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高三数学一轮复习课时作业8 指数函数、对数函数、幂函数 新人教A版 理

课时作业(八)

[第 8 讲 指数函数、对数函数、幂函数]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1. [2011·沈阳模拟] 集合 A={(x, y)|y=a}, 集合 B={(x, y)|y=bx+1, b>0, b≠1}, 若集合 A∩B 只有一个子集,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.R 2.[2011·郑州模拟] 下列说法中,正确的是( ) x x x -x -x ①任取 x∈R 都有 3 >2 ;②当 a>1 时,任取 x∈R 都有 a >a ;③y=( 3) 是增函数; |x| x -x ④y=2 的最小值为 1;⑤在同一坐标系中,y=2 与 y=2 的图象对称于 y 轴. A.①②④ B.④⑤ C.②③④ D.①⑤

xax 3.[2011·郑州模拟] 函数 y= (0<a<1)的图象的大致形状是( |x|

)

4.[2011·聊城模拟] 若函数 y=2 是( ) A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1 D.0<m≤1 能力提升

|1-x|

图 K8-1 +m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围

?log3x,x>0, ? ? ?1?? 5.[2010·湖北卷] 已知函数 f(x)=? x 则 f?f? ??=( ) ? ?9?? ? ?2 ,x≤0, 1 A.4 B. 4 1 C.-4 D.- 4 x 6.[2011·株洲联考] 在同一直角坐标系中,函数 y=g(x)的图象与 y=e 的图象关于 直线 y=x 对称,而函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于 y 轴对称,若 f(m)=-1,则 m 的值为( ) 1 A.-e B.- e 1 C.e D. e

7.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a= ? 1 ? f(log47),b=f?log 3?,c=f(0.2-0.6),则 a,b,c 的大小关系是( ) ? 2 ? A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c

8.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如图 K8-2 所示,则函数 g(x)=a +b 的图象是( )

x

图 K8-2

图 K8-3 2x x 9.[2011·锦州一模] 设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a -2a -2),则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞) 10 .[2011·济宁模拟 ] 很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么 3 样. 污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次, 能过滤出有害物质的 .若过滤 n 次后, 4 流出的水中有害物质在原来的 1%以下, 则 n 的最小值为________(参考数据 lg2≈0.301 0). 11 . [2011·祁 东二 中模拟 ] 对于 任意 实数 a , b ,定 义运 算“*” 如下: a*b =
?a ? ? ? ?b

a≤b , a>b ,

1 则函数 f(x)=log (3x-2)*log2x 的值域为________. 2
x

12. 若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是________. 2 x x 13.函数 y=lg(3-4x+x )的定义域为 M,当 x∈M 时,则 f(x)=2 +2-3×4 的最大 值为________. 1-x 14.(10 分)[2012·岳阳一中月考] 已知函数 f(x)=-x+log2 . 1+x ? 1 ?+f?- 1 ?的值; (1)求 f? ? ? ? ?2 013? ? 2 013? (2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1],a 是常数,函数 f(x)是否存在最小值?若存在, 求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.

e a 15.(13 分)设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数(其中 e≈2.718 28). a e (1)求 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

x

难点突破 16.(12 分)定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23,且对任意 x,y∈R 都有 f(x +y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; x x x (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

课时作业(八) 【基础热身】 x 1.B [解析] ∵y=b +1>1,如果 A∩B 只有一个子集,则 A∩B=?,∴a≤1. 2.B [解析] 利用指数函数的性质判断. x x x 3.D [解析] x>0 时,y=a ;x<0 时,y=-a .即把函数 y=a (0<a<1,x≠0)的图象在 x>0 时不变,在 x<0 时,沿 x 轴对称. |1-x| 4.A [解析] ∵|1-x|≥0,∴2 ≥1. |1-x| ∵y=2 +m≥1+m, |1-x| ∴要使函数 y=2 +m 的图象与 x 轴有公共点, 则 1+m≤0,即 m≤-1. 【能力提升】 1 1 1 1 -2 5.B [解析] 根据分段函数可得 f =log3 =-2,则 ff =f(-2)=2 = ,所以 B 9 9 9 4 正确. 6.B [解析] 因为点(m,-1)在函数 y=f(x)的图象上,点(m,-1)关于 y 轴对称的 点(-m,-1)必在函数 y=g(x)的图象上,点(-m,-1)关于直线 y=x 对称的点(-1,- 1 m)必在 y=ex 的图象上,所以-m=e-1,∴m=- .故选 B. e 1 ? 1 ? 7 . B [ 解析 ] log 3 =- log23 =- log49 , b = f ?log 3? = f( - log49) = f(log49) , 2 ? 2 ? 5 ?1? 3 3 5 =? ?- =5 = 125> 32=2>log49. ?5? 5 5 又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,故 f(x)在(0, +∞)上单调递减, ? 1 ? -0.6 ∴f(0.2 )<f?log 3?<f(log47),即 c<b<a,选 B. ? 2 ? x 8.A [解析] 由图形可知 b<-1,0<a<1,所以函数 g(x)=a +b 在定义域上单调递减, 且与 x 轴负半轴相交,所以选 A. 2x x 2x x 9.C [解析] f(x)<0?loga(a -2a -2)<0?loga(a -2a -2)<loga1,因为 0<a<1, 2x x x 2 x x 2 x x x x 所以 a -2a -2>1, 即(a ) -2a +1>4?(a -1) >4?a -1>2 或 a -1<-2, 所以 a >3 或 a < -1(舍去),因此 x<loga3,故选 C. ?1?n ?1?n 10.4 [解析] 设原有的有害物质为 a,则过滤 n 次后有害物质还有? ? a,令? ? <1%, ?4? ?4? 1 则 n> ,即 n≥4,所以 n 的最小值为 4. lg2 1 11.(-∞,0] [解析] 在同一直角坐标系中画出函数 y=log (3x-2)和 y=log2x 的 2 图象, log47<log49,0.2
-0.6

