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2018届高三上学期期末考试数学(理)试题(word版,含详细答案)


【答案版】山东省菏泽市 2018 届高三上学期期末考试 数学(理)试题(图片版)
2018.2 考生注意: 1.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 ............................ 3.做选考题时, 考生须按照题目要求作答, 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 4.本卷命题范围:高考范围。

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x >5x},B={-1,3,7},则 A∩B= A.{-1} B. {7} C. {-1,3} D. {-1,7}
2

2.复数 z 的共轭复数 z =(1+2i)(2+i),则 z= A. -5i B. 5i C.1+5i D.1-5i

3.某校连续 12 天对同学们的着装进行检查,着装不合格的人数用茎叶图表示,如图,则该 组数据的中位数、众数、极差分别是 A.24,33,27 C.27,35,27 4.已知 ? ? ? B. 27,35,28 D. 30,35,28

? 3π ? ?π ? 1 , 2π ? , sin ? ? ? ? ? ,则 tan(π +2α )= ? 2 ? ?2 ? 3
B. ?

A.

4 2 7

2 2 5

C. ?

4 2 7

D.

2 2 5

5.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶 算法至今仍是多项式求值比较先进的算法,已知 f(x) =2018x
2017

+2017x

2016

+?+2x+1,下列程序框图设计的是

求 f(x0)的值,在 M 处应填的执行语句是 A.n=i B.n=2018-i C.n=i+1 D.n=2017-i 6.将函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 1 的图象上每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),

再向左平移 中心为 A. ?

π 个单位长度,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则函数 y ? g ( x) 的图象的一个对称 3

?π ? , 0? ?6 ?

B. ?

?π ? , 1? ?6 ?

C. ?

? 7π ? , 0? ? 6 ?

D. ?

? 7π ? , 1? ? 6 ?

7.已知等边△AOB(O 坐标原点)的三个顶点在抛物线 ? : y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,且△AOB 的面 积为 9 3 ,则 p = A. 3

B.3

C.

3 2

D.

3 3 2

o s 8.在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且ac

b 7 B ? c ? 0 ? ,a 2 ? bc , b ?c, 2 2



b ? c
3 2
B.2 C.3 D.

A.

5 2

x3 ,x ∈ (? π , 0)∪(0 ,π) 的大致图象是 9.函数 f ( x) ? sin 3 x

A

B

C

D

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.

5π 3

B.

4π 3

C. 2 π

D. 3π

11.在斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥平面 AB1C1, 且△AB1C1 为等边三角形,B1C1=2AA1=2,则直线 AB 与平面 B1C1CB 所成角 的正切值为 A.

3 3 6 4

B.

2 2 6 2

C.

D.

12.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,A 是双曲线的左 a 2 b2

顶点,双曲线 C 的一条渐近线与直线 x ? ? 双曲线 C 的离心率为 A. 3 B. 5

????? ???? a2 交于点 P, FM ? MP ,且 F1P ? AM ,则 1 c

C. 2

D.

6

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? 1 ? 13.已知 ( x ? a) ? 2 ? 1? 的展开式中的常数项为 8,则 a=________. ?x ?
2

5

14.平行四边形 ABCD 中,AB=2AD=4,∠DAB=

??? ? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 π , DP ? DC ,则 PA ? PB =________. 3 4

?x ≥ k ? 15.已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ≤ 0 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 8,则 x 2 ? y 2 ?2 x ? y ? 4 ≤ 0 ?
的取值范围是________. 16.若不等式 ( x ? 1)ln( x ? 1) ? ax2 ? 2ax 在(0, +∞)上恒成立, 则 a 的取值范围是________. 三、 解答题: 共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 17?21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17. (12 分) 已知数列{an},满足 a1=1,2anan+1+3an+1=3an; (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? (?1)n?1

1 ,求 {cn } 的前 2n 项的和 T2n. an an?1

18. (12 分) 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 是正方形,AC 丄侧面 AA1B1B,AC=AB,点 E 是 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:C1A∥平面 EBA1; (Ⅱ)若 EF 丄 BC1,垂足为 F,求二面角 B—AF—A1 的余弦值.

