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高中数学2-3等差数列的前n项和(3课时)课件新人教A版必修


2.3

等差数列的前n项和

第一课时

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.等差数列的内涵特征是什么? 如何用 递推公式描述?

从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数.

an - an - 1 = d (n ? 2)
或an-1+an+1=2 an(n≥2).

am ? an ? ap ? aq

2.等差数列的通项公式是什么?
an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=pn+q.

3.在等差数列{an}中 am ? an ? a p ? aq 的条件是什么?特别地,a1+an可以等 于什么?
am ? an ? ap ? aq

m+n=p+q

? am ? an ? a p ? aq

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….

4.数列的通项公式能反映数列的基本特 性,在实际问题中常常需要求数列的前n 项和.对于等差数列,为了方便运算,我 们希望有一个求和公式,这是一个有待 研究的课题.

知识探究(一):求和公式的推导

思考1:有一堆钢管如图摆放,你有什么 办法快速数出这堆钢管的总数?

思考2:200多年前,高斯的算术老师提 出了下面的问题: 1+2+3+?+100=? 据说高斯很快就算出了正确答案,你知道 他是如何计算的吗?

(1+100)+(2+99)+?+(50+51) =101×50=5050.

思考3:高斯的算法实际上解决了求等差 数列1,2,3,?,n,?前100项的和的 问题,利用这个算法,1+2+3+?+n 等于什么?

n( n ? 1) 2

思考4:上述算法叫做倒序相加法.一般 地,设等差数列{an}的前n项和为Sn,即

S n = a1 + a2 + L + an ,利用倒序
n(a1 ? an ) Sn ? 2

相加法如何求Sn?所得结果如何?

n ( a + a ) 1 n 思考5: S n = 就是等差数列 2

的前n项和公式,用文字语言如何表述这 个公式? 等差数列前n项和等于首项与末项的和的 一半与项数的积.

知识探究(二):求和公式的变通

思考1:若n为奇数,则 a1 + an = 2a 1+ n
2

据此,等差数列前n项和公式可变形为什 么?

S n = na 1+ n
2

思考2:将an=a1+(n-1)d代入等差数 列前n项和公式,则求和公式变形为什么?

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

思考3:将a1=an-(n-1)d代入等差数 列前n项和公式,则求和公式变形为什么?

n (n - 1)d S n = nan 2

思考4:如何用a1,an,d三个元素表示Sn?

a n - a1 Sn = ( + 1)(a1 + an ) d

理论迁移

例1 在等差数列{an}中,已知

a3 ? a5 ? 40 ,求S7.
7(a1 + a 7 ) 7 ? 40 S7 = = = 140 2 2

例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在 中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提 出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起 用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校 园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元,为了保证工程的顺利实施,计划 每年投入的资金比上一年增加50万元。那么从 2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程 的总投入是多少?市出租车的计价标准为1.2元 /km,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米) 计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处 的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付 多少车费?

S10=7250(万元).

例3 已知一个等差数列{an}的前10项 的和是310,前20项的和是1220,求这 个等差数列的前n项和.

S n = 3n + n

2

小结作业

1.凡是与首末两端等距离的两项之和相 等的数列,都可以用倒序相加法求前n项 和.

n (a1 + an ) n (n - 1)d = na1 + 2. S n = 2 2 是求等差数列前n项和的两个基本公式, 应用时要根据已知条件灵活选取.

3.求等差数列前n项和,一般需要三个条 件,解题时常需要将已知条件进行转化, 有时可用整体思想求a1+an.

作业:
P45练习:1. P46习题2.3A组:2,3, 4.

2.3

等差数列的前n项和
第二课时

问题提出

1.等差数列的递推公式是什么?

an - an - 1 = d (n ? 2)
an-1+an+1=2an(n≥2)

2.等差数列的通项公式是什么?在结构 上它有什么特征?
an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=pn+q.

在结构上是关于n的一次函数. 3.等差数列前n项和的两个基本公式是什 么?

n(n ? 1)d n (a1 + an ) Sn = , S n ? na1 ? 2 2

4.深入研究等差数列的概念与前n项和公 式及通项公式的内在联系,可发掘出等 差数列的一系列性质,我们将对此作些 简单探究.

探究(一):等差数列与前n项和的关系

n (a1 + an ) , 思考1:若数列{an}的前n和 S n = 2

那么数列{an}是等差数列吗? {an}是等差数列 ?