log2x ? ? 由图象可得 f(x)=? 1 log ? ? 2 12.a>1

<x



x-
x

x



值域为(-∞,0].
x

[解析] 设函数 y=a (a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=a -x-

a(a>0 且 a≠1)有两个零点,就是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点.由 x 图象可知,当 0<a<1 时,两函数只有一个交点,不符合;当 a>1 时,因为函数 y=a (a>1) 的图象过点(0,1), 而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方, 所以一定有两个交点. 所 以实数 a 的取值范围是 a>1.
25 2 13. [解析] 由 3-4x+x >0,得 x>3 或 x<1, 12 ∴M={x|x>3 或 x<1}. ? x 1? 25 f(x)=-3×(2x)2+2x+2=-3?2 - ?2+ . 6? 12 ? x x ∵x>3 或 x<1,∴2 >8 或 0<2 <2, 1 1 25 x ∴当 2 = ,即 x=log2 时,f(x)最大,最大值为 . 6 6 12 1-x 14.[解析] (1)由 >0,得(x+1)(x-1)<0, 1+x 解得-1<x<1. ∴函数 f(x)的定义域为(-1,1). 1+x 1-x 又∵f(-x)=x+log2 =x-log2 =-f(x). 1-x 1+x ∴函数 f(x)为奇函数,即 f(-x)+f(x)=0, ? 1 ?+f?- 1 ?=0. ∴f? ? ? ? ?2 013? ? 2 013? (2)存在最小值, 任取 x1、 x2∈(-1,1)且设 x1<x2, 则 f(x2)-f(x1)=(x1-x2)+log2 1-x1 -log2 , 1+x1 易知 f(x2)-f(x1)<0, ∴函数 f(x)为(-1,1)上的减函数, 又 x∈(-a,a]且 a∈(0,1], 1-a ∴f(x)min=f(a)=-a+log2 . 1+a e a 1 x 15.[解答] (1)依题意,对一切 x∈R 有 f(x)=f(-x),即 + x= x+ae , a e ae ? 1?? x 1 ? 所以?a- ??e - x?=0 对一切 x∈R 成立. e? ? a?? 1 2 由此得到 a- =0,即 a =1.
x

1-x2 1+x2

a

又因为 a>0,所以 a=1. (2)证明:设 0<x1<x2,

f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+
=(ex2-ex1)?

1 1 - ex1 ex2

? 1 -1? ? ?ex1+x2 ?

1-ex2+x1 =ex1(ex2-x1-1)· ex2+x1 由 x1>0,x2>0,x2-x1>0, 得 x1+x2>0,ex2-x1-1>0,1-ex2+x1<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 【难点突破】 16.[解答] (1)证明:由 f(x+y)=f(x)+f(y), 令 x=y=0,得 f(0)=0.

令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0,则有 f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, 所以 f(x)是奇函数. (2)f(3)=log23>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)是 R 上的单调函数,所以 f(x)在 R 上是增函 数. 又由(1)知 f(x)是奇函数. f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0?f(k·3x)<f(9x-3x+2)?k·3x<9x-3x+2,即(3x)2-(1+ x k)3 +2>0 对任意 x∈R 恒成立. x 2 令 t=3 >0,问题等价于 t -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 1+ k 2 令 g(t)=t -(1+k)t+2,其对称轴为 t= , 2 1+k 当 t= ≤0,即 k≤-1 时,g(0)=2>0,符合题意; 2 1+k ?1+k?>0,解得-1<k<-1+2 2. 当 t= >0,即 k>-1 时,则需满足 g? ? 2 ? 2 ? 综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立. 本题还有更简捷的解法: 2 2 x x 分离系数由 k<3 + x-1,令 u=3 + x-1,u 的最小值为 2 2-1, 3 3 2 x 则要使对任意 x∈R 不等式 k<3 + x-1 恒成立,只要使 k<2 2-1. 3
x x x



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