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三角函数的图像与性质题型归纳总结


三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型 1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为 y=A sin(ω x+φ)或 y=A cos(ω x+φ),A>0,ω>0,要根据 y=sin x,y=cos x 的整体性质求解。

一、函数的奇偶性 例 1 f(x)=sin ( x ? ? ) (0≤ ? < ? )是 R 上的偶函数,则 ? 等于(
A.0 B. )

? 4

C.

? 2

D. ?

【评注】由 y ? sin x 是奇函数, y ? cos x 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要 结论:(1)若y ? A sin( x ? ? )是奇函数,则? ? k? (k ? Z );

(2)若y ? A sin( x ? ? )是偶函数,则? ? k? +

?
2

(k ? Z ); (k ? Z );

(3)若y ? A cos( x ? ? )是奇函数,则? ? k? ?

?
2

(4)若y ? A cos( x ? ? )是偶函数,则? ? k? (k ? Z );
(5)若y ? A tan( x ? ? )是奇函数,则? ? k? (k ? Z ). 2

变式1.已知a ? R,函数f ( x) ? sin x? | a | 为奇函数,则a等于( )
A.0 B.1 C. ?1 D . ?1

变式2.设? ? R,则“? ? 0”是“f ( x) ? cos( x ? ? )( x ? R)为偶函数”的( )
A 充分不必要条件 B.必要不充分条 C.充要条件 D.无关条件

变式3.设f ( x) ? sin(? x ? ? ),其中? ? 0,则f ( x)是偶函数的充要条件是( )
A. f (0) ? 1 B. f (0) ? 0 C. f (0) ? 1
'

D. f (0) ? 0
'

例2.设f ( x) ? sin(2 x ? )( x ? R),则f ( x)是( 2
A. 最小正周期为?的奇函数 C. 最小正周期为

?

)

B. 最小正周期为?的偶函数 D. 最小正周期为

?
2

的奇函数

?
2

的偶函数

变式1.若f ( x) ? sin 2 x ?1( x ? R),则f ( x)是(
A. 最小正周期为?的奇函数 C. 最小正周期为2?的奇函数

)

B. 最小正周期为?的偶函数 D. 最小正周期为2?的偶函数

1

变式2.下列函数中,既在(0, )递增,又是以? 为周期的偶函数的是( 2
A. y ? cos 2 x B. y ?| sin 2 x | C. y ?| cos 2 x | D. y ?| sin x |

?

)

二、函数的周期性

例3.函数y ? sin(2 x ? ) cos(2 x ? )的最小正周期为( 6 6
A.

?

?

)

? 2

B.

? 4

C. 2?

D. ?

【评注】关于三角函数周期的几个重要结论: (1)函数y ? A sin(? x ? ? ) ? b, y ? A cos(? x ? ? ) ? b, y ? A tan(? x ? ? ) ? b 2? 2? ? 的周期分别为 , , . |? | |? | |? |

(2)函数y ?| A sin(? x ? ? ) |, y ?| A cos(? x ? ? ) |, y ?| A tan(? x ? ? ) | 的周期均为

? . |? |
2? . |? |

(3)函数y ?| A sin(? x ? ? ) ? b | (b ? 0), y ?| A cos(? x ? ? ) ? b | (b ? 0)的周期均为

变式1.函数y ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )的最小正周期和最大值分别为( 6 3
A. ? ,1 B. ? , 2 C. 2? ,1 D. 2? , 2

?

?

)

变式2.若f ( x) ? sin x(sin x ? cos x), 则f ( x)的最小正周期是________. 变式3.若f ( x) ? sin 3x? | sin 3x | 则f ( x)是(
A. 最小正周期为

)
2? 的周期函数 3

?
3

的周期函数

B. 最小正周期为 D. 非周期函数

C. 最小正周期为2?的周期函数 三、函数的单调性

例4.函数y ? sin( ? 2 x)( x ? [0, ? ])的递增区间是( ) 6 ? 5? ? 5? ? 7? A. [0, ] B. [ , C. [ , D. [ ,? ] ] ] 3 6 3 6 12 12
【评注】求三角函数的单调区间:

?

若函数y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)则
(1)函数的递增区间由2k? ? (k ? Z )决定; 2 ? 3? (2)函数的递减区间由2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? (k ? Z )决定; 2 2 (3)若函数y ? A sin(? x ? ? )中A ? 0, ? ? 0,可将函数变为y ? ? A sin( ?? x ? ? ) 2 则y ? A sin(?? x ? ? )的增区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间; (4)对于函数y ? A cos(? x ? ? )和y ? A tan(? x ? ? )单调性的讨论同上。

?

