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同角三角函数基本关系


【基础知识精讲】 1.同角三角函数的基本关系式 根据三角函数定义,容易得到如下关系式 2 2 (1)平方关系 sin α +cos α =1 2 2 1+tan α =sec α 2 2 1+cot α =csc α (2)乘积关系 sinα =cosα ?tanα ,cosα =sinα ?cotα cotα =cosα ?cscα ,cscα =cotα ?secα secα =cscα ?tanα ,tanα =secα ?sinα (3)倒数关系 sinα ?cscα =1,cosα ?secα =1,tanα ?cotα =1

k? 说明:(1)以上关系式仅当α 的值使等式两边都有意义时才能成立.例如,当α = 2 (k
∈Z)时,tanα ?cotα =1 就不成立. 2 2 2 2 另外,要注意是同角,如 sin α +cos α =1,但 sin α +cos β =1 就不恒成立. 2 2 (2)对公式除了顺用,还应学会逆用、变用、活用.例如,由 sin α +cos α =1 变形为

(sin? ? cos? ) 2 ? 1 2 2 2 2 cos =1-sin α ,cosα =± 1 ? sin ? ,sinα ?cosα = 等等.

对于 cosα =± 1 ? sin ? ,“±”号的选取要由α 所在象限来确定,当α 在第一或第 四象限时,取“+” ;当α 在第二或第三象限时,取“-”.而对于其他形式的公式就不必考虑
2

sin ? sin ? 符号问题.如α 是第二象限角,tanα = cos ? 而不能认为 tanα =- cos ? (因为α 是第二象限 sin ? 角, 所以 tanα 为负值).其实α 在第二象限, sinα 为正值, cosα 为负值, 所以 tanα = cos ?
结果自然得负值,如果再加“-” ,结果就得正值了. (3)要注意“1”的代换.如可用 sin α +cos α ,sec α -tan α ,sinα ?cscα ,tanα ?cot α 等去代换 1. (4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上. ①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于 1,如 tanα ?cotα =1. ②在阴影的三角形中, 上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函 2 2 数值的平方,如 1+tan α =sec α 。 ③任意一个顶点上的三角函数值等于与它相邻的两个顶点的函数值的乘积,如 sinα =cosα ?tanα ,cosα =sinα ?cotα . 2.同角三角函数关系式的应用 主要解决如下几类问题:
2 2 2 2

(1)已知某角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数. (2)三角函数式的化简. (3)证明三角恒等式,熟悉几种常用方法. 【重点难点解析】 1.同角三角函数的基本关系反映了各种三角函数之间的内在联系, 这些关系式为三角函 数式的求值、 化简与证明等恒等变形提供了工具和方法, 导出这些关系式的过程与方法—— 利用三角函数的定义方法,本身就是一种重要的证题方法. 2.已知角α 的一种三角函数值, 而利用关系式求其它三角函数值时, 一般要用一次平方 关系式,此时在实施开方运算而选择符号时,要依据α 的象限定符号,而用其他关系式时, 则结果取自然运算符号. 3.对三角函数式的化简问题, 首先要明确化简标准与目标, 即要尽量使次数低、 项数少、 函数种类少;尽量使式中不含三角函数;尽量使分母中不含三角函数;能求出值的必须求出 值. 对于三角恒等式的证明, 要明白其实质是通过恒等变形消除等式两端外形上的差异, 因 此观察与寻找恒等式两边在角、函数名称、代数结构之间的变化规律,是确定实施怎样的变 形以及选择什么样的三角公式的依据,这些恒等变形的能力要重点培养. 例 1 已知 tanα =m(π <α <2π 且 m≠0) ,求 sinα ,cosα 的值. 分析:已知角α 的一个三角函数值,求它的其他三角函数,可利用同角三角函数的关系 式.又因为 tanα 的值是用字母 m 给出的,所以要对字母 m 的正负进行分类讨论. 解:当 m>0 时,α 为第三象限角,
2 2 2 ∵sec α =1+tan α =1+m ,∴secα =- 1 ? m .

2

1 1 2 ∴cosα = sec ? =- 1 ? m , m
sinα =tanα cosα =- 1 ? m 当 m<0 时,α 为第四象限角,
1

1
2
2

m
1

同上,secα = 1 ? m ,cosα = 1 ? m ,sinα = 1 ? m . 评注:当三角函数值以字母形式给出时,计算过程中,既要考虑三角函数在不同象限的 符号,又应注意到参数(如本题中的 m)本身的符号.