19. (12 分) 2017 年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有 关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次 “垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参 与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的 1000 人的得分 数据,其频率分布直方图如图所示: (Ⅰ)估计该组数据的中位数、众数;

(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N(μ ,210),μ 近 似为这 1000 人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布,求 P(50.5<Z<94); (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,有关部门为此次参加问卷调査的市民制定如下奖励方案: (i)得分不低于 μ 可获赠 2 次随机话费,得分低于 μ 则只有 1 次; (ii)每次赠送的随机话费和对应概率如下: 赠送话费(单元:元) 概率 10 20

3 4

1 4

现有一位市民要参加此次问卷调查,记 X(单位:元)为该市民参加.问卷调查获赠的话费, 求 X 的分布列和数学期望. 附: 210 ? 14.5 , 若 Z?N(μ ,σ ),则 P(μ -σ <Z<μ +σ )= 0.6826,P(μ -2σ <Z<μ +2σ )=0.9544.
2

20. (12 分) 已知抛物线 C : x ? 2 py 的焦点为 F,且过点 A (2,2),椭圆 D :
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

离心率为 e ?

3 2 ,点 B 为抛物线 C 与椭圆 D 的一个公共点,且 | BF |? . 2 2

(Ⅰ)求椭圆 D 的方程; (Ⅱ)过椭圆内一点 P(0,t)的直线 l 的斜率为 k,且与椭圆 C 交于 M,N 两点,设直线 OM, ON(O 为坐标原点)的斜率分别为 k1,k2,若对任意 k,存在实数 λ ,使得 k1+ k2=λ k,求实 数 λ 的取值范围.

21. (12 分) 已知函数 f ( x) ? e
x ?m

? x ln x ? (m ?1) x ;

(Ⅰ)若 m=1,求证: f ( x ) 在(0,+∞)上单调递增;

(Ⅱ)若 g ? x ? ? f ? ? x ? ,试讨论 g(x)零点的个数.

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题 计分. 22. [选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)

? ?x ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? ? ?

5 t, 5 (t 为参数),以平面直角坐标 2 5 t 5

系的原点为极点,正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? 2 ? 2 2 ? sin ?? ? ? ? 1 . 4
?
(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程,并指明曲线 C 的形状; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 且|OA|<|OB|, 求

? ?

π?

1 1 ? . | OA | | OB |

23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ; (Ⅰ)若不等式 f ( x) ≤ | a ? 1| 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求不等式 | f ( x)? | x ? 2 ||? 3 的解集.

2017?2018 学年度第一学期期末考试?高三理科数学 参考答案、提示及评分细则
1. D 2.A 因为 z ? ?1 ? 2i ?? 2 ? i ? ? 5i ,所以 z ? ?5i . 3.B 中位数为

24 ? 30 = 27,众数为 35,极差 38-10 = 28. 2
?π ?2 ? ?

4.A

因 为 s i ?n ? ? ? ?

1 1 ? 3π ? , 所 以 c o?s ? , 因 为 ? ∈? ,2π ? , 所 以 3 3 ? 2 ?

s i? n? ?

1 2 2 2 ? (?2 2) 4 2 ? 1?? , tan ? ? ?2 2 , tan 2? ? . ? 1? 8 7 9 3

5.B 第一次循环: S ? 2018x0 , n ? 2017 , S ? 2018x0 ? 2017 , i ?2;
2 2 第二次循环: S ? 2018x0 ? 2017 x0 , n ? 2016 , S ? 2018x0 ? 2017 x0 ? 2016 , i ?3;

以此类推,可知 M 处应填的执行语句是 n ? 2018 ? i . 6. B

π? ? f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? ? 1 , 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 得 4? ?

π π? π? ?1 ?1 y ? 2 sin ? x ? ? ? 1 ,再向左平移 个单位长度,得 g ( x) ? 2 sin ? x ? ? ? 1 , 3 4? 12 ? ?2 ?2


1 π π π x ? ? kπ ,k ∈ Z ,解得 x ? ? 2kπ ,k ∈ Z ,当 k=0 时,得 x ? . 2 12 6 6
根据拋物线和等边三角形的对称性可知 A , B 两点关于 x 轴对称,不妨设直线

7. C

OB : y ?

