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(新课标)2017春高中数学第2章数列2.5等比数列的前n项和第2课时数列求和课时作业新人教A版必修5资料


2017 春高中数学 第 2 章 数列 2.5 等比数列的前 n 项和 第 2 课时 数列求和课时作业 新人教 A 版必修 5

基 础 巩 固 一、选择题 1.(2016·江苏启东中学期中)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则 数列{ 1

anan+1

}的前 100 项和为 导学号 54742500 ( A 99 B. 101 101 D. 100

)

100 A. 101 99 C. 100

[解析] 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ∵a5=5,S5=15,

a1+4d=5, ? ? ∴? 5×?5-1? 5a1+ d=15, ? 2 ?
∴an=a1+(n-1)d=n. ∴ 1

解得?

?a1=1, ? ? ?d=1.

anan+1



1 1 1 = - , n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 1 1 100 }的前 100 项和为(1- )+( - )+…+( - )=1- = . 2 2 3 100 101 101 101

∴数列{

anan+1

2.数列{an}的通项公式 an=ncos ( A ) A.1008 C.504 [解析] ∵函数 y=cos


2

,其前 n 项和为 Sn,则 S2016 等于 导学号 54742501

B.2016 D.0


2

2π 的周期 T= =4,且第一个周期四项依次为 0,-1,0,1. π 2

∴可分四组求和:

a1+a5+…+a2013=0, a2+a6+…+a2014=-2-6-…-2014=
∴a3+a7+…+a2015=0,
1

504×?-2-2014? =-504×1008, 2

a4+a8+…+a2016=4+8+…+2016
= 504×?4+2016? =504×1010. 2

∴S2016=0-504×1008+0+504×1010=504×(1010-1008)=1008,故选 A. 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 3.已知数列{an}: , + , + + , + + + ,…,设 bn= ,那么数列{bn} 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 anan+1 前 n 项的和为 导学号 54742502 ( A.4(1- C.1- 1 ) A ) 1 1 B.4( - ) 2 n+1 1 1 D. - 2 n+1

n+1

1

n+1
2 n+1

n?n+1?
1+2+3+…+n [解析] ∵an= = n+1 ∴bn= 1 = , 2

n

anan+1 n?n+1?



4

1 1 =4( - ). n n+1

1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=4[(1- )+( - )+( - )+…+( - )]=4(1- ). 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 4 .数列 {an} 的通项公式为 an = ( - 1) 导学号 54742503 ( A.200 C.400 B ) B.-200 D.-400
n-1

·(4n - 3) ,则它的前 100 项之和 S100 等于

[解析] S100=1-5+9-13+…+(4×99-3)-(4×100-3)=50×(-4)=-200. 5.(2016·湖北孝感高中月考)已知数列{an}是等差数列,a1=tan225°,a5=13a1.设

Sn 为数列{(-1)nan}的前 n 项和,则 S2016 导学号 54742504 ( C )
A.2016 C.3024 B.-2016 D.-3024

[解析] ∵a1=tan225°=1,∴a5=13a1=13, ∴数列{an}的公差 d=

a5-a1 13-1
5-1 = 4

=3.

∴S2016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2016-a2015)=1008d=3024. 6 .数列 {an} 满足 an + 1 + ( - 1) an = 2n - 1 ,则 {an} 的前 60 项和为 导学号 54742505 ( D ) A.3690 C.1845 B.3660 D.1830
2
n

[解析] 不妨令 a1=1,则 a2=2,a3=a5=a7=…=1,a4=6,a6=10,…,所以当 n 为 奇数时,an=1;当 n 为偶数时,各项构成以 2 为首项,4 为公差的等差数列,所以前 60 项 30×?30-1? 的和为 30+2×30+ ×4=1830. 2 二、填空题 2 4 6 2n n+2 7.数列 , 2, 3,…, n ,…前 n 项的和为 4- n-1 . 导学号 54742506 2 2 2 2 2 2 4 6 2n [解析] 设 Sn= + 2+ 3+…+ n ① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n Sn= 2+ 3+ 4+…+ n+1② 2 2 2 2 2 ①-②得 1 2 2 2 2 2 2n 1 2n (1- )Sn= + 2+ 3+ 4+…+ n- n+1=2- n-1- n+1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴Sn=4-

n+2
2
n-1

.

