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2017高中数学(人教A版选修2-1)课件1.4.3含有一个量词的命题的否定

第一章 常用逻辑用语 §1 .4 全称量词与存在量词 1.4.3 含有一个量词的命题的否定 自学导引 (学生用书P23) 1. 能够对含有一个量词的命题进行正确的否定. 2.能够进行自然语言、符号语言的相互转化. 课前热身 (学生用书P23) 1.全称命题p:?x∈M,p(x)的否定綈p:________;全 称命题的否定是________. 2.特称命题p:?x∈M,p(x)的否定綈p:______,; 特称命题的否定是________. 答案 1.?x∈M,綈 p(x) 2.?x∈M,綈 p(x) 特称命题 全称命题 名师讲解 (学生用书P23) 全称命题和特称命题的否定,其模式是固定的,即相应 的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词.具有的 性质 p 变为具有性质綈 p.要熟练掌握常用词语的否定,对否 定含量词的命题很有利. 在实际应用中, 若从正面证明全称命题“?x∈D, p(x)” 不容易,可证其反面“?x0∈D,綈 p(x0)”是假命题,反之亦 然. 典例剖析 (学生用书P23) 题型一 特称命题的否定 例1 写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真 假: (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)?x∈R,x2+1<0. 解 (1)命题的否定是:“不存在一个实数,它的绝对值 是正数”,也即“所有实数的绝对值都不是正数”.由于|- 2|=2,因此命题的否定为假命题. (2)命题的否定是:“没有一个平行四边形是菱形”,也 即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边 形,因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定是:“不存在x∈R,x2+1<0”,也即 “?x∈R,x2+1≥0”.由于x2+1≥1≥0,因此命题的否定 是真命题. 规律技巧 特称命题的否定,一般是存在量词前加 “不”或者把存在量词改为全称量词.存在性命题的否定是全 称命题,全称命题的否定,一般是在全称量词前面加上“并 非”;或把全称量词改为存在量词的同时对判断词进行否定. 变式训练1 写出下列特称命题的否定,并判断其真 假. (1)p:?x∈R,x2+2x+2≤0; (2)q:至少有一个实数x,使x3+1=0; (3)r:有些三角形是锐角三角形. 解 (1)綈 p:?x∈R,x2+2x+2>0,綈 p 为真命题. (2)綈 q:?x∈R,x3+1≠0. ∵当 x=-1 时,有 x3+1=0, ∴綈 q 是假命题. (3)綈 r:所有的三角形不是锐角三角形. 或:綈 r:x∈{三角形},x?{锐角三角形}.綈 r 为假命 题. 题型二 全称命题的否定 例2 写出下列全称命题的否定,并判断其真假. (1)p:?x∈R,2x+1≥0; 1 (2)q:?x∈R,x -x+4≥0; 2 (3)r:一切分数都是有理数. 分析 全称命题的否定是特称命题.特称命题的真假只 要找出一个特例即可. 解 (1)綈 p:?x∈R,使 2x+1<0,綈 p 为真命题. 1 (2)綈 q:?x∈R,使 x -x+4<0. 2 1 12 ∵x -x+ =(x- ) ≥0,?x∈R,恒成立. 4 2 2 ∴綈 q 是假命题. (3)綈 r:有些分数不是有理数,綈 r 是假命题. 变式训练 2 写出下列全称命题的否定,并判断其真假. (1)p:对所有的正实数 x,都有 x<x; (2)q:?x∈R,2x3+3x≥17; (3)r:?x∈R,sinx+cosx≤ 2. 解 (1)綈 p:?x∈R+,使 x≥x. 1 当 x=4时,有 x≥x 成立,∴綈 p 为真命题. (2)綈 q:?x∈R,使 2x3+3x<17 当 x=1 时,綈 q 成立. ∴綈 q 是真命题. (3)綈 r:?x0∈R,sinx0+cosx0> 2. π ∵sinx+cosx= 2sin(x+4)≤ 2恒成立, ∴綈 r 是假命题. 题型三 含有一个量词的命题的否定 例3 写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根; (2)q:存在一个实数x0,使得x2 0+x0+1≤0; (3)r:等圆的面积相等,周长相等. 分析 先转化为“标准的”特称或全称命题,再对关键 词语进行否定. 解 (1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方 程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是 綈p:存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根. 1 注意到当Δ=1+4m<0时,即m<- 时,一元二次方程没 4 有实数根,所以綈p是真命题. (2)这一命题的否定形式是綈q:?x∈R,都有x2+x+ 12 3 1>0,由x +x+1=(x+2) +4>0知. 2 綈q是真命题. (3)这一命题的否定形式是綈r:存在二个等圆,其面积 不相等或周长不相等.由平面几何知识知綈r是假命题. 规律技巧 分清所给命题是全称命题还是特称命题是正 确写出其否定的关键,同时要熟悉常用量词的否定形式. 变式训练3 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:?x>1,log2x>0; (2)p:直线l⊥平面α,则对任意l′?平面α,l⊥l′; (3)p:?x0>1,使x2 0-2x0-3=0. 解 (1)綈p:?x0>1,log2x0≤0. ∵当x>1时,log2x>0, ∴綈p为假命题. (2)綈p:直线l⊥平面α,?l′?α,l与l′不垂直. ∵直线l⊥平面α,l′?α,∴l⊥l′, ∴綈p是假命题. (3)綈p:?x>1,使x2-2x-3≠0. ∵当x=2>1时,x2-2x-3≠0, ∴綈p是真命题. 题型四 全称命题、特称命题的应用 例4 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒 成立,并说明理由; (2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(


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