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一道竞赛题的证明与思维拓展


解 

中脚   酶 熟 。   蛳 . .   . 辑 l  忌 & 强 想 
. .. .   l  

_ b  一  

中 。 学 警 节 教 节 夸 考   2 l  
2 ∞ 9 年 第 7 期 f 上 旬 )  



 

赛题  的   四 与届  嚣 
安振 平 ( 咸 阳师范学 院 基础 教育 课程 研究 中心 )   陈宝安 ( 咸 阳师 范学 院 数学 系 )   其实 , 对 问题 1的结 论 , 用 三元 均值 不 等式 , 就 立 
即可得 问题 2的结论 .   当然 , 我 们也 可 以针对 代 数式 a 6 +6 f +c 口 、 a   +b   +  。 , 探 究 相应 的 不等 关系 .  
问题 3   设 &, b, C ∈R+, 且 。 。 +b 。 +f   +a b c 一 4,  

第2 O届 伊 朗数 学奥 林 匹克竞 赛 中有这 样 一 道代 
数不 等 式题 目:  
问题 1   设 n, b , c ∈ R+, 且 。   +b   +C 。 +a b c 一 4,  

求证 : a +6 +f ≤3 .   文[ 1 ] 是通 过 构造 三角 形 , 挖掘 它 的几何 意 义 , 利 

用人 们熟 悉 的三角 形不 等式 实 现其 证 明的. 笔 者 的思  考是 , 既 然是纯 代数 的不 等 式 , 那么 , 有 没 有 直接 的代  数证 法 呢?事 实上 , 回答 是 肯定 的.   证明: 首先 变形 条件 等式 , 得 
( n +6 +f ) 0 —2 ( a b +b c +c a ) +a b c 一 4,  

求证 : n 6 +6 f +c n ≤   3 .   证明: 由问题 1知 n +b +f ≤3 , 两 边平 方 得 
n 。 +b 。 +f 。 +2 ( a b +b c +f 口) ≤ 9,  

再注 意 到常见 的不等 式 口 6 +6 c +c 口 ≤n  +b  
+c   , 可得 3 ( a b +b c +c a ) ≤9 ,   故有 Ⅱ 6 +6 f +c 口 ≤3 .  
问 题 4 设 口, b, c 6R+, 且 a 。 +b 。 +f 。 +a b c =4 ,  

即( 口 +6 +c ) 。 一( 2一 口 )( 2一 b ) ( 2 一c ) 一4 ( n+ b  

+f ) +4 —0 .  

① 

由题 设条 件 易知 O <n <2 , O <6 <2 , 0  ̄c (2 .  

求证 : 口   +b 。 +c   ≥3 .  

于是 , 由 3元 均值 不 等式 , 得 

证明: 对 条件 等式 , 利 用 问题 2的结论 a b c ≤1 , 可 

( 2 - a ) ( 2 一  2 一   ) ≤『 _  
L  0  

] 。   ②  
J 

得 口 。 +b 。 +c 。 +1 ≥4 , 所以 , 有 n   +b   +C   ≥3 .  

令  一口 +6 +c , 结 合① 与② , 便 得 

2 一 ( 2 一 詈 )   一 4 z - F 4  ̄ O ,  
注 意到 z >0 , 可 得 ≤ 3 .   故有 口 +6 +f ≤3 .  

一 感一  

接 下 来, 我 们 思 考  + { +  与口 + 6 +   的 大 小  
关系 , 进 而得 到 :   问题 5  设 口 , b , c ∈R +, 且 口 。 +b 。 +c 。 +a b c 一4 ,  

变形 , 得 ( z+6 ) 。 (  一 3 ) ≤O ,  

求证 : 一 1十 , 了 1十 , 一 1   -口 +6 +f
.  