1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos ? 1 ? cos? .其中α 为第二象限角. 例 2 化简
分析:本题化简的关键是如何化去根号.利用平方关系可将被开方式配方,化去根号 . 同时要注意象限角的三角函数值的符号.

(1 ? cos? ) 2 (1 ? cos? ) 2 解:原式= (1 ? cos? )(1 ? cos? ) - (1 ? cos? )(1 ? cos? ) 1 ? cos? ? (1 ? cos? ) sin ? =

2 cos ? = sin ? (α 为第二角限)=2cotα

1 ? tan2 A 1 ? tan A 2 2 例 3 求证: 1 ? cot A =( 1 ? cot A )
分析:注意到原式两边的式子差异不大,故采用左、右两边的式子同时变形使之等于同 一式子.

sin 2 A cos2 A cos2 A 1? sin 2 A 证明 左边= 1 (sin 2 A ? cos2 A) cos2 A 1 sin 2 A 2 2 (sin A ? cos A) 2 2 = sin A = cos A 1 sin A (cos A ? sin A) 2 1? 2 ( cos A ) 2 cos A 1 cos A (sin A ? cos A) 2 1? 2 sin A = sin A 右边= 1?

sin 2 A 2 = cos A . 1 ? tan2 A 1 ? tan A 2 2 ∴ 1 ? cot A =( 1 ? cot A )

? ? 例 4 已知 sinα = 2 cosβ ,tanα = 3 cotβ .- 2 <α < 2 ,0<β <π ,求α 、β .
分析:从已知条件中消去角α (或β ),便可求出关于β (或α )的某个三角函数值,进而 确定α 、β 的值. 解:sinα = 2 cosβ , tanα = 3 cotβ , (1) (2)

(1) 2 2 2 2 由 ( 2) ,得 cos α = 3 sin β .
又由(1) ,得 sin α =2cos β .
2 2 2

2

(3) (4)

2 2 (3)+(4),得 2cos β + 3 sin β =1 3 2 ∴sin β = 4
2

∵0<β <π ,

3 ∴sinβ = 2

? 2 于是β = 3 或 3 π ? ? 代入(1)式,α = 4 ,或α =- 4
2 例 5 已知关于 x 的方程 2x -( 3 +1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ ,θ ∈(0,2π ),求:

sin ? cos ? (1) 1 ? cot ? + 1 ? tan ? 的值;
(2)m 的值; (3)方程的两根及此时θ 的值. 解:(1)由韦达定理可知

3 ?1 sinθ +cosθ = 2 ??① m sinθ ?cosθ = 2 ??② sin ? cos ? 而 1 ? cot ? + 1 ? tan ?

sin 2 ? cos2 ? = sin ? ? cos? + cos? ? sin ? sin 2 ? ? cos2 ? = sin ? ? cos?
3 ?1 =sinθ +cosθ = 2
2? 3 (2)由①式平方得 1+2sinθ cosθ = 2 3 ∴sinθ cosθ = 4
m 3 3 由②得 2 = 4 ∴m= 2

3 (3)当 m= 2 时,原方程变为
3 2x -( 3 +1)x+ 2 =0 1 3 解得 x1= 2 ,x2= 2
2

? ? 又∵θ ∈(0,2π )∴θ = 6 或θ = 3 .
【难题巧解点拨】

3? 例 1 已知 cotα =4 3 ,π <α < 2 ,求 sinα ,cosα 的值.

分析: 本题的常规计算方法是通过同角三角函数间的关系进行的, 下面介绍一种简捷的 计算方法. 解:作一个直角三角形,设它的一个锐角α 符号已知条件,如图中的α 的邻边为 4 3 , 对边为 1, 计算出它的斜边为 7, 先按锐角三角函数的定义求出所要的三角函数的值(这时都 是正数),即

1 4 3 sinα = 7 ,cosα = 7 .
然后根据已知条件中规定的α 的象限,给三角函数值配上相应的符号,因为π <α <

3? 2 ,所以得

1 4 3 sinα =- 7 ,cosα =- 7 .
评注:这种求同角三角函数值的方法简便、迅速,对提高运算速度十分有效.对以字母 形式给出的三角函数值的计算,这种方法也同样适用. 例 2 不查表求 tan1°?tan2°?tan3°??tan89°的值. 分析:∵tan89°=tan(90°-1°)=cot1°,又 tan1°?cot1°=1, 其它也可以利用倒数关系类似处理. 解:tan1°?tan2°?tan3°?tan89° =(tan1 ° ? tan89 ° ) ? (tan2 ° ? tan88 ° ) ? (tan3 ° ? tan87 ° ) ? (tan44°?tan46°)?tan45° =(tan1 ° ? cot1 ° ) ? (tan2 ° ? cot2 ° ) ? (tan3 ° ? cot3 ° ) ? (tan44°?cot44°) ?tan45°=1

