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三角函数复习大题分类汇总(含答案)


统考专题复习一 三角函数 一、已知解析式
(化简、求最值(值域) 、单调区间、周期等)
例: (周练13)16 (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ( x ? R ) (1)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (2)若 x ?[?

5? ? , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3
? 6

答案:16.解: (1)由题设 f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ……………… 3分

? ? ? ? ? ≤ 2x ? ≤ 2k ? ? ,解得 k ? ? ≤ x ≤ k ? ? , 2 6 2 3 6 ? ?? ? 故函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ? , k ? ? ? ( k ? Z )……………… 6 分 3 6? ? 5? ? 2? ? ?? (2)由 ? ≤ x ≤ ,可得 ? ≤ 2 x ? ≤ ………………………… 8 分 12 3 3 6 6 ? 考察函数正弦函数的图像,易知 -1≤ sin(2 x ? ) ≤1 ………………………… 10 分 6 ? 于是 -3 ≤ 2sin(2 x ? ) ? 1≤1 . 6 故 y ? f ( x) 的取值范围为 [ ?3,1] ……………………………………………… 12分
由 2k ? ?

例:周练12

18.(本小题满分14分)

已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
2

), x ? R .

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (3)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

18.解: f ?x ? ? sinx ? sin ? x ?

? ?

??

? = sinx ? cosx 2?

………1 分

?? ? f ?x ? ? 2s i n ?x ? ? 4? ?
(1) T ? 2? (2) fmin ? ? 2, fmax ? 2 (3) f ?x ? ? sinx ? cosx ?

………3 分 ………5 分 ………9 分

3 4

f ?? ? ? sin? ? cos ? ?

3 4 9 16

………11 分 ………12 分 ………13 分 ………14 分

sin 2? ? 2sin?cos ? ? cos 2? ?
1 ? sin2? ?
sin 2? ? ?

9 16

7 16


练习1.(2011年统考)(本小题满分12分) 已知函数 (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 ? ? (0, ? ) , f (? ?

?
4

)?

2 , 求 sin ? 的值. 3

练习2(2013年高考湖南(文) )已知函数 2? (1) 求 f ( ) 的值 3 1 (2) 求使 f ( x) ? 成立的x的取值集合

4

练习 3(2013 广东文科) 已知函数 f ( x) ? (1) 求 f ( ) 的值;

2 cos( x ?

?
12

) ,x?R

?

3

(2)

cos ? ?

3 3? ? , 2? ) ,求 f (? ? ) 。 ,? ? ( 5 2 6

f ( x ) ? sin x ? sin( x ?
练习 4(2013 年高考安徽(文) )设函数 (Ⅰ )求

?

) 3 .

f ( x) 的最小值,并求使

f ( x) 取得最小值的 x 的集合;

(Ⅱ ) 不画图 , 说 明函数 到.

y ? f ( x) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得

f ( x) ? cos 2
练习 5、 (2012 四川文 18) 、已知函数 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域;

x x x 1 ? sin cos ? 2 2 2 2。

f (? ) ?
(Ⅱ)若

3 2 10 ,求 sin 2? 的值。

练习 1 解: (1∵ f ( x) ? 4sin(? ? x) cos( x ? 2? ) ? 4sin x cos x ? 2sin 2 x

…3分

T?

2? ?? 2

………………………………………………… 5 分 .………………………………………… 6 分

∴ 函数 f ( x) 的最小正周期为 ? (2)由 f (? ?

2 , 4 3 ? 2 ∴2sin 2(? ? ) ? ,…………………………………… 7 分 4 3 1 化简可得 cos 2? ? , ……………………………………………………… 9 分 3 1 2 则 1 ? 2sin ? ? ,化简 3 1 2 ∴sin ? ? ………………………………………………………………… 10 分 3 )?
由 ? ? (0, ? ) ,∴sin ? ? 0 ,

?

故 sin ? ? 练习 2

3 3

…………………………………………… 12 分

解: (1) f ( x) ? cos x ? (cos x ? cos

?

? 1 3 1 1 ? sin x ? sin ) ? (sin 2 x ? ? cos 2 x ? ) ? 3 3 2 2 2 4

?