8.(2015·广东理, 10)在等差数列 {an}中,若 a3+ a4+ a5+a6+ a7= 25,则 a2+ a8 = 10. 导学号 54742507 [解析] 因为{an}是等差数列,所以 a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7= 5a5=25 即 a5=5,a2+a8=2a5=10. 三、解答题 9. (2015·山东理, 18)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 2Sn=3 +3. 导学号 54742508 (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)因为 2Sn=3 +3, 所以 2a1=3+3,故 a1=3, 当 n≥2 时,2Sn-1=3
n-1 n n

+3,
n n-1

此时 2an=2Sn-2Sn-1=3 -3
?3, n=1., ? 所以 an=? n-1 ? ?3 ,n≥2.

=2×3

n-1

,即 an=3

n-1



1 (2)因为 anbn=log3an,所以 b1= , 3 当 n≥2 时,bn=3 1 所以 T1=b1= ; 3
1-n

log33

n-1

=(n-1)·3

1-n

.

3

当 n≥2 时,

Tn=b1+b2+b3+…+bn
1 -1 -2 1-n = +(1×3 +2×3 +…+(n-1)×3 ), 3 所以 3Tn=1+[1×3 +2×3 +…+(n-1)×3 两式相减,得 2 0 -1 -2 2-n 1-n 2Tn= +(3 +3 +3 +…+3 )-(n-1)×3 3 2 1-3 13 6n+3 1-n = + = - -1 -(n-1)×3 n. 3 1-3 6 2×3 13 6n+3 所以 Tn= - n 12 4×3 经检验,n=1 时也适合. 13 6n+3 综上可得 Tn= - n. 12 4×3 10.(2016·浙江文,17)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈ N . 导学号 54742509 (1)求通项公式 an; (2)求数列{|an-n-2|}的前 n 项和. [解析] (1)由题意得? 又当 n≥2 时,由
? ?a1+a2=4, ?a2=2a1+1, ?
* 1-n 0 -1 2-n

].

则?

? ?a1=1, ?a2=3. ?

an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,
得 an+1=3an. 所以,数列{an}的通项公式为 an=3 (2)设 bn=|3
n-1
*

n-1

,n∈N .

*

-n-2|,n∈N ,b1=2,b2=1.
n-1

当 n≥3 时,由于 3

>n+2,故 bn=3

n-1

-n-2,

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 T1=2,T2=3. 当 n≥3 时,

Tn=3+

9?1-3 ? ?n+7??n-2? 3 -n -5n+11 - = , 1-3 2 2

n- 2

n

2

2,n=1, ? ? n 2 所以 Tn=?3 -n -5n+11 * ,n≥2,n∈N . ? 2 ? 能 力 提 升

4

一、选择题

Sn 7n+1 a2+a5+a17+a22 11. 已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn,且 = , 则 Tn n+3 b8+b10+b12+b16
= 导学号 54742510 ( 31 A. 5 C.6 [解析] ∵ = = A ) 32 B. 5 D.7

a2+a5+a17+a22 b8+b10+b12+b16

?a2+a22?+?a5+a17? 2a12+2a11 = ?b8+b16?+?b10+b12? 2b12+2b11

a11+a12 a1+a22 = , b11+b12 b1+b22 S22 ?a1+a22?×22 a1+a22 = = , T22 ?b1+b22?×22 b1+b22

又∵ ∴ ∴

a1+a22 7×22+1 31 = = . b1+b22 22+3 5 a2+a5+a17+a22 31 = . b8+b10+b12+b16 5 nπ
2 π + ),设其前 n 项和为 Sn,则 S12 的值为 4

12.数列{an}的通项公式是 an= 2sin( 导学号 54742511 ( A.0 C.- 2 A )

