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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学:空间中垂直关系证明的常用方法

年 级 高三 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 空间中垂直关系证明的常用方法 黄志坚 一校 黄楠 二校 林卉 审核 宋树庆 1. 空间中的垂直:掌握一个三角形,如下图所示,必须掌握每一步推理用到的依据(判 定定理、性质定理、推论或定义) 。 2. 用向量法证明空间中的垂直关系: ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?v1 ? v2 ? 0 ②设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l⊥α?v//u ③设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α⊥β?u1 ? u2 ?u1 ? u2 ? 0 例题 1 设 ?、?、? 为平面, m、n、l 为直线,则 m ? ? 的充分条件是( B. ? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ? ) A. ? ? ? ,? ? ? ? l , m ? l C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? 解析: A 选项, 缺少条件 m ? ? ; B 选项, 当 ? // ? , ? ? ? 时, C 选项, 当? , ? ,? m // ? ; 两两垂直(可以看看你现在所在房间的天花板上的墙角) ,m ? ? 同时垂直于同一条直线的两个平面平行。D 为真,故选 D。 答案:D 点拨:考查空间线面的位置关系,特别是线面垂直的判定及其性质,考查学生空间想象 能力及推理判断能力, 特别是运用特殊图形举例反证的能力。 在处理线面垂直的判定的时候, 一定要注意到直线垂直面内两条交线。 例题 2 ? 时,m ? ? ;D 选项, ,AC ? CD, 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD ?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点。 1 (1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE 。 解析: (1) 要证 CD ? AE , 可转化为证明 CD ? 平面 PAC ; (2) 要证 PD ? 平面 ABE , 可转化为证明 PD 与平面 ABE 内的两条相交直线垂直。 答案:证明: (1)在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD ,CD ? 平面 ABCD , 故 PA ? CD 。 ∵ AC ? CD,PA AC ? A , ∴CD ? 平面 PAC 。 而 AE ? 平面 PAC ,∴CD ? AE 。 (2)由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° , 可得 AC ? PA 。 ∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC 。 由(1)知, AE ? CD ,且 PC CD ? C , 所以 AE ? 平面 PCD 。 而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD 。 ∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB ? AD , ∴ AB ? PD 。 又∵ AB AE ? A , 综上得 PD ? 平面 ABE 。 点拨:本题着重考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识,同时也很好地考查 了空间想象能力、运算能力和推理论证能力。两小题均利用“线线垂直 ? 线面垂直”的相 互转化证题,这也是处理垂直问题的基本方法,在第(2)小题中还运用了三垂线定理证线 线垂直,三垂线定理及逆定理是解证线线(面)垂直的重要而有效的工具,须牢牢掌握。 满分训练 与垂直有关的开放型问题 例题 已知:如图,一个等腰直角三角形的硬纸片 ABC 中,∠ACB=90°,AC=4cm, CD 是斜边上的高,沿 CD 把△ABC 折成直二面角。 (1)如果你手中只有一把能度量长度的直尺,应该如何确定 A、B 的位置,使得平面 ACD⊥平面 BCD? 2 (2)在(1)的情况下,试在平面 ABC 上确定一点 P,使 DP 与平面 ABC 内任意一条 直线都垂直,证明你的结论。 解析: (1)用直尺度量折叠后的 AB 长,若 AB=4cm,则二面角 A-CD-B 为直二面 角。 ∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴AD=DB=CD= 2 2 cm , 又∵AD⊥DC,BD⊥DC, ∴∠ADB 是则二面角 A-CD-B 的平面角, ∵AD=DB= 2 2 cm ,当 AB=4cm 时,有 AD2+DB2=AB2,∴∠ADB=90°, ∴平面 ACD⊥平面 BCD。 (2)取△ABC 的中心 P,连接 DP,则 DP 满足条件。 ∵△ABC 为正三角形,且 AD=DB=DC, ∴三棱锥 D-ABC 为正三棱锥,由 P 为△ABC 的中心知 DP⊥平面 ABC, ∴DP 与平面 ABC 内任意一条直线都垂直。 点拨:对于探索性问题,其解决办法一般是:假设结论存在,然后运用条件推理计算, 若求出,且没有矛盾,则存在,问题解决;若导出矛盾,则否定假设,说明结论不存在,导 出矛盾的过程就是说明理由的过程。 (答题时间:30 分钟) 一、选择题 1. 设两个平面 α、β,直线 l,下列三个条件:①l⊥α;②l∥β;③α⊥β.若以其中两个作为 前提,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确的个数为( A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 ) 2. 下列四个命题:①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直;②若一条直线和平 面内的无数多条直线垂直, 则这条直线和平面垂直; ③仅当一条直线和平面内两条相交直线 垂直且过交点时这条直线才和平面垂直; ④若一条直线平行于一个平面, 则和这条直线垂直 的直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是( A. 0 个 A. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 B. 1 个 C. 2 个 ) B. 恰有 3 个 D. 有无穷多个 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( ) D. 3 个 **4. 如


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