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湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理


宜昌市葛洲坝中学 2015——2016 学年度第一学期 高二年级期中考试
考试时间:120 分钟

数学(理科)试题
考试总分:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
2 1.命题: “ ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 ”的否定为:

A. ?x ? R , x 2 ? 1≤ 0 . C. ?x ? R , x2 ? 1 ? 0 . 2.下列程序执行后输出的结果是( A.3 B.6 C.10

B. ?x ? R , x 2 ? 1≤ 0 . D. ?x ? R , x2 ? 1 ? 0 . ) D.15

3.要从已编号(1-60)的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样 方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是( ) A. 5,10,15, 20, 25,30 B. 3,13, 23,33, 43,53 C. 1, 2,3, 4,5,6 D. 2, 4,8,16,32, 48 4.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若 x ? 2015 ,则 x ? 0 ”的逆命题 B.命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的否命题
2 C.命题“若 x ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”

D.命题“若 x ≥1 ,则 x ≥ 1 ”的逆否命题 5.两圆 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 4 与 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 9 的公切线有(
2 2 2 2

2

)条

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.执行下图所示的程序框图, 若要使输入的 x 值与输出的 y 值 相等,则这样的 x 值的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 7. 从圆 x ? 2 x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3,2 ? 向这个圆作
2 2

两条切线,则两切线夹角的余弦值为( A.



1 2

B.

3 5

C.

3 2

D.0

8.下表为某班 5 位同学身高 x (单位:cm)与体重 y (单位 kg)的数据, 身高 170 171 166 178 体重 75 80 70 85 ? ? 1.16 x ? a ,则 a 的值为( 若两个量间的回归直线方程为 y ) A.-122.2 B.-121.04 C.-91 D.-92.3 160 65

1

9.一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是(0,0,1) , (1, 0, 0) , (2,2,0) , (2,0,0) ,画该三棱锥三视图的俯视图时,从 x 轴的正方向向负方向看为正 视方向,从 z 轴的正方向向负方向看为俯视方向,以 xOy 平面为投影面,则得到俯视图可 以为( )

A.

B.
2

C.

D.

10.设点 P 是函数 y ? ? 2 x ? x 图象上的任意一点,点 Q 是直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 上的任意 一点,则 | PQ | 的最小值为( ) A. 5 ? 1 B.

5 ?1

C.

4 5

D.以上答案都不对

11.已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上到直线 l : x ? y ? a 的距离等于 1 的点至少有 2 个,则 a 的取 值范围为 A. (?3 2,3 2) C. (?2 2,2 2) B. (??, ?3 2) ? (3 2, ??) D. [?3 2,3 2]

12 . 已知 三 棱锥 A ? BCD 中 , AB ? AC ? BD ? CD ? 2 ,

BC ? 2 AD ,直线 AD 与底面 BCD 所成角为
锥外接球的体积为 A. 8? B.

? ,则此时三棱 3
8 2 ? 3

2? 3

C.

4 2? 3

D.

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.如图,在平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,底面是边长为 1 的正 方 形 , 若 ?A 的长为 1 1 AB ? ?A 1 AD ? 60? , 且 A 1 A ? 3 , 则 AC _________. 14 .“ | b | ? 2 是“直线 y ? 3 x ? b 与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 相交”的 ______________条件.

2

15.图形 ABC 如图所示,为了求其面积,小明在封闭的图中找出了一个半径为 1 m 的圆, 在不远处向圈内掷石子,且记录如下:

石子落在⊙ O 内(含⊙ O 上)的次数 m 石子落在阴影内次数 n 2 则估计封闭图形 ABC 的面积为________m . 16.设圆 O : x ? y ?
2 2

50 次 14 29

150 次 43 85

300 次 93 186

16 ,直线 l : x ? 3 y ? 8 ? 0 ,点 A ? l , 9 使得圆 O 上存在点 B ,且 ?OAB ? 30? ( O 为坐标原点),则 点 A 的横坐标的取值范围为_____________.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知直线 l1 : ax ? by ? 1 ? 0 , ( a , b 不同时为 0 ) , l2 :

y

B

A

x

O

(a ? 2) x ? y ? a ? 0 , (1)若 b ? 0 且 l1 ? l2 ,求实数 a 的值; (2)当 b ? 3 且 l1 / / l2 时,求直线 l1 与 l2 之间的距离

18. (本小题满分 12 分) 某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200, 200),[220.240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.