? ? x ? ? ? 2 k? ?

?

2

变式1.函数y ? sin x ? f ( x)在[?
A. 1 B. cos x

, ]内单调递增,则f ( x)可以是( 4 4 C. sin x D. ? cos x

? 3?

)

变式2.若f ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0)在( ,? )上单调递增,则?的取值范围是( 4 2 1 5 1 3 1 A. [ , ] B. [ , ] C. (0, ] D. (0, 2] 2 4 2 4 2

?

?



变式3.已知函数f ( x) ? 3 sin ? x ? cos(? x ? ) ? cos(? x ? )(? ? 0) 3 3 (1)求f ( x)的值域; (2)若f ( x)的最小正周期为 , x ? [0, ],f ( x)的单调递减区间. 2 2

?

?

?

?

四、函数的对称性(对称轴、对称中心)

例5.函数y ? sin(2 x ? )图象的对称轴方程可能是( 3
A. x ? ?

?

)

?

6

B. x ? ?

?

12

C. x ?

?

6

D. x ?

?
12

【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论:

3

(1)函数y ? sin x的对称轴为x ? k? ?

?
2

( k ? Z ), 对称中心( k? , 0)( k ? Z );

(2)函数y ? cos x的对称轴为x ? k? ( k ? Z ), 对称中心( k? ? (3)函数y ? tan x无对称轴,对称中心( k? , 0)( k ? Z ); 2

?
2

, 0)( k ? Z );

(4)函数y ? A sin(? x ? ? ) ? b的对称轴的求法:令? x ? ? ? k? ? 对称中心的求法 : 令? x ? ? ? k? ( k ? Z )得x = k? ? ?

?
2

( k ? Z ), 得x =

k? ?

?
2

??

? k? ? ? (5)函数y ? A cos(? x ? ? ) ? b的对称轴的求法:令? x ? ? ? k? ( k ? Z ), 得x = ( k ? Z ); ? ? ? k? ? ? ? k? ? ? ? ? 2 2 对称中心的求法 : 令? x ? ? ? k? ? ( k ? Z )得x = ( k ? Z ), 对称中心为( , b)( k ? Z ) 2 ? ?

?

( k ? Z ), 对称中心为(

k? ? ?

?

( k ? Z );

, b)( k ? Z );

变式1.已知函数y ? sin(? x ? )(? ? 0)的最小正周期为?,则f ( x)的图象( 3
A. 关于点(

?

)

?

3

,0)对称 4 ,0)对称

B. 关于直线x ? D. 关于直线x ?

?

C. 关于点(

?

4

对称 对称

?
3

变式2.函数y ? sin( x ? )的图象的一个对称中心是( ) 4 3? ? 3? A. ( ?? , 0) B. (? C. ( D. ( , 0) , 0) ,0) 4 2 4 2x 2x 变式3.函数f ( x) ? sin ? cos 的图象中,相邻两条对称轴之间的距离是__________. 5 5

?

变式4.若函数y ? sin x ? 3 cos x的图象向右平移a个单位(a ? 0)后的图象关于y轴对称,则 a的最小值是( )
A.

7? 6

B.

? 2

C.

? 6

D.

? 3

五、三角函数性质的综合 【思路提示】三角函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、对称性)中,对称性尤为重要;

( 1)对称性 ? 奇偶性:若函数f ( x)的图象关于y轴对称,则f ( x)是偶函数; 若函数f ( x)的图象关于原点对称,则f ( x)是奇函数; T T (2)对称性 ? 周期性:相邻两条对称轴之间的距离为 ;相邻两个对称中心的距离为 ; 2 2 T 相邻的对称中心与对称轴之间的距离为 ; 4 (3)对称性 ? 单调性:在相邻的对称轴之间,函数f ( x)单调; 特殊的,若f ( x) ? A sin(? x), A ? 0,? ? 0函数f ( x)在[?1 , ? 2 ]上单调,且0 ? [?1 , ? 2 ] 设? ? max{| ?1 |,? 2 },则 T ? ?。 4
4

例6.设f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x, ab ? 0, 若f ( x) ? f ( ) 对任x ? R成立, 则 6 11? 7? ? (1) f ( ) ? 0;(2) f ( ) ? f ( ) ;(3) f ( x)不具奇偶性; 12 10 5 ? 2? (4)f ( x)的单调递增区间是[k? ? , k? ? ](k ? Z ); 6 3 (5)存在经过点(a, b)的直线与函数f ( x)的图象不相交. 以上结论中正确的是__________________.