1 ? 1 2? 1 3? 1 1 2? 1 sin( 2 x ? ) ? ? f ( ) ? sin ? ? ? .所以f ( ) ?? ? . 2 6 4 3 2 2 4 4 3 4

(2)由(1)知,

1 ? 1 1 ? ? sin( 2 x ? ) ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 0 ? (2 x ? ) ? (2k? , ? ? 2k? ) 2 6 4 4 6 6 ? 5? ? 5? ? x ? (? ? k? , ? k? ), k ? Z .所以不等式的解集是: (? ? k? , ? k? ), k ? Z . 12 12 12 12 f ( x) ?
练习 3

练习 4

解:(1) f ( x) ? sin x ? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

1 3 3 3 ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 2 2 2 2

3 3 ? ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 sin( x ? ) ? 3 sin( x ? ) 2 2 6 6
当 时 , sin( x ? ) ? ?1 6 ? 3? 4? x? ? ? 2k? ,? x ? ? 2k? , (k ? Z ) 6 2 3

?

f ( x) min ? ? 3

,





所以, f ( x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ?

4? ? 2k? , k ? Z } . 3

(2) y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ; 然后 y ? 3 sin x 向左平移

? ? 个单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ? ) 6 6

二、解析式含参数 1、看图求解析式
例 1:每日一题(一) (周一) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示。 4 ,求 sinC 的值。 5

(1)求函数 f(x)的解析式,并写出 f(x)的单调减区间; (2)△ABC 的内角分别是 A,B,C,若 f(A)=1,cosB= 解: (1)由图象最高点得 A=1, 由周期 ……………1 分

1 2? ? 1 2? T? ? ? ?, ?T ? ? ? , ?? ? 2 . 2 3 6 2 ?
…………2 分 由图可知,图像的最高点为(

?
6

, 1)

? ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z,故 ? ? ? 2k? , k ? Z 6 2 6 ? ? 因为 | ? |? ,所以 ? ? . 2 6 ? ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) . …………4 分 6 ? ? 3? ? 2k? ],k∈Z 令 t=2x+ 则 y=sint 单调减区间为[ ? 2k? , 2 2 6 ? 3? ? 2? ? 2k? ,k∈Z 求得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 故 ? 2 k? ≤t≤ 2 2 6 3 ? 2? ], k ? Z . ……6 分 由图象可得 f ( x) 的单调减区间为 [k? ? , k? ? 6 3 ? ? ? (2)由(I)可知, sin( 2 A ? ) ? 1 , ∴ 2A ? ? ? 2k? ,k∈Z 6 2 6 ? ? ? A ? ? k? , k ? Z ∵ A在△ABC中 , A ? . ……8 分 6 6
当x?

? 0 ? B ? ? ,? sin B ? 1 ? cos 2 B ?

? sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin( A ? B)

3 . 5

……………9 分 …………10 分 .

? sin A cos B ? cos A sin B 1 4 3 3 4?3 3 ? ? ? ? ? . 2 5 2 5 10
练习 1、函数 y ? A sin ??x ? ? ?的一个周期内的图象如下 图,求 y 的解析式。 (其中 A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? ? )

……12 分

2.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 ,| ? |? ? ) 的一段图象如图所示,求函数的解析式;

2、根据描述求解析式
例 1:阶段二联考
17(本小题满分 14 分)已知 a=(2cos ω x,2cos ω x),b=(cos ω x, 3sin ω x)(其中 0< ω <1),函数 f(x)=a·b,若直线 x= (1)试求ω 的值; (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象的各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 然后再向左平 移 2π 个单位长度得到,求 y=g(x)的单调增区间. 3 π 是函数 f(x)图象的一条对称轴. 3

解 f(x)=a· b=(2cos ωx,2cos ωx)· (cos ωx, 3sin ωx) =2cos2ωx+2 3cos ωxsin ωx=1+cos 2ωx+ 3sin 2ωx π? =1+2sin? ?2ωx+6?............................................................3 π (1)∵直线 x= 为对称轴, 3 2ωπ π π ∴ + =kπ+ (k∈Z).............................................5 3 6 2 3 1 ∴ω= k+ (k∈Z)...................................................6 2 2 1 ∵0<ω<1,∴k=0,∴ω= ..............................8 2 π? ?1? 2π? π? (2)由(1),得 f(x)=1+2sin? ?x+6?,∴g(x)=1+2sin?2?x+ 3 ?+6? 1 π? 1 =1+2sin? ?2x+2?=1+2cos2x................................11 1 由 2kπ-π≤ x≤2kπ(k∈Z),得 4kπ-2π≤x≤4kπ(k∈Z), 2 ∴g(x)的单调增区间为[4kπ-2π,4kπ](k∈Z)..........................14

练习 1(汕头 14 年高三文数一模)
16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin(?x ? (1)求 ? 的值 ( 2 )设 ? ? (0, 值

?
6

)(? ? 0) 的最小正周期为 ?

