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【名师一号】高考数学一轮总复习 2.3函数的单调性与最值课件_图文

第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的单调性与最值 基础回扣· 自主学习 热点命题· 深度剖析 特色专题· 感悟提高 高考明方向 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问 题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函 数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数 的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则 以解答题的形式出现. J 基础回扣· 自主学习 理教材 夯基础 厚积薄发 知 识 梳 理 知识点一 1.单调函数的定义 函数的单调性 2.单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 增函数或减函数 ,则称函数f(x)在 这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f(x)的单调区间. 知识点二 函数的最值 对 点 自 测 知识点一 1.判断下列说法是否正确 (1)函数f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函数.( 1 (2)函数f(x)=x 在其定义域上是减函数.( ) ) 函数的单调性 (3)已知f(x)= x ,g(x)=-2x,则y=f(x)-g(x)在定义域上是 增函数.( ) 答案 √ × √ 2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减 的是( ) B.y=e-x D.y=lg|x| 1 A.y= x C.y=-x2+1 答案 C 3.若函数f(x)=ax+1在R上递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3) 的增区间是( ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(4,+∞) D.(-∞,4) 答案 B 知识点二 函数的最值 4.函数y=f(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的定义域是 ________;最大值是________;最小值是________. 解析 由图象可知,函数的定义域为[-3,0]∪[2,3],最大值 为5,最小值为1. 答案 [-3,0]∪[2,3] 5 1 5.若函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,则实 数m的值为( A.-3 C.-1 ) B.-2 D.1 解析 ∵f(x)=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上为单调增函数, 且f(x)在[3,+∞)上的最小值为1, ∴f(3)=1,即32-2×3+m=1,m=-2. 答案 B 6.函数f(x)= ________. 解析 2x x+1 在[1,2]上的最大值和最小值分别是 2?x+1?-2 2x 2 f(x)= = =2- 在[1,2]上是增函数, x+1 x+1 x+1 4 ∴f(x)max=f(2)=3,f(x)min=f(1)=1. 答案 4 3,1 R 热点命题· 深度剖析 研考点 知规律 通法悟道 问 题 探 究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x1,x2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; x1-x2 f?x1?-f?x2? <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1- x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数. 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有 多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用 “或”联结. 问题3 最值与函数的值域有何关系? 函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大 元素;任何一个函数,其值域必定存在,但其最值不一定存在. 高 频 考 点 考点一 函数单调性的判断与证明 【例1】 (1)(2014· 北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上 为增函数的是( A.y= x+1 C.y=2-x ) B.y=(x-1)2 D.y=log0.5(x+1) ax (2)判断函数f(x)= 在(-1,+∞)上的单调性,并证明. x+1 听课记录 (1)解析 A项,y= x+1为(-1,+∞)上的增 函数,故在(0,+∞)上递增; B项,y=(x-1)2在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增; C项,y=2 -x ?1? =?2?x为R上的减函数; ? ? D项,y=log0.5(x+1)为(-1,+∞)上的减函数. 故选A. 答案 A (2)解 设-1<x1<x2, ax1 ax2 则f(x1)-f(x2)= - x1+1 x2+1 ax1?x2+1?-ax2?x1+1? = ?x1+1??x2+1? a?x1-x2? = ?x1+1??x2+1? ∵-1<x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0. ∴当a>0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), ∴函数y=f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 同理当a<0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), ∴函数y=f(x)在(-1,+∞)上单调递减. 【规律方法】 1.判断函数的单调性应先求定义域; 2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为:取值— 作差—变形—判号—定论,其中变形为关键,而变形的方法有因 式分解、配方法等; 3.用导数判断函数的单调性简单快捷,应引起足够的重 视. 变式思考 1 (1)(2014· 陕西卷)下列函数中,满足“f(x+y)= ) f(x)f(y)”的单调递增函数是( 1 A.f(x)=x 2 ?1? C.f(x)=?2?x ? ?


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