?

例7.已知函数f ( x) ? 4 cos(? x ? ) sin ? x ? cos(2? x ? ? )(? ? 0) 6 3? ? (1)求f ( x)的值域; (2)若f ( x)在区间[ ? , ]为增函数,求?的最大值. 2 2

?

变式1.已知函数f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0), 若f ( x)在[ ?

? 2?
4 , 3

]上递增,求?的取值范围.

5

例8.若f ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0), f ( ) ? f ( )且在( , )上有最小值无最大值,则? =______. 3 6 3 6 3
题型 2 根据条件确定解析式 方向一:“知图求式”,即已知三角函数的部分图象,求函数解析式。 【思路提示】 由图象求得 y=A sin(ω x+φ) (A>0,ω>0)的解析式一般不唯一,只有限定 φ 的取值范围,才

?

?

?

? ?

能得到唯一解。依据五点法原理,点的序号与式子的关系是:第一点(即图象上升时与横轴 的交点)为 ? x ? ? ? 0 ,第二点(即图象最高点)为 ? x ? ? ?

?
2

,第三点(即图象下降时

与横轴的交点)为 ? x ? ? ? ? ,第四点(即图象最低点)为 ? x ? ? ? 象上升时与横轴的交点)为 ? x ? ? ? 2? . 。

3? ,第五点(即图 2

例9.函数f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A, ? ? R)部分图象如下图所示,则f (0) ? ( )

A. ?

1 2

B. ?1

C. ?

3 2

D. 3

变式1.函数f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)部分图象如下图所示,则f (0) ? ________.

6

? 2 变式2.f ( x) ? A cos(? x ? ? )部分图象如下图所示,f ( ) ? ? ,则f (0) ? ________ . 2 3

例10.已知函数f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? )部分图象如下图所示,求f ( x)的解析式。

变式 1.已知 f ( x) ? cos (?x ? ? )( ? ,? 为常数),如果存在正整数 ? 和实数 ? 使得函数
2

f ( x) 的图象如图所示(图象经过点(1,0)),求 ? 的值.
y
1 2

O

1

x
7

方向二:知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)求函数解析式。

例11.已知函数f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? )为 R 上的偶函数,点( 且函数在[0, ]上单调,求函数f ( x)的解析式。 2

?

3? ,0)是其一对称中心, 4

变式1.已知函数f ( x) ? 4sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 且经过点(0,2),求函数f ( x)的解析式。

?

)图象的相邻两条对称轴的距离为 , 2 3

?

8

题型 3:函数的值域(最值) 【思路提示】求三角函数的最值,通常要利用正、余弦函数的有界性,一般是通过三角变换 化归为下列基本类型处理:

(1) y ? a sin x ? b ? at ? b,sin x ? t ? [?1,1]; b (2) y ? a sin x ? b cos x ? c ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) ? c, tan ? ? ; a 2 2 (3) y ? a sin x ? b sin x ? c ? at ? bt ? c,sin x ? t ? [?1,1]; y ? a cos 2 x ? b sin x ? c ? ?at 2 ? bt ? (a ? c ),sin x ? t ? [?1,1]; y ? a cos 2 x ? b sin x ? c ? ?2at 2 ? bt ? (a ? c ),sin x ? t ? [?1,1]; t 2 ?1 ? bt ? (a ? c),sin x ? cos x ? t ? [? 2, 2]; 2 1? t2 y ? a cos x sin x ? b(sin x ? cos x) ? c ? a ? bt ? (a ? c ),sin x ? cos x ? t ? [? 2, 2]; 2 a sin x ? b a sin x ? b (5) y ? 与y ? 根据正、余弦函数的有界性,既可用分析法求最值,也可 csin x ? d ccos x ? d 用不等式法求最值,更可用数形结合法求最值,但都必须要注意 sin x、 cos x的范围。 (4) y ? a cos x sin x ? b(sin x ? cos x) ? c ? a
例12.函数f ( x) ? sin x cos x的最小值是( A. ? 1 B. ? 1 2 C. 1 2 D.1 )

变式1.函数f ( x) ? sin x ? cos( x ? )的值域为( 3 A.[?2, 2] B.[? 3, 3] C.[ ?1,1] D.[ ?

