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有答案 第二章 2.5 等比数列前n项和(一)


§2.5

等比数列的前 n 项和(一)

1.等比数列前 n 项和公式: a ?1-q ? a1-anq ? ? 1 = ?q≠1? 1-q (1)公式:Sn=? 1-q . ? ?na1 ?q=1? (2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情况. a1 2.若{an}是等比数列,且公比 q≠1,则前 n 项和 Sn= (1-qn)=A(qn-1).其中 1-q a1 A= . q-1 3.推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等 比数列对应项积的前 n 项和.
n

一、选择题 S5 1.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 等于( ) S2 A.11 B.5 C.-8 D.-11 答案 D 解析 由 8a2+a5=0 得 8a1q+a1q4=0, 5 S5 a1?1+2 ? ∴q=-2,则 = 2 =-11. S2 a1?1-2 ? S10 2.记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 等于( ) S5 A.-3 B.5 C.-31 D.33 答案 D a1?1-q6? 1-q S6 解析 由题意知公比 q≠1, = S3 a1?1-q3? 1-q 3 =1+q =9, a1?1-q10? 1-q S10 ∴q=2, = =1+q5 S5 a1?1-q5? 1-q 5 =1+2 =33. S4 3.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 等于( ) a2 A.2 B.4 15 17 C. D. 2 2 答案 C a2 解析 方法一 由等比数列的定义,S4=a1+a2+a3+a4= +a2+a2q+a2q2, q
1

S4 1 15 得 = +1+q+q2= . a2 q 2 a1?1-q4? 方法二 S4= ,a2=a1q, 1-q 4 S4 1-q 15 ∴ = = . a2 ?1-q?q 2 4.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等 于( ) 15 31 A. B. 2 4 33 17 C. D. 4 2 答案 B 解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列,且 a2a4=1, ∴设{an}的公比为 q,则 q>0,且 a2 3=1,即 a3=1. 1 1 ∵S3=7,∴a1+a2+a3= 2+ +1=7, q q 即 6q2-q-1=0. 1 1 故 q= 或 q=- (舍去), 2 3 1 ∴a1= 2=4. q 1 4?1- 5? 2 1 31 ∴S5= =8(1- 5)= . 1 2 4 1- 2 5.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),且前 n 项和为 Sn=3n+k,则实数 k 的值为 ( ) A.0 B.1 C.-1 D .2 答案 C 解析 当 n=1 时,a1=S1=3+k, - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n+k)-(3n 1+k) n n-1 n- 1 =3 -3 =2· 3 . 由题意知{an}为等比数列,所以 a1=3+k=2, ∴k=-1. 6.在等比数列{an}中,公比 q 是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前 8 项和 为( ) A.514 B.513 C.512 D.510 答案 D 解析 由 a1+a4=18 和 a2+a3=12, a =16 3 ? ? ? ? 1 ?a1+a1q =18 ?a1=2 得方程组? ,解得? 或? 1 . 2 ?a1q+a1q =12 ?q=2 q= ? ? ? 2 ? 2?28-1? 9 ∵q 为整数,∴q=2,a1=2,S8= =2 -2=510. 2-1 二、填空题 - 7.若{an}是等比数列,且前 n 项和为 Sn=3n 1+t,则 t=________. 1 答案 - 3 解析 显然 q≠1,此时应有 Sn=A(qn-1), 1 n 1 又 Sn= · 3 +t,∴t=- . 3 3
2

8.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 答案 3 a1?1-q6? 4· a1?1-q3? 3 解析 S6=4S3? = ?q =3(q3=1 不合题意,舍去). 1-q 1-q ∴a4=a1· q3=1×3=3. 9. 若等比数列{an}中, a1=1, an=-512, 前 n 项和为 Sn=-341, 则 n 的值是________. 答案 10 a1-anq 1+512q 解析 Sn= ,∴-341= , 1-q 1-q - - ∴q=-2,又∵an=a1qn 1,∴-512=(-2)n 1, ∴n=10. 10.如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,则此数列的通项公式 an=________. - 答案 2n 1 解析 当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=2a1-1,∴a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1) ∴an=2an-1,∴{an}是等比数列, - ∴an=2n 1,n∈N*. 三、解答题 11.在等比数列{an}中,a1+an=66,a3an-2=128,Sn=126,求 n 和 q. ?a1an=128, ? 解 ∵a3an-2=a1an,∴a1an=128,解方程组? ?a1+an=66, ?
? ?a1=64, 得? ① ?an=2, ? ?a1=2, ? 或? ② ? ?an=64. a1-anq 1 将①代入 Sn= ,可得 q= , 2 1-q n-1 由 an=a1q 可解得 n=6. a1-anq 将②代入 Sn= ,可得 q=2, 1-q

1 可解得 n=6.故 n=6,q= 或 2. 2 2 3 n 12.求和:Sn=x+2x +3x +?+nx (x≠0). 解 分 x=1 和 x≠1 两种情况. n?n+1? (1)当 x=1 时,Sn=1+2+3+?+n= . 2 2 3 n (2)当 x≠1 时,Sn=x+2x +3x +?+nx , + xSn=x2+2x3+3x4+?+(n-1)xn+nxn 1, x?1-xn? + + ∴(1-x)Sn=x+x2+x3+?+xn-nxn 1= -nxn 1. 1-x + x?1-xn? nxn 1 ∴Sn= . 2- ?1-x? 1-x 综上可得 Sn= 由 an=a1qn
-1

n?n+1? ? ? 2 ?x?1-x ? nx ? ? ?1-x? - 1-x
n 2

?x=1? . ?x≠1且x≠0?

n+1

能力提升
3

13.已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,Sn=54,S2n=60,求 S3n. 解 方法一 由题意 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, 182 ∴62=54(S3n-60),∴S3n= . 3 a1?1-qn? 方法二 由题意得 a≠1,∴Sn= =54 ① 1-q a1?1-q2n? S2n= =60 ② 1-q 10 由②÷ ①得 1+qn= , 9 9×54 1 a1 ∴qn= ,∴ = , 9 8 1-q 3n a1?1-q ? 9×54 1 182 ∴S3n= = (1- 3)= . 8 9 3 1-q + 14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n 2-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an· log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. + 解 (1)由题意,Sn=2n 2-4, + + + n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 2-2n 1=2n 1, 当 n=1 时,a1=S1=23-4=4,也适合上式, + ∴数列{an}的通项公式为 an=2n 1,n∈N*. n+1 (2)∵bn=anlog2an=(n+1)· 2 , + ∴Tn=2· 22+3· 23+4· 24+?+n· 2n+(n+1)· 2n 1, ① + 3 4 5 n+1 2Tn=2· 2 +3· 2 +4· 2 +?+n· 2 +(n+1)· 2n 2. ② ②-①得, + + Tn=-23-23-24-25-?-2n 1+(n+1)· 2n 2 3 n-1 2 ?1-2 ? + =-23- +(n+1)· 2n 2 1-2 - + =-23-23(2n 1-1)+(n+1)· 2n 2 + - =(n+1)· 2n 2-23· 2n 1 + n+2 n+2 =(n+1)· 2 -2 =n· 2n 2.

1.在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中 首项 a1 和公比 q 为基本量,且“知三求二”. 2.前 n 项和公式的应用中,注意前 n 项和公式要分类讨论,即 q≠1 和 q=1 时是不同 的公式形式,不可忽略 q=1 的情况. 3.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为 q,求数列{an· bn}的前 n 项和时,可采用错位相减的方法求和.

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