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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质习题课 - 副本


正弦函数、余弦函数的性质 习题课

一、基础题型
3π π/2

1 π 2.函数 y=3sin(ωx+φ)(ω>0)的周期为3,则 ω 的值 为 .

函数

?3x 3π? f(x)=sin? 4 + 2 ?的奇偶性为 ? ?

(

)

? A.奇函数 B.偶函数 ? C.非奇非偶函数 D.以上都不对 ? [答案] B

4.函数y=2cos3x的单调增区间为, .

5.如果函数

?π ? y=2sin(2x+φ)的图象关于点?3,0?中心对 ? ?

称,那么|φ|的最小值为

.

[分析] y=sint,y=cost 的值域都是[-1,1],(1)中令 t π =x+6可由 sint 的取值范围,求出 3-2sint 的取值范围.(2) 中由于 a 的符号未定,当 a>0 时,若 cosx 取最大(小)值,则 acosx 取最大(小)值,a<0 时恰好相反,故须分 a>0 与 a<0 讨 论.

[解析]

(1)令

? π? sin?x+6?=1, ? ?

π π 则 x+ =2kπ+ (k∈Z). 6 2 π ∴当 x=2kπ+3(k∈Z)时, y 最小值为 3-2=1. 令
? π? π π sin?x+6?=-1,∴x+ =2kπ- (k∈Z), 6 2 ? ?

2 ∴当 x=2kπ-3π(k∈Z)时, y 有最大值,为 3+2=5.

? (2)①若a>0, ? 当 cosx = 1 ,即 x = 2kπ(k∈Z) 时, y 取最大 值为a+b; ? 当 cosx=- 1,即 x=2kπ +π(k∈Z)时, y取 最小值为-a+b. ? ②若a<0, ? 当 cosx= 1,即x =2kπ(k∈Z)时, ymin= a+ b; ? 当cosx=-1,即x=2kπ+π(k∈Z)时,ymax =-a+b.

跟踪练习

3 已知函数 y=a-bcosx 的最大值是2,最小

1 值是-2,求函数 y=-4bsinax 的最大值、最小值及周期.

[错解]

∵cosx 的最大值为 1,最小值为-1,

1 ∴当 cosx=1 时,y=a-bcosx 取最小值 a-b=-2,当 3 cosx=-1 时,y=a-bcosx 取最大值 a+b=2, 1 ? ?a-b=-2 由? ?a+b=3 2 ? 1 ? ?a= ,解得? 2 , ? ?b=1

1 ∴函数 y=-4bsinax 化为 y=-4sin2x,该函数最大值为 4,最小值为-4,周期为 4π.

? [辨析] ∵b的符号未定,故-bcosx的最 值不仅与cosx有关,还与b的正负有关,因 此应按b>0与b<0讨论.

[正解]

∵-1≤cosx≤1,由题意知 b≠0.

当 b>0 时,-b≤bcosx≤b,∴a-b≤a-bcosx≤a+b. 3 ? ?a+b=2 ∴? ?a-b=-1 2 ? 1 ? ?a= ,解得? 2 , ? ?b=1

1 ∴y=-4bsinax=-4sin2x;

3 ? ?a-b=2 同理,当 b<0 时,可得:? ?a+b=-1 2 ? 1 综上可知,y=± 4sin x. 2

1 ? ?a= ,解得? 2 . ? ?b=-1

1 ∴函数 y=± 4sin2x 的最大值为 4,最小值为-4,周期为 4π.

例2、 求下列函数的最值. (1) y ? (2 ? sin x)(3 ? sin x)
(1) ? y ? ? sin 2 x ? sin x ? 6 1] 令t ? sin x ? [?1, 2 则y ? ?t ? t ? 6 1 2 25 ? ?(t ? ) ? t ? [?1, 1] 2 4 1 1 25 ?当t ? 即sin x ? 时,ymax ? 2 2 4 当t ? ?1即sin x ? ?1时,ymin ? 4

练习:求函数 y ? 1 ? 2 sin x ? 6 cos x的最值.
2

解: ? y ? 1 ? 2(1 ? cos x) ? 6 cos x
2

? 2 cos 2 x ? 6 cos x ? 1
3 2 11 则y ? 2t ? 6t ? 1 ? 2(t ? ) ? t ? [?1, 1] 2 2 ?当t ? 1即cos x ? 1,x ? 2k? (k ? Z )时,ymax ? 7
2

令t ? cos x ?[?1, 1]

当t ? ?1即cos x ? ?1,x ? 2k? ? ? (k ? Z )时,ymax ? ?5

[答案]
[分析]

5 (1)[-4,1] ?π π ? (2)①中由于 x∈?6,2?,而不是 x∈R,故讨论其
? ?

