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江苏省启东中学2017-2018学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题


江苏省启东中学 2017~2018 学年度第一学期第一次月考 高二创新班数学试卷
1.命题“ ?x ? R, x 2 ? x ≤0”的否定是 2.已知实数 a ? {0 ,1,2,3 } ,且 a ? {0 ,1, 2} ,则 a 的值为 3.函数 f ( x) ?
1 log 2 x ? 1
2017.9.25

一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题 纸 相应位置上 . .. . ..... . .

的定义域为



) , 2 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 , 则 函 数 4 . 已 知 函 数 f ( x) 是 二 次 函 数 且 f ( 0 ? f ( x) ? . 5.已知集合 A ? {x | x ? 3} , B ? {x | x ? a} ,若“ x ? A ”是“ x ? B 的”必要不充分条件,

则实数 a 的取值范围为 . 6.从 1,2,3,4,5 这五个数中一次随机地抽取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍 的概率 是 .
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 , 7.设命题 p :实数 x 满足 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ;命题 q :实数 x 满足 ? 2 若 p?q为 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0 ,

真,则实 数 x 的取值范围是 . 8.矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q ,则点 Q 取 自 △ADE 内部的概率为 .

1 , E ( X ) ? 1 ,则 V ( X ) ? . 5 10. 若有一批产品共 100 件, 其中有 5 件不合格品, 随机取出 10 件产品, 则不合格品数 ? 的
9.随机变量 X 的取值为 0,1,2,若 P( X ? 0) ? 数学期 望 E (? ) ? . .

? x 2 ? 2 x ? 2 , x ≤0, ? 11.设函数 f ( x) ? ? 2 若 f ( f (a )) ? 2 ,则 a ? ? ?? x , x ? 0 .
12. 已知集合 I ? { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , 集合 P ? {
m k

|m, k ? I}, 则 P 的元素个数为



x x 13 .若函数 f ( x ) ? a (x2 ? 2 在区间 (?? , 0] 恒为非负,则实数 a 的取值范围 x )e ? e ? 1

为 . 14.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组成的集合: 对于函数 ? ( x) ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] .例如,当

?1 ( x) ? x3 ,
?2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A , ?2 ( x) ? B .现有如下命题:
1

?a ? D ,f (a) ? b ” ①设函数 f ( x) 的定义域为 D , 则 “ f ( x) ? A ” 的充要条件是 “ ? b ? R, ;

②若函数 f ( x) ? B 的充要条件是 f ( x) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ? 其中的真命题的序号为

x ( x ? ?2 , a ?R)有最大值,则 f ( x) ? B . x ?1 .
2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题 纸 指定区域 内作答.解答时应写出文 .. . .... 字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全 相同 . 随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上数字依次记为 a , b , c . ⑴求“抽取的卡片上的数字满足 a ? b ? c ”的概率; ⑵求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率.

16. (小题满分 14 分)
C 所对的边分别为 a , b, c3 , 设 △ABC 的内角 A ,B , 命题 p : 若 a3 ?b3 ? 则C ? c.

π . 2

⑴写出命题 p 的逆否命题,并判断其真假; ⑵若命题 p 为真,请证明;若为假,请说明理由.

2

17. (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的一元二次方程 9 x 2 ? 6ax ? b2 ? 4 ? 0 , a 、 b ? R. ⑴若 a ? 1 , b 是从区间 [0 , 2] 内任取的一个数,求方程没有实数根 的概率; ....... ⑵若 a 是从区间 [0 , 3] 内任取的一个数, b 是从区间 [0 , 2] 内任取的一个数,求方程 .. 有实数根 的 .... 概率.

18. (本小题满分 16 分) 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,其中基础设施工程有 6 个项目,民生工 程有 4 个 项目,产业建设工程有 2 个项目.现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设,设 每个工人 选择任意一个项目的概率相同. ⑴求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; ⑵记 X 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求 X 的概率分 布以及它的 数学期望 E ( X ) 与标准差 ? .

19. (本小题满分 16 分) 有人玩掷硬币走跳棋的游戏,已知棋盘上标有 0 站,1 站,2 站,?,99 站,100 站.一 枚棋子开 始时在第 0 站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,则棋子前进 1 站;若掷出 反面,则棋子前进 2 站,知道跳到 99 站(胜利)或 100 站(失败) ,游戏结束.设棋子 跳到第 n 站的概率为 Pn . ⑴求 P0 , P1 , P2 的值; ⑵求 Pn 与 Pn ?1 的关系式; (其中 2≤ n ≤99)
3

⑶求 P99 和 P 100 .

20. (本小题满分 16 分) 对于定义域为 I 的函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m , n] ? I ,同时满足① f ( x) 在 [m , n ] 内是 单调函数;②当定义域为 [m , n ] 时, f ( x) 的值域也是 [m , n ] .则称 [m , n ] 是函数 y ? f ( x) 的“好区间” .已知函数 f ( x) ? x3 ? ax ,其中 a ?R. ⑴若 a ? 0 ,判断函数 f ( x) 是否存在“好区间” ,请说明理由; ⑵若 a ? 3 ,判断函数 f ( x) 是否存在“好区间” ,请说明理由; ⑶若函数 f ( x) 存在“好区间” ,试求实数 a 的取值范围.

4



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