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《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题课_图文

第一章 行列式习题课 1.排列的逆序数 2. 对换对排列的影响 3. n阶行列式的定义 a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2 n t D? ? ? ? ?1? a1p1 a2p2 ? anpn ??????? p1 p2? pn an1 an 2 ? ann 其中 p1 p 2 ? p n 为自然数1,2,?, n的一个排列; t为这 个排列的逆序数; ? 表示对1,2,?, n的所有排 p1 p2? pn 列取和. n阶行列式D亦可定义为 D? p1 p2? pn ? ( ?1) a p11 a p2 2 ? a pn n , t 其中t为行标排列 p1 p 2 ? p n 的逆序数. 4. n阶行列式的性质 (1) D ? D; T (2) ri ? rj ; (4) ri : rj ? k ; (3) ri ? k ; (5) aij ? bij ? cij ; (6) ri ? krj 5. 行列式按行(列)展开 1 ) 余子式与代数余子式 2)关于代数余子式的重要性质 ?a A k ?1 ki n kj ? D , i ? j; ?? ? 0, i ? j . ? D , i ? j; ?? ? 0, i ? j . 或 ?a A k ?1 ik n jk 6. 克拉默法则(注意前提与结论) ? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ? ? a 1n x n ? b1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? b 2 , 如果线性方程组 ? ??????????????? ? ? a n1 x 1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? b n . 的系数行列式 D ? 0, 那么它有唯一解 Dj , j ? 1,2,? , n. xj ? D 其中 D( j j ? 1,2, ? , n)是把系数行列式 D中第 j列 换成常数项 b1 , b2, ? b n 所得到的行列式 . 由此可得(对方程个数与未知数个数相同的 方程组来说) (1)若非齐次线性方程组无解或多解,则 其系数行列式必为零。 (2)若齐次线性方程组有非零解,则其 系 数行列式必为零。 一、填空题 1、当i= ,j= 时,1~9的排列1i25j4897为 奇排列; 2、在所有的n阶排列中奇排列的个数为 ; 3、四阶行列式中,含有a11a23的项为 ; 4、如果行列式D中的零元素的个数大于n2-n 个,则D= ; 5、若行列式每行元素之和为零,则D= ; a11 a12 a13 a33 4a11 4a31 2a11 ? 3a12 2a21 ? 3a22 2a31 ? 3a32 a13 a23 a33 6.若 a21 a22 a31 a32 = ; a23 ? 1, 则 4a21 7、n为奇数时 0 a12 ? a12 0 ? a13 ? a23 ? ? ? a1 n ? a2 n a13 a23 0 ? ? a3 n ? ? ? ? ? a1 n a2 n a3 n ? ann = ; 8.已知四阶行列式D的第二列元素为-1,2,0,1, 它们对应的余子式分别为5,3,-7,4,则D= 。 9、已知四阶行列式 1 2 ?2 4 2 2 2 2 D? 1 4 ?3 5 ?1 4 2 7 Mij是元素aij的余子式,则 M41-M42+M43+M44= . 二、计算行列式(除掌握概念与性质外还 有技巧) ? 方法一:三角形法 例1 Dn ? 1 ? a1 1 ? 1 1 ? a2 ? ? 1 ? 1 1 1 ? ? ? 1 ? an (ai ? 0) 1 ? a1 ? a1 解:原式= ? ? a1 c1 ? n 1 ? 1 a2 ? 0 ? ? ? 0 1 ? an ? 1 ? i?2 ? n a1 c ai i a1 1 ? a1 ? ? i ? 2 ai 0 ? 0 n a2 ? 0 ? ? ? 0 ? an 1 ? a1 ?an (1 ? ? ) i ?1 ai 1 1? a1 另解:原式=a1 ? an 1 a1 1 1? a2 ? 1 an ? ? ? 1 a1 1 a2 ? 1 a2 ? 1 an 1 ? 1? an 方法二:拆项法。看例1 解:原式= 1 ? a1 1 ? 1 1 ? 1 1 ? a2 ? 1 ? ? ? ? ? 1 1 ? 1 1 ? a1 1 ? 1 1 ? a2 ? ? 1 0 0 ? ? ? an ? a1a2 ?an?1 ? an Dn?1 ? a1a2 ?an?1 ? an (a1a2 ?an?2 ? an?1 Dn?2 ) 方法三:升级法。看例1 1 1 解:原式= 0 1 ? a 1 ? ? 0 1 c1 ? ? 1 1 1 ? 1 ?1 a1 ? ? ? ? ? ? 1 ? an ?1 0 1 ? 1 ? ? ? ? 1 0 ? an ? a i ? 1 ci i?2 ? 1 n a1 1? ? i ?1 ai n 0 ? 0 a1 ? 0 ? ? ? 0 ? an 例2 计算 1 a D? 2 a 4 a 1 b b2 4 b 1 b 2 b b b 3 4 1 c c2 4 c 1 c 2 c c c 3 4 1 d d2 4 d 1 d 2 d d d 3 4 1 解:构造 a 2 f ( x) ? a 3 a a 4 1 x 2 x x x 3 4 (这是一个范德蒙行列式) =(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开,可得 f ( x) ? A15 ? A25 x ? A35 x ?


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