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江西省吉安市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


江西省吉安市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)若 A={2,3,4},B={x|x=m+n,m,n∈A,m≠n},则集合 B 中的元素个数是() A.2 B. 3 C. 4 D.5 2. (5 分)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点(﹣3,4) ,则 sinα 的值为() A. B. ﹣ C. ﹣ D.﹣

3. (5 分)下列函数中,与函数 y= A.f(x)=lnx+1g(1﹣x) = D.

+

有相同定义域的是() B.f(x)= f(x)=e
x

+

C. f(x)

4. (5 分)已知平面直角坐标系中三个点 A(0,2) ,B (﹣1,﹣2) ,C(3,1) ,且 则向量 的坐标为() B.(1,﹣ )
2

=2



A.(2, )

C.(﹣1, )

D.(3,1)

5. (5 分)已知函数 f(x)=ax +bx,若 f(x)是奇函数,则() A.a=0,b=0 B.a=1,b=0 C.a=0,b=1 6. (5 分)若将某正弦函数的图象向右平移

D.a=0,b∈R

以后,所得到的图象的函数解析式是

,则原来的函数表达式为() A. D. B. C.

7. (5 分)已知 x∈(﹣ A.

,0) ,cos

2

﹣sin

2

= ,则 tan2x 等于() C. D.﹣

B. ﹣

8. (5 分)给定△ ABC,若点 D 满足 A. B.
x

=



=



,则 λ 等于() D.﹣

C. ﹣

9. (5 分)函数 f(x)=2 +lgx 的零点所在的一个区间是() A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,+∞)

10. (5 分)设函数,则 f(x)=sin(2x+ A.y=f(x)在(0, B. y=f(x)在(0, C. y=f(x)在(0, D.y=f(x)在(0,

)+cos(2x+

) ,则() 对称 对称 对称 对称

)单调递增,其图象关于直线 x= )单调递增,其图象关于直线 x= )单调递减,其图象关于直线 x= )单调递减,其图象关于直线 x=

11. (5 分)设函数 f(x)=kx ,若 f(1)=1,f( )= A.{x|﹣4≤x≤4} {x|0 } B.{x|0≤x≤4} C.{x|﹣

m

,则不等式 f(|x|)≤2 的解集是() } D.

12. (5 分)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,有下列四个结论: ①方程 f(x)=0 至少有一个实数根; ②方程 f(x)=0 至多有两个实数根; ③函数 f(x)的图象关于点(0,e)对称; ④当 b≥0 时,f(x)在 R 上是增函数. 其中正确的结论是() A.①② B.②③ C.③④

D.①③④

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)若 cos(2π﹣a)= 且 a∈( ,2π) ,则 sin(3π﹣a)=.

14. (5 分)已知单位向量



的夹角为 60°,则|2

+3

|=.

15. (5 分)设 a≤0,则函数 f(x)=log0.5(3x ﹣ax+5)在区间

2

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分) 已知函数 ( f x) = + 的定义域为集合 A, B={x∈Z, 3<x<11}, C={x∈R|x

<a 或 x>a+1}. (1)求 A, (?RA)∩B; (2)若 A∪C=R,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)已知 sin( (1)tan2x (2) 的值. +x)=﹣ ,x∈(﹣ ,﹣ )求:

19. (12 分)已知函数 f(x)=a(2cos

2

+sinx)+b.

(1)当 a=1 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)当 a>0,且 x∈时,f(x)的值域是,求 a,b 的值. 20. (12 分)已知一次函数 f(x)=2x﹣b,幂函数 g(x)=x ,且知函数 f(x)?g(x)的图 象过(1,2) ,函数 的图象过( ,1) ,若函数 h(x)=g(x)+f(x) .
a

(1)求函数 h(x)的解析式; (2)若 x∈,求 y= 的最小值.

21. (12 分) 如图, 在 Rt△ ABC 中, | 的值最大?并求出这个最大值.

|=|

|=a 且

=

, 向



的夹角 θ 取何值, ?

22. (12 分)已知函数 y=g(x)与 f(x)=loga(x+1) (0<a<1)的图象关于原点对称 (Ⅰ)求 y=g(x)的解析式; 2 2 (Ⅱ)函数 F(x)=f(x)+g(x) ,解不等式 F(t ﹣2t)+F(2t ﹣1)<0.

