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【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)合情推理与演绎推理教学案


第五节

合情推理与演绎推理

[知识能否忆起] 一、合情推理

归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征, 推 定义 出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理, 或者由个别事实概括出一般结论 的推理 特点 一般 步骤 由部分到整体、由个别到一般的推理 (1)通过观察个别情况发现某些相同性 质;(2)从已知的相同性质中推出一个明 确的一般性命题(猜想)

类比推理 由两类对象具有类似特征和其中一类对 象的某些已知特征推出另一类对象也具 有这些特征的推理 由特殊到特殊的推理 (1)找出两类事物之间的相似性或一致 性;(2)用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质, 得出一个明确的命题(猜想)

二、演绎推理 1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演 绎推理. 2.特点:演绎推理是由一般到特殊的推理. 3.模式:三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提—已知的一般原理; “三段论”的结构 ②小前提—所研究的特殊情况;③结论—根据一般原理, 对特殊情况做出的判断 ①大前提—M 是 P; “三段论”的表示 ②小前提—S 是 M; ③结论—S 是 P

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无
1

限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误

)

解析:选 C 由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的. 2.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28 C.33 B.32 D.27 )

解析:选 B 由 5-2=3,11-5=6,20-11=9. 则 x-20=12,因此 x=32. 3.(教材习题改编)给出下列三个类比结论. ①(ab) =a b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +b ; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α +β )类比,则有 sin(α +β )=sin α sin β ; ③(a+b) =a +2ab+b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +2a·b+b . 其中结论正确的个数是( A.0 C.2 解析:选 B 只有③正确. 4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地, 在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________. 1 S1h1 V1 3 ?S1? h1 1 1 1 解析: = =? ?· = × = . V2 1 ?S2? h2 4 2 8 S2h2 3 答案:1∶8 5.(2012·陕西高考)观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 4 ?? 照此规律, 第五个不等式为___________________________________________________. 解析:观察得出规律,左边为项数个连续自然数平方的倒数和,右边为项数的 2 倍减 1
2
2 2 2 2 2 2 2

n

n n

n

n

n

n

) B.1 D.3

1 1 1 1 1 2n-1 * 的差除以项数,即 1+ 2+ 2+ 2+ 2+?+ 2< (n∈N ,n≥2), 2 3 4 5 n n 1 1 1 1 1 11 所以第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案:1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理, 合情推理具有猜测和发现结论, 探索和提供 思路的作用.合情推理的结论可能为真,也可能为假,结论的正确性有待于进一步的证明. 2.应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提、 小前提与推理形式是正确的, 结论必定是正确的. 如果大前提错误, 尽管推理形式是正确的, 所得结论也是错误的.

归 纳 推 理

典题导入 [例 1] (2012·河南调研)已知函数 f(x)=

x

x+2

(x>0).如下定义一列函数:f1(x)=

f(x),f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),?,fn(x)=f(fn-1(x)),?,n∈N*,那么由归
纳推理可得函数 fn(x)的解析式是 fn(x)=________. [自主解答] 依题意得,f1(x)=

x

x+2



x x+2 x x f2(x)= = = 2 2, x 3x+4 ? 2 -1? x+2 +2 x+2 x f3(x)= x x x = = 3 ?, 由此归纳可得 fn(x)= n 3, n(x x 7x+8 ? 2 -1? x+2 ? 2 -1? x+2 +2 3x+4
3x+4

>0). [答案] ?

x
2 -1?
n

x+2n

(x>0) 由题悟法

1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的 范围.

3

2.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. [注意] 归纳推理所得结论未必正确, 有待进一步证明, 但对数学结论和科学的发现很 有用. 以题试法 1. (2012·枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列, 则第 21 行从左向右的第 5 个数 为( ) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ? A.809 C.786 解析:选 A 21 23 25 27 29 31 ? B.852 D.893 前 20 行共有正奇数 1+3+5+?+39=20 =400 个,则第 21 行从左向右
2

?

的第 5 个数是第 405 个正奇数,所以这个数是 2×405-1=809.

类 比 推 理

典题导入 [例 2] 在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c 内切圆半径为 r,则三 1 角形面积为 S△ABC= (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四个 2 面的面积分别为 S1,S2,S3,S4, 内切球的半径为 r, 则四面体的体积为________________”. [自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积, 三角形的边长类比为四面体四个面的 1 1 面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中 类比为三维图形中的 ,得 V 2 3 1 = (S1+S2+S3+S4)r. 3 1 [答案] V 四面体 ABCD= (S1+S2+S3+S4)r 3
四面体 ABCD

由题悟法 1.类比推理是由特殊到特殊的推理,命题有其特点和求解规律,可以从以下几个方面 考虑类比:类比定义、类比性质、类比方法、类比结构.

