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高一数学必修4三角函数复习题


Love a person, not because he or she can offer which is convenient, but in his or her body, can see your growth.

1. cos ? ? ?
33 65

12 ?? ? , ? ? ? , ? ? , sin ? ? ? , ? 是第三象限角,则 cos( ? ? ? ) ? (A ) 5 13 ?2 ? 3

A ? 2. x ? ( ?

B

63 65

C

56 65

D ?

16 65

3? ? 3 ?? ? , ) 且 cos ? ? x ? ? ? 则 cos2x 的值是 4 4 5 ?4 ? 7 25

( B
7 25



A ?

B ?

24 25 4 5

C

24 25

D

3. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于
10 10 10 10

,则这个三角形底角的正弦值为
3 10 10
1 8

( C



A

B

?

C

D

?

3 10 10

4.若 ? 是△ ABC 的一个内角,且 sin ? cos ? ? ?
3 2 3 2 5 2

,则 sin ? ? cos ? 的值为( D
5 2



A. ?

B.

C. ?

D. )

5.函数 y ? sin(

?
3

? 2 x ) 的单调递减区间是(

D

? 2? ? A. ? ? k ? ? , ? k ? ? 6 3 ?

? ?k ? Z ; ?

? 5? ? ,2 k? ? B. ? 2 k ? ? 12 12 ?
? 5? ? , k? ? D. ? k ? ? 12 12 ?

? ?k ? Z ; ?

? ?? ? C. ? k ? ? , k ? ? ? k ? Z ; 6 3? ?
6.若 f ( x ) cos A. sin

? ?k ? Z ; ?

?x
2

是周期为 2 的奇函数,则 f(x)可以是 A B. cos
3 5

?x
2

?x
2 5 13

C.sinπx
, 则 cos C 的值为 B

D.cosπx

7.设 △ ABC 中, cos A ? A.
56 65

, sin B ?

B. ?

16 65

C.
6

16 65

D.

56 65

或?
2

16 65

8.已知 ? , ? 均为锐角, sin ? ? cos ? ? 6 , sin ? ? cos ? ? 2 ,则 cos( ? ? ? ) 的值是 D

2
A. 3

5 B. ? 3

5
C.

3

D. ? 3

5

9. 设 A、B 是△ABC 的内角,并且 (1 ? tan A )(1 ? tan B ) ? 2 ,则 A+B 等于 A A.
π 4

B.

3π 4

C.

5π 4

D.kπ +

π 4

(k∈Z)

Love a person, not because he or she can offer which is convenient, but in his or her body, can see your growth.

10. 下列各式中值等于

1 2

的是( A



A、

tan 22.5
2

? ?

1 ? tan 22.5

B、 sin 15 cos15

?

?

C、 cos

2

?
12

? sin

2

?
12

1 ? cos

?
3

D、
2

11. 若点 P (sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2 ? ) 内 ? 的取值范围是( B ) A. (

? 3?
2 ,

4 4 ? 3? 5? 3? )?( , ) C. ( , 2 4 4 2 3 ? cos 20 ? 12. =( C ) 2 2 ? cos 10 ?

) ? (? ,

5?

)

) 4 2 4 ? 3? 3? )?( ,? ) D. ( , 2 4 4

B. (

? ?
,

) ? (? ,

5?

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

13.已知 sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ-cosγ=0,则 cos(α-β)的值是 A.-1 B.1 1 C.-2 1 D.2

10 1 14.已知 sin(α-β)= 10 ,α-β 是第一象限角,tanβ=2,β 是第三象限角,则 cosα 的值等于 7 2 A. 10 7 2 B.- 10 2 C. 2
3 sin 2 x ? cos 2 x 的图像(D

2 D.- 2


14. 要得到函数 y ? 2 sin 2 x 的图像,只需将 y ? A、向右平移 C、向左平移

?
6 ? 6

个单位 个单位
x 2 ?

B、向右平移 D、向左平移

?
12

个单位 个单位
x 2

?
12

15.要得到函数 y=cos( A.向左平移 C.向左平移

?
4

)的图象,只需将 y=sin B.同右平移 D.向右平移

的图象

( A



?
2 ?

个单位 个单位

?
2

个单位

个单位 4 4 16.在 0 ? x ? 2? 范围内,方程 cos 2 x ? cos x (sin x ? | sin x | )的解的个数是( D A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

?



