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二项式定理公开课教案


二项式定理教案 2010-5-24
一:教学目标 教学目标 1.掌握二项式定理及其归纳过程 2.培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力 3.养成严谨的思维习惯,培养对数学的兴趣 二 教学知识点 1.二项式定理: (a+b)n=C an+C an-1b1+…+C an-rbr+…+C bn(n∈N*) 2.通项公式: Tr+1=C an_ rbr(r=0,1,…,n) (二)能力训练要求 1.理解并掌握二项式定理,从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展 开式. 2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项. (三)德育渗透目标 1.提高学生的归纳推理能力. 2.树立由特殊到一般的归纳意识. 三:教学重点与难点: 重点: 分析的二次展开式,并归纳得到二项式定理 难点: 在二项式展开的过程中,发现各项及各项系数的规律

二项式定理(a+b)n=C an+C an-1b+…+C an-rbr+…+C bn 有以下特征: (1)展开式共有 n+1 项. (2)字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0;字母 b 按升幂排列,次数由 0 递增到 n. (3)各项的系数 C ,C ,C …Cnn 称为二项式系数. 2.展开式的通项公式 Tr+1=C an_rbr,其中 r=0,1,2,…n 表示展开式中第 r+1 项. 3.当 a=1,b=x 时,(1+x)n=1+C x+C x2+…+C xr+…+xn.

注意点: 1.展开式中某一项的二项式系数与该项的系数区别. 2.通项公式的灵活应用. ●教学方法 启发引导法

●教学过程 Ⅰ.课题导入 [师]在初中,我们学过两个重要公式,即 (a+b)2=a2+2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. 那么,将(a+b)4,以至于(a+b)5,(a+b)6…展开后,它的各项是什么呢? Ⅱ.讲授新课 [师]不妨,我们来研究一下这两式的特点,看它们的展开式是否有什么规 律可循? 不难发现,(a+b)2=a2+2ab+b2=C a2+C ab+C b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C a3+C a2b+C ab2+b3. 即,等号右边的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积,因 而各项的次数相同. 这样看来,(a+b)4 的展开式应有下面形式的各项:a4,a3b,a2b2,ab3,b4. 这些项在展开式中出现的次数,也就是展开式中各项的系数是什么呢? [生](讨论) (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) 在上面 4 个括号中: 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 C 种,所以 a4 的系数是 C ; 恰有 1 个取 b 的情况有 C 种,所以 a3b 的系数是 C ; 恰有 2 个取 b 的情况有 C 种,所以 a2b2 的系数是 C ; 恰有 3 个取 b 的情况有 C 种,所以 ab3 的系数是 C ; 4 个都取 b 的情况有 C 种,所以 b4 的系数是 C . 也就是说,(a+b)4=C a4+C a3b+C a2b2+C ab3+C b4. 依此类推,对于任意正整数 n,上面的关系也是成立的. 即:(a+b)n=C an+C an-1b1+…+C an-rbr+…+C bn(n∈N*) 此公式所表示的定理.我们称为二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n 的 二项展开式,它一共有 n+1 项,其中各项的系数 C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式 系数.式中的 C an-rbr 叫做二项展开式的通项,用 Tr+1 表示,即通项为展开式的 第 r+1 项: Tr+1=C an-rbr. 另外,在二项式定理中,如果设 a=1,b=x,则得到: (1+x)n=1+C x+C x2+…+C xr+…+xn. [师]下面我们结合几例来熟练此定理. [例 1]展开(1+ )4. x 分析:只需设 a=1,b= ,用二项式定理即可展开. 解:(1+ )4=1+C ( )+C ( )2+C ( )3+C ( )4 . [例 2] [例 3]求(x+a)12 的展开式中的倒数第 4 项.

分析:应先确定其项数,然后再利用通项公式求得. 解:(x+a)12 的展开式共有 13 项,所以倒数第 4 项是它的第 10 项,由通 项公式得 . [例 4](1)求(1+2x)7 的展开式的第 4 项的系数; (2)求(x-x )9 的展开式中 x3 的系数. 解:(1)(1+2x)7 的展开式的第 4 项是 T3+1=C ·17-3·(2x)3 =C ·23·x3=35×8x3=280x3. 所以展开式第 4 项的系数是 280. 注:(1+2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数是 C =35. (2)(x- )9 的展开式的通项是 . 由题意得:9-2r=3,即:r=3 ∴x3 的系数是(-1)3C =-84. 评述:此类问题一般由通项公式入手分析,要注意系数和二项式系数的概念 区别. Ⅲ.课堂练习 [生] (自练)课本 P121(B 版) P117(A 版) 练习 1~6. 1.(x-2)9 的展开式中,第 6 项的二项式系数是……………………………( A.4032 B.-4032 C.126 D.-126 ) )

2. (1-2x)15 的展开式中的各项系数和是……………………… ( A.1 B.-1 C.2 D.3 思考:试想一想所有二项式系数之和为多少? _______ Ⅳ.课时小结 通过本节学习,要掌握二项式定理及其通项公式. Ⅴ.课后作业 (一)1.课本 P117 5、6. (A 版) , P121(B 版) 5、6 (二)1.预习:课本 P121~P124.
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