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Www.seahaas.com:(解析版)安徽省淮北市第一中学高一下学期6月(第三次)月考数学试题

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淮北一中 2017-2018 高一第二学期第三次月考 数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1. 已知集合

,集合

,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】分析:利用一元二次不等式的解法化简集合 ,根据交集的定义可得结果.

详解: 集合





集合



,故选 D.

点睛:研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是

将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合 或不属于集合 的元素的集

合. 本题需注意两集合一个是有限集,一个是无限集,按有限集逐一验证为妥.

2. 已知角 的终边与单位圆交于点

,则 的值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】分析:根据三角函数的定义求解即可.

详解:由三角函数的定义可得



故选 B.

点睛:本题考查三角函数的定义,属容易题,解题的关键是记准余弦函数的定义.

3. 已知向量



,若向量

与向量 平行,则实数 ( )

A. -4 B. -2 C. 4 D. 2

【答案】D

【解析】分析:利用向量平行的性质列方程求解即可.

详解:已知向量













向量

与向量 平行,



,得 ,故选 D.

点睛:利用向量的位置关系求参数是出题的热点,主要命题方式有两个:(1)两向量平行,

利用

解答;(2)两向量垂直,利用

解答.

4. 某学校为了制定节能减排的目标,调查了日用电量 (单位:千瓦时)与当天平均气温 (单

位: ),从中随机选取了 4 天的日用电量与当天平均气温,并制作了对照表:

17

15

10

-2

24

34

64

由表中数据的线性回归方程为,则的值为( ) A. 34 B. 36 C. 38 D. 42 【答案】C 【解析】分析:求出 ,由回归直线过样本中心点得到结果.

详解:

,∵

必过点 ,



解得

故选:C 点睛:求回归直线方程的步骤:①依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关

系;②计算

的值;③计算回归系数 ;④写出回归直线方程为

;回

归直线过样本点中心 是一条重要性质,利用线性回归方程可以估计总体,帮助我们分析两

个变量的变化趋势.

5. 在一次数学测试中,有考生 1000 名,现想了解这 1000 名考生的数学成绩,从中抽取 100

名学生的数学成绩进行统计分析,在这个问题中,总体是指( )

A. 1000 名考生 B. 1000 名考生的数学成绩

C. 100 名考生的数学成绩 D. 100 名考生

【答案】B

【解析】总体是 1 000 名考生的数学成绩.总体是指统计中所考察对象的某一数值指标的全体.

6. 已知直线

与:

相交于 、 两点,且

,则实数

的值为( )

A. 3 B. 10 C. 11 或 21 D. 3 或 13

【答案】D

【解析】分析:首先将圆的方程整理为标准方程,结合等腰三角形的性质和点到直线距离公

式得到关于实数 a 的方程,解方程即可求得最终结果.

详解:圆的方程整理为标准方程即:





于点 ,由圆的性质可知△ABO 为等腰三角形,其中





,即圆心 到直线

的距离为 ,

据此可得:

,即

,解得: 或 .

本题选择 D 选项. 点睛:本题主要考查圆的方程的应用,点到直线距离公式等知识,意在考查学生的转化能力 和计算求解能力.

7. 在 中,, ,分别是角 , , 的对边,若

,则

的值

为( ) A. 1008 B. 1009 【答案】D 【解析】分析:由

C. 2017 D. 2018 ,利用余弦定理可得

,利用三角

函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理化简

,从而可得结

果. 详解:在

中,

, ,

可得:



,故选 D. 点睛:本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基本知

识与基本技能方法,属于中档题. 以三角形和平面向量为载体,三角恒等变换为手段,正弦 定理、余弦定理为工具,对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题, 一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍 角公一定要熟练掌握并灵活应用. 8. 某班有男生 20 人,女生 30 人,从中抽出 10 人为样本,恰好抽到了 4 名男生,6 名女生, 那么下面说法正确的是( ) A. 该抽样可能是简单随机抽样 B. 该抽样一定不是系统抽样 C. 该抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D. 该抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【答案】A 【解析】因为每种抽样方法都可能出现这种结果,所以选项 B 错;根据抽样的等可能性可知, 选项 C、D 错误;故选 A. 9. 下图是某几何体的三视图,则此几何体的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】分析:由题意首先确定该三视图对应的几何体,然后结合几何体的空间结构求解该

组合体的表面积即可.

详解:该几何体为三棱锥,其直观图如图所示,为三棱锥

,则其表面积为四个面面积

之和:

.

本题选择 A 选项.

点睛:(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析, 从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表 面积是侧面积与底面圆的面积之和.