1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x 2 2 例 3 求证 cos x ? sin x = 1 ? tan x
分析 1:从右端向左端变形,将“切”化为“弦” ,以减少函数的种类.

sin x cos x sin x 1? cos x 证明:右边= cos x ? sin x = cos x ? sin x 1?

(cosx ? sin x) 2 = (cos x ? sin x)(cosx ? sin x)
cos2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x cos2 x ? sin 2 x = =左边
分析 2:由 1+2sinxcosx 立即想到(sinx+cosx) ,进而可以约分,达到化简的目的.
2

sin 2 x ? cos2 x ? 2 sin x cos x cos2 x ? sin 2 x 证明:左边=

(sin x ? cos x) 2 = (cos x ? sin x)(cosx ? sin x)
sin x ? cos x tan x cos x ? cos x = cos x ? sin x = cos x ? tan x cos x 1 ? tan x = 1 ? tan x =右边
说明:(1)当题目中涉及多种名称的函数时,常常将切、割化为弦(如解法 1),或将弦 化为切(如解法 2),以减少函数的种类. (2)要熟悉公式的各种变形,以便迅速地找到解题的突破口. 【课本难题解答】 课本第 27 页练习第 6 题 4 4 2 2 2 2 2 2 证:(1)sin α -cos α =(sin α +cos α )(sin α -cos α )=sin α -cos α 4 2 2 2 2 2 2 2 (2)sin α +sin α cos α +cos α =sin α (sin α +cos α )+cos α 2 2 =sin α +cos α =1 【命题趋势分析】 求三角函数值是本节的重点题型,若出选择或填空题则难度不会太大,若出解答题,则 会与诱导公式,三角公式以及三角函数的概念和性质综合在一起,一般为化简,证明两种题 型,也常蕴含在求值问题中. 【典型热点考题】

1 例 1 已知 sinθ +cosθ = 5 ,θ ∈(0,π ),则 cotθ 的值是 . 1 分析:本题可由已知条件 sinθ +cosθ = 2 ,θ ∈(0,π )出发,先求得 2sinθ cosθ 值,
进而求得 sinθ -cosθ 值,再联系已知 sinθ ,cosθ 值可求,从而求得 cotθ 的值.

1 解:∵sinθ +cosθ = 5



1 两边平方,得 1+2sinθ cosθ = 25 24 ∴2sinθ cosθ =- 25
又∵θ ∈(0,π )∴cosθ <0<sinθ

(sin ? ? cos ? ) = 1 ? 2 sin ? cos? = 4 3 ①②联立,解得 sinθ = 5 ,cosθ =- 5 cos ? 3 3 ∴cotθ = sin ? =- 4 ∴应填- 4
则 sinθ -cosθ =
2

1?

24 7 25 = 5 ②

1 3 3 例 2 已知 sinθ -cosθ = 2 ,则 sin θ -cos θ = . 1 3 3 分析:由 sinθ -cosθ = 2 ,求出 sinθ cosθ 值,再将 sin θ -cos θ 因式分解,代入相
关值,即可求得解.

1 1 2 解:∵sinθ -cosθ = 2 ∴(sinθ -cosθ ) =1-2sinθ cosθ = 4 3 ∴sinθ cosθ = 8
1 3 11 3 3 2 2 ∴sin θ -cos θ =(sinθ -cosθ )(sin θ +cos θ +sinθ cosθ )= 2 (1+ 8 )= 16 11 ∴应填 16
例 3 若β ∈(0,2π ),且 ( )

1 ? cos

2

? + 1 ? sin 2 ? =sinβ -cosβ ,则β 的取值范围是

? ? 3? ? A.[0, 2 ] B.[ 2 ,π ] C.[π , 2 ] D.[ 2 ,2π ]
分析: 本题主要考查由三角函数值的符号确定角的取值范围, 由条件可得 sinβ ≥0,cos β ≤0,并注意同角三角函数之间的关系式的运用.

