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2013届高考文科数学一轮复习考案10.4回归分析与独立性检验


§10.4 回归分析与独立性检验

?

考纲解读 知识盘点 典例精析

命题预测

基础拾遗
技巧归纳 例题备选

真题探究

考 1



考纲解读 会作两个有关联变量的数 据的散点图,会利用散点 图认识变量间的相关关

变量的相关性

系.
了解最小二乘法的思想, 能根据给出的线性回归方 程系数公式建立线性回归

方程.

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2

统计案例

了解一些常见的统计方 法,并能应用这些方法解 决一些实际问题. 了解独立性检验(只要求2 ×2列联表)的基本思想、 方法及其简单应用. 了解回归的基本思想、方 法及其简单应用.

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?

对于回归直线方程,要会根据最小二乘法求其方程,这里的关键

是考查同学们的数据处理能力和计算能力;“利用最小二乘法得到 的回归直线方程过样本的中心点”高考中对此考点常常采用不同 的形式进行考查,注意识别和理解;对于独立性检验问题,在近两年一 些省市的高考中与概率、分布列、期望和方差等进行了综合考查, 需引起重视!对于此类问题要理解其基本思想,根据给定的数据能够 得到其2×2列联表,然后利用K2进行独立性检验.

结合近几年的高考题和《考纲》,预测2013年高考中对本部分的考
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查会侧重于以下几方面:(1)回归直线方程的求法和应用,常常会在小 题中出现;(2)独立性检验思想的应用,可在小题中单独考查,也可能 与概率统计知识在解答题中出现.总之估计高考对本部分的考查会 有所增强.

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?
一、回归分析
y =? bx+ a 1.回归直线方程:? ?,其中 b ?=
?








i ?1

?( xi ? x)( yi ? y )
n ? 2 i ?1 i

n

bx -x a ,y = ? = ? ? x ? n( x ) ?( x ? x )
i ?1 n

?

?

?

? xi yi ? n x y
i ?1 2 i ? 2

n

? ?

? ? ??,(?,

^?

?

y )称为样本点中心,因而回归直线过样本点中心. ?

2.样本相关系数(r)

用来衡量两个变量之间线性相关关系的方法.
r=

?
i ?1 n i ?1

?( xi ? x)( yi ? y )
? 2 n ? i ?1

n

?

?

?( xi ? x) ?( yi ? y ) 2
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=

?
n i ?1

i ?1

? xi yi ? n x y
? n ? i ?1

n

? ?

.

[? xi2 ? n( x) 2 ][? yi2 ? n( y ) 2 ]

当r>0时,表明两变量正相关;当r<0时,表明两变量负相关.|r|越接近1, 表明两变量的线性相关性越强;|r|越接近0,表明两变量的线性相关关 系几乎不存在,通常当r>0.75时,认为两个变量有很强的线性相关关 系. 二、独立性检验 1.独立性检验的概念
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2 },
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其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:
y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d
2

总计 a+b c+d a+b+c+d

我们利用随机变量K

n(ad ? bc) 2 = 来确定在多大程度 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

?

上可以认为“两个分类变量有关系”,这种方法称为两个分类变量 的独立性检验. 2.独立性检验的基本思想
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独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关 系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论 “两个分类变量没有关系”成立.在该假设下我们构造的随机变量 K2应该很小,如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大,则在一定 程度上说明假设不合理. 具体来比较,如下表:
反证法原理与独立性检验原理的比较 反证法原理 在假设H0下,如果推出一个矛盾,就证明 了H0不成立. 独立性检验原理 在假设H0下,如果出现一个与H0矛盾的 小概率事件,就推断H0不成立,且该推断 犯错误的概率不超过这个小概率.
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3.独立性检验的方法 假设H1:“X与Y有关系”,可按如下步骤判断结论H1成立的可能性: (1)通过等高条形图,可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,但是

这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.
(2)以利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系,并且能较精 确地给出这种判断的可靠程度,具体做法是: ①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系 ”犯错误概率的上界a,然后通过下表确定临界值k0.