3 x 与 y 2 ? 2 px 联立得 B(6p , 2 3 p) ,因为△ AOB 的面积为 9 3 ,所以 3

3 3 . ? (4 3p )2 ? 9 3,解得 p ? 4 2
8.B 由 a cos B ? c ?

b ?0 及 正 弦 定 理 可 得 s i n A 2

co B? s

sin B s C? in ? ,因0 为 2

siC n?

s iA n?( B ? )

sin B ? cos A sin B ? 0 , 所 以 A s i n B?c o s A , co B s 以s ? in 所 2

1 2π 7 2 2 2 2 2 cos A ? ? , 即A? , 由余弦定理得 a ? bc ? b ? c ? bc , 即 2b ? 5bc ? 2c ? 0 , 2 3 2
又 b>c,

b = 2. 2

? x3 x3 9.C 因 为 f (? x) ? ? ? f ( x) , 所 以 f ( x ) 为 偶 函 数 , 故 可 排 除 B ; 当 sin 3 (? x) sin 3 x
x π? ? ? 1 ,则排除 A,D. x ∈ ? 0 , ? 时,x>sin x,即 sin x 2? ?
10.A 由三视图知,该几何体由

1 球、半圆柱和半个圆锥组成,球的半径为 1,圆柱的底面半 4 π 1 π 1 4π 5π ?2? ? ?2? ? ? . 2 3 2 4 3 3

径为 1,高为 2,所以该几何体的体积 V ?

11.D 取 B1C1 的中点 D ,连结 AD,BD,因为 AA1⊥平面 AB1C1,AA1∥ BB1,所以 BB1⊥平面 AB1C1,所以 BB1⊥AD,又因为△AB1C1 为等边三 角形,所以 C1B1⊥AD,又 B1C1∩BB1=B1,所以 AD 丄平面 B1C1CB,所以 ∠ABD 为 AB 与平面 B1C1CB 所成角,又因为 B1C1= 2 AA1= 2,所以 AD =

3 ,BD = 2 ,所以 tan∠ABD=

3 6 ? 2 2

12. C 不妨设渐近线为 y ?

? a2 ab ? b ab a2 ,? ? , x, y?? , 则当 x ? ? 时, 即点 P 坐标为 ? ? c ? a c c ? c ? a2 ? c2 ? c a2 ab ? ab? ,? ? ,所以 ? ,? ? ,即 ? ? 2c 2c ? 2c ? ? ? 2 2c

因为 F 1 M ? MP,所以点 M 坐标为 ? ?

?????

????

???? ? ? a2 ? c2 ab ? 1 AM ? ? ? ? a ,? ? ? ? (a 2 ? c 2 ? 2ac , ? ab) , 2c 2c ? 2c ?

???? ? ???? ???? ? a 2 ab ? b F1P ? ? ? ? c ,? ? ? (b ,? a) ,由 F1P ? AM ,得 AM ? F1P ? 0 , c ? c ? c
即 b(a ? c ? 2ac) ? a b ? 0 ,整理得 c ? 2a ,所以 e ? 2 .
2 2 2

13.3 由题意知 ( x 2 ? a) ?

? 1 ? 4 ? 1? 的展开式中的常数项为 aC5 3 ? C5 ? 8 ,所以 a=3. 2 ?x ?

5

?DAB ? 14. 3 因为 AB ? 2 AD ? 4 ,
??? ? 1 ???? DC ,所以 4

??? ? ???? 2 1? π ,所以 AB ? AD ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ?4 , ? 3 ? 2?

因为 DP ?

? ??? ? ??? ? ? ???? 1 ??? ? ? ? ???? 3 ??? ? ? ????? ? ???? 3 ???? 1 ??? 2 PA ? PB ? ? ? AD ? AB ? ? ? ? AD ? AB ? ? AD ? AB ? AD ? AB 2 =4+2-3=3. 4 4 2 16 ? ? ? ?
15.[13,32] 作出不等式组表示的可行域如图所示, 当 直线 y= -2x+z 经过 ?

