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2018步步高数学 第4讲 古典概型


第 4 讲古典概型
一、选择题 1. 将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体 玩具)先后抛掷 3 次,至少出现一次 5 点向上的概率是( A. 5 25 31 91 B. C. D. 216 216 216 216 )

解析 抛掷 3 次,共有 6×6×6=216 个事件.一次也不出现 5,则每次抛掷 都有 5 种可能,故一次也未出现 5 的事件总数为 5×5×5=125.于是没有出 现一次 5 点向上的概率 P= 答案 D 2.一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球,如果从中任 取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是 1 A.5 3 B.10 2 C.5 1 D.2 ( ). 125 125 91 ,所求的概率为 1- = . 216 216 216

2 2 解析 基本事件有 C2 5=10 个,其中为同色球的有 C3+C2=4 个,故所求概率

4 2 为10=5. 答案 C 3.甲、乙两人各写一张贺年卡,随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺 年卡送给同一人的概率是 1 A.2 1 B.3 1 C.4 1 D.5 ( ).

解析 (甲送给丙, 乙送给丁), (甲送给丁, 乙送给丙), (甲、 乙都送给丙), (甲、 乙都送给丁),共四种情况,其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种, 2 1 所以 P=4=2. 答案 A 4.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点 中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( )

A. C.

3 18 5 18 D.

B. 6 18

4 18

解析正方形四个顶点可以确定 6 条直线, 甲乙各自任选一条共有 36 个等可能 的基本事件.两条直线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和对角线),包括 10 个基本事件,所以概率等于 答案 C 5.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正方体,若将这 些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概 率是( A. ). 5 . 18

1 1 3 1 B. C. D. 12 10 25 125 8 1 小正方体三面涂有油漆的有 8 种情况,故所求其概率为: = . 1 000 125 D

解析 答案

6.将号码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余 完全相同,甲从袋中摸出一个小球,其号码为 a,放回后,乙从此口袋中再 摸出一个小球,其号码为 b,则使不等式 a-2b+4<0 成立的事件发生的概率 为 1 A.8 3 B.16 1 C.4 1 D.2 ( ).

解析 由题意知(a,b)的所有可能结果有 4×4=16 个.其中满足 a-2b+4<0 1 的有(1,3),(1,4),(2,4),(3,4),共 4 个,所以所求概率为4. 答案 C 二、填空题 7.在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m,在集合 B={1,2,3}中随机取一个元素 n,得到点 P(m,n),则点 P 在圆 x2+y2=9 内部的概率为________. 解析 由题意得到的 P(m,n)有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共 6 2 1 个,在圆 x2+y2=9 的内部的点有(2,1),(2,2),所以概率为6=3.

1 答案 3 8. 现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是. 解析 组成满足条件的数列为: 1,?3,9. ? 27,81,?243 ,729,?2187 ,6561 ,?19683 .从 中随机取出一个数共有取法 10 种,其中小于 8 的取法共有 6 种,因此取出的
3 这个数小于 8 的概率为 . 5 3 答案 5 9.甲、乙二人参加普法知识竞答,共有 10 个不同的题目,其中 6 个选择题,4

个判断题,甲、乙二人依次各抽一题,则甲、乙两人中至少有一人抽到选择 题的概率是________. 解析 方法 1:设事件 A:甲乙两人中至少有一人抽到选择题.将 A 分拆为 B: “甲选乙判”,C:“甲选乙选”,D:“甲判乙选”三个互斥事件, 则 P(A)=P(B)+P(C)+P(D).
1 1 1 C1 C1 C1 6C4 6C5 4·C6 而 P(B)= 1 1,P(C)= 1 1,P(D)= 1 1 , C10C9 C10C9 C10C9

∴P(A)=

24 30 24 78 13 + + = = . 90 90 90 90 15

方法 2:设事件 A:甲乙两人中至少有一人抽到选择题,则其对立事件为 A :
1 C1 12 12 78 13 4C3 甲乙两人均抽判断题.∴P( A )= 1 1= ,∴P(A)=1- = = . C10C9 90 90 90 15

故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为 答案 13 15

13 . 15

10.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目, 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 ________(结果用最简分数表 示). 解析 根据条件求出基本事件的个数,再利用古典概型的概率计算公式求

2 3 解.因为每人都从三个项目中选择两个,有(C3 ) 种选法,其中“有且仅有两

1 1 人选择的项目完全相同”的基本事件有 C2 3C3C2个,故所求概率为

1 1 C2 3C3C2 2 2 3 = . 3 ?C3 ?