?

? 1 ? 3 1 5? 12 ), ? ? ( , ? ), f ( ? ? ) ? , f ( ? ? ) ? ? ,求 sin( ? ? ?) 的 2 2 2 6 5 2 12 13

练习 2
16. (本题 12 分)已知函数 f ( x ) ? 4cos x ? sin( x ? ) ? a 的最大值为 2. (1)求 a 的值及 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递增区间.

? 6

练习 3

0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,

过点 M ? , ? .

?π 1? ? 3 2?

(1)求 f ( x ) 的解析式;(2) 已知 ?,? ? ? 0, ? , 且 f (? ) ? 的值.

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? , 求 f (? ? ? ) 5 13

练习 4(汕头 14 年一模理数) (本小题 12 分)设 , 且函数 的距离 (I)为求函数 的解析式。 , , ( ),函数

图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间

(II)在锐角三角形 ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c,且满足 ,求 c 边的长。

练习 1 解: (1)? 函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

) 的最小正周期为 ? , 且 ? >0
………2 分

?

2?

?

?? ,

………1 分

?? ? 2

(2)由(1)得 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) ………3 分 6 6 2 5
………4 分

1 ? 1 ? ? ? 3 ? f (? ? ? ) ? sin[ 2(? ? ? ) ? ] ? sin( ? ? ) ? cos ? ? ,

? ? ? (0, ) ………5 分
2 ? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

2

6

2

4 ………6 分 5 1 5? 1 5? ? 12 ) ? sin[ 2( ? ? ) ? ] ? sin(? ? ? ) ? ? sin ? ? ? , 又 f( ? ? 2 12 2 12 6 13

………7 分

? sin ? ?

? ? ? ( ,? ) , 2 ? cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 5 13

?

12 13

………8 分 ……9 分

练习 2

.解:(1) f ( x ) ? 4cos x ? sin( x ?

? 3 1 ) ? a ? 4cos x ? ( sin x ? cos x) ? a 6 2 2

? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 ? 1 ? a ? 3 sin 2x ? cos x ? 1 ? a
? ? 1 ? a) , 6 ? ? 当 sin(2 x ? ) =1 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 1 ? a ? 3 ? a , 6 ? 2sin(2 x ?
又 f ( x ) 的最大值为 2,? 3 ? a ? 2 ,即 a ? ?1. f ( x ) 的最小正周期为 T ? (2)由(1)得 f ( x ) ? 2sin(2 x ?

2? ? ?. 2

? ? ? ? ) ,?? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ?, k ? Z 6 2 6 2 ? ? ? ? 得?? ? 2k ? ? 2 x ? ? 2k ?, k ? Z ,?? ? k ? ? x ? ? k ? k ? Z , 3 6 3 6 ? ? ? f ( x) 的单调增区间为 [ ? ? k ?, ? k ?], k ? Z . 3 6

练习 3

练习 4
16、解 : (1) f ( x) ? a ? b ? 2 sin ?x cos?x ? 3 (cos2 ?x ? sin 2 ?x)......... .......... .(1分) ? sin 2?x ? 3 cos 2?x.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...(2分) 1 3 ? ? 2( sin 2?x 2 ? cos 2?x) ? 2 sin(2?x ? )......... .......... .......... .......... .........( 4分) 2 2 3 2? ? 又由题意知: T ? ? 4 ? , 所以? ? 1.......... .......... .......... .......... .......... .(5分) 2? 4 所以函数f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

3

)......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... (6分)

方法一; (2)由(1)知道 : f ( A) ? 2 sin(2 A ? 又因为0 ? A ? 所以2 A ?

?
3

) ? 0,? sin(2 A ?

?
3

)?0

?
2

, 所以

?
3

? 2A ?