(1)求月平均用电量的众数和中位数; (2)在月平均用电量为[220.240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在[240.260)的用户中应抽取多少 户? 19. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1.
2

(Ⅰ)设集合 A ? {?1,1,2,3,4,5} 和 B ? {?2,?1,1,2,3,4} ,分别从集合 A , B 中随机取一个

3

数作为 a 和 b ,求函数 y ? f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数的概率.

? x ? y ? 8 ? 0, ? (Ⅱ)设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0, 内的随机点,求函数 f ( x ) 在区间 [1,??) 上是增函 ?y ? 0 ?
数的概率.

20.设 p : 函数 f ( x) ? lg(ax ? 4x ? a) 的值域为 R; q :不等式 2 x ? x ? 2 ? ax , 对 ? x ∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“ p ? q ”为真命题,命题“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的 取值范围.
2
2

21. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形,对角线 AC , BD 交于点 O , OA ? 3 ,

???? ? ??? ? OB ? 4 , OP ? 6 , OP ? 底面 ABCD ,点满足 PM ? tPC ,t ? (0,1) . 1 P (1)当 t ? 时,证明: PA|| 平面BDM . 2
(2)若二面角 M ? AB ? C 的大小为

? ,问:符合条 4

M

件的点 M 是否存在.若存在,求出 t 的值.若不存在, 说明理由.

D O A B

C

22.(本小题满分 12 分)

3 上. x (Ⅰ)若圆 M 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 B (不同于原点 O ) ,求证: ?AOB 的面
在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M 过坐标原点 O 且圆心在曲线 y ? 积为定值; (Ⅱ)设直线 l : y ? ? 圆 M 的方程; (Ⅲ)设直线 y ? 3 与(Ⅱ)中所求圆 M 交于点 E 、 F , P 为直线 x ? 5 上的动点, 直线 PE , PF 与圆 M 的另一个交点分别为 G , H ,求证:直线 GH 过定点.

3 x ? 4 与圆 M 交于不同的两点 C、D ,且 | OC |?| OD | ,求 3

4

宜昌市第二十中学 2015--2016 学年第一学期 高二年级期中考试 数学(理科)参考答案 BCBB BDBB DAAD 13. 5 14.充分不必要 15.3π 16. [0, ]

5 . B 两 圆 的 圆 心 分 别 为 : ? 2,1? , ? ?1,2? , 半 径 分 别 为 : 2 , 3, 所 以 圆 心 距 为 :

8 5

? 2 ? 1? ? ?1 ? 2?
2

2

? 10 ,因为 3 ? 2 ? 10 ? 3 ? 2 ,所以两圆相交,公切线为 2 条.
3 ,满足条件. 2

6.D 令 x3 ? x ,解得 x1 ? 0, x2 ? 1, x3 ? ?1 ,三个都满足. 令 3x ? 3 ? x ,解得 x ? 当 x ? 3 时,

1 ? x 无解.所以有 4 个,故选 D. x 170 ? 171 ? 166 ? 178 ? 160 75 ? 80 ? 70 ? 85 ? 65 ? 169 ,体重 y ? ? 75 , 8.B 求出身高 x ? 5 5 将两个数据代入回归直线方程得, a ? ?121 .04 . 9.D A 为正视图,B 为侧视图,C 中的中间实线应为虚线. 10.A d ? r 11.A 由圆的方程可知圆心为 ? 0, 0 ? ,半径为 2.因为圆上的点到直线 l 的距离等于 1 的点至
少有 2 个 , 所以圆心到直线 l 的距离 d ? r ? d0 ? 2 ? 1 , 即 d ?

?a 12 ? 12

?

a 2

? 3 , 解得

a ? (?3 2, 3 2 ).
12.D 如下图,取 BC 的中点 O ,连接 OA, OD ,过 A 做 AE ? OD 于 E 因为 AB ? AC ? DB ? DC ,所以 BC ? OA, BC ? OD

? O 因 为 O A? O D , OA ? 平 面 O A D , OD ? 平 面 O A D,所以 BC ? 平面 OAD 因为 BC ? 平面 BCD ,所以平面 OAD ? 平面 BCD 又 AE ? OD ,所以 AE ? 平面 BCD 所 以 ?ADO 就 是 直 线 AD 与 底 面 BCD所 成 角 , 所 以
3 又因为 AB ? AC ? DB ? DC ,所以 ?ABC 与 ?DBC 全 等 , 所 以 OA ? OD , 所 以 O A D是 正 三 角 形 , 所 以 O A? O B? O C ? OD ? A D 即是三棱锥的外接球的球心, 2 2 2 在直角 ?OAC 中, OA ? OB ? AB ? OA ? 2 ,所以三棱锥的外接球的半径为 2 3 4 8 2? 三棱锥外接球的体积为 V ? ? ? ? 2 ? . 3 3 ?ADO ?