“ 

c,  

C 

1  

在条 件 相 同的 前 提 下 , 我们拓展思维 , 通 过 不 断  地 联 想与 反思 , 可 以得 出一 系列 有趣 的不 等式 .   上述题 目给 出了 口 +b +f的上 界 , 试问: 对a b c 有  怎 样 的结论 呢 ?  
问题 2  设 口 , b , C ∈R+, 且 Ⅱ 。 +b   +C 。 +a b c :4 ,   求证: a b c ≤1 .  

证明: 由常见的不等式 x y +  +   ≤÷(  +  
+z ) 。 , 并 注意 到 问题 3的结论 : 口 6 +6 f +c n ≤3 , 得 
a b c ( a +6 +c ) 一a b?b c +b c?C a +f 口 ?a b  

≤÷ ( a b +b c +c a ) 。  
. )  

≤a b +b c +c n,  

证明; 利 用三 元均 值不 等 式 , 得 
4 一n   +b   +f 。 +a b c ≥3   ( 口 6 f ) 。 +a b c ,  

即 a b c ( a +6 +c ) ≤a b +b c +c 口,  

故 有  +  +  ≥ 。 +6 +  .  

令z 一  

, 则有 z 。 +3 x 。 -4 ≤o ,  

通 过查 阅 资料 , 我们找到 了 2 0 0 1年 美 国 的 一道  数学 竞赛 试题 :  
问题 6   设 口 , b , c E   R +, 且n   +b   +c   +a b c =4 ,  

即(  一 1 ) (  + 2 ) 。 ≤0 .  

注意 到  >O , 可得  ≤ 1 .   故有 a b c ≤1 .  

求证 : O <a b +b c +f n -a b c ≤2 .  

僻 

2 2  
2 O 09年 第 7期 U=旬 l  

。   l  l l   I  2   忌 零  洙  l l l  。 l  题  
—   糍黜 瓣 

证明 : 由条 件等 式 n 。 +b 。 +f 。 +a b c 一4 , 知n 、 b 、  
中必有 一个 不 大于 1 , 不 妨设 c ≤1 .  


方面, 由 n 6 +  + c 口 一a b c =a b ( 1 一c ) +6 c +C a  

≥6 f +C a > 0,  

财 有   ≤  + 筹 .   同 理 , 得   ≤ 等+ 轰 ,  
C a / 3 c 口上 2 。  

即得 n 6 +6 c +c 口 一a b c >0 .  

f 。 +4  

25 。25  

另 一方 面 , 对 条 件等式 n 。 +6 。 +f 。 +a b c =4 , 应 用  二元均 值不 等式 , 得 
4 一c   一n 。 +b 。 +a b c ≥2 a b +口 6 c —a b ( 2 +c ) ,  

将 以上 这 3 式叠加, 可 得 

口 2   +   4   +   ’   b  4 +     + 。   f   + 4   ≤ 未 2 5   ( 口 b + b c + 。   C a ) + 。   2 5   ( n  
+b +c ) ,  

且 p 有 口 6 ≤   2 — — f .  

由问题 1的结 论 , 得 口 +6 ≤3 一f .  
于是 口 6 +  + c 口 一a b c —a b ( 1 一C ) +c ( a+6 ) ≤( 2  
~c ) ( 1 一c )+ c( 3一 f ) : 2,  

再 注 意到 n 6 +6 c +c 口 ≤3 , 口 +6 +c ≤3 , 便得 

口 2  4 十   +   ‘ b  4 0 +   + ‘ 南 c   +   4 ≤ 旦 5 . ’  
当笔 者 撰 文 到此 时 , 猛 然 回头 , 笔 者 联 想 到 了 问 

且 口 有 n 6 +6 c +C a -a b c ≤   2 .   故有 O <a b +b c +f n 一口  ≤ 2 .  