?x ? k ? 0 的交点(k,2k-4) ?2 x ? y ? 4 ? 0
2 2

时,zmin = 2k+ 2k-4 = 8,得 k=3,x +y 表示可行域内 一点到原点的距离的平方, 由图象可知在(3, 2)点 x +y 最小值为 13,在(4,4)点 x +y 最大值为 32. 16.[
2 2 2 2

1 ,+∞)设 f ( x) ? ( x ? 1)ln( x ? 1) ? ax2 ? 2ax ,则 f ?( x) ? ln( x ? 1) ? 2ax ? 2a ? 1 , 2

(i)当 a≤0 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递增,所以 f ( x) ? f (0) ? 0 在(0, +∞)上恒成立,与已知不符,故 a≤0 不符合题意. (jj )当 a>0 时,令 ? ( x) ? f ?( x) , ? ?( x) ?

1 1 ? 2a ,且 ∈ (0 , 1) ,①当 2a≥1, x ?1 x ?1

即 a≥

1 1 ? 2 a? 0 时 , ? ?( x ) ? , 于 是 ? ( x) 在 (0 , +∞) 上 单 调 递 减 , 所 以 2 x ?1

? ( x) ? ? (0) ? 1 ? 2a ≤ 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 x ∈(0 ,? ∞) 上成立.则 f(x)在 x ∈(0 ,? ∞)
上单调递减,故 f(x)< f(0)=0 在(0,+∞)上成立,符合题意.②当 0<2a<1,即 0<a<

1 时, 2

? 1 ? ?2a[ x ? ? ? 1? 1 1 ? 2a ? ,若 x ∈ (0 , 1 ? 1) ,则 ? ?( x ) ? 0 , ? 0 , ? ?( x) ? ? 2a ? 2a ? 1 2a x ?1 x ?1

? ?( x) 在 x ∈ (0 ,

1 1 ? 1) 上单调递増;若在 x ∈ ( ? 1,? ∞) ,则 ? ?( x ) ? 0 , ? ( x) 在 2a 2a

1 1 x ∈ (0 , ? 1) 上单调递减,又 ? (0) ? 1? 2 a ? 0,则 ? ( x) 在 (0 , ? 1) 上成立,即 2a 2a 1 1 f ?( x ) ? 0 在 (0 , ? 1) 上 恒 成 立 , 所 以 f ( x) 在 (0 , ? 1) 上 单 调 递 增 , 则 2a 2a 1 1 f ( x) ? f (0) ? 0 在 (0 , ? 1) 上恒成立.与已知不符,故 0<a< 不符合题意.综上所述,a 2a 2
的取值范围[

1 ,+∞). 2
1 1 2 1 1 2 ? ? ,所以 ? ? ,????3 分 an ?1 an 3 an ?1 an 3

17. 解:(Ⅰ)由 2anan+1+3an+1= 3an,得

所以数列 ?

?1? 2 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列, 3 ? an ?

所以

3 1 2 2 1 即 an ? .???????????????? 6 分 ? 1 ? (n ? 1) ? n ? , 2n ? 1 an 3 3 3

(Ⅱ)设 c2 n ?1 ? c2 n ?

1 a2 n?1a2 n

?

? 1 1 1 ? 1 ?? ? ? a2 n a2 n?1 ? a2 n?1 a2 n?1 ? a2 n

所以

1 a2 n?1

?

1 a2 n?1

4 4 1 即 c2 n ?1 ? c2 n ? ? ? ????????????????8 分 ?? , 3 3 a2 n

T2 n ?

1 1 1 1 1 1 4? 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? a1a2 a2 a3 a3a4 a4 a5 a2 n?1a2 n a2 n a2 n ?1 3 ? a2 a4 a2 n ?