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P(K2 ≥k0) k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82 8

②由公式K =
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

,计算K2的观测值k.

③如果k≥k0,就推断“X与Y有关系”.这种推断犯错误的概率不超 过a;否则,就认为在犯错误的概率不超过a的前提下不能推断“X与Y 有关系”.或者在样本数据中没有足够证据支持结论“X与Y有关系”.

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1.在调查中学生近视情况时,某校男生150名中有80名近视,女生140 名中有70名近视.在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时,用

什么方法最有说服力? ( (A)平均数与方差.
(C)独立性检验.

) (B)回归分析.
(D)概率.

【解析】由独立性检验的方法知. 【答案】C
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y =2-1.5x,当变量x增加1个单位时? ( 2.设有回归直线方程?



)

(A)y平均增加1.5个单位. (B)y平均增加2个单位. (C)y平均减少1.5个单位. (D)y平均减少2个单位.
y变为? y y -1.5(x+1)=2-1.5x-1.5 【解析】设变量x增加1个单位后? ',则? '=2
^ ^ ^

y-1.5. =?



【答案】C
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3.实验测得四组(x,y)的值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则y与x间的回归直

线方程为? (
y =x+1. (A)? y =2x+1. (C)?
^ ^

)
y =x+2. (B)? y x-1. (D)? =
^ ^

y ),而(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)的样本中 x ,? 【解析】因回归直线方程过点(?

?

?

y )为(? x ,? 心点(? ,? ),代入选项可知只有A符合.

?

?

5 7 2 2

【答案】A
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4.2×2列联表中,若|ad-bc|越小,则两个分类变量之间的关系 (填“越强”或“越弱”)

.

【解析】独立性检验时,假设结论“两个分类变量没有关系”成立.

?

在该假设下|ad-bc|应该很小,故|ad-bc|越小,则两个分类变量之间的关 系越弱.

【答案】越弱

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题型1对相关概念和思想的考查
?例1 (1)(2009年海南卷)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,1

0),得散点图1;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图2.由

这两个散点图可以判断?(

)

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(A)变量x与y正相关,u与v正相关. (B)变量x与y正相关,u与v负相关. (C)变量x与y负相关,u与v正相关. (D)变量x与y负相关,u与v负相关. (2)对分类变量X与Y的随机变量K2的值,说法正确的是? ( (A)K2越大,“X与Y有关系”可信度越小. (B)K2越小,“X与Y有关系”可信度越小. )

(C)K2越接近于0,“X与Y无关”程度越小.
(D)K2越大,“X与Y无关”程度越大.
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【分析】对比概念及相关公式可知. 【解析】(1)由这两个散点图可以判断,变量x与y负相关,u与v正相关, 选C.
(2)K2越小,“X与Y无关”程度越大,“X与Y有关系”可信度越小,故 选B.

【答案】(1)C (2)B 【点评】要透彻理解一些常见参数或概念的意义,像“相关系数”, “K2”等.
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变式训练1 (1)有一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到直线方程
y =? b x +? x ,那么下列说法不正确的是? ( ?






)

y =? y. b x b+? a? a -? (A)? x 中 =? ? y =? b+? a (B)直线? x 至少经过点 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点.











?

^ ?







y =? bx+ b?= n a (C)直线? ?的斜率为
i ?1





? xi yi ? n x? y
i ?1

n

? xi2 ? n x

?

?

?

?2

.
n

2 y =? b a (D)直线? x +? 和各点 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的偏差? [i? y i-(bxi+a)] 是该 ?1







坐标平面上所有的直线与这些点的偏差中最小的直线. (2)如果K2的观测值为7.012,那么可以认为“x和y无关”的可信度为
?(

)
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(A)95%.

(B)5%.

(C)99%.