?

? ?

因为 A 1C ? A 1 A ? AB ? BC ? A 1 A ? AB ? AD , ???? ? 2 ???? ? 2 ??? ? 2 ???? 2 ???? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? 所以 A1C ? A1A ? AB ? AD ? 2A1 A ? AB ? 2 A1 A ? AD ? 2 AB ? AD , 13. 5 即 A1C ? 9 ? 1 ? 1 ? 2 ?1? cos 120 ? ? 2 ?1?1? cos 120 ? ? 2 ?1?1? cos 90? ? 5 , 故 A1C ? 5 . 14.充分不必要 将圆的一般方程 x ? y ? 4 y ? 0 化为标准方程得 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .由
2 2
2

| 0? 2?b | ? 2 得 | b ? 2 |? 4, ?2 ? b ? 6 ,从集合的角度分析, (?2, 2) 是 (?2, 6) 的真子集, 3 ?1
所以为充分不必要条件.
5

15. 3π

由记录 ≈

m n

1 m 1 ,可见 P(落在⊙O 内)= = , n+m 3 2

⊙O的面积 S⊙O 1 2 又 P(落在⊙O 内)= , 所以 = ,SABC=3π ( m ) 阴影面积+⊙O的面积 SABC 3

8 ? x0 ) . 过点 A 作圆 O 3 的 切 线 , 切 点 为 M , 则 ?OAM ≥ ?OAB ? 30? . 从 而 1 | OM | 1 sin ?OAM ≥ sin30? ? ,即 ≥ sin30? ? ,就是 2 | OA | 2 8 ? x0 2 64 64 2 | OA |2 ≤ 4(| OM |2 ) ? ) ≤ , x0 ? ( , 9 3 9 8 2 5x0 ? 8x0 ≤ 0 ,解得 x0 ? [0, ] . 5
16. [0, ]

8 5

依题意点 A ? l , 设 A( x0,

y

M
B A

x

O

17.解: (1)当 b ? 0 时, l1 : ax ? 1 ? 0 ,由 l1 ? l2 知 a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 ;???4 分 (2)当 b ? 3 时, l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 , 当 l1 / / l2 时,有 ?

解得 a ? 3 ,???????????????????????????????8 分 此时, l1 的方程为: 3x ? 3 y ? 1 ? 0 ,

?a ? 3(a ? 2) ? 0, ??????????????????????7 分 ?3a ? 1 ? 0,

l2 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 ,即 3x ? 3 y ? 9 ? 0 ,
则它们之间的距离为 d ?

9 ?1 3 ?3
2 2

?

4 2 .?????????????????10 分 3

18. 解 : ( 1 ) ① 由 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011 ? 0.0125 ? x ? 0.005 ? 0.0025 ? ? 20 ? 1 得 :

x ? 0.0075 ,所以直方图中 x 的值是 0.0075 .????????????????2 分 220 ? 240 ? 230 .?????????????????4 分 ②月平均用电量的众数是 2 2 0.00 ?9 5 0 .? 0 1 1) ? 2 0? 0, . 4所 5 以 0月 . 5平 均 用 电 量 的 中 位 数 在 ③ 因 为 ( 0 . 0 0? ? 0.011) ? 20 ? 0.0125 ? a (? 220 ? 0.5) [220,240) 内,设中位数为 a ,由 (0.002? 0.0095 得
a ? 224 .所以月平均用电量的中位数是 224. ????????????????6 分 (2)月平均用电量为[220,240)的用户有 0.0125×20×100=25 户, 月平均用电量为[240,260)的用户有 0.0075×20×100=15 户, 月平均用电量为[260,280)的用户有 0.005×20×100=10 户, 月平均用电量为[280,300)的用户有 0.0025×20×100=5 户,??????????10 分

11 1 ? ,???????????????????????11 分 25 ? 15 ? 10 ? 5 5 1 所以月平均用电量在[240,260)的用户应抽取 15 ? ? 3 户.??????????12 分 5
抽取比例: 19.解:要使函数 y ? f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,需 a ? 0 且 ?

