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人教A版数学必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》(三课时)教案

2.1.1 指数与指数幂的运算(三课时) 教学目标:1.理解 n 次方根、根式、分数指数幂的概念; 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质; 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教学重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点:根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法:学导式 教学过程: 第一课时:9 月 20 日星期一 (I)复习回顾 引例:填空 (n ? N ) ; (1) a ? a ? a ? n * ?? ? ??? ? n个a a =1(a ? 0) ; 0 a ?n ? 1 (a ? 0, n ? N* ) n a (2) a ? a ? a m n m? n (m,n∈Z); (am )n ? amn (m,n∈Z); - 9 ? _____; (ab)n ? an ? bn (n∈Z) (3) 9 ? _____; (4) ( a ) 2 ? _____( a ? 0) ; (II)讲授新课 1.引入: 0 ? ______ a 2 ? ________ (1) 填空 (1) , (2) 复习了整数指数幂的概念和运算性质 (其中: 因为 a ? a 可看作 a ? a m n m ?n , 所以 a ? a ? a m n m ? n 可以归入性质 a ? a ? a m n m ? n m ?n ;又因为 ( ) 可看作 a ?a ,所以 a b n a an ( ) n ? n 可以归入性质 (ab)n ? an ? bn (n∈Z)) ,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质 b b 做准备。为了学习分数指数幂,先要学习 n 次根式( n ? N * )的概念。 (2)填空(3) , (4)复习了平方根、立方根这两个概念。如: 2 =4 , (-2) =4 ? 3 2 =8 ? 2 叫 8 的立方根; 5 2 =32 ? 2 叫 32 的 5 次方根 2 2 2 2,-2 叫 4 的平方根 3 (-2) =-8 ? -2 叫-8 的立方根 n ? 2 =a ? 2 叫 a 的 n 次方根 3 5 分析:若 2 =4,则 2 叫 4 的平方根;若 2 =8,2 叫做 8 的立方根;若 2 =32,则 2 叫做 32 的 n 5 次方根,类似地,若 2 =a,则 2 叫 a 的 n 次方根。由此,可有: 2.n 次方根的定义: (板书) 一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根( n th root),其中 n ? 1 ,且 n ? N 。 n ? 问题 1:n 次方根的定义给出了,x 如何用 a 表示呢? x ? n a 是否正确? 分析过程: 例 1. 根据 n 次方根的概念, 分别求出 27 的 3 次方根, -32 的 5 次方根, a 的 3 次方根。 (要 求完整地叙述求解过程) 6 解:因为 3 =27,所以 3 是 27 的 3 次方根;因为 ( ?2) 5 =-32,所以-2 是-32 的 5 次方根; 3 因为 (a 2 ) 3 ? a 6 ,所以 a 是 a 的 3 次方根。 2 6 结论 1:当 n 为奇数时(跟立方根一样) ,有下列性质:正数的 n 次方根是正数,负数的 n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,a 的 n 次方根可表示为 x ? n a 。 从而有: 3 27 ? 3 , 5 ? 32 ? ?2 , 3 a 6 ? a 2 例 2. 根据 n 次方根的概念, 分别求出 16 的 4 次方根, -81 的 4 次方根。 解:因为 2 ? 16 , (?2) 4 ? 16 ,所以 2 和-2 是 16 的 4 次方根; 4 因为任何实数的 4 次方都是非负数,不会等于-81,所以-81 没有 4 次方根。 结论 2:当 n 为偶数时(跟平方根一样) ,有下列性质:正数的 n 次方根有两个且互为相反 数,负数没有 n 次方根。此时正数 a 的 n 次方根可表示为: ? n a (a ? 0) 其中 n a 表示 a 的正的 n 次方根, ? n a 表示 a 的负的 n 次方根。 例 3.根据 n 次方根的概念,分别求出 0 的 3 次方根,0 的 4 次方根。 解:因为不论 n 为奇数,还是偶数,都有 0 =0,所以 0 的 3 次方根,0 的 4 次方根均为 0。 结论 3:0 的 n 次方根是 0,记作 n 0 ? 0,即n a 当 a=0 时也有意义。 这样,可在实数范围内,得到 n 次方根的性质: 3.n 次方根的性质: (板书) n ? ? a , n ? 2k ? 1 x?? (k ? N *) n ? ? a , n ? 2 k ? n 其中 n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 注意: 根式是 n 次方根的一种表示形式, 并且, 由 n 次方根的定义, 可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质: (板书) ① ,结果仍为被开方数。 (n a) ? a ,即一个数先开方,再乘方(同次) n 问题 2:若对一个数先乘方,再开方(同次) ,结果又是什么? 例 4:求 3 (?2) 3 , 5 25 , 4 34 , (?3) 2 由所得结果,可有: (板书) n ② a ?? n ?a, n为奇数; ?| a |, n为偶数 性质的推导如下: 性质①推导过程: 当 n 为奇数时, x ? n a ,由xn ? a得(n a )n ? a 当 n 为偶数时, x ? ?n a ,由x n ? a得(n a )n ? a 综上所述,可知: (n a ) n ? a 性质②推导过程: 当 n 为奇数时,由 n 次方根定义得: a ? n an 当 n 为偶数时,由 n 次方根定义得: a ? ?n a n 则 | a |?| ? n a n |? n a n 综上所述: (


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