B. 2 D.1

π π π [解析] a1= 2sin( + )=1,a2= 2sin(π + )=-1, 2 4 4

a3= 2sin(

3π π π + )=-1,a4= 2sin(2π + )=1, 2 4 4

同理,a5=1,a6=-1,

a7=-1,a8=1,a9=1,a10=-1,a11=-1,a12=1,
∴S12=0. 13. (2015·江西省质检)已知数列{an}满足 a1=1, a2=3, an+2=3an(n∈N ),则数列{an} 的前 2015 项的和 S2015 等于 导学号 54742512 ( A.3 C.3
1008 *

A ) B.3 D.3
1008

-2 -2

-3 -3

2015

2015

5

[解析] 因为 a1=1,a2=3,

an+2 =3, an
1008 1007

1-3 3?1-3 ? 1008 所以 S2015=(a1+a3+…+a2015)+(a2+a4+…+a2014)= + =3 -2. 1-3 1-3 二、填空题 14.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3 1 1 ×(1- n). 导学号 54742513 32 9 [解析] ∵Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,且 Sn=3(3 + ). 3 ∴ =-1,∴a=-3,∴Sn=3 3
n n+1

1 +a(a 为常数),bn= 2,则数列{bn}的前 n 项和为

an

a

a

n+1

-3, -3)-(3 -3)=2×3
n n n

∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3

n+1

①,

又∵a1=S1=6 符合①式,∴an=2×3 , 1 1 1 1 n ∴bn= 2= = ·( ) , an 4×9n 4 9 1 1 n ×[1-? ? ] 36 9 1 1 ∴{bn}的前 n 项和为 Tn= = ×(1- n). 1 32 9 1- 9 15.求和 1+(1+3)+(1+3+3 )+(1+3+3 +3 )+…+(1+3+…+3 - . 导学号 54742514 2 [解析] a1=1,a2=1+3,a3=1+3+3 ,……
2 2 2 3

n-1

3 n )= (3 -1) 4

n

an=1+3+32+…+3n-1= (3n-1),
1 1 1 2 1 n 1 3 n 2 n ∴原式= (3 -1)+ (3 -1)+……+ (3 -1)= [(3+3 +…+3 )-n]= (3 -1)- 2 2 2 2 4

1 2

n
2

. 三、解答题 16 .(2015·全国Ⅰ理, 17)Sn 为数列 {an} 的前 n 项和.已知 an>0 , a n + 2an = 4Sn +
2

3. 导学号 54742515 (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1

anan+1

,求数列{bn}的前 n 项和.

6

[解析] (1)当 n=1 时,a1+2a1=4S1+3=4a1+3,因为 an>0,所以 a1=3, 当 n≥2 时,an+2an-an-1-2an-1 =4Sn+3-4Sn-1-3=4an, 即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1), 因为 an>0,所以 an-an-1=2, 所以数列{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 所以 an=2n+1; 1 (2)由(1)知,bn= ?2n+1??2n+3? 1 1 1 = ( - ), 2 2n+1 2n+3 1 1 1 1 1 1 1 所以数列{bn}前 n 项和为 b1+b2+…+bn= [( - )+( - )+…+( - )]= 2 3 5 5 7 2n+1 2n+3 1 1 n - = . 6 4n+6 3?2n+3? 17.已知数列{an}和{bn}中,数列{an}的前 n 项和为 Sn.若点(n,Sn)在函数 y=-x +4x 的图象上,点(n,bn)在函数 y=2 的图象上. 导学号 54742516 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)由已知得 Sn=-n +4n, ∵当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+5, 又当 n=1 时,a1=S1=3,符合上式. ∴an=-2n+5. (2)由已知得 bn=2 ,anbn=(-2n+5)·2 .
n n
2 2 2 2

2

x

Tn=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)×2n,
2Tn=3×2 +1×2 +…+(-2n+7)×2 +(-2n+5)×2 两式相减得
2 3

n

n+1

.

Tn=-6+(23+24+…+2n+1)+(-2n+5)×2n+1
= 2 ?1-2 ? n+1 +(-2n+5)×2 -6 1-2
n+1
3

n-1

=(7-2n)·2

-14.

7



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