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18版高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值(第1课时)函数的单调性学案新人教A版必修1

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性 1. 理解函数的单调性及其几何意义, 能运用函数图象理解和研究函数的单调性. (重点、 难点) 2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(难点) 3.会求一些具体函数的单调区间.(重点) [基础·初探] 教材整理 1 增函数与减函数的定义 阅读教材 P27~P28,完成下列问题. 增函数与减函数的定义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任 条件 意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时 都有 f(x1)<f(x2) 结论 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 都有 f(x1)>f(x2) 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图示 1 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)在[-1,2]上是增函数.( (2)若 f(x)为 R 上的减函数,则 f(0)>f(1).( ) ) (3)若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数 f(x)在区间(1,3)上为增函 数.( ) 【解析】 (1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性. (2)√.由减函数的定义可知 f(0)>f(1). (3)×.反例:f(x)=? 【答案】 (1)× ? ?x+1,x ?x-1,x ? ,2] , (2)√ (3)× 教材整理 2 函数的单调性与单调区间 阅读教材 P29 第一段,完成下列问题. 函数的单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 函数 f(x)=x -2x+3 的单调减区间是________. 【解析】 因为 f(x)=x -2x+3 是图象开口向上的二次函数,其对称轴为 x=1,所以 函数 f(x)的单调减区间是(-∞,1). 2 2 【答案】 (-∞,1) [小组合作型] 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数. 1 (1)f(x)=- ; x ?2x+1, x ? (2)f(x)=? ? ?5-x, x ; 2 (3)f(x)=-x +2|x|+3. 【精彩点拨】 (1)根据反比例函数的单调性求解; (2)根据自变量的范围分段求出相应 的函数的单调区间;(3)做出函数的图象求其单调区间. 1 【自主解答】 (1)函数 f(x)=- 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞, 2 x 0),(0,+∞)上都是增函数. (2)当 x≥1 时,f(x)是增函数,当 x<1 时,f(x)是减函数,所以 f(x)的单调区间为(- ∞,1),[1,+∞),并且函数 f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. ? ?-x +2x+3,x≥0 (3)因为 f(x)=-x +2|x|+3=? 2 ?-x -2x+3,x<0. ? 2 2 根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知, 函数 f(x)的单调区间为(-∞,-1],[0,1),(-1,0),[1,+∞). f(x)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数. 1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函 数的自变量的取值范围分段求解; (2)利用函数的图象,如本例(3). 2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,” 隔开,如本例(3). [再练一题] 1. 函数 f(x)=-x +2ax+3(a∈R)的单调减区间为________. 2. 【导学号:97030046】 【解析】 因为函数 f(x)是开口向下的二次函数,其对称轴为 x=a,所以 f(x)的单调 减区间为(a,+∞). 【答案】 (a,+∞) 2 3 函数单调性的判定与证明 (1)下列四个函数中在(0,+∞)上为增函数的是( A.f(x)=3-x 1 C.f(x)= x (2)用单调性定义证明函数 f(x)= ) 2 B.f(x)=(x-1) D.f(x)=x +2x 2 x2 2 x -1 在区间(0,1)上是减函数. 【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断. (2)利用函数单调性的定义,取值,作差,变形,定号,下结论,即可证得. 【自主解答】 (1)A.f(x)=3-x 在(0,+∞)上为减函数.B.f(x)=(x-1) 是开口向 上的二次函数,其对称轴为 x=1,它的单调增区间为(1,+∞),所以它在(0,+∞)上不 为单调函数.C.f(x)= 在(0,+∞)上为减函数.D.f(x)=x +2x 是开口向上的二次函数, 其对称轴为 x=-1,则它的单调递增区间是(-1,+∞),所以它在(0,+∞)上为增函数. 【答案】 D (2)设 x1,x2∈(0,1)且 x1<x2,则 2 1 x 2 f(x1) - f(x2) x2+x1 x2- = x2 1 x -1 x2+ . 2 1 - x2 2 x -1 2 2 = 2 x2 2-x1 x- x2 2- 2 1 = x1- x2-x1 x1+ ∵x1<x2,∴x2-x1>0.∵x1,x2∈(0,1),∴x1+1>0,x2+1>0,x1-1<0,x2-1<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以,函数 f(x)= x2 2 x -1 在区间(0,1)上是减函数. 利用定义证明函数单调性的 4 个步骤 4 [再练一题] 1 1 2 .已知函数 f(x)= - ,用单调性定义证明 f(x)


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