?
3

?

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .........( 8分) 3 3 所以sin C ? sin( A ? B)......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....(9分)

?

? ? , 所以A ?

?

4? .......... .......... .......... .......... ........( 7分) 3

? ? ? 6? 2 cos ? cos sin ? .......... .......... .......... ........( 10分) 3 4 3 4 4 a c 所以由正弦定理 ? 得到;......... .......... .......... .......... .......... .......... ...(11分) sin A sin C 6? 2 2? a sin C 6 ?3 2 4 c? ? ? .......... .......... .......... .......... .......... ......( 12分) sin A 3 3
? sin( 3 ? 4 ) ? sin 2

?

?

?

方法二 : (2)由(1)知道 : f ( A) ? 2 sin(2 A ? 又因为0 ? A ? 所以2 A ?

?
3

) ? 0,? sin(2 A ?

?
3

)?0

?
2

, 所以

?
3

? 2A ?

?
3

?

4? .......... .......... .......... .......... ........( 7分) 3

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ........( 8分) 3 a b 所以由正弦定理 ? 得到;......... .......... .......... .......... .......... .......... ...(9分) sin A sin B 2 2? a sin B 2 6 2 b? ? ? .......... .......... .......... .......... .......... ......( 10分) sin A 3 3 3 2 所以,由余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A得到 : .......... .......... ........( 11分) 8 2 6 1 ? c2 ? 2 ? c ? , 整理 : 3c 2 ? 2 6c ? 4 ? 0 3 3 2 6 ?3 2 6 ?3 2 解得 : c ? (舍去), 或c ? .......... .......... .......... ....( 12分) 3 3 4?

?

? ? , 所以A ?

?

三、三角求值与向量
例:阶段二联考 ? π? 16(本小题满分 12 分)已知向量 a=(sin θ ,cos θ ),其中θ ∈?0, ?. 2? ? (1)若 b=(2,1),a∥b,求 sin θ 和 cos θ 的值;
2)若 sin(? ? ? ) ?

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

解 (1)∵a∥b,a=(sin θ,cos θ),即 sin θ=2cos θ....................2 又∵sin2θ+cos2θ=1,∴4cos2θ+cos2θ=1, 1 4 即 cos2θ= ,∴sin2θ= .........................................4 5 5 π? 2 5 5 又 θ∈? ?0,2?,∴sin θ= 5 ,cos θ= 5 ...........................................6

(2)∵ 0 ? ? ?

?

2

,0 ? ? ?

?

2



∴?

?
2

? ? ?? ?

?
2

,.............................7

则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 10

...............9

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

练习 1.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值.

?
2

?? ?

?
2

2 ...............12 2



答案:练习 1 (Ⅰ)若 a ? b ,则 sin ? ? cos ? ? 0 ,由此得: tan ? ? ?1, ( ? 所以, ? ? ?

?
2

?? ?

?
2

),

?
4



(Ⅱ)由 a ? (sin ? ,1), b ? (1,cos? ), 得:

a ? b ? (sin ? ? 1)2 ? (1 ? cos ? )2 ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? )

? 3 ? 2 2 sin(? ? ) 4
当 sin(? ?

?

?
4

) ? 1 时, a ? b 取得最大值,即当 ? ?

?
4

时, a ? b 的最大值为 2 ? 1 .

四、解三角形 正余弦定理(边角互化、面积公式)
例:每日一练(一)

( 周 四 )( 本 小 题 满 分

12

分 ) 在 △ ABC

中 ,

A ? 120? , a ? 21, S ?ABC ? 3 ,求 b, c 。
解:由 S ABC

?

1 bc sin A, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 2



bc ? 4, b ? c ? 5
? 1, c ? 4 。

解得 b ? 4, c ? 1 或 b 练习 1

16. (本小题满分 12 分)
已知锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a ? 2b sin A. (1)求 B 的大小; (2)若 a2 ? c2 ? 7, 三角形 ABC 的面积为 1 ,求 b 的值。

练习 2 15. (12 分)已知: f ( x) ? cos x ? cos( x ? (1)求函数 f ( x ) 的周期及对称轴; (2)在三角形 ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f ( A) ? 1,三角形 ABC 的 面积为 6 3, b ? 4 ,求边 c 的值.

?
3

).



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