10. 若



在区间 上都是减函数,则的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】函数

的图象开口朝下,且以直线 为对称轴,

若在区间 上是减函数,则

的图象由 的图象左移一个单位得到,若在区间

上是减函数,

则, 综上可得的取值范围是 , 故选 D

11. 已知

,则

的值等于( )

A.

B.

【答案】B

C.

D.

【解析】因为

,所以

.所以

.故选 B.

12. 已知 是锐角三角形

的外接圆的圆心,且

,若

,则

()

A.

B.

C.

D. 不能确定

【答案】A

【解析】分析:设外接圆半径为 ,把已知条件化为

,左右分别与 作数量积,化简可得 ,从而得出结论.

,再利用诱导公式可得

详解:设外接圆半径为 ,则

,

可化为



可知 与 的夹角为 , 与 的夹角为 ,

与 的夹角为 ,



对与 左右分别与 作数量积,可得:









,即



,且



,故选 A.

点睛:本题主要考查向量的几何运算及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公

式有两种形式,一是

,二是

,主要应用以下几个方面:(1)求向

量的夹角,

(此时 往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是 ;

(3) 向量垂直则

;(4)求向量

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

13. 已知向量



,若

【答案】7

的模(平方后需求 ). ,则 __________.

【解析】分析:利用向量的数量积的坐标运算,即可求解.

详解:由

,则



所以

,解得 .

点睛:本题主要考查了平面向量的数量积坐标运算,熟记平面向量的数量积的坐标运算公式

是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力.

14. 已知直线



平行,则实数 __________.

【答案】

【解析】分析:利用平行线的充要条件列出方程求解即可.

详解:直线



平行,

可得

,解得 或 ,

当 时,两条直线重合,不满足题意,故答案为 .

点睛:本题考查平行线充要条件的应用,意在考查基本性质的掌握情况以及计算能力.

15. 已知, ,分别为的三个内角 , , 的对边,已知

, , ,若满足条件

的三角形有两个,则 的取值范围是__________.

【答案】

【解析】分析:根据正弦定理用 表示出 ,由 的度数及正弦函数的图象可知满足题意

有两个 的范围,然后根据 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 的范围,

进而求出 的取值范围............................

详解:在

中,由正弦定理得:

,即



变形得



由题意得:当

时,满足条件的

有两个,

,解得



则 的取值范围是 ,故答案为 . 点睛:本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值,要求学生掌握正弦函数的图象与性质, 牢记特殊角的三角函数值以及灵活适用运用三角形的内角和定理这个隐含条件,属于基本知 识的考查.

16. 设函数 【答案】2 【解析】试题分析:

的最大值为 ,最小值为 ,则

__________.





,则



为奇函数,若其最大值为

,则最小值为

,它们互为相反数,

所以



所以

.

考点:1.函数的奇偶性;2.函数的最值.

三、解答题(第一题 10 分,其余每题 12 分)

17. 设两个向量、 ,满足 , .

(1)若

,求、 的夹角.

(2)若、 夹角为 ,向量

与 的夹角为钝角,求实数的取值范围.

【答案】(1)120°;(2)

.

【解析】试题分析:

(1)由



,再根据数量积的定义可得

,从而得 的夹

角为 120°.(2)由题意得

,若向量的夹角为钝角,则

,解得

.由于当

时向量

与 的夹角为 180°不合题

意,需要舍去,从而可得所求范围.

试题解析:

(1)由

得,



又,,











∴ 的夹角为 120°.

(2)由已知得

.





∵向量 ∴

与 的夹角为钝角 ,

解得

.



.



,解得 .

∴当

时,

.



时,向量

与 的夹角为 180°.

∴向量

与 的夹角为钝角时,的范围是

.

18. 在 中,内角 , , 所对的边分别为, ,,向量



,且 .

(1)求角 的大小;

(2)若 ,求 的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】分析:(1)由题得 =0,再利用正弦定理和余弦定理化简得到 C 的值. (2)先求



,再利用三角函数图像和性质求出 的取值范围.

详解:(1)∵ ∴ ∴ ∴





.



.

(2)∵





外接圆直径









∴ 的取值范围是

.

点睛:求变量的取值范围,经常利用函数的思想分析解答.本题先求出

,再结合

,利用三角函数图像和性质求出 的取值范围,

这就是函数的思想解答问题的一般步骤.函数的思想是高中数学常用的思想,在解题过

程中,注意理解掌握并做到灵活运用.

19. 设

.

(1)求 的单调递增区间;

(2)把

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象向

左平移 个单位,得到函数

的图象,求 的值.

【答案】(1)

, .(2) .

【解析】分析:(1)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式

将函数 化为

,利用正弦函数的单调性解不等式,可得到函数 的递增区

间;(2)利用函数 详解:(1)∵

的图象变换规律,求得 的解析式,从而求得 的值.