江西省吉安市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与 试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)若 A={2,3,4},B={x|x=m+n,m,n∈A,m≠n},则集合 B 中的元素个数是() A.2 B. 3 C. 4 D.5 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 要对于 A 中元素两两相乘看所得的积, 由集合元素的互异性得到不相等的元素的积. 解答: 解:B={x|x=n+m,m,n∈A,m≠n}, 由题意知:当 n=2,m=3 或 4 时 m+n=5 或 6, 当 n=3,m=2 或 4,m+n=5 或 7, 当 n=4,m=2 或 3 时,m+n=6 或 7, 根据集合的互异性可知集合 B 的元素个数为 3, ∴B={5,6,7} 故选:C 点评: 列举题目中的几种不同情况,注意做到不重不漏,本类问题要深刻理解概念,定义, 根据题目中的定义的相关信息进行分析,此类题目虽然“陌生”但难度不会太大. 2. (5 分)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点(﹣3,4) ,则 sinα 的值为() A. B. ﹣ C. ﹣ D.﹣

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据三角函数的定义进行求解即可. 解答: 解:r= 则 sinα= , ,

故选:A 点评: 本题主要考查三角函数的计算,利用三角函数的定义是解决本题的关键. 3. (5 分)下列函数中,与函数 y= A.f(x)=lnx+1g(1﹣x) = D. + 有相同定义域的是() B.f(x)= f(x)=e
x

+

C. f(x)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件即可求函数的定义域.

解答: 解:要使函数 y=

+

有意义,则

,即

,即 0<x<1,

A.由



,即 0<x<1,与条件函数有相同的定义域.

B.由



,解得 0≤x≤1.

C.由 x(x﹣1)>0 得 x≥>1 或 x<0, D.函数的定义域为 R. 故选:A 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件 .

4. (5 分)已知平面直角坐标系中三个点 A(0,2) ,B(﹣1,﹣2) ,C(3,1) ,且 则向量 的坐标为() B.(1,﹣ ) C.(﹣1, ) D.(3,1)

=2



A.(2, )

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设出 D 的坐标,利用向量相等,求出 D 的坐标,然后求解向量 解答: 解:设 D(a,b) ,A(0,2) ,B(﹣1,﹣2) ,C(3,1) ,则 2b﹣4) , ∵ =2 ,∴4=2a,3=2b﹣4, 的坐标. =(2a,

=(4,3) ,2

解得:a=2,b= , 向量 =(2, ) .

故选:A. 点评: 本题考查向量的坐标运算,向量的相等,考查计算能力. 5. (5 分)已知函数 f(x)=ax +bx,若 f(x)是奇函数,则() A.a=0,b=0 B.a=1,b=0 C.a=0,b=1 考点: 专题: 分析: a,b 解答:
2

D.a=0,b∈R

函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用. 2 由 f(x)=ax +bx 是奇函数可得 f (﹣x)=﹣f(x)对于任意的 x 都成立,进而可求 解:∵f(x)=ax +bx 是奇函数
2

∴f(﹣x)=﹣f(x)对于任意的 x 都成立 即 a(﹣x) +b(﹣x)=﹣ax ﹣bx 2 整理可得,ax = 0 恒成立 ∴a=0,b∈R 故选 D 点评: 本题主要考查了奇怪函数的定义的简单应用,属于基础试题
2 2

6. (5 分)若将某正弦函数的图象向右平移

以后,所得到的图象的函数解析式是

,则原来的 函数表达式为() A. D. B. C.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换将 y=sin(x+ 解答: 解:依题意,将 y=sin(x+ ∴原来的函数表达式为 y=sin(x+ )向左平移 ) , )向左平移 即可. ) ,

得:y=sin=sin(x+

故选 A. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,掌握平移的规律是关键,属于中档题. 7. (5 分)已知 x∈(﹣ A. ,0) ,cos
2

﹣sin

2

= ,则 tan2x 等于() C. D.﹣

B. ﹣

考点: 二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用倍角公式可得 cosx= ,由于 x∈(﹣ tan2x= . ,0) ,可得 sinx,tanx= .即可得出

解答: 解:∵cos ∵x∈(﹣

2

﹣sin

2

= ,∴cosx= ,

,0) ,

∴sinx=﹣ ,∴tanx=﹣ .