Love a person, not because he or she can offer which is convenient, but in his or her body, can see your growth.

17. 若 x 是一个三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x 的值域是(
3 ?1 2 3 ?1 2

B
3 ?1 2

)

A [ ? 2, 2 ]

B ( ? 1,

]

C [ ? 1,

]

D ( ? 1,

)

18. 在 ? ABC 中, tan A ? tan B ? A

3?

3 tan A tan B ,则 C 等于(

A

)

?
3
? 3

B

2? 3
3 cos[ ? 3

C

?
6

D

?
4

19.已知 f ( x ) ? sin[ A. 2 3

( x ? 1)] ?

( x ? 1)] ,则 f (1)+f (2)+??+f (2005)+f (2006)=( A

)

B. 3

C.1

D.0

20.若函数 f (x)=sinax+cosax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图像的一个对称中心为( C ) A. ( ?
? 8
?

,0 )
?

B.(0,0)
? ?

C.( ?

1 8

,0 )

D. ( , 0 )
8

1

21. sin 163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? A
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( B C
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) D
3
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?

1 2

B
2 2

1
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2

?

3 2

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2

22. 若

cos 2? sin(? ?

?
4

?? )

,则 log

2

(sin ? ? cos ? ) 的值为( C )

A .?

1 2
2

B.

1 2
2

C . ?2
?

D .2

cos 2? sin(? ?
log

?
4

? )

cos ? ? sin ? 2 2 (sin ? ? cos ? )
1
2

2 (cos ? ? sin ? ) ? ?

2 2

,∴ sin ? ? cos ? ?

1 2



2

(sin ? ? cos ? ) ? log

2

? ?2 .

? ?? 24. 已知函数 f ( x ) 对任意实数 x 均有 f ( ? x ) ? ? f ( x ), f (? ? x ) ? f ( x ) 成立, 当 x ? ? 0 , ? 时, ? 2? ?3 ? f ( x ) ? cos x ? 1 .则当 x ? ? ? , 2? ? 时, 函数 f ( x ) 的表达式为( ?2 ?

D

) D. ? cos x ? 1

A. cos x ? 1

B. cos x ? 1

C. ? cos x ? 1

25. f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在 ?? 1,0 ? 上为增函数,? , ? 是锐角三角形的两个内角,则 ( B ) A.f ?cos ? ? ? f ?cos ? ? B.f ?cos ? ? ? f ?sin ? ? C.f ?sin ? ? ? f ?sin ? ? 26.已知函数 f ( x ) ? f (? ? x ), 且当 x ? ( ? D.f ?sin ? ? ? f ?cos ? ?

? ?

, )时 , f ( x ) ? x ? sin x , 设 a ? f (1), 2 2

Love a person, not because he or she can offer which is convenient, but in his or her body, can see your growth.

b ? f ( 2 ), c ? f ( 3) ,则( A

) C.c<b<a D.a<b<c

A.c<a<b 27. 下面有四个命题:

B.b<c<a

? ? ?2 (1)函数 y ? sin ? x ? ? 是偶函数 2? ?3

(2)函数 f ? x ? ?| 2 cos x ? 1 | 的最小正周期是 ? ;
2

? ? ? ? ?? ? (3)函数 f ? x ? ? sin ? x ? ? 在 ? ? , ? 上是增函数; 4? ? 2 2? ?
(4)函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x 的图像的一条对称轴为直线 x ? 题的序号是 ①④ 。

?
4

,则 a ? b ? 0 ,其中正确命

28.北京市标志性建筑之一的北京朝阳公园“朝天轮”是迄今为止世界 上最大的摩天轮.已知在“朝天轮”上一点 P 从最低点随轮运动的过程中, 点 P 离地面的高度 h(单位:m)随时间 t(单位:min)的变化满足函数:
h ( t ) ? ? 100 cos t ? 110 ,则 10 ①“朝天轮”运行一周需要 20 min ②“朝天轮”的最低点距地面 110 m ③“朝天轮”的直径为 100 m ④“朝天轮”的最高点距地面 210 m

?