?????????????????????????????????????10 分

1? ?5 4 n? ? n ? ? 4 8 4 3 3 3? ?? ? ? ? ? n 2 ? n ????????????????????12 分 3 2 9 3
18.解:(Ⅰ)如图,连结 BA1 , AB1 交于 O ,连结 OE , 由 AA 1B 1B 是正方形,易得 O 为 AB1 的中点, 从而 OE 为 △C1 AB1 的中位线,所以 EO//AC1,??3 分 因为 EO ? 面 EBA,C1A ? 面 EBA1,所以 C1A//平面 EBA1??4 分 (Ⅱ)由已知 AC 丄底面 AA1B1B,得 A1C1 丄底面 AA1B1B,

得 C1A⊥AA1,C1A1⊥A1B1,又 AA1⊥A1B1,故 AA1,A1B1,A1C1 两两垂直,??5 分 如图,分别以 AA1,A1B1,A1C1 所在直线为 x,y,z 轴,A1 为原点建立空间直角坐标系, 设 AA1=2,则 A1 (0,0,0) ,A(2,0,0),C1(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0), 则 C1B ? (2 , 2, ? 2) , A1 A ? (2 , 0, 0) , AB ? (0 , 2, 0) , 设 F ( x0 ,y0 , z0 ) , C1F ? ?C1B ,则由 C1F ? ( x0 ,y0 , z0 ? 2) ,

????

????

??? ?

???? ?

????

???? ?

? x0 ? 2? , ? 得 ( x0 ,y0 , z0 ? 2) ? ? (2 , 2, ? 2) ,即得 ? y0 ? 2? , ? z ? 2 ? 2? , ? 0

2? , 2 ? 2? ) ,所以 EF ? (2? , 于是 F (2? , 2? ?1, 1 ? 2?) ,????7 分
又 EF ? C1B ,所以 2? ? 2 ? (2? ?1) ? 2 ? (1 ? 2 ?) ? ( ?2) ? 0 ,解得 ? ?

??? ?

1 ,??8 分 3

? ? 2 3 4 ? ??? ? ? 4 2 4? ? 2 2 4 ? ???? , , ? ,A1F ? ? , , ? ,AF ? ? ? , , ? ,????9 分 ?3 3 3? ?3 2 3? ? 3 3 3? ???? ? ? A1 A ? n1 ? 0 , ?2 x ? 0 , 设平面 A1AF 的法向量是 n ? ( x ,y ,z ) ,则 ? ???? 即? ? A F ? n ? 0 , ?x ? y ? 2z ? 0 , ? ? 1 1
所以 F ? 令 z ? 1 ,则 n1 ? (0 , ? 2, 1) ,

??? ? ? ? AB ? n2 ? 0 , 又 平 面 ABF 的 一 个 法 向 量 为 n2 ? ( x , 则 ? ??? 即 ? 1 y , 1z ) , 1 ? ? AF ? n2 ? 0 ,
? 2 y1 ? 0 ? ? ?2 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0
令 z1 ? 1,,得 n2 ? (1, 0, 1) 设二面角 B—AF—A1 的平面角为θ ,则 cos ? ?

n1 ? n2 10 ????????11 分 ? | n1 | ? | n2 | 10

由 A1 A ? AB ,面 FA 1 B ,可知 ? 为锐角, 1B ? 面 AA

即二面角 B—AF—A1 的余弦值为

10 .????????????????????12 分 10

19. 解:(Ⅰ)由(0.0025 +0.0050+0.0100+0.0150 + a + 0. 0225 + 0. 0250)×10 =1,得 a =0.0200,

?????????????????????????????????????1 分 设中位数为 x ,由(0.0025 + 0. 0150 + ) ×10+(x-60) ×0.0250 = 0.5000,解得 x = 65, ?? 2分 由频率分布直方图可知众数为 65. ??????????????????????3 分 (Ⅱ)从这 1000 人问卷调查得到的平均值μ 为 μ = 35×0.025 + 45×0.15 +55×0.20+65×0.25+75×0.225+85×0.1+ 95×0.05 =0.875 + 6.75+11 +16.25+ 16. 875 + 8.5 +4.75 = 65???????????????? 5分 因为由于得分 Z 服从正态分布 N(65,210), 所以 P(50.5<Z<94)=P(60-14.5<Z<60 + 14.5×2)= 7分 (Ⅲ)设得分不低于μ 分的概率为 p,则 P(Z≥μ )= X 的取值为 10,20,30,40, P(X=10) =