则 tan2x=

=

=﹣



故选:D. 点评: 本题考查了倍角公式、 同角三角函数基本关系式, 考查了推理能力与计算能力, 属于 中档题. 8. (5 分)给定△ ABC,若点 D 满足 A. B.

=



=



,则 λ 等于() D.﹣

C. ﹣

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的三角形法则、线性运算、向量基本定理即可得出. 解答: 解:∵ 与 = +λ = = . = = ,

比较,可得

故选:A. 点评: 本题考查了向量的三角形法则、线性运算、向量基本定理,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 9. (5 分 )函数 f(x)=2 +lgx 的零点所在的一个区间是() A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,+∞)
x

考点: 专题: 分析: 解答:

二分法求方程的近似解. 计算题;函数的性质及应用. 先求函数的定义域,再利用函数的零点的判定定理求解. x 解:函数 f(x)=2 +lgx 的定义域为(0,+∞) ,且在定义域(0,+∞)上连续; +lg >0;

因为,当 x 趋向 0 时,f(0)<0,而 f( )=2

故函数 f(x)=lgx+x 的零点所在的区间是(0, ) ; 故选:A. 点评: 本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基本知识的考查.

10. (5 分)设函数,则 f(x)=sin(2x+

)+cos(2x+

) ,则()

A.y=f(x)在(0, B. y=f(x)在(0, C. y=f(x)在(0, D.y=f(x)在(0,

)单调递增,其图象关于直线 x= )单调递增,其图象关于直线 x= )单调递减,其图象关于直线 x= )单调递减,其图象关于直线 x=

对称 对称 对称 对称

考点: 正弦函数的对称性;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用辅助角公式(两角和的正弦函数)化简函数 f(x)=sin(2x+ 然后求出对称轴方程,判断 y=f(x)在(0, 解答: 解: 因为 f (x) =sin (2x+ 的对称轴为 x=kπ(k∈Z) ,所以 y= y= ) +cos (2x+ )单调性,即可得到答案. ) = sin (2x+ ) = cos2x. 由于 y=cos2x )+cos(2x+ ) ,

cos2x 的对称轴方程是:x=

(k∈Z) ,所以 A,C 错误; (k∈Z) ,函数 y=f

cos2x 的单调递减区间为 2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z) ,即 )单调递减,所以 B 错误,D 正确.

(x)在(0,

故选 D. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简,三角函数的性质:对称性、单调性,考查计 算能力,常考题型.
m

11. (5 分)设函数 f(x)=kx ,若 f(1)=1,f( )= A.{x|﹣4≤x≤4} {x|0 } B.{x|0≤x≤4} C.{x|﹣

,则不等式 f(|x|)≤2 的解集是() } D.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由条件可得 k,m 的方程,解方程可得 k=1,m= ,再由绝对值不等式的解法,即可 得到解集. 解答: 解:若 f(1)=1,f( )= 则 k=1,k?( ) = 解得 k=1,m= ,
m





即 f(x)=

. ≤2,

f(|x|)≤2,即

即有|x|≤4, 解得﹣4≤x≤4, 则解集为{x|﹣4≤x≤4|. 故选 A. 点评: 本题考查幂函数的求法,考查待定系数法的运用,考查绝对值不等式的解法,考查 运算能力,属于基础题. 12. (5 分)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,有下列四个结论: ①方程 f(x)=0 至少有一个实数根; ②方程 f(x)=0 至多有两个实数根; ③函数 f(x)的图象关于点(0,e)对称; ④当 b≥0 时,f(x)在 R 上是增函数. 其中正确的结论是() A.①② B.②③ C.③④ 考点: 专题: 分析: 解答:

D.①③④

根的存在性及根的个数判断. 计算题;作图题;函数的性质及应用. 作函数 y=x|x|的图象,从而可判断 ①正确,②不正确;从而利用排除法求得答案. 解:作函数 y=x|x|的图象如下,

故直线 y=﹣bx﹣c 与其至少有一个交点; 故方程 f(x)=0 至少有一个实数根,故①正确; 故排除 B、C;

当 b=﹣1,c=0 时, 方程 f(x)=0 有三个根 0,﹣1,1; 故②不正确; 故排除 A; 故选:D. 点评: 本题考查了函数的零点,方程的根及函数的图象的交点的关系应用,同时考查了学 生作图能力及数形结合的图象应用,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)若 cos(2π﹣a)= 且 a∈( ,2π) ,则 sin(3π﹣a)= .