4

2.类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想). 以题试法 2.若{an}是等差数列,m、n、p 是互不相等的正整数,则有:(m-n)ap+(n-p)am+(p -m)an=0,类比上述性质,相应地,对等比数列{bn},有__________________. 解析:设{bn}的首项为 b1,公比为 q,则 bp ·bm ·bn =(b1q
0

m-n

n-p

p-m

p-1 m-n

)

·(b1q

m-1 n-p

)

·(b1q

n-1 p-m

)

=b1·q =1. 答案:bp ·bm ·bn =1
m-n n-p p-m

0

演 绎 推 理

典题导入 [例 3] 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= (1)数列? ?是等比数列;
?n? ?Sn?

n+2 Sn(n∈N*).证明: n

(2)Sn+1=4an. [自主解答] (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=

n+2 Sn, n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. 故

Sn+1 Sn =2· ,(小前提) n+1 n
? Sn ? ?n ?

故? ?是以 2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知

Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 =4· ·Sn-1=4an(n≥2).(小前提) n-1 n-1

∴Sn+1=4(n+1)·

又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) 由题悟法 演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当
5

首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略. 以题试法

3.如图所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A, 且 DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结 论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来). 证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以 DF∥EA.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)

DE∥BA 且 DF∥EA,(小前提)
所以四边形 AFDE 为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等,(大前提)

ED 和 AF 为平行四边形的对边,(小前提)
所以 ED=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成:
? ∠BFD=∠A? DF∥EA? ?? 四边形 AFDE 是平行四边形? ED=AF. ? DE∥BA ?

1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的 小前提是( A.① C.③ ) B.② D.①和②

解析:选 B 由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选 B. 2.(2012·合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)= sin(x +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确
2 2 2

) B.大前提不正确 D.全不正确

解析:选 C 因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 3.(2012·泰兴模拟)在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外

6

S1 1 接圆面积为 S2,则 = ,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体 P-ABC 的内切球体 S2 4
积为 V1,外接球体积为 V2,则 =( A. C. 1 8 1 64

V1 V2

) B. D. 1 9 1 27

V1 1 解析:选 D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = . V2 27
4. (2012·德州模拟)给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集, 为实数集, 为复数集): R C ①“若 a,b∈R,则 a-b=0? a=b”类比推出“a,c∈C,则 a-c=0? a=c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di? a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d ∈Q,则 a+b 2=c+d 2? a=c,b=d ”; ③“a,b∈R,则 a-b>0? a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0? a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1? -1<x<1”类比推出“若 z∈C,则|z|<1? -1<z<1”. 其中类比结论正确的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 B 类比结论正确的有①②. 5.观察如图所示的正方形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n≥2,n∈N )个圆点,第
*

n 个图案中圆点的总数是 Sn.按此规律推断出 Sn 与 n 的关系式为(

)

A.Sn=2n C.Sn=2
n

B.Sn=4n D.Sn=4n-4

解析:选 D 由 n=2,n=3,n=4 的图案,推断第 n 个图案是这样构成的:各个圆点 排成正方形的四条边,每条边上有 n 个圆点,则圆点的个数为 Sn=4n-4. 6.(2012·武汉市适应性训练)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(
2 2 2

)

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=1 ,S2=2 ,S3=3 ,?,推断:

Sn=n2
B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为 奇函数

7

C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=π ab D.由(1+1) >2 ,(2+1) >2 ,(3+1) >2 ,?,推断:对一切 n∈N ,(n+1) >2
2 1 2 2 2 3 * 2

2

2

2

2

x2 y2 a b

n

解析:选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列, 其前 n 项和等于 Sn= 此选 A. 1 1 1 3 7. (2013·杭州模拟)设 n 为正整数, (n)=1+ + +?+ , f 计算得 f(2)= , (4)>2, f 2 3 n 2

n? 1+2n-1?
2

=n , 选项 D 中的推理属于归纳推理, 但结论不正确. 因

2

f(8)> ,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为________.
解析:由前四个式子可得,第 n 个不等式的左边应当为 f(2 ),右边应当为 得一般的结论为 f(2 )≥ 答案:f(2 )≥
n n n

5 2

n+2
2

,即可

n+2
2

.

n+2
2

8.(2011·陕西高考)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为________. 解析:每行最左侧数分别为 1、2、3、?,所以第 n 行最左侧的数为 n;每行数的个数 分别为 1、3、5、?,则第 n 行的个数为 2n-1.所以第 n 行数依次是 n、n+1、n+2、?、 3n-2.其和为 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1) . 答案:n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)
2 2

9.(2012·杭州模拟)在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下 的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:c =a +b .设想正方形换成正方体,把 截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1,
2 2 2

S2,S3 表示三个侧面面积,S4 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可
8

得 S1+S2+S3=S4. 答案:S1+S2+S3=S4 10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三 1 角形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积 S= ×底×高;(3)三角形的中位线平行于第 2 1 三边且等于第三边的 ;?? 2 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解:由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)四面体的体积 V= ×底面积×高; 3 1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 . 4 11. 定义“等和数列”: 在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1 =2,公和为 5. (1)求 a18 的值; (2)求该数列的前 n 项和 Sn. 解:(1)由等和数列的定义,数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,易知 a2n-1=2,
2 2 2 2

2

2

2

2

a2n=3(n=1,2?),故 a18=3.
(2)当 n 为偶数时,

Sn=a1+a2+?+an=(a1+a3+?+an-1)+(a2+a4+?+an)
5 =2+2+?+n个2+3+3+?+n个3= n; 2 3 2 2 2 当 n 为奇数时,

Sn=Sn-1+an= (n-1)+2= n- .

