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2017年春季学期苏教版高中数学必修4教案:第八课时 平面向量的坐标运算(二)


第八课时 平面向量的坐标运算(二) 教学目标: 掌握已知平面向量的和、差,实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用. 教学重点: 平面向量的坐标运算. 教学难点: 平面向量的坐标运算. 教学过程: Ⅰ.复习回顾 平面向量的坐标运算法则. Ⅱ.讲授新课 → → [例 1]已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),那么AB与AC是否共线?线段 AB 与线段 AC 是否共线? → 解:∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), → AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又 2× 6-3× 4=0, → → → → ∴AB∥AC,∴AB与AC共线. 又直线 AB 与直线 AC 显然有公共点 A, ∴A、B、C 三点共线,即线段 AB 与线段 AC 共线. → → 综上,AB与AC共线,线段 AB 与线段 AC 也共线. [例 2]已知 求顶点 D 的坐标. ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4), → → 对此题,课本是利用向量相等(即AB=DC)来求解的,较为简便.另外,此题若利用同学们 刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的,为开拓同学们的解题思路,下 面就介绍这下面六种解法. 解法一:(利用向量加法) 先依题意在坐标系内作出 ABCD(如图),设顶点 D 的坐标为(x,y),并连结 OA、OD, → → → 则OD=OA+AD. → → → → → ∵AD=BC,∴OD=OA+BC ∴(x,y)=(-2,1)+(3-(-1),4-3) =(-2,1)+(4,1)=(2,2) ∴顶点 D 的坐标为(2,2). 解法二:(利用向量减法) 先依题意在坐标系内作出 → → → 则OD=AD-AO ABCD(如图),设顶点 D 的坐标为(x,y),并连结 OA、OD, → → → → → ∵AD=BC,∴OD=BC-AO, ∴(x,y)=(3-(-1),4-3)-(0-(-2),0-1) =(4,1)-(2,-1)=(2,2) ∴顶点 D 的坐标为(2,2). 解法三:(利用中点的向量表达式) 如图,在 ABCD 中,AC 的中点 M 即是 BD 的中点. → 1 ∵OM= 2 1 → → (OA+OC)= 2 → → (OB+OD), → → → → OA+OC=OB+OD, → → → → OD=OA+OC-OB =(-2,1)+(3,4)-(-1,3)=(2,2). ∴顶点 D 的坐标为(2,2). 解法四:(利用中点坐标公式) 如图,在 ABCD 中,AC 的中点即为 BD 的中点,设点 D 的坐标为(x,y),则 ? x ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? . ? ? y ? 3 ? 1? 4 ? 2 ? 2 解得 x=2,y=2. ∴顶点 D 的坐标为(2,2). 解法五:(利用平面内两点间的距离公式) 如图,设点 D 的坐标为(x,y). 在 有? → → → → ABCD 中,|AB|=|DC|,|BC|=|AD|, 2 2 2 2 ? ? (?1 ? 2) ? (3 ? 1) ? (3 ? x) ? (4 ? y) 2 2 2 2 ? ? (3 ? 1) ? (4 ? 3) ? ( x ? 2) ? ( y ? 1) 13 ? x? ? ?x ? 2 ? 17 解得 ? ,? . ? y ? 2 ? y ? 69 ? 17 ? 经检验 ? ?x ? 2 是方程组的解. y ? 2 ? ∴顶点 D 的坐标为(2,2).

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