考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用三角函数的诱导公式将函数进行化简即可. 解答: 解:由 cos(2π﹣a)= 则 a∈( ,2π) , 且 a∈( ,2π)得 cosa= ,

则 sin(3π﹣a)=sin(π﹣a)=sina, ∵a∈( ∴sinα= 故答案 为: 点评: 本题主要考查三角函数值的化简和求值,利用三角函数的诱导公式以及同角的三角 函数关系式是解决本题的关键. 14. (5 分)已知单位向量 、 的夹角为 60°,则|2 +3 |= . ,2π) , =﹣ ,

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的定义和性质:向量的平方即为模的平方,计算即可得到. 解答: 解:由单位向量 则 ? =1×1×cos60°= , +3 |= = . . = 、 的夹角为 60°,

即有|2 =

故答案为:

点评: 本题考查向量的数量积的定义和性质,主要考查向量的平方即为模的平方,属于基 础题. 15. (5 分)设 a≤0,则函数 f(x)=log0.5(3x ﹣ax+5)在区间. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: 由题意利用函数的单调性的性质可得

,由此求得 a 的范围.

解答: 解:由题意可得

,由此求得﹣2≤a≤2



故答案为: . 点评: 本题主要考查函数的单调性的性质,体现了等价转化的数学思想,属于基础题. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分) 已知函数 ( f x) = <a 或 x>a+1}. (1)求 A, (?RA)∩B; (2)若 A∪C=R,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)根据函数成立的条件即可求 A, (?RA)∩B; (2)根据 A∪C=R,建立条件关系即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由 ,解得 ,即 3≤x<8,即 A==2sin( )cos( ) + 的定义域为集合 A, B={x∈Z, 3<x<11}, C={x∈R|x

=2×(﹣ )× =﹣ ∴sin( ∴sin2x=﹣ ∴tan2x= (2)∵tan2x=

, ,

)=cos2x=﹣ , ,



∴tanx=﹣7 或 (舍去) , 即 sinx=﹣7cosx, 2 2 ∵sin x+cos x=1, ∴sinx=﹣ ,

∴ 故

= 的值为﹣ .



点评: 本题重点考查了三角公式、二倍角公式、三角恒等变换公式、两角和与差的三角公 式等知识,属于中档题.
2

19. (12 分)已知函数 f(x)=a(2cos

+sinx)+b.

(1)当 a=1 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)当 a>0,且 x∈时,f(x)的值域是,求 a,b 的值. 考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)当 a=1 时,利用三角恒等变换(辅助角公式)可得 f(x)= 再利用正弦函数的单调性即可求得 f(x)的单调递增区间; (2)x∈?x+ ∈,利用正弦函数的单调性质即可求得 f(x)∈,又 f(x)的值域是,从而可 sin(x+ )+b+1,

求得 a 与 b 的值. 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=2cos 由 2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+
2

+sinx+b=1+cosx+sinx+b= ≤x≤2kπ+ (k∈Z) ,

sin(x+

)+b+1.

(k∈Z)得:2kπ﹣

所以 f(x)的单调递增区间为(k∈Z) ; (2)因为,f(x)=a(2cos x∈?x+ ∈?sin(x+
2

+sinx)+b=a(1+cosx+sinx)+b= asin(x+ )∈ ,

asin(x+

)+b+a,

)∈?

所以,f(x)∈,又 f(x)的 值域是, 所以 b=3,a= = .

点评: 本题考查三角恒等变换,着重考查正弦函数的单调性与最值,考查转化思想. 20. (12 分)已知一次函数 f(x)=2x﹣b,幂函数 g(x)=x ,且知函数 f(x)?g(x)的图 象过(1,2) ,函数 的图象过( ,1) ,若函数 h(x)=g(x)+f(x) .
a

(1)求函数 h(x)的解析式; (2)若 x∈,求 y= 的最小值.