(D)1%.



y=? b a 【解析】(1)注意用最小二乘法求出的直线? x+ ? 是与各点的总体



偏差最小的直线,而不一定过其中的样本点.
(2)∵K2=7.012>6.635, ∴有99%的把握认为“x和y有关联”,故选D.

【答案】(1)B (2)D

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题型2回归直线分析
? 例2 假设关于某设备使用年限x和所支出的维修费用y(万元)

有如下的统计资料:
使用年限x 维修费用y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若有资料知y对x呈线性相关关系.
y=? b a 试求:(1)线性回归方程? x +? 的回归系数 ? ,? ;a






^ ^

b

(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少? 【分析】求回归直线方程的计算量较大,需要细心、谨慎地计算.可
y 后将这些量代入公式计算. ? xiyi,? ? x ,? x ,? 以通过列表,计算出? i ?1 i ?1
2 ? i

n

n

?

?

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基础拾遗 例题备选

【解析】制表如下:
i xi yi xiyi
?2

1 2 2.2 4.4 4
?

2 3 3.8 11.4 9

3 4 5.5 22.0 16

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42.0 36

合计 20 25 112.3 90

xi
?

2 5 5 x y =5;? x =4;? i =90;?xiyi=112.3 ? ? ? ?

i ?1

i ?1

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基础拾遗 例题备选

b = 于是?



^ 112.3 ? 5 ? 4 ? 5 ?=1.23; a 90 ? 5 ? 42


y -?? b x =5-1.23×4=0.08. =?

?

? ?

y =1.23x+0.08. (2)回归直线方程为?

当x=10年时,y=1.23×10+0.08=12.3+0.08=12.38(万元).即估计使用10 年时,维修费用是12.38万元.

【点评】本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的,应首先进行 相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系,或者说它们之 间相关关系不显著时,即使求出回归方程也是没有意义的,而且其估 计与预测也是不可靠的.
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变式训练2

某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之

间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的
昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日 期 1月 10日 2月 10日 3月 10日 4月 10日 5月 10日 6月 10日

昼夜温差
x(℃) 就诊人数 y(个)

10

11

13

12

8

6

22

25

29

26

16

12

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下 的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
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(1)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y
y? b 关于x的线性回归方程? = x +? ;a






(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差 均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所 得线性回归方程是否理想?
^? ^ 18 y =24,由公式求得? y? b =? b a x =11,? 【解析】(1)由数据求得? ,再由? =?-? =x 7 ^

30 ? , 7
y =? 所以y关于x的线性回归方程为? x-?.


18 7

30 7


150 150 y=? ,|? (2)当x=10时,? 7 7


y , ?= ?,|?-12|<2. -22|<2;同样,当x=6时

78 7

78 7

所以该小组所得线性回归方程是理想的.
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题型3独立性检验

? 例3 为了比较注射A、B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,
选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其
中一组注射药物A,另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A 和B后的试验结果.(疱疹面积单位:mm2)
表1:注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积 频数 疱疹面积 频数

[60,65) 30 [60,65) 10

[65,70) 40 [65,70) 25 [70,75) 20
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[70,75) 20 [75,80) 30
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[75,80) 10 [80,85) 15
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表2:注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表

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(1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中 位数大小;

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(2)完成下面2×2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物 A后的疱疹面积与注射药物B后疱疹面积有差异”.
表3:

疱疹面积小于70 mm2 注射药物A 注射药物B 合计 a= c=

疱疹面积不小于70 合计 mm2 b= d= n=

附:K

2

n(ad ? bc) 2 = . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

?