?

) 3 3 , ] 2 2

9

变式2.函数f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x在区间[? A.1 B. 1? 3 2 C. 3 2 D.1 ? 3

? ?

, ]上的最大值为( 4 2



例13.函数f ( x) ? 4sin( x ? ) ? 3sin( ? x)的最大值为( 3 6 3 A.7 B.2 3 ? C.5 D.4 2

?

?



变式1.求函数f ( x) ? cos( x ?

2? x ) ? 2cos 2 的值域. 3 2

变式2.求函数f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? )sin( x ? )( x ?[? , ])的值域. 3 4 4 12 2

?

?

?

? ?

例14.求函数f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x ? 4cos x的最值.

10

变式1.求函数f ( x) ? cos2 x ? sin x(| x |?

?
4

)的最小值.

5 3 ? 变式2.求函数f ( x) ? sin 2 x ? a cos x ? a ? (0 ? x ? )的最大值. 8 2 2

变式3.若 sin 2 x ? cos x ? a ? 0有实数解,试确定a的取值范围.

11

变式4.若关于x的方程 cos 2 x ? sin x ? a ? 0在(0, 5 A.(??, ? ] 4 B.(?1,1] C.[?1,1]

]上有解,则a的取值范围是( 2 5 D.( ?1, ] 4

?



变式5.若关于x的不等式 cos2 x ? sin x ? a ? 0在(0, ]上恒成立,求a的取值范围. 2

?

例15.对于函数f ( x) ?

sin x ? 1 (0 ? x ? ? ),下列结论中正确的是( ) sin x A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最大值和最小值

D.无最值

变式1.求函数y ?

3 cos x 的值域. 2 ? sin x

12

变式2.若

?
4

?x?

?
2

,求函数y ? tan 2 x tan 3 x的最大值.

题型 4:三角函数图象变换 【思路提示】

由函数y ? sin x的图象变换为函数y ? A sin(? x ? ? ) ? b( A, ? ? 0)的图象.
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
y变为原来的A倍 y ? sin x ?????? ? y ? sin( x ? ? ) ????? ? y ? sin(? x ? ? ) ?????? 向左平移?个单位 x变为原来的 1

?

向上平移b个单位 y ? A sin(? x ? ? ) ?????? ? y ? A sin(? x ? ? ) ? b;

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
y变为原来的A倍 y ? sin x ????? ? sin ? x ?????? ? y ? sin(? x ? ? ) ?????? x变为原来的 1

?

向左平移 个单位

? ?

向上平移b个单位 y ? A sin(? x ? ? ) ?????? ? y ? A sin(? x ? ? ) ? b.

平移口诀:左加右减,上加下减(不要管?、?、b的正负,注意先弄清楚由谁平移到谁)。
例 16.把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然 后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是( )

13

变式1.为得到函数y ? cos(2 x ? 5? 个单位 12 5? C.向左平移 个单位 6 A.向左平移

?
3

)的图象,只需将函数y ? sin 2 x的图象(



B.向右平移

5? 个单位 12 5? D.向右平移 个单位 6

变式2.已知f ( x) ? sin( x ? ), g ( x) ? cos( x ? ), 则f ( x)的图象( 2 2 A.与g ( x)的图象相同 B.与g ( x)的图象关于y轴对称 C.是由g ( x)的图象向左平移 D.是由g ( x)的图象向右平移

?

?



? ?
2 2

个单位得到的 个单位得到的

1 1 ? ? 1 例17.函数f ( x) ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? )(0 ? ? ? ? ), ( , ). 2 2 2 6 2 (1)求?的值; 1 (2)将f ( x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到函数y ? g ( x)的图象, 2 求函数g ( x)在[0, ]上的最大值和最小值. 4

?

14

变式 1.已知向量 m= ? sin x,1? ,n= ? 3 A cos x,

? ?

A ? 函数 f ? x ? =m n 的最大值 cos 2 x ? ? A>0 ? , 2 ?

为 6,(1)求 A(2)将函数 y=f ? x ? 的图像向左平移 横坐标缩短为原来的 的值域.

? 个单位,再将所得图像上各点的 12

1 ? 5? ? 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g ? x ? 的图像,求 g ? x ? 在 ?0, 上 2 ? 24 ? ?

15



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