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2018版高中数学北师大版必修五学案:第二章 习题课 正弦定理和余弦定理


学习目标 1.学会利用三角形中的隐含条件.2.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角 形中的应用.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题. 知识点一 有关三角形的隐含条件 思考 我们知道 y=sinx 在区间(0,π)上不单调,所以由 0<α<β<π 得不到 sinα<sinβ.那么 由 A,B 为△ABC 的内角且 A<B,能得到 sinA<sinB 吗?为什么? 梳理 “三角形”这一条件隐含着丰富的信息,利用这些信息可以得到富有三角形特色的变 形和结论: (1)由 A+B+C=180° 可得 sin(A+B)=________,cos(A+B)=________, A+B tan(A+B)=________,sin =________, 2 A+B cos =________. 2 (2)由三角形的几何性质可得 acosC+ccosA=____,bcosC+ccosB=____, acosB+bcosA=____. (3)由大边对大角可得 sinA>sinB?A____B. (4)由锐角△ABC 可得 sinA____cosB. 知识点二 解三角形的基本类型 完成下表: 已知条件 三边 两边及其夹角 适用定理 解的个数 两边及一边 对角 一边及两角 知识点三 三角形有关问题的解决思路 ____________ 或____________ 这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为代数问题或者三角恒等式, 再利用三角恒等变换解决问题,中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等. 类型一 利用正弦、余弦定理解三角形 引申探究 1.对于例 1 中的条件,c· cosB=b· cosC,能否使用余弦定理? 2.例 1 中的条件 c· cosB=b· cosC 的几何意义是什么? 2 例 1 在△ABC 中,若 c· cosB=b· cosC,cosA= ,求 sinB 的值. 3 反思与感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段; (2)解题时要画出三角形,将题目条件直观化,根据题目条件,灵活选择公式. 跟踪训练 1 在△ABC 中,已知 b2=ac,a2-c2=ac-bc. (1)求 A 的大小; bsinB (2)求 的值. c 类型二 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用 B+C 7 例 2 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,4sin2 -cos2A= . 2 2 (1)求 A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b 和 c 的值. 反思与感悟 (1)解三角形的实质是解方程,利用正弦、余弦定理,通过边、角互化,建立未 知量的代数方程或三角方程.(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所 求角是否符合题意等问题中有着重要的作用. A+C 6 跟踪训练 2 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, a2+c2-b2= ac.求 2sin2 5 2 +sin2B 的值. 类型三 正弦、余弦定理与平面向量的综合应用 3 → → 例 3 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,cosB= ,a=7 且AB· BC=-21.求 5 角 C. 反思与感悟 利用向量的有关知识,把问题化归为三角形的边角关系,再结合正弦、余弦定 理解三角形. 跟踪训练 3 已知△ABC 的三内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 设向量 m=(a+b, sinC), n=( 3a+c,


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