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据条件,求出 a,b 的值,即可求函数 h(x)的解析式; (2)若 x∈,求处 y= 函数的最小值. 解答: 解: (1)∵一次函数 f(x)=2x﹣b,幂函数 g(x)=x ,且知函数 f(x)?g(x)的 图象过(1,2) , ∴f(1)?g(1)=(2﹣b)?1=2,解得 b=0, 则 f(x)=2x, ∵ 的图象过( ,1) ,
a

的表达式,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性即可求出


a

=



即( ) =2 , 3 解得 a=3,则 g(x)=x , 3 则 h(x)=g(x)+f(x)=2x+x ; (2)若 x∈, 则 y= = = +x,

函数的导数为 y′=1﹣ 则当 x∈时,y′>0, 此时函数单调递增, 故函数 y=

=



的最小值为

=



点评: 本题主要考查函数解析式的求解以及函数最值的求解,利用条件求出 a,b 的值是解 决本题的关键. 21. (12 分) 如图, 在 Rt△ ABC 中, | 的值最大?并求出这个最大值.

|=|

|=a 且

=

, 向



的夹角 θ 取何值, ?

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: 以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐 标系.求出各顶点的坐标后,进而给出向量 , 的坐标,然后利用平面向量的数量值运算 ? 的最大值.

公式,构造一个关于 cosθ 的式子,然后根据 cosθ 的取值范围,分析出 解答: 解:以直角顶点 A 为坐标原点, 两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设|AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0) ,B(c,0) ,C(0,b) , 且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点 P 的坐标为(x,y) ,则 Q(﹣x,﹣y) . ∴ =(x﹣c,y) , =(﹣c,b) , ∴ ∵cosθ= ∴cx﹣by=a cosθ. ∴ =﹣a +a cosθ. 与 方向相同)时,
2 2 2

=(﹣x,﹣y﹣b) ,

=(﹣2x,﹣2y) .
2 2 2

=(x﹣c)?(﹣x)+y(﹣y﹣b)=﹣(x +y )+cx﹣by=﹣a +cx﹣by. = .

故当 cosθ=1,即 θ=0(

最大,其最大值为 0.

点评: 本题主要考查向量的数量积的坐标表示和性质等概念,平面向量的运算法则,考查 运用向量及三角函数的值域的能力.

22. (12 分)已知函数 y=g(x)与 f(x)=loga(x+1) (0<a<1)的图象关于原点对称 (Ⅰ)求 y=g(x)的解析式; (Ⅱ)函数 F(x)=f(x)+g(x) ,解不等式 F(t ﹣2t)+F(2t ﹣1)<0. 考点: 对数函数的图像与性质;集合的包含关系判断及应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)在函数 y=f(x)的解析式中,以﹣x 替换 x,以﹣y 替换 y,则 y=g(x)的解 析式可求; (Ⅱ)写出 F(x)=f(x)+g(x) ,求出其定义域,判断出其奇偶性和单调性,利用单调性把 2 2 不等式 F(t ﹣2t)+F(2t ﹣1)<0 转化为关于 t 的不等式组得答案. 解答: 解: (Ⅰ)在函数 y=loga(x+1)中,取 x=﹣x,y =﹣y,得﹣y=loga(1﹣x) , ∴y= ,
2 2

∵y=g(x)与 f(x)=loga(x+1) (0<a<1)的图象关于原点对称, ∴g(x)= , ,

(Ⅱ)函数 F(x)=f(x)+g(x)=



,得﹣1<x<1,∴函数 F(x)的定义域为(﹣1,1) ,

又 F(﹣x)= ∴F(x)为奇函数, y=
2 2

=

=﹣F(x) ,

为(﹣1,1)上的增函数,且 0<a<1,
2 2

∴F(x)为(﹣1,1)上的减函数, 由 F(t ﹣2t)+F(2t ﹣1)<0,得 F(t ﹣2t)<F(1﹣2t ) ,



,解得:



∴不等式 F(t ﹣2t)+F(2t ﹣1)<0 的解集为

2

2



点评: 本题考查函数的对称性,考查了函数解析式的求法,考查函数奇偶性和单调性的判 断,训练了利用函数的单调性求解不等式,属中档题.


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