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高中数学人教A版选修1-1全优课堂同步课件3.4生活中的优化问题举例_图文

通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题,使学生体会 导数在解决实际问题中的作用, 会利用导数解决简单的实际生活中 的优化问题. 自学导引 1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题, 优化问题 , 导数 这些问题通常称为_________ 通过前面的学习, 我们知道, ______ 导数 ,可以解决一些生活 是求函数最大(小)值的有力工具,运用______ 优化问题 . 中的___________ 2.解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变量转化 函数关系 ,这需通过分析、联想、抽象和转化完成.函数的 成___________ 极值 和______ 端点 的函数值确定,当定义域是开区间,而且 最值要由______ 唯一 的极值,则它就是函数的最值. 其上有______ 3.解决优化问题的基本思路是: 数学建模 过程. 上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ 自主探究 1.如何确定函数的定义域? 【答案】 (1)根据图形确定定义域.例如,长方体的长、宽、高都大于 零. (2)根据问题的实际意义确定定义域.例如,求最大利润问题 时,注意销售单价大于成本、销售量大于零,物体的个数一般为正 整数,这是确定定义域的依据. 2.如何求解用料最省问题? 【答案】 用料最省、 费用最低问题出现的形式多与几何体有关, 解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体 积入手),将这一指标表示为自变量 x 的函数,利用导数或其他方 法求出最值,但一定要注意自变量的取值范围. 预习测评 1.一个圆锥形漏斗的母线长为 20,高为 h,则体积 V 的表达 式为( ) 1 A. π(400-h2)h B.π(400-h2)h 3 1 C. πh 400-h2 D.πh 400-h2 3 【答案】A 2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存 款利率的平方成正比,比例系数为 k(k> 0).已知贷款的利率为 0.048 6, 且假设银行吸收的存款能全部放贷出去. 设存款利率为 x, x∈(0,0.048 6),若使银行获得最大收益,则 x 的取值为( ) A.0.016 2 B.0.032 4 C.0.024 3 D.0.048 6 【答案】B 3.某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边 可以利用原有的墙壁, 其他三边需要砌新的墙壁, 若使砌壁所用的 材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( ) A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18 【答案】A 要点阐释 1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 第一步:建立实际问题的数学模型; 第二步:求函数的导数 f′(x),令 f′(x)=0,求出极值点; 第三步:比较函数在区间端点和极值点处的取值大小,确定其 最大值或最小值. 2.解决生活中的优化问题应当注意的问题 (1)在求实际问题中的最大(小)值时, 一定要考虑实际问题的意 义. (2) 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,如果函数在这点处有极大(小)值,那么不与端点 值比较,也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系 用函数关系式表示,还应确定出函数关系式中自变量的取值范围. 典例剖析 题型一 费用最少问题 【例 1】 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥 墩的工程费用为 256 万元; 距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程 费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点, 且不考虑其他因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 思路点拨:根据题目的条件,写出相应关系式,然后运用导数 求最值. 【解析】 m (1)设需要新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m,即 n= -1,所以 y x ?m ? m 256m ? ? =f(x)=256n+(n+1)(2+ x), x=256 x -1 + (2+ x)x= + x ? ? x m x+2m-256(0<x≤m). 256m 1 1 m 3 (2)由(1)知,f′(x)=- 2 + mx- = 2(x 2 -512). x 2 2 2x 令 f′(x)=0, 得 x =512, 所以 x=64.当 0<x<64 时, f′(x)<0, f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当 64<x≤640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640]内为增函数. m 640 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值.此时 n= -1= -1=9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 3 2 1.要建一个圆柱形无盖的粮仓,要求它的容积为 500 m3,问 如何选择它的直径和高,才能使所用材料最省? 【解析】欲使材料最省,实际上是使表面积最小,设直径为 d m,高为 h m,表面积为 S m2, ?d?2 2 000 由?2? πh=500,得 h= 2 (d>0), dπ ? ? ?d?2 πd2 2 000 故 S=?2? π+dπh= + (d>0), 4 d ? ? 2 000 πd S′=- 2 + (d>0), d 2 3 4 3 4 令 S′=0,得 d=10 ,此时 h=5 , π π 3 4 3 4 ∵当 0<d<10 时,S′<0;当 d>10 时,S′>0, π π 3 4 ∴当 d=10 时,S 取得最小值. π 3 4 3 4 ∴当 d=10 m,h=5 m 时,用料最省. π π 题型二 利润最大问题 【例 2】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(吨) 1 2 与每吨产品的价格 P(元/吨)之


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