O . (填序号) h(t)

以上关于“朝天轮”的说法正确的有 解答题 1. 化简 [ 2 sin 50 ? sin 10 (1 ?
0 0

3 tan 10 )] 1 ? cos 20
0

0

H
地面

解:原式=
[ 2 sin 50 ? sin 10 (1 ?
0 0

3

sin 10 cos 10
0

0 0

)] 2 cos 10 3 sin 10
0 0 0

2

0

? [ 2 sin 50 ? sin 10 ?
0 0

cos 10 ? 2 sin 40 cos 10
0 0

] ? 2 cos 10
0

0

cos 10 ? ? 2 [ 2 sin 50 ? sin 10 ?
0 0 0 0

] ? cos 10
0

2 [ 2 sin 50 cos 10 ? 2 sin 10 sin 40 ]
0 0 0 0

? 2 2 [cos 40 cos 10 ? sin 40 sin 10 ] ? 2 2 cos( 40 ? 10 )
0 0

? 2 2 ? cos 30 ? 6

0

Love a person, not because he or she can offer which is convenient, but in his or her body, can see your growth.

2.已知 cos( x ?

?
4

)?

2 10

,x?(

? 3?
2 , 4

)

(1)求 sin x 的值;

(2)求 sin( 2 x ?

?
3

) 的值.

解: (1)? x ? (

? 3?
2 , 4

)?x? )?

?
4

?(

? ?
4 2 ,

)于是 sin( x ?

?
4

)?

1 ? cos ( x ?
2

?
4

)?

7 2 10

sin x ? sin[( x ?

?
4

?
4

] ? sin( x ?

?
4

) cos

?
4
2

? cos( x ?

?
4

) sin

?
4

sin

?
4

?

4 5

(2)? x ? (

? 3?
2 , 4

) ,故 cos x ? ? 1 ? sin

4 2 3 x ? ? 1? ( ) ? ? 5 5
2

sin 2 x ? 2 sin x cos x ? ? ? sin( 2 x ?

24 25

cos 2 x ? 2 cos x ? 1 ? ? ? cos 2 x sin

7 25 ? ? ? 9分

?
3

) ? sin 2 x cos
7 5

?
3

?
3

?

? 24 ? 7 3 50

3、已知 sin ? ? cos ? ?

,且 0 ? ? ?

?
4


sin ?
3

(Ⅰ)求 sin ? cos ? 、 sin ? ? cos ? 的值; 解(1)∵ sin ? ? cos ? ?
2

(Ⅱ)求

1 ? tan ?
49 25

?

sin ? ? cos ?
3

sin ? ? cos ?

的值.

7 5

两边平方得 1+2 sin ? cos ? =
1 25

∴ sin ? cos ? =
1 5

12 25

∵ (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ?
sin ?
3

又∵ 0 ? ? ?

?
4

∴ sin ? ? cos ? = ?
12 125

(2)

1 ? tan ?
?
4

?

sin ? ? cos ?
3

sin ? ? cos ?
3? 4

= sin ? cos ? ( sin ? ? cos ? )= ?

4、已知

?? ?

, 0<β <
?
4

?
4

, cos(

?
4

-α )=

3 5

, sin(

3? 4

+β )=

5 13

, 求 sin(α +β )的值.

解:∵

3? 4

+β -(
3? 4

-α )=
?
4

?
2

+(α +β ),∴ sin(α +β )=-cos[
3? 4

?
2

+(α +β )]
?
4

=-cos[(
?
4

+β )-(
3? 4

-α )]=-[cos(
?
4

+β )cos(
?
2

?
4

-α )+sin(

3? 4

+β )sin(

-α )]



<α <
?
4

?

?

3? 4

<-α < ?

?
?
4

?



?
4

-α <0,
?
3

0<β <

?

3? 4



3? 4

+β <π .

∴ sin(

-α )= ? 1 ? cos 2 ( ? ? ) = ? 1 ? ( ) 2 = ? ,
4 5

4

5

Love a person, not because he or she can offer which is convenient, but in his or her body, can see your growth.

cos(

3? 4

+β )= ? 1 ? sin 2 (

3? 4

? ?)

=? 1? (
3 5 5 13

5 13

)

2

=?

12 13

.

由(1)得: sin(α +β )=-[ ?

12 13

×

+

×( ?

4 5
2

)]=

56 65

.

5、已知 ? 、 ? ? ?0 , ? ? ,且 tan ? 、 ? 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根. tan ①求 ? ? ? 的值. ②求 cos ?? ? ? ? 的值.