0.6826 ? 0.9544 =0.8185. ?????? 2

1 , 2

1 3 3 1 1 1 3 3 13 ? ? ,P( X ? 20) ? ? ? ? ? ? , 2 4 8 2 4 2 4 4 32

P(X=30) =

1 1? 3 1 1 1 1 1?3 ? C2 ? ? ? ? ,P( X ? 40) ? ? ? ? ,. ?????????7 分 2 2 4 4 32 ? 4 4 ? 16

所以 X 的分布列为: X 10 20 30 40

P

3 8

13 32

3 16

1 32

?????????????????????????????????????10 分 所以 EX ? 10 ? 分
2 2 20.解:(Ⅰ)由点 A(2,2)在拋物线 C : x ? 2 py 上,得 2 ? 2 p ? 2 ,解得 p ? 1

3 13 3 1 75 ? 20? ? 30? ? 40 ? ? . ?????????????? 12 8 32 16 32 4

所以抛物线 C 的方程为 x2 ? 2 y ,其焦点 F(0,

1 ),??????????????1 分 2

设 B(m,n),则由抛物线的定义可得|BF| = n ? ? ?
2

? 1? 3 ? ? ,解得 n ? 1 , ? 2? 2

代入抛物线方程可得 m =2n = 2,解得 m=± 2 ,所以 B(± 2 ,1), 椭圆 C 的离心率 e ?

a 2 ? b2 2 ,所以 a ? 2b , ? a 2
2 1 ? ? 1 ,解得 a ? 2 , b ? 2 ,????????4 a 2 b2

又点 B(± 2 ,1)在椭圆上,所以 分 所以椭圆 D 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .???????????????????????5 分 4 2

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? t .

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 ,消元可得 (2k 2 ?1) x2 ? 4ktx ? 2t 2 ? 4 ? 0 , 4 ? y ? kx ? t ?
设 M(x1 , y1 ) , N(x2,y2),则 x1 ? x2 ?

?4kt 2t 2 ? 4 , x x ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

而 k1 ? k2 ?

y1 y2 kx1 ? t kx2 ? t t ( x ? x ) ?4k , 由 k1 ? k2 ? ?k , 得 ? ? ? ? 2k ? 1 2 ? 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 t ?2

?4k ? ? k ,???????????????????????????????8 分 t2 ? 2
因为此等式对任意的 k 都成立,所以

?4 4 ? ? ,即 t 2 ? 2 ? .??????????10 分 t ?2 ?
2
2

由题意得点 P(0,t)在椭圆内,故 0≤t <2,即 0≤ 2 ? 21.解:(Ⅰ )m=1 时, f ( x) ? e 分
x ?1

4 <2,解得 ? ≥ 2 .?????12 分 ?

? x ln x ,f ?( x) ? e x?1 ? ln x ?1,????????? 1

? ∞) 上单调递增,只要证: f ?( x) ≥ 0 对 x>0 恒成立,??????2 分 要证 f ( x ) 在 (0 ,

令 i( x) ? e x?1 ?1 ,则 i?( x) ? e x?1 ?1 ,当 x ? 1 时, i?( x) ? 0 ,

1) 上单调递减,在 (1,? ∞) 上单调递增, 当 x<1 时, i?( x) ? 0 ,故 i( x) 在 (?∞ ,
所以 i( x) ≥ i(1) ? 0 ,即 e
x ?1

≥ x (当且仅当 x=1 时等号成立),
x ?1 , x

令 j ( x) ? x ? 1 ? ln x( x ? 0) ,则 j ?( x ) ?

? ∞) 上 当 0<x<1 时, j ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, j ( x) ? 0 ,故 j(x)在(0, 1)上单调递减, 在 (1 ,
单调递增, 所以 j ( x) ≥ j (1) ? 0 ,即 x ≥ ln x ? 1 (当且仅当 x =1 时取等号),

f ?( x) ? ex?1 ? ln x ?1≥ x ? (ln x ? 1) ≥ 0 (当且仅当 x =1 时等号成立)???????5 分

f ( x) 在 (10, ? ∞) 上单调递增.????????????????????????6 分
(Ⅱ)由 g ( x) ? e x?m ? ln x ? m 有 g ?( x) ? e
x?m

1 ? ( x ? 0) ,显然 g ?( x ) 是增函数, x

令 g ?( x0 ) ? 0 ,得 e

x0 ? m

?

