i

? ≠

B 是 ( CU A) ∪ B = U 的(



z+2 是实数,那么 z 等于( 1-i
B.i C.-i

) D.-2i

3.若 3sin α + cos α = 0 ,则 A.

10 3

B.

5 3

1 的值为( ( cos α + sin 2α 2 C. 3
2

) 、 D. ?2 .o.m

4.把函数 y = sin x ( x ∈ R )的图象上所有点向左平行移动 标缩短到原来的

π
3

个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐 )

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( 2 π x π A. y = sin(2 x ? ) , x ∈ R B. y = sin( + ) , x ∈ R 3 2 6 π 2π C. y = sin(2 x + ) , x ∈ R D. y = sin(2 x + ) , x∈R 3 3

5.等差数列 { n }中, a1 = 1, a 3 + a 5 = 14 ,其前 n 项和 S n = 100 ,则 n 等于( a A.9 B.10 C.11 D.12



6.已知曲线 y = A.3

x2 1 - 3 ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2



B.2

C.1

D.

1 2

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)

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7.在坐标平面上,不等式组 ?
3 2

?y ≥ x ?1 所表示的平面区域的面积为( ? y ≤ ?3 | x | +1
C.
3 2 2

A. 2 8.已知双曲线 C: ) A. ab

B.

D.2

x2 y2 = 1 (a > 0, b > 0 ) ,以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的圆的半径是( a 2 b2

B. a 2 + b2

C. a

D. b )

9.圆 x 2 + y 2 - 2x - 1 = 0 关于直线 2x - y + 3 = 0 对称的圆的方程是( A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = B. (x - 3)2 + (y + 2)2 =
1 2 1 2

C. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 2 D. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 2

10. 已 知 | OA |= 1, | OB |=

3 , OA ? OB = 0 , 点
m 等于( n

C

在 ∠AOB 内 , 且 ∠AOC = 30

0

, 设

OC = mOA + nOB (m, n ∈ R ) ,则
A.
1 3

) D.
3

B.3

C.

3 3

小题, 把答案填在答题卡相应位置. 二、填写题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答题卡相应位置. 填写题: 11.命题 “若 a > b ,则 2 a > 2 b ? 1 ”的否命题为 12.使 log 2 (? x) < x + 1 成立的 x 的取值范围是 。 。 。 。 。

13.已知直线 x - y - 1 = 0 与抛物线 y = ax 2 相切,则 a = 14.△ABC 的内角 A,B,C 的对边为 a, b, c ,若 c = 15.已知 {an } 是等比数列, a2 = 2, a 5 =
2, b =

6, B = 1200 ,则 a =

1 ,则 a1a2 + a2 a3 + L + an an +1 等于 4

科网] 科网] 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 1 ? 2sin ( x +
2

π π π ) + 2sin( x + ) cos( x + ) .求: 8 8 8
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(I)函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)函数 f ( x ) 的单调增区间。

17. (本题满分 12 分)已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + 3bx + c(b < 0) ,且 g(x ) = f (x ) - 2 是奇函数。 (1)求 a, c 的值; (2)求函数 f (x ) 的单调区间。

18. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 中, a1 = 1 , a n = 为等比数列。 (Ⅰ) 求实数 λ 及数列 {bn

a 2n a n ?1 + n (n ≥ 2, n ∈ N * ) .且 bn = n + λ k n ?1 n

}、 {an } 的通项公式;
y
P

(Ⅱ) 若 S n 为 {an } 的前 n 项和,求 S n 。

A

x2 y2 + = 1 长轴的左、 19. (本题满分 13 分)如图,点 A、B 分别是椭圆 36 20
右端点,点 F 是椭圆的右焦点.点 P 在椭圆上,且位于 x 轴的上方,PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标;

M O

F

B

x

(2)设 M 椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 MB ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。

20. (本题满分 13 分)设实数 a < 0 , 设函数 f (x ) = a 1 - x 2 + (1)设 t =
1+ x +

1+ x +

1 - x 的最大值为 g(a ) 。

1 - x ,求 t 的取值范围,并把 f (x ) 表示为 t 的函数 h(t ) ;

(2)求 g(a ) 。

21 .( 本 题 满 分 13 分 ) 已 知 点 A (1, 0), B (0,1) 和 互 不 相 同 的 点 P , P2 , P3 ,L, Pn ,L , 满 足 1

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OPn = an OA + bn OB(n ∈ N * ) ,其中 {an }, {bn } 分别为等差数列和等比数列,O 为坐标原点,若 P1 为线段 AB
的中点。 (1)求 a1, b1 的值; (2)证明 {an } 的公差为 d =0,或 {bn } 的公比为 q=1,点 P , P2 , P3 ,L, Pn ,L 在同一直线上; 1 (3)若 d ≠ 0,且 q ≠ 1,点 P , P2 , P3 ,L, Pn ,L 能否在同一直线上?证明你的结论。 1

野、岳联考数学答案高三(文科) 岳联考数学答案高三(文科) 一、选择题:1.A 选择题: 2. D 3. A 4. C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.C 10. B

二、填写题:11. 若 a ≤ b ,则 2 a ≤ 2 b ? 1 . 填写题: 13. 1/4 三、解答题: 解答题: 14.
2

12. (-1,0)
32 (1 - 4- n ) 3

15.