解析:①. 由根与系数的关系得:

tan ? ? tan ? 5 5 ? tan( ? ? ? ) ? ? ? ?1. ? tan( ? ? ? ) ? ? ? ?1. 1 ? tan ? tan ? 1 ? 6 1 ? tan ? tan ? 1 ? 6
tan ? ? tan ?
又 tan ? ? 0 , tan ? ? 0 , 且 ? , ? ? ( 0 , ? ), ? ? , ? ? ( 0 , 所以 ? ? ? ? 3? 4 .

? tan ? ? tan ? ? 5 ? (1) ? ? tan ? tan ? ? 6 ? ( 2 )

? tan ? ? tan ? ? 5 ? (1) ? ? tan ? tan ? ? 6 ? ( 2 )

?
2

), ? ? ? ? ( 0 , ? ),

②. 由(1)得 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

2 2

? (3)

? 3 2 ? sin ? sin ? ? ? 5 由(2)得 sin ? sin ? ? 6 cos ? cos ? ? ( 4 ) 联立 ( 3)( 4 ) 得 ? 2 ? cos ? cos ? ? ? 10 ?

? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

7 2 10

6、已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,且最大值与
?π 1? 最小值间的横坐标最小距离为 ? ,其图像经过点 M ? , ? . ?3 2?

(1)求 f ( x ) 的解析式;
2 5 5

(2)设 f (? ) ?

, f (? ?

?
2

)??

10 10

, ? ? (0,

?
2

), ? ? (0,

?
2

) ,求角 ? ? ? 的大小.
T 2 ? ? , T ? 2? , ? ? 1 ,

解: (1)依题意有 A ? 1 ,最大值与最小值间的横坐标最小距离为 ? ,则

Love a person, not because he or she can offer which is convenient, but in his or her body, can see your growth.

则 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ,将点 M (
?? ?

? 1

? 1 ? 5 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? ,而 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? , 3 2 3 2 3 6

?
2

,故 f ( x ) ? sin( x ?
2 5 5

?
2

) ? cos x ;

(2) f (? ) ? cos ? ?

, f (? ?

?
2

) ? ? sin ? ? ?

10 10

? sin ? ?

10 10

,

? ? (0,

?
2

), ? ? (0,

?
2

) ? sin ? ?

5 5

, ? ? cos

3 10 10 ?

,

? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

2 5 5

3 10 10

?

5 5

?

10 10

?

2 2

? ? ? ? (0, ? ), ? ? ? ? ?
7 . 已 知 tan ? 和 tan(

?
4

.
2

?
4

? ? ) 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x ? kx ? 2 k ? 5 ? 0 的 两 个 跟 , 其 中

) 2 (1)求 k 的值及方程的两个跟:

? ? (0,

?

5 sin

2

?
2

? 8 sin

?
2

? cos

?
2

? 11 cos )

2

?
2

?8

(2)求

2 sin(? ?

?
4

的值。

Love a person, not because he or she can offer which is convenient, but in his or her body, can see your growth.

20.如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为

的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内 3 接矩形.记 ?COP ? ? , 求当角 ? 取何值时, 矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.

?

解:在 Rt ? OBC 中, OB ? cos ? , BC ? sin ? ,
在 Rt ? OAD 中, 所以 OA ? 3 3 DA OA ? tan 60 ? ? 3 3 BC ?

3, 3 3 3 3 sin ? , sin ? . ? ? 2分

DA ?

所以 AB ? OB ? OA ? cos ? ?

设矩形 ABCD 的面积为 S,则
S ? AB ? BC ? ( c o ? ? s 3 3 s i n )s i n ? s i n c o s ? ? ? ? ? 3 3 sin ?
2

?

1 2 3 2

s i n2? ? s i n2? ?

3 6 1 2

(1 ? c o s2? ) ? 3 6 ?
?

1 2

s i n2? ? 1 3

3 6

c o s2? ? )? 3 6

3 6

?

1 3

(

c o s2? ) ?

s i n 2? ? (
.

?
6

. ? ? ? 5分

由0 ? ? ?

?
3

,得

?
6

? 2? ?

?
6

5? 6

所以当 2? ? 即? ?

?
6

?

?
2


1 3 3 6 3 6

?
6

时, S 最大 ?

?

?

.

????????8 分

因此,当 ? ?

?
6

时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为

3 6

.



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