,求得



可得函数的增区间为

,.

(2)把

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),可得

的图象;再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数

的图象,



.

点睛:本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象变换,属于中档题.

函数

的单调区间的求法:(1) 代换法:①若

,把

看作是一个整

体,由

求得函数的减区间,

求得增

区间;②若

,则利用诱导公式先将 的符号化为正,再利用①的方法,或根据复合函

数的单调性规律进行求解;(2) 图象法:画出三角函数图象,利用图象求函数的单调区间.

20. 已知 中,





,分别取边 , 的中点 , ,将

沿

折起到

的位置,使得

,设点 为棱 的中点,点 为 的中点,棱 上的

点 满足

.

(1)求证: 平面 ;

(2)求三棱锥

的体积.

【答案】(1)证明见解析;(2) .

【解析】分析:取 中点 ,连接

可得



,而

中, 为边

的中点,则

,且

,四边形

为平行四边形,

, 由线面平行的判定定

理可得结果;(Ⅱ)由



可得 平面 ,利用棱锥的体积公式可得结果.

详解:(Ⅰ)证明:

平面

取 中点 ,连接 为棱 的中点,



,而



,且



中, 为边

的中点,

且 四边形 MFCN 为平行四边形
,
平面 . (Ⅱ)取 中点 ,连

为三棱锥

的高

,

点睛:本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥体积,属于难题.证明线面平行的常用方法:

①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行

的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、

寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线

平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.

21. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人

们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞

赛,满分 100 分(90 分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了 人,按年龄分成 5 组,

第一组:

,第二组:

,第三组:

,第四组:

,第五组:

,得到

如图所示的频率分布直方图,已知第一组有 6 人.

(1)求 ;

(2)求抽取的 人的年龄的中位数(结果保留整数);

(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取 6

人,42 人,36 人,24 人,12 人,分别记为 1~5 组,从这 5 个按年龄分的组和 5 个按职业分

的组中每组各选派 1 人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中 1~5 组的成绩分别

为 93,96,97,94,90,职业组中 1~5 组的成绩分别为 93,98,94,95,90.

(Ⅰ)分别求 5 个年龄组和 5 个职业组成绩的平均数和方差;

(Ⅱ)以上述数据为依据,评价 5 个年龄组和 5 个职业组对“一带一路”的认知程度.

【答案】(1)120;(2)32;(3)(Ⅰ)94,6.8;(Ⅱ)答案见解析.

【解析】试题分析:(1)根据频率分布直方图求出第一组频率,由此能求出 ;(2)设中位数

为,则

,由此能求出中位数;(3)①利用平均数公式和方

差公式能分别求出 个年龄组和 个职业组成绩的平均数和方差;②从平均数来看两组的认知程 度相同,从方差来看年龄组的认知程度更好.

试题解析:(1)根据频率分布直方图得第一组频率为







(2)设中位数为,则



,中位数为 32.

(3)(i)5 个年龄组的平均数为

,方差为

.5 个职业组的平均数为



方差为



(ii)评价:从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更好

22. 对于区间

,若函数

同时满足:① 在 上是单调函数;②函数



的值域是 ,则称区间 为函数 的“保值”区间.

(1)求函数 的所有“保值”区间.

(2)函数

是否存在“保值”区间?若存在,求出 的取值范围;若不存在,

说明理由.

【答案】(1) ;(2) 的取值范围是

.

【解析】分析:(1)由已知中“保值”区间的定义,结合函数 的值域是

,我们可



,从而函数 在区间 上单调递增,故有

,结合 即可得到

函数函数 的“保值”区间;(2)由已知中“保值”区间的定义,我们分函数



区间 上单调递减,和函数

在区间 上单调递增,两种情况分类讨论,分别将 用

或 表示,利用二次函数配方法可得到结论.

详解:(1)因为函数 的值域是

,且 在 的最后综合讨论结果,即可得到值

域是 ,

所以

,所以 ,从而函数 在区间 上单调递增,

故有

,解得

.

又 ,所以

.

所以函数 的“保值”区间为 .

(2)若函数

存在“保值”区间,则有:

①若

,此时函数

在区间 上单调递减,

所以

,消去 得

,整理得

.

因为 ,所以

,即

.



,所以

.

因为



所以

.

②若

,此时函数

在区间 上单调递增,

所以

,消去 得

,整理得

.

因为 ,所以

,即

.



,所以

.

因为



所以

.

综合①、②得,函数

存在“保值”区间,此时 的取值范围是

.

点睛:本题考查函数的单调性、函数与方程思想以及分类讨论思想的应用、新定义问题,属 于难题.新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型 来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的 知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新 定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算, 使问题得以解决.


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