最值可借助于图象或利用单调性讨论.②中根据平方关系 sin2x+cos2x=1 可知此函数可视作以 sinx 为变量的二次函数, 故可用换元法结合 sinx 的有界性求解.

[例 2] 求下列函数的单调区间.
?π ? (1)y=2sin?4-x?; ? ?

(2)y=cos2x.
[分析] 将(1)先用诱导公式化为
? π? y=-2sin?x-4?, 然后依 ? ?

据 y=sint 与 y=cost 的单调区间和复合函数单调性的判断方 法求解.

[解析]

?π ? (1)y=2sin?4-x?化为 ? ?

? π? y=-2sin?x-4?. ? ?

∵y=sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z), 2 2? ? ? π 3π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ?

∴函数

? π? y=-2sin?x-4?的单调增、单调减区间分别由下 ? ?

面的不等式确定 π π 3π 2kπ+2≤x-4≤2kπ+ 2 (k∈Z)① π π π 2kπ-2≤x-4≤2kπ+2(k∈Z)② 3π 7π 解①得,2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 4 4 π 3π 解②得,2kπ-4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z).

故函数

?π ? y=2sin?4-x?的单调增区间、单调减区间分别为 ? ?

? 3π 7π? π 3π ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z)、2kπ- ,2kπ+ (k∈Z). 4 4? 4 4 ?

(2)函数 y=cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下面 的不等式确定 2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z)② π 解①得,kπ- ≤x≤kπ(k∈Z), 2 π 解②得,kπ≤x≤kπ+2(k∈Z).

故函数 y = cos2x 的单调增区间、单调减区间分别为
? ? ? π π? ?kπ- ,kπ?(k∈Z)、?kπ,kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ? ? ?

求函数

? π? y=sin?3x-3?的单调区间. ? ?

π π [解析] 解 y=sinu 在区间[2kπ-2, 2kπ+2] (k∈Z)上是 π 3π 增函数,在区间[2kπ+2,2kπ+ 2 ] (k∈Z)上是减函数. π π π 2kπ π 2kπ 5π 由 2kπ-2≤3x-3≤2kπ+2解得, 3 -18≤x≤ 3 +18, π π 3π 2kπ 5π 2kπ 11π 由 2kπ+2≤3x-3≤2kπ+ 2 解得, 3 +18≤x≤ 3 + 18 . π ∵u=3x-3为增函数,

?2kπ π 2kπ 5π? ∴原函数的单调增区间为? 3 -18, 3 +18?(k∈Z).单 ? ?

?2kπ 5π 2kπ 11π? 调减区间为? 3 +18, 3 + 18 ? ? ?

(k∈Z).

[例 2]

判断下列函数的奇偶性:

1+sinx-cos2x (1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)= . 1+sinx

? [分析] 根据函数奇偶性定义进行判断, 先检查定义域是否关于原点为对称区间, 如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x), 进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该 函数必为非奇非偶函数.

[解析]

(1)函数的定义域为 R,关于原点对称.

∵f(x)=xsin(π+x)=-xsinx, ∴f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x). ∴f(x)是偶函数. (2)要使函数有意义,应满足 1+sinx≠0,
? ? ? 3π ∴函数的定义域为?x?x∈R,且x≠2kπ+ 2 ,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ?

∴函数的定义域不关于原点对称. ∴函数既不是奇函数也不是偶函数.

[点评]

当所要判断奇偶性的函数表达式比较复杂时, 可

以先化简再判断,但化简必须保持“等价”,即化简过程中 sin2x+sinx 定义域是否发生变化要心中有数. (2)中 f(x) = = 1+sinx sinx, 仅看最后表达式 sinx 很容易误判为奇函数, 但它实际是 非奇非偶函数,因为在化简“约分”时,约去 1+sinx 后定义 域发生了变化,∴原函数应为 f(x)=sinx(1+sinx≠0),而不是 f(x)=sinx.事实上,此函数的定义域关于原点不对称.

练习:求下列函数的值域 2 cos x ? 1 ?1? y ? cos x ? 3

? 2 ? y ? ?3sin

2

x ? 4 cos x ? 4, x ? [

? 2?
3 , 3

]

归纳:解题中应注意三角函数的有界性 对函数值的影响

函数
y
1

y=sinx
y
1

y=cosx
??
?

图形 定义域 值域

?? 2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

0
-1

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 最值 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 2 2 单调性 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇偶性 奇函数

y ?[?1,1]

x?R

x?R
y ?[?1,1]
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1
x?[?? ? 2k? , 2k? ] x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数 增函数 减函数

周期
对称性

2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z

2? 对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z 2



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