即 a ? 0 且 2b ? a .?????????????????????????????3 分 (Ⅰ)所有 ( a, b) 的取法总数为 6 ? 6 ? 36 个.?????????????????4 分
6

? 4b ?1, 2a

满足条件的 ( a, b) 有 (1,?2) , (1,?1) , (2,?2) , (2,?1) , (2,1) , (3,?2) , (3,?1) , (3,1) ,

(4,?2) , (4,?1) , (4,1) , (4,2) , (5,?2) , (5,?1) , (5,1) , (5,2) 共 16 个,???6 分 16 4 ? . ???????????????????????7 分 所以所求概率 p ? 36 9 ? x ? y ? 8 ? 0, ? y (Ⅱ)如图,求得区域 ? x ? 0, 的面积为 ?y ? 0 8 x ? 2y ? 0 ? P 1 ? 8 ? 8 ? 32 .?????????????????8 分 O 2 8 x ? x ? y ? 8 ? 0, 16 8 由? ,求得 P ( , ) .???????9 分 3 3 ?x ? 2 y ? 0 1 8 32 所以区域内满足 a ? 0 且 2b ? a 的面积为 ? 8 ? ? .???????????11 分 2 3 3 32 1 所以所求概率 p ? 3 ? ????????????????????????12 分 32 3 20. 解:对于 p : u( x) ? ax 2 ? 4 x ? a 取到 (0,?? )的所有值 . ????????? 1 分 a ? 0 时符合题意 . ???????????????????????????? 2 分 a ? 0 时二次函数 u( x ) 的图象开口向下,不符合题意??????????????3 分 a ? 0 时需 ? ≥ 0 ,解得 0 ? a ≤ 2 ??????????????????????4 分 从而 p 真 ? a ? [0,2] ??????????????????????????? 5 分 2 对于 q : a ? 2 x ? ? 1 ,对 ?x ? (??,?1) 恒成立.??????????????6 分 x 2 而 y ? 2 x ? ? 1 在 ( ??, ?1) 上为增函数 . ?????????????????? 7 分 x 2 因此 q 真 ? a ≥ 2 ? 1 ? ? 1 ? 1 . ????????????????????? 8 分 1 命题“ p ? q ”为真命题等价于 p, q 至少一个为真命题. 命题“ p ? q ”为假命题等价于 p, q 至少一个为假命题. 因此 p, q 必然一真一假.??????????????????????????9 分 p 真 q 假 ? a ? 2 且 a ? 1 ,无解.?????????????????????10 分 p 假 q 真 ? a ≤ 2 且 a ≥ 1 ,解得 a ? [1,2] .????????????????11 分 综合可得 a 的取值范围为 [1,2] . ?????????????????????? 12 分
21.解:(1)解法 1:当 t ?

1 时 M 为 PC 中点.连接 OM ,因为 CM ? MP, CO ? OA ,所以 2

OM || AP . 又 OM ? 平面BDM , PA ? 平面BDM ,所以 PA|| 平面BDM .
?????????????????????5 分(每缺少一个条件扣 2 分,扣完为止). 解法 2:以 O 为坐标原点,建立坐标系 O ? ABP ,则 A(3,0,0) , B(0,4,0) , C ( ?3,0,0) ,

D(0, ?4,0) , P(0,0,6) .?????????????????????????1 分 ???? ??? ? 3 3 当 M 为 PC 中点时, M ( ? ,0,3) ,所以 MB ? ( ,4, ?3) , DB ? (0,8,0) . 2 2
7