题 1中 的不 等 式 有 下 界 吗? 几 经 探 究 , 又得 到 了 如 
下 的  问题 9  设 n , b , c E   R +, 且 6 1 。 +b 。 +c 。 +a b c 一4 ,  

下面 , 我们 来看 文 [ 1 ] 里 题 3中 的不等式 :  
问题 7  设 n , b , f ∈R+, 且 口 。 +b   +C   +n   一4 ,  

求 证 :   +   +   ≤ _ 詈 _ .  
只要对 照原 文 [ 1 ] 的证 明方 法 , 经过 一 定 的修 改 ,   就可得 到 如下 简捷 的代数 证 法.  

求证 : n +6 +c >2 .  

证明: 由题 设 条 件 易 知 O <a <2 , 结 合 条 件 等 式 
n   +b   +c 。 +a b c 一4, 得 
( 口+ 6 +c )  — 4 —2 a b +2 b c +2 c a —a b c  


证 明 : 先 证 明  ≤ 罴 +   ( o < £ < 2 ) ,   ③  
这 可 以用 5元 均值 不等式 来证 之 .事 实上 
t  
一  

2 a b +2 c a + ( 2 一a ) b c >0 ,  

即 ( n+ 6 +c )   >4 ,  

故有 口 +6 +c >2 .  

t  



t  

F 丁  而

 

从 一个 条件 出发 , 我们得 出 了一 系 列 有趣 的初 等  不 等式 , 这些 不 等式 的证 明 , 完 全是 基本 的 , 依 赖 于高  中数学 教材 的知 识 、 方 法 和技 巧 , 能 为众 多 的高 中生 
所 接受 .   愿读 者 能从本 文 得到一 定 的启 示 , 获 得证 明一 些 

一   ? 5   4 / t ? t ? t ? 1 ? 1  

≤ 去 ( £ + £ + £ + 1 + 1 ) 一 去 £ +   .  
于是 , 在③ 中取 t =a 、 6 、 c , 得 到三 个不 等式 , 叠 加 
并 注意 到 问题 1的结 论 , 立 即有 

简 单不 等式 的基 本技 能.要 知 道 : 怎样 思维 比我们 思 
维 什么更 重要 , 精 彩 问题来 自不 断 的探 索 与 反 思.学  会 思考 , 善 于变 式 , 使 自己 的思维 处 在 一个 “ 流动” 的 
状态, 能从 一 个 问题 的“ 生长点 ” 、 一个“ 母 题” 、 一 个  “ 题 根” 出发 , 通过 不断 地感悟 与 联想 、 反 思 与提 炼 , 调 

口 。 + 4 +   ‘   b   + 4 + 。   c 。 { +   4   ≤ 未 2 5 ( ~ n   + 6 …  + c ) + 6 2 5  5 4 3 . 。  
故 有 南 +   + 南 ≤ 詈 .  
从 如上 问题 的证 明方 法 中 , 我 们 容 易提 出如下 新 
颖 的不 等式 :  
问题 8  设 口 , b , c E   R +, 且 口 。 +b 。 +C 。 +口   一4 ,  

整 与优 化 , 自动 自发地 拓展 出更 多 的新 颖 问题来 .  
参 考 文 献 

1   张俊.一道数学题的几何背景 探源及启 示[ J ] .数学 通讯 ,  
20 08, 1 2  

她  +   + 南 ≤ }  
证明: 在 问题 7的证 明里 , 曾得 到 

2 安 振平 .不妨换一个角度去探究 [ J ] .数学教学 , 2 0 0 8 , 2  
3 安振平 , 梁 丽 平 .精 彩 问 题来 自不 断 的 探 索 与 反 思 [ J ] .中  
学 数 学 教学 参 考 , 2 0 0 2 , 8  

≤ 罴 +   ( o <  ) ,  
取 £ 一 n , 得   ≤   + 丢 ,  

4 陈 宝安 , 安 振 平 .一 个代 数 不 等 式 猜 想 的 解 决 [ J ] .咸 阳师 
范 学 院学 报 , 2 0 0 7 , 6  

5   罗 增 儒 .数 学 解 题 学 引 论 [ M] .西 安 : 陕 西 师 范 大 学 出 版 
社 .1 9 9 7  



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