2 答案 3 三、解答题 11.某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方法从这些 学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率. 解 (1)由分层抽样的定义知,从小学中抽取的学校数目为 6× 从中学中抽取的学校数目为 6× 6× 21 =3; 21+14+7

14 =2;从大学中抽取的学校数目为 21+14+7

7 =1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. 21+14+7

(2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记 为 A4,A5,1 所大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可能结果为(A1,A2),(A1, A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6), (A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为(A1, A2),(A1,A3),(A2,A3),共 3 种. 3 1 所以 P(B)=15=5. 12.从某小组的 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人去参加一项公益活动. (1)求所选 2 人中恰有一名男生的概率; (2)求所选 2 人中至少有一名女生的概率. 解析 设 2 名女生为 a1,a2,3 名男生为 b1,b2,b3,从中选出 2 人的基本事件 有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3), (b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共 10 种. (1)设“所选 2 人中恰有一名男生”的事件为 A,则 A 包含的事件有:(a1,b1),

(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共 6 种, ∴P(A)= 6 3 = , 10 5

3 故所选 2 人中恰有一名男生的概率为 . 5 (2)设“所选 2 人中至少有一名女生”的事件为 B,则 B 包含的事件有:(a1,

a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共 7 种,
∴P(B)= 7 , 10

7 故所选 2 人中至少有一名女生的概率为 . 10

13.袋内装有 6 个球,这些球依次被编号为 1,2,3,?,6,设编号为 n 的球重 n2 -6n+12(单位:克),这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响). (1)从袋中任意取出一个球,求其重量大于其编号的概率; (2)如果不放回的任意取出 2 个球,求它们重量相等的概率. 解 (1)若编号为 n 的球的重量大于其编号. 则 n2-6n+12>n,即 n2-7n+12>0. 解得 n<3 或 n>4. 4 2 ∴n=1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球,其重量大于其编号的概率 P=6=3. (2)不放回的任意取出 2 个球,这两个球编号的所有可能情形共有 C2 6=15 种. 设编号分别为 m 与 n(m,n∈{1,2,3,4,5,6},且 m≠n)球的重量相等,则有 m2 -6m+12=n2-6n+12,即有(m-n)(m+n-6)=0. ∴m=n(舍去)或 m+n=6. 满足 m+n=6 的情形为(1,5),(2,4),共 2 种情形. 2 由古典概型,所求事件的概率为15. 14.某省实验中学共有特级教师 10 名,其中男性 6 名,女性 4 名,现在要从中 抽调 4 名特级教师担任青年教师培训班的指导教师,由于工作需要,其中男 教师甲和女教师乙不能同时被抽调. (1)求抽调的 4 名教师中含有女教师丙,且 4 名教师中恰有 2 名男教师、2 名

女教师的概率; (2)若抽到的女教师的人数为 ξ,求 P(ξ≤2). 解 由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调,所以可分以下两种情况: ①若甲和乙都不被抽调,有 C4 8种方法;
3 ②若甲和乙中只有一人被抽调,有 C1 2C8种方法,故从 10 名教师中抽调 4 人, 1 3 且甲和乙不同时被抽调的方法总数为 C4 8+C2C 8=70+112=182. 这就是基本

事件总数. (1)记事件“抽调的 4 名教师中含有女教师丙,且恰有 2 名男教师,2 名女教 师”为 A,因为含有女教师丙,所以再从女教师中抽取一人,若抽到的是女 教师乙,则男教师甲不能被抽取,抽调方法数是 C2 5;若女教师中抽到的不是
2 乙,则女教师的抽取方法有 C1 2种,男教师的抽取方法有 C6种,抽调的方法数 2 是 C1 2C6.故随机事件“抽调的 4 名教师中含有女教师丙,且 4 名教师中恰有 2 1 2 名男教师、2 名女教师”含有的基本事件的个数是 C2 5+C2C6=40.

40 20 根据古典概型概率的计算公式得 P(A)=182=91. (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4, 所以 P(ξ≤2)=1-P(ξ>2)=1-P(ξ=3)-P(ξ=4),
1 若 ξ=3,则选出的 4 人中,可以含有女教师乙,这时取法为 C2 3C5种,也可以 1 不含女教师乙,这时有 C3 3C6种,故 P(ξ=3)= 1 3 1 C2 21 3 3C5+C3C6 = = 182 182 26;

若 ξ=4,则选出的 4 名教师全是女教师,必含有乙,有 C4 4种方法,故 P(ξ=
4 C4 1 21 1 160 80 4)=182=182,于是 P(ξ≤2)=1-182-182=182=91.


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