解:∵ + = =|sinβ |+|cosβ |=sinβ -cosβ ∴sinβ ≥0,cosβ ≤0,∴β 是第二象限角或终边落在 x 轴负半轴或在 y 轴正半轴上.

1 ? cos 2 ?

1 ? sin 2 ?

sin 2 ? ? cos 2 ?

? ∵0<β <2π ∴β ∈[ 2 ,π ]
∴应选 B.

? ? ? 例 4 如果θ 是第三象限角,且满足 1 ? sin ? =cos 2 +sin 2 ,那么 2 是( )
A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角 分析:本题考查象限角的概念,以及同角三角函数之间的关系,注意到

? ? ? ? ? 1 ? sin ? =cos 2 +sin 2 ,得 cos 2 +sin 2 ≥0,由此可确定 2 所在象限.

解:∵θ 是第三象限角.

? ∴ 2 是第二或第四象限角. ? ? ∵cos 2 +sin 2 = 1 ? sin ? ≥0 ? ? ∴cos 2 +sin 2 ≥0 ? ? ? 如图,在第二象限的区域内(阴影部分)有|sin 2 |>|cos 2 |,所以 2 是第二象限
角. ∴应选 C. 注意:结合本题情况,画出图示,辅助解题,简明,易懂.

【同步达纲练习】 一、选择题 1.以下各式中能成立的是( )

1 A.sinα =cosα = 2
1 3 C.sinα = 2 且 tanα = 3

1 B.cosα = 3 且 tanα =2
1 D.tanα =2 且 cotα =- 2

1 ? sin x sin x ? 1 2.若 1 ? sin x = cos x ,则 x 的取值范围是( ) ? ? 3 A.2kπ ≤x≤2kπ + 2 B.2kπ + 2 <x<2kπ + 2 π 3 3 C.2kπ + 2 π <x<2(k+1)π D.(2k+1)π <x<2kπ + 2 π (以上 k∈Z)

m
3.已知 tanα =m(m≠0)且 sinα = 1 ? m ,则α 是( ) A.第一、二象限角 B.第一、三象限角
2

C.第一、四象限角

D.以上答案都不对

4.若 tan195°=-a,则 sin195°等于( )

a 1? a2 2 A. 1 ? a

a 1? a2 2 B.- 1 ? a

1? a2 2 C. 1 ? a

1? a2 2 D.- 1 ? a

3 5.已知 tanα =- 2 ,则 sinα cosα 等于( ) 6 6 6 A. 13 B.- 13 C.± 13

5 D.± 13

1 ? ? 6.已知 sinx-cosx= 6 ,且 4 <x< 2 ,则 cosx-sinx 的值等于( ) 2 A. 3
B.

6 3

6 C.± 3

D.-

6 3

7.下列四个命题中,能够成立的是( )

1 2 A.sinα = 3 且 cosα = 3
C.sinα =0 且 cosα =-1

1 B.sinα = 3 且 cscα =2 1 D.cosα = 5 且 secα =-5

? 8.若方程 cos x-sinx+a=0 在 0<x≤ 2 内有解,则 a 的取值范围是( ) 5 A.-1≤a≤1 B.a≤- 4 C.-1≤a<0 D.-1<a≤1
2

9.若 sinα -tanα >0,则角α 所在象限是( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第二、四象限 10.若 sinα +sin α =1,则 cos α +cos α 的值等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题
2 2 4

1 1.已知 sinα +cosα = 5 ,α 是第二象限角,那么 tanα = . 5? 23? 2.tan675°+cot765°-sin(- 2 )+sec(- 6 )= . 3 3.已知 cotθ =- 4 ,则 cosθ = .
4.若实数 x 满足 log2x+cosθ =2,则|x-8|+|x-2|的值为 . 5.若 tanx+cotx=-2,则 sinx+cosx= .