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【分析】第(1)问画频率分布直方图时,应该首先计算出相应的频率, 要注意其纵轴为频率与组距的比值;在频率分布直方图中,中位数将 小矩形的面积分为相等的两部分,据此可以估计中位数所在的范围; 第(2)问可以根据给出的频数分布表得到2×2列联表,然后利用给定 的公式和对应表来确定其可信程度. 【解析】(1)

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在频率分布直方图中,中位数两边对应的小长方形的面积相等, 都等于0.5,可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之 间,而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药 物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数.
(2)表3:
疱疹面积小于70 mm2 注射药物A 注射药物B 合计 a=70 c=35 105
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疱疹面积不小于70 合计 mm2 b=30 d=65 95 100 100 n=200
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K=
2

200 ? (70 ? 65 ? 35 ? 30) 2 ≈24.56. 100 ?100 ?105 ? 95

由于K2>10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积 与注射药物B后的疱疹面积有差异”.

【点评】本题将频率分布表,频率分布直方图,2×2列联表,利用K2进 行独立性检验等知识有机地结合在一起,是一道关于统计的综合性 题目,但题目难度不大,符合新课标对于本部分的要求,是一道不可多 得的好题,希望同学们仔细品味,通过本题将相关知识掌握好.

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变式训练3 2011年3月,日本发生了9.0级地震,地震引发了海啸及核 泄漏,某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专

家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作,有关数据见表1
(单位:人).核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响, 随机选取了110只羊进行了检测,并将有关数据整理为不完整的2×2

列联表(表2).
表1:

相关人员数
心理专家 核专家 24 48

抽取人数
x y

地质专家

72
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6
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表2:

高度辐射
身体健康 身体不健康 30 B

轻微辐射
A 10

合计
50 60

合计

C

D
表2:

E

K0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

P(K2≥k
0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

)
n(ad ? bc) 2 = . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考公式:K

2

?

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(1)求被抽取的研究团队的总人数; (2)写出表2中A、B、C、D、E的值,并判断有多大的把握认为羊受 到高度辐射与身体不健康有关; (3)若从研究团队的心理专家和核专家中随机选2人撰写研究报告, 求其中恰好有1人为心理专家的概率.
72 48 24 【解析】(1)依题意,?=? =?,∴y=4,x=2, y 6 x

故研究小组的总人数为2+4+6=12(人).
(2)根据列联表特点得A=20,B=50,C=80,D=30,E=110, 可求得K
2

110 ? (30 ?10 ? 50 ? 20) 2 = ?≈7.486>6.635. 50 ? 60 ? 80 ? 30
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由临界值表可知,有99%的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康 有关. (3)设研究小组中心理专家为a1,a2,核专家为b1,b2,b3,b4,从中随机选择2 人,不同的选取结果有a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、a2b1、a2b2、a2b3 、b2b4、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4,共15种. 其中恰有1人为心理专家的结果有a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、a2b1、a2b2 、a2b3、a2b4,共8种. 所以恰好有1人为心理专家的概率为P=?.
8 15

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?

1.线性回归分析 一般情况下,在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情 况下,应先进行相关性检验,在确认具有线性相关关系后,再求回归直 线方程. 回归分析的一般步骤为: (1)从一组数据出发,画出散点图,只有在散点图大至呈线性时,求出 的回归直线方程才有实际意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义;
y b b a (2)如果具有线性相关关系,求出回归方程? =? x+ ? ,a 其中? 是常数项 ,?










是回归系数;
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(3)根据回归方程,由一个变量的值,预测或控制另一个变量的值.
b 时,一般利用最小二乘法.其 a 和? 2.估计线性回归模型中的未知参数?



计算公式为:

?

n ? ? n ? ? ? ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? xi yi ? n? x? y ?^ i? ?1 ? i ?1 , n ? ?b ? n ?2 2 2 ?( xi ? x) ? ? x ? n? x i i ?1 i ? 1 ? ? ?^ ? a ? y ? b x,

1 n 1 n 其中? ? ? ? yi.? ?xi,?=y x=? n i ?1 n i ?1

对此公式不要求记忆,但要会用.

