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2.2.2对数函数及其性质(第一课时——对数函数概念、图像、性质)


2.2.2 对数函数及其性质

高一第一级部

于其静

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复习引入
1. 指数式与对数式的相互转化

ab=N

?

logaN=b

logc b 2.换底公式:log b= a logc a
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3. 某种细胞分裂时,得到的细胞的 个数y是分裂次数x的函数,这个函数 可以用指数函数y=2x表示.
分裂次数x就是细胞个数y的函 数.这个函数写成对数的形式是:

x=log2y
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x=log2y
如果用x表示自变量,y表示函 数,这个函数就是:y=log2x

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讲授新课
探究1. 对数函数的定义:
一般的,我们把函数y=logax (a>0且a≠1)

叫做对数函数,其中x是自变量. 温馨提示:1、函数的定义域为 (0,+∞) 2、底数a的取值范围是 (a>0且a≠1)

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例1.求下列函数的定义域: (1)y=logax2
2

(2)y=loga(4-x)

解:( 1 )由 x ? 0得x ? 0,所以 y ? loga x 的定 义 域 为 {x x ? 0}
2

(2) 由4 - x ? 0得x ? 4,所以 y ? loga (4 ? x)的定 义 域 为 {x x ? 4}.
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现场小秀1:
求 函 数 的 定 义 域 : 1 (1)y ? ; (2)y ? log1 (x ? 1)(x ? 3) log2 x 5

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y ? log 2 x的 图 象 x lg x y ? log 1 x ? y=log2x 1 2 lg 2 y=log x 1 2 y lg x ? ? ? log 2 x 4 ? lg 2 3
2

通过列表、描点、连线作出 探究2. 对数函数的图象:
1 2

1与 2 4 8 0 0

... ...

-1

1 2 3
-1 -2
-3

1

...

● ● 4 5

O
思考:两图象 有什么关系?

1

y ? log 2 x
6



● 1 2 3 -1 ●

y ? log 1 x
2

7 8

9

x

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探究3 对数函数的性质
a> 1 0< a< 1
y

图 象

y
O

x

O

x

性 x∈(0, 1)时,y<0; x∈(0, 1)时,y>0 质 x∈(1, +∞)时,y>0. x∈(1, +∞)时,y<0.
在(0,+∞)上是增函数

定义域:(0, +∞); 值域:R 过点(1, 0),即当x=1时,y=0.

在(0,+∞)上是减函数
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例2 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4 , log28.5

(2)log0.2 1.8 , log0.22.7 (3)loga5.1 , loga5.9 (a>0,且a≠1)

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现场小秀2: 1. 已知下列不等式,比较正数m,n大小 (1)log3m>log3n; (2)log0.3m<log0.3n; (3)logam >logan(a>1); (4)log am >log an(o<a<1). 2. 函数y=2+logax (a>0, a≠1)

的图象恒过定点 (1,2) .
3. 函数y=2+loga (x+1) (a>0, a≠1) 的图象恒过定点 (0,2 ) 湖南省长沙市一中卫星远程学校

y ? log x 1 y ? log x 及 的图象 画出函数 3 3 并且说明这两个函数的图与 y ? log x 及 y ? log 1 x 2
相对位置关系.
2

探究3:

y

y ? log 3 x
2 3 4 5 6 7 8 9

O

y ? log 1 x
3

x

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深层次探究4:

选取不同底数a(a>0,且a≠1)的若 干个不同的值,在同一坐标平面内 作出相应的对数函数图象,观察图 象,你能发现它们有哪些特征吗?

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f ( x) ? loga x

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f ( x) ? loga x

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f ( x) ? loga x

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f ( x) ? loga x

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再来一遍
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归纳总结: 1、从x轴正向开始围绕定点(1,0)顺时针旋 转,对数函数的底数由 小变大; 2、当对数的底数互为倒数时,图象关于x轴 对称。
y=logax y=logbx 现场小秀3:如 图是四个对数函 数图像,用“<" 将a,b,c,d与1与0 的关系连接起来

y=logcx y=logdx
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0<c<d<1<a<b

当堂清:
1、函数y=log2(4x-8)的定义域为 A. [2,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) ( B ) D.(-∞,2]
D)

2、函数y=loga(x-2)+1(a>0且a≠1)恒过定点 (
A.(2,1) B.(1,0) C.(1,3) D.(3,1)

3、已知集合M={x│x<3},N={x│log2x>1},则M∩N=( C ) A.Ф B.{x│0<x<3} C. .{x│2<x<3} D.{x│1<x<3} 4、用"<"把下列式子连接起来,

log53 , log43 , log0.23, log0.53;

log0.53< log0.23 <log53 < log43
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课堂小结:对数函数y=logax的性质
a> 1 0< a< 1
y

图 象

y
O

x

O

x

性 x∈(0, 1)时,y<0; x∈(0, 1)时,y>0 质 x∈(1, +∞)时,y>0. x∈(1, +∞)时,y<0.
在(0,+∞)上是增函数

定义域:(0, +∞); 值域:R 过点(1, 0),即当x=1时,y=0.

在(0,+∞)上是减函数
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课后作业
1、教材P74:7、10

2、挑战自我:
已知函数y=loga(x+1) (a>0, a≠1)

的定义域与值域都是[0, 1],求a的值.

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