18.解 (Ⅰ)当

n ≥ 2, n ∈ N * 时, a n =

2n a n ?1 + n , n ?1
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an a a a = 2 n ?1 + 1 , 即 n + 1 = 2( n ?1 + 1) , 故 λ = 1 时 n n ?1 n n ?1 a1 +1 = 2 ≠ 0 有 bn = 2bn ?1 , 而 b1 = 1
从而 an = n ? 2 ? n
n n

∴ bn = 2 ? 2 n ?1 = 2n ,
2

(Ⅱ) S n = 1 ? 2 + 2 ? 2 + L + n ? 2 ? (1 + 2 + L + n) 记 则 相减得:

Rn = 1 ? 2 + 2 ? 22 + L + n ? 2n 2 Rn = 1 ? 2 2 + 2 ? 23 + L + n ? 2 n +1

? Rn = 2 + 22 + 23 + L + 2n ? n ? 2n +1 = ∴ Rn = (n ? 1)2n +1 ? 2 ∴ S n = (n ? 1)2
n +1

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n +1 1? 2

n2 + n ? 4 ? 2

y
P

19. 解(1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P(x,y),则 AP =(x+6,y), FP =(x-4,y),由已知
ì x2 y2 ? ? ? 36 + 20 = 1 可得 í ? 2 ? ? (x + 6)(x - 4) + y = 0 ? ?

A O

M

F

B

x

则 2x +9x-18=0,x=

2

3 3 5 3 或 x=-6. 由于 y>0,只能 x= ,于是 y= . 2 2 2

∴点 P 的坐标是(

3 5 3 , ) 2 2
设点 M(m,0),则 M 到直线 AP 的距离是

(2) 直线 AP 的方程是 x- 3 y+6=0.

m+6 2

.

于是

m+6 2

= m - 6 ,又-6≤m≤6,解得 m=2.

椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有

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2 2 2 2

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d =(x-2) +y =x-4x +4+20- 由于-6≤x≤6, ∴当 x= 20.解: (1)因为 t = 所以 h(t ) =

5 2 4 9 2 x = (x- ) +15, 9 9 2

9 时,d 取得最小值 15 2
1 - x  [ 2, 2 ], 1 - x 2 =
1 2 t - 1 2

1+ x +

1 2 at + t - a, t  [ 2, 2 ] 2 1 1 线是抛物线 h(t ) = at 2 + t - a, t  [ 2, 2 ]的对称轴,又 a < 0 a 2

(2)直 t = -

所以,当 t = 当t = 当t = -

1  (0, 2 ],即 a ? a

2 ,则 g(a ) = h ( 2) = 2

2;

1 2  ( 2, 2 ],即 < a ? a 2

1 1 1 ,则 g(a ) = h (- ) = - a ; 2 a 2a

1 2 ? (2,   ),即 < a < 0 ,则 g(a ) = h (2) = a + 2 a 2

ì ? a + 2, a > - 1 ? ? 2 ? ? ? 1 2 ? 综上,有 g(a ) = í - a ,< a ? ? 2a 2 ? ? ? 2 ? 2, a ? ? ? 2 ? ?

1 2

21.解: (1) P1 为线段 AB 的中点 ? OP1
uuu uuu r r

uuur

r uuu r r uuur uuu r 1 uuu 1 uuu OA + OB ,又 OP1 = a1OA + b1OB , 2 2 1 。 2

且 OA, OB 不共线,由平面向量的基本定理知 a1 = b1 = (2)由 OPn = an OA + bn OB (n 无N * )
uuuu r uuu r uuu r

uuuu r OPn = (an , bn ) ,

设 {an } 的公差为 d, {bn } 的公比为 q,则由于 P1, P2 , P3 , 鬃  n , L 互不相同, ,P

d=0,q=1 所以不会同时成立。
若 d=0,则 an = a1 = 若 q=1,则 bn = b1 =
1 1 拮 P1, P2 , P3 , 鬃Pn , L 都在直线 x = 上; , 2 2 1 1 拮 P1, P2 , P3 , 鬃Pn , L 都在直线 y = 上; , 2 2 uuuuuuu r (an - an - 1, bn - bn - 1 ) 与

若 d ? 0,且 q ? 1, P1, P2 , P3 , 鬃  n , L 在同一直线上 ? Pn - 1Pn ,P
uuuuuuu r Pn Pn + 1 = (an + 1 - an , bn + 1 - bn ) 始终共线 ? (an

an - 1 )(bn + 1 - bn ) = (an + 1 - an )(bn - bn - 1 )

即 ? (bn + 1

bn ) = (bn - bn - 1 ) ? q

1 ,这与 q ? 1 矛盾。

所以 d ? 0,且 q ? 1, P1, P2 , P3 , 鬃  n , L 不可能在同一直线上。 ,P

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