5 2

5 2

1 2

?5n,n为偶数, ?2 综上所述:S =? 5 1 ?2n-2,n为奇数. ?
n

12.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的 四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺 绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

9

(1)求出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据你 得到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1

f? 1?



1

f? 2? -1 f? 3? -1



1

+?+

1

f? n? -1

的值.

解:(1)f(5)=41. (2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1,

f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4,
? 由上式规律,所以得出 f(n+1)-f(n)=4n. 因为 f(n+1)-f(n)=4n, 所以 f(n+1)=f(n)+4n,

f(n)=f(n-1)+4(n-1)
=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =? =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n -2n+1. (3)当 n≥2 时,
2

f?


1 1 1 1 1 = = ( - ), n? -1 2n? n-1? 2 n-1 n 1 + f? 1? f? 1 1 + +?+ 2? -1 f? 3? -1 f? 1 n? -1

1 1 1? 1 1 1 1 1 - ? =1+ ?1- + - + - +?+ 2 2 3 3 4 n-1 n? 2? ? 1? 1? =1+ ?1- ? 2? n? 3 1 = - . 2 2n

10

1.(2012·江西高考)观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =( A.28 C.123
n n
5 10 10

2

2

3

3

4

4

5

) B.76 D.199

解析:选 C 记 a +b =f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3 +4=7;(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N ,≥3), f n 则 f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7) +f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以 a +b =123. 2.对于命题:若 O 是线段 AB 上一点,则有| OB |· OA +| OA |· OB =0. 将它类比到平面的情形是: 若 O 是△ABC 内一点,则有 S△OBC· OA +S△OCA· OB +S△OBA· OC =0,将它类比到空间 情形应该是:若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有________. 解析: 将平面中的相关结论类比到空间, 通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的 几何体的体积,因此依题意可知若 O 为四面体 ABCD 内一点,则有 VO-BCD· OA +VO-ACD· OB +VO-ABD· OC +VO-ABC· OD =0. 答案:VO-BCD· OA +VO-ACD· OB +VO-ABD· OC +VO-ABC· OD =0 3.(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一 个常数: (1)sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°; (2)sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°; (3)sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°; (4)sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°; (5)sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择(2)式,计算如下: 1 2 2 sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°=1- sin 30° 2 1 3 =1- = . 4 4 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α ·cos(30°-α )= . 4 证明如下: 法一:sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )
11
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 10 *

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

=sin α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) -sin α (cos 30°·cos α +sin 30°sin α ) 3 2 3 1 3 1 2 2 2 =sin α + cos α + sin α cos α + sin α - sin α cos α - sin α 4 2 4 2 2 3 2 3 2 = sin α + cos α 4 4 3 = . 4 法二:sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) = 1-cos 2α 1+cos? + 2 60°-2α ? -sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α ) 2
2 2

2

2

1 1 1 1 3 1 2 = - cos 2α + + (cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )- sin α cos α - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α + + cos 2α + sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α - + cos 2α = . 4 4 4 4

1. (2012·江西高考)观察下列事实: x|+|y|=1 的不同整数解(x, )的个数为 4, x| | y | +|y|=2 的不同整数解(x,)的个数为 8,x|+|y|=3 的不同整数解(x,)的个数为 12, y | y ?, 则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76 C.86 B.80 D.92 )

解析:选 B 由特殊到一般,先分别计算|x|+|y|的值为 1,2,3 时,对应的(x,y)的不 同整数解的个数, 再猜想|x|+|y|=n 时, 对应的不同整数解的个数. 通过观察可以发现|x| +|y|的值为 1,2,3 时,对应的(x,y)的不同整数解的个数为 4,8,12,可推出当|x|+|y|=

n 时,对应的不同整数解(x,y)的个数为 4n,所以|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个
数为 80. 2.(2012·豫东、豫北名校测试)已知如下等式: 1 2 2 3-4= (3 -4 ), 7 1 3 3 2 2 3 -3×4+4 = (3 +4 ), 7 1 4 3 2 2 3 4 3 -3 ×4+3×4 -4 = (3 -4 ), 7

12

1 5 5 4 3 2 2 3 4 3 -3 ×4+3 ×4 -3×4 +4 = (3 +4 ), 7 则由上述等式可归纳得到 3 -3
n n-1

×4+3
n

n-2

×4 -?+(-1) 4 =________(n∈N ).
n-2

2

n n

*

解析: 依题意及不完全归纳法得, -3 3
+1

n-1

×4+3

1 n+1 2 n n n ×4 -?+(-1) 4 = [3 -(-4) 7

]. 1 n+1 n+1 答案: [3 -(-4) ] 7

13


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