? 1 6.若 0<α < 2 ,且 lg(1+cosα )=m,lg 1 ? cos ? =n,则 lgsinα = (用 m,n 表示)
三、解答题 1.已知 tanα = 2 ,求下列各式的值: (1)sinα +2cosα

cos ? ? 5 sin ? (2) 3 cos ? ? sin ?

sin 2 ? ? sin ? cos? ? 3 cos2 ? 2 (3) 5 sin ? cos? ? sin ? ? 1

(4)2sin α -sinα cosα +cos α

2

2

2.化简或求值 2 2 2 2 2 2 (1)sin α +sin β -sin α sin β +cos α cos β

n2
4 13? ? ? 17? 1 2 cos2 2 2 2 2 2 2 4 - 3 m ?sin 3 (2) 3 m cos 6 +3n ?tan 6 (3)a sin810°+b tan765°+(a -b )cot1125°-2abcos720°
2 2 2 2

4 ? 5 cos ? 3 ? 5 sin ? (4) 3 ? 5 sin ? + 4 ? 5 cos ?

tg? ? sec? ? 1 1 ? sin ? 3.求证: tg? ? sec? ? 1 = cos ? .
cos ? ? sin ? 4.已知:cosθ -sinθ = 2 sinθ ,求证:tgθ = cos ? ? sin ? .

?tg? ? sin ? ? m ? 2 2 2 5.已知 ?tg? ? sin ? ? n 求证:(m -n ) =16mn.
【素质优化训练】

sec ? ? tan ? ? 1 1 ? sec ? ? tan ? 1.求证: sec ? ? tan ? ? 1 = 1 ? sec ? ? tan ? .
2 2.已知 sinθ ,cosθ 是方程 x -( 3 -1)x+m=0 的两根,

sin ? cos ? 求:(1)m 的值;(2) 1 ? cot ? + 1 ? tan ? 的值.
3.设α 是第三象限的角, 问是否存在这样的实数 m, 使得 sinα 、 cosα 是关于 x 的方程: 2 8x +6mx+2m+1=0 的两个根.若存在,求出实数 m;若不存在,说明理由.

【生活实际运用】 已知 sinα +3cosα =0,求 sinα ,cosα 的值. 2 2 解:∵sinα +3cosα =0,又 sin α +cos α =1 2 2 2 得(-3cosα ) +cos α =1,即 10cos α =1

10 ∴cosα =± 10
又由 sinα =-3cosα 可知,sinα 与 cosα 异号, ∴α 在第二、四象限

10 3 10 (1)当α 在第二象限时,cosα =- 10 ,sinα = 10 .

10 3 10 (2)当α 在第四象限时,cosα = 10 ,sinα =- 10 .
【知识验证实验】 如图所示,从楼 AC 中的 B 点测得铁塔顶点 F 的仰角为α ,在楼的 C 点测得铁塔上电视 天线顶点 G 的仰角为β ,又在 C 点测得铁塔底 D 的俯角为γ .已知 AC=H,AB=h,试求电视天 线 FG 的长(这里假定 A、B、C 三点在同一铅垂线上).

分析:求 FG 的长,必须求出 DG、DF 与已知条件 h、H、α 、β 、γ 之间的关系式,当 注意到 DG=DM+MG,DF=DE+EF 时,就可以在△ADC、△BEF、△CMG 中去寻觅思路. 解:在 Rt△ADC 中,AC=H,∠CDA=γ ,则 AD=H?cotγ 在 Rt△BEF 中,BE=AD=Hcotγ ,∠FBE=α , 所以 EF=BEtanα =Hcotγ tanα . 在 Rt△CMG 中,CM=AD=Hcotγ ,∠GCM=β ,所以 MG=CM?tanβ =Hcotγ tanβ 铁塔的高度与电视天线的和为 DG=DM+MG=H+Hcotγ tanβ . 铁塔的高为 DF=DE+EF=h+Hcotγ tanα . 故得所求的电视天线长为 FG =DG-DF =(H+Hcotγ tanβ )-(h+Hcotγ tanα ) =(H-h)+Hcotγ (tanβ -tanα ) 【知识探究学习】 n n n 已知 a、b 为直角三角形 ABC 的两条直角这,c 为斜边.求证:a +b <c (n≥3,n∈N)

a b ? 证:设 c =sinα , c =cosα (0<α < 2 ) a b n n n n 2 2 则( c ) +( c ) =sin α +cos α <sin α +cos α =1
∴a +b <c (n≥3,n∈N) 【同步达纲练习】 一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.D 7.C 8.D 9.D 10.B
n n n

4 3 1 2 3 二、1.- 3 2.1+ 3 3.± 5 4.6 5.0 6. 2 (m-n)

1 3 13 ? 16 2 5? 2 7 三、1.①± 3 ?(2+ 2 ) ② ③- 5 ④ 3 3 2 2 2.①1 ② 4 m ③2a -2ab ④0 3.略 4.略 5.略
【素质优化训练】 1.略

3? 2 3 2 2.①m= ② 3 -1
3.m 不存在


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