1 , em ? x0e x0 , m ? x0 ? ln x0 , x0

则 x ∈[0 , x0 ] 时, g?( x) ≤ 0 ,x ∈[ x0 , ? ∞) 时, g ?( x) ≥ 0 , ∴g(x)在(0,x0]上是减函数,在[x0,+∞)上是増函数, ∴g(x)有极小值,g(x0) = e
x0 ? m

? ln x0 ? m ?

1 ? 2ln x0 ? x0 ??????????8 分 x0

①当 m=1 时, x0 ? 1 ,g(x)极小值=g(1) =0,g(x)有一个零点 1;??????????9 分 ②m<1 时,0<x0<1, g ( x0 ) ? g (1) ? 1 ? 0 ?1 ? 0 ,g(x)没有零点;????????10 分 ③当 m>1 时,x0>1,g(x0)<1-0-1=0,又 g (e
x x

?m

) ? ee

?m

?m

? m ? m ? ee

?m

?m

?0

又对于函数 y ? e ? x ?1,y? ? e ?1≥ 0 时 x ≥ 0 , ∴当 x>0 时,y>1-0-1 = 0,即 e ? x ? 1 ,
x

∴g(3m) = e

2m

? ln 3m ? m ? 2m ? 1 ? ln 3m ? m ? m ? 1 ? ln m ? ln 3 ,

令 t (m) ? m ? 1 ? ln m ? ln 3 ,则 t ?(m) ? 1 ?

1 m ?1 ? , m m

∵m>1, ∴ t ?(m) ? 0 ,∴t(m)>t(1)==2-ln3>0,∴g(3m)>0, 又 e?m ? 1 ? x0 , 3m ? 3x0 ? 3ln x0 ? x0 ∴ g ( x) 有两个零点,??????????11 分 综上,当 m<1 时,g(x)没有零点;m=1 时,g(x)有一个零点;m>1 时,g(x)有两个零点, ?????????????????????????????????????12 分

? ?x ? ? 22.解:(Ⅰ)由 ? ?y ? ? ?
2

5 t 5 消去参数 t,得 y = 2x, 2 5 t 5

由 ? ? 2 2 ? sin(? ?

π ) ? 1 ,得 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 1 ? 0 , 4

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 , 即 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 . 即曲线 C 是圆心为(1,1),半径 r=1 的圆. ????????????????5 分

? ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? sin ? ? 1 ? 0 ( Ⅱ ) 联立直线 l 与曲线 C 的方程,得 ? ,消去 ? ,得 ? tan ? ? 2

?2 ?

6 5 ? ?1 ? 0 , 5 6 5 , ?1 ? ?2 ? 1 , 5

设 A、B 对应的极径分别为 ?1 ,?2 ,则 ?1 ? ? 2 ?

所以 分

( ?1 ? ? 2 ) 2 ? 4 ? 1? 2 4 5 | ? ? ?2 | 1 1 ? ? 1 ? ? . ?????????? 10 | OA | | OB | ?1 ? 2 ?1 ? 2 5

| ( x ?1) ? ( x ? 2 | ? 3 , 23.解:(Ⅰ)因为 f ( x) ?| x ?1| ? | x ? 2 |≤
所以由 f ( x) ≤| a ? 1| 恒成立得 | a ? 1|≥ 3 , 即 a +1>3 或 a +1≤-3 所以 a≥2 或 a≤- 4. ????????????????????????????5 分

(Ⅱ)不等式 | x ? 1| ?2 | x ? 2 |? 3 等价于

| x ? 1| ?2 | x ? 2 |? 3 或 | x ? 1| ?2 | x ? 2 |? ?3
? ? x ? 5 ,x ≥ 1 , ? | x ? 1| ?2 | x ? 2 |? ??3 x ? 3 ,? 2 ≤ x ? 1 , ? x ? 5 ,x ? ?2 ?
图象如右: 由图知解集为 {x | x ? ?8或x ? 0} .?????????????????????10 分



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