??? ? ?y ? 0 ? ? n ? DB ? 0 ? 设平面 BDM 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ???? ,即 ? 3 , x ? 3z ? 0 ? ? ? n ? MB ? 0 ?2 得 y ? 0 ,令 x ? 2 ,则 z ? 1 ,所以平面 BDM 的一个法向量 n ? (2,0,1) .???3 分 ??? ? ??? ? ??? ? 又 PA ? (3,0, ?6) , n ? PA ? (2,0,1) ? (3,0, ?6) ? 0 ,所以 n ? PA .??????4 分 又 PA ? 平面BDM ,所以 PA|| 平面BDM .???????????????5 分 (2)易知平面 ABC 的一个法向量 n1 ? (0,0,1) .??????????????6 分 ???? ? ??? ? 设 M (a, b, c ) , 由 PM ? tPC, t ? (0,1) , 得 (a , b ? , c ? 6 )? t (, ? 3 , 0 , a ? ?3t , b ? 0, c ? 6 ? 6t .即 M ( ?3t,0,6 ? 6t ) .???????????????7 分 ???? ??? ? 所以 MB ? (3t,4,6t ? 6) , AB ? (?3,4,0) . 设平面 ABM 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , ??? ? ? ??3x2 ? 4 y2 ? 0 ? n2 ? AB ? 0 ,则 ? ,??8 分 ???? ? 3 tx ? 4 y ? (6 ? 6 t ) z ? 0 n ? MB ? 0 ? 2 2 2 ? ? 2 ?3x2 ? 4 y2 ? ?(t ? 1) x2 ? (2 ? 2t ) z2 ? 0 2t ? 2 (令 x2 ? 4 ,则 y2 ? 3 , z2 ? .) t ?1 令 x2 ? 4(t ? 1) ,则 y2 ? 3(t ? 1) , z2 ? 2t ? 2 . 所以平面 ABM 的一个法向量 n2 ? (4t ? 4,3t ? 3,2t ? 2) ,??????????9 分
2 2t ? 2 ?| cos ? n1 , n2 ?|?| | ,???????10 分 2 (4t ? 4) 2 ? (3t ? 3) 2 ? (2t ? 2) 2 7 3 3 解得 t ? 或 t ? ,因为 t ? (0,1) ,所以 t ? .??????????????11 分 3 7 7 3 因此符合条件的点 M 存在,且 t ? .???????????????????12 分 7
所以 22.解: (Ⅰ)由题意可设圆 M 的方程为 ( x ? t ) ? ( y ?
2

6 )

3 2 2 3 ) ?t ? 2 , t t

2 3 y ? 0. t 2 3 令 x ? 0 ,得 y ? ;令 y ? 0 ,得 x ? 2t .?????????????????2 分 t 1 1 2 3 ? S?AOB ? | OA | ? | OB |? | 2t | ? | |? 2 3 (定值). ???????????4 分 2 2 t (Ⅱ)由 | OC |?| OD | ,知 OM ? l .
即 x ? y ? 2tx ?
2 2

所以 kOM ?

3 t
2

? 3 ,解得 t ? ?1 .?????????????????????5 分 3 x ? 4 的距离 d ? 2( 3 ? 1) 小于半径,符合题 3

当 t ? 1 时,圆心 M (1, 3) 到直线 l : y ? ?

意;??????????????????????????????????6 分
8

当 t ? ?1 时,圆心 M (?1,? 3) 到直线 l : y ? ?

3 x ? 4 的距离 d ? 2( 3 ? 1) 大于半径,不 3
????????????8 分

符合题意. ???????????????????????????????7 分 所以,所求圆 M 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 . (Ⅲ)设 P(5, y0 ) , G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,又知 E(?1, 3) , F (3, 3 ) , 所以 kPE ?

y0 ? 3 y1 ? 3 y ? 3 y2 ? 3 ? ? kGE , kPF ? 0 ? ? kFH . 6 x1 ? 1 2 x2 ? 3 ( y1 ? 3)2 ( y2 ? 3)2 . ? ( x1 ? 1)2 ( x2 ? 3)2
①?????????????????9 分

因为 3k PE ? k PF ,所以 9 ?

将 ( y1 ? 3)2 ? 4 ? ( x1 ? 1)2 , ( y2 ? 3)2 ? 4 ? ( x2 ? 1)2 代入上式, 整理得 2 x1x2 ? 7( x1 ? x2 ) ? 20 ? 0 . 设直线 GH 的方程为 y ? kx ? b ,代入 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 , 整理得 (1 ? k 2 ) x2 ? (2kb ? 2 3k ? 2) x ? b2 ? 2 3b ? 0 .

2kb ? 2 3k ? 2 b 2 ? 2 3b 所以 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? .????????????10 分 1? k2 1? k2 代入①式,并整理得 b2 ? (7k ? 2 3)b ? 10k 2 ? 7 3b ? 3 ? 0 ,
即 (b ? 2k ? 3)(b ? 5k ? 3) ? 0 , 解得 b ? 3 ? 2k 或 b ? 3 ? 5k . 当 b ? 3 ? 2k 时,直线 GH 的方程为 y ? k ( x ? 2) ? 3 ,过定点 (2, 3 ) ; 当 b ? 3 ? 5k 时,直线 GH 的方程为 y ? k ( x ? 5) ? 3 ,过定点 (5, 3 ) 第二种情况不合题意(G、H 只可能在直径的异侧) ,舍去??????????12 分

9

化简部分可改为 :由对称性可知,若有定点,则定点一定在 y ? 3 上,令 y ? 3 ,可得 x ? 2.

10


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