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3.根据独立性检验的基本思想,可知对于K2的观测值k,存在一个正数 k0为判断规则的临界值,当k≥k0就认为“两个分类变量之间有关系 ”;否则就认为“两个分类变量没有关系”.在实际应用中,我们把k ≥k0解释为有(1-P(K2≥k0))×100%的把握认为“两个分类变量之间

有关系”;把k<k0解释为不能以(1-P(K2≥k0))×100%的把握认为“两
个分类变量之间有关系”,或者样本观测数据没有提供“两个分类 变量之间有关系”的充分证据.

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?
1.(2011年山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x(万 元) 销售额y(万元) 49



4

2

3

5

26



39

54

y =? b x +? b 为9.4,据此模型预报广告费用 a 中的? 根据上表可得回归方程?

为6万元时销售额为? (

)

(A)63.6万元.
(C)67.7万元.

(B)65.5万元.
(D)72.0万元.
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7 49 ? 26 ? 39 ? 54 4? 2?3?5 y= =?,? =42,因 2 4 4 ^ ^ 7 ,42),故42=9.4×? 7+? 回归方程过样本中心点(? , ∴ ? a a=9.1,故回归直线 2 2 ^ ^ 方程为?=9.4 x+9.1,当x=6时,?=9.4 y y ×6+9.1=65.5.

【解析】由给定的数据可知? x=

【答案】B

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2.(2011年湖南卷)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好 某项运动,得到如下的列联表:
男 爱好 不爱好 总计 40 20 60
n(ad ? bc) 2 = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

女 20 30 50

总计 60 50 110

由K K
2

2

算得,

附表:

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 = ≈7.8. 60 ? 50 ? 60 ? 50

P(K2≥k) k

0.050 3.841
考纲解读 典例精析

0.010 6.635
命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究

0.001 10.828
基础拾遗 例题备选

参照附表,得到的正确结论是? ( 别有关”.

)

(A)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性

(B)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性 别无关”. (C)有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. (D)有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”. 【解析】因为6.635<K2≈7.8<10.828,所以有99%以上的把握(或犯错 误的概率不超过1%的前提下)认为“爱好该项运动与性别有关”. 【答案】C
考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

?

例1

为考察高中生的数学成绩与语文成绩的关系,对高三(1)

班的55名学生进行了一次摸底考试,按照考试成绩优秀和不优秀统 计后,得到如下列联表:

? 数学成绩与语文成绩的列联表
优秀 数学成绩
语文成绩 总计

不优秀 34
42 76

总计 55
55 110

21
13 34

考纲解读 典例精析

命题预测 技巧归纳

知识盘点 真题探究

基础拾遗 例题备选

请问数学成绩与语文成绩在多大程度上有关系?

【解析】假设“数学成绩与语文成绩之间没有关系”.而随机变量 K2的观测值
K
2

110 ? (21? 42 ? 34 ?13) 2 = ? ≈2.724>2.706,又P(K2≥2.706)≈0.10. 55 ? 55 ? 34 ? 76

这就意味着“数学成绩与语文成绩之间有关系”这一结论是错误
的可能性约为0.10,即有90%的把握认为“数学成绩与语文成绩之间 有关系”.

考纲解读 典例精析

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基础拾遗 例题备选

例2 据如下表:

某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和

对待企业改革态度的关系,随机抽取了189名员工进行调查,所得数

支持企业改革 工作积极 工作一般 合计 54 32 86

不赞成企业改革 40 63 103

合计 94 95 189

(1)写出独立性检验的统计假设; (2)员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关吗?(可靠性不低 于99%)
考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

【解析】(1)统计假设H0:员工对待企业改革的态度与其工作积极性 无关.
(2)因为P(K2≥6.635)≈0.01, 且K
2

189 ? (54 ? 63 ? 32 ? 40) 2 = ≈10.759>6.635,所以员工对待企业改革 86 ?103 ? 94 ? 95

的态度与其工作积极性有关(可靠性不低于99%).

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