Sn

n (a1 + an ) 2

思考2:将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数,这个函数有什 么特点?

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数.

思考3:一般地,若数列{an}的前n和 Sn=pn2+qn,那么数列{an}是等差数列 吗?若Sn=pn2+qn+r呢?
?

{an}是等差数列 ? Sn=pn2+qn.

Sn 思考4:若{an}为等差数列,那么 { } n 是什么数列?

Sn {an}是等差数列 ? { } 为等差数列 n

思考5:等差数列的求和公式可化为
n (n - 1)d S n = nan , 2

一般地,若数列{an}的前n和

S n = nan + pn (n - 1),
那么数列{an}是等差数列吗? {an}是等差数列

? Sn

nan + pn (n - 1)

探究(二):等差数列前n项和的性质

思考1:在等差数列{an}中,Sn,S2n,S3n 三者之间有什么关系? S3n=3(S2n-Sn) 思考2:在等差数列{an}中,设S1=a2+ a4+?+a2n,S2=a1+a3+?+a2n-1,

则S 1 -S 2 与

S 1 an + 1 = S1-S2=nd, S a

S1 S2

分别等于什么?

思考3:设等差数列{an}、{bn}的前n项
an 和分别为Sn、Tn,则 等于什么? bn an S 2 n ?1 ? bn T2 n ?1

思考4:在等差数列{an}中,若a1>0, d<0,则Sn是否存在最值?如何确定其 最值?

当ak≥0,ak+1<0时,Sk为最大.

理论迁移

的前n项和为Sn,求当n为何值时Sn取最 大值. n =7 或8
例2 设等差数列{an}的公差为-2,且

2 4 例1 设等差数列 5, 4 , 3 ,? 7 7

a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a97 ? 50 ,求

a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 的值.
-82

小结作业

1.以等差数列前n项和为背景可引发出许 多性质,作为研究性学习,其结论不要求 记忆,但要了解探究这些性质的数学思想 方法和技巧,并在解题中灵活运用.
2.等差数列的定义、通项公式、求和公 式是等差数列的基本知识点,在运用中 具有很大的灵活性和较强的技巧性,适 当了解等差数列的一些基本性质,会给 解题带来一定的帮助.

3.在等差数列的基本运算中,要注意整 体代入,回避非必求量,简化运算过程, 提高解题效率.对于与前n项和有关的问 题,不一定要用求和公式,有时作非公 式化处理更简单.

作业: P45练习:2,3. P46习题2.3A组:5,6.

2.3

等差数列的前n项和

第三课时

知识整理

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.等差数列的定义特征 从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数. 2.等差数列的递推公式

an - an - 1 = d (n ? 2)
或an-1+an+1=2 an(n≥2).

3.等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=pn+q.

4.等差数列的前n项和公式

n (a1 + an ) n (n - 1)d Sn = = na1 + 2 2

4.等差数列的主要性质
(1)若数列{an}、{bn}都是等差数列, 则数列{pan},{an+an+1},{an+bn}, {an-bn}也是等差数列. (2)m+n=p+q ?

am ? an ? a p ? aq

(3){an}是等差数列 ? Sn=pn2+qn. Sn an ? { }为等差数列? S n n ( p + ) 2 n

(4)S3n=3(S2n-Sn).
(5) 设等差数列{an}、{bn}的前n项

an S 2 n ?1 ? 和分别为Sn、Tn,则 . bn T2 n ?1
(6)当ak≥0,ak+1<0时,Sk为最大;
当ak≤0,ak+1>0时,Sk为最小.

应用举例

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

例1 已知一个等差数列共有偶数项, 其中偶数项之和为30,奇数项之和为24, 末项与首项之差为10.5,求这个等差数 列的首项、公差和项数.
首项为

3 2

3 3 首项为 ,公差为 , 项数为8. 2 2

例2 已知一个等差数列的前12项之和

为354,且前12项中偶数项的和与奇数 项的和之比为32:27,求这个等差数列
的公差.

d ?5

例3 已知等差数列{an}的前n项和

S n = n - 20n ,求数列{|an|}的前n项 和 Tn .
2 ì n + 20 n , (1 # n 10) ? ? ? Tn = í 2 ? n - 20n + 200, (n ? 11) ? ? ?

2

例4 在等差数列{an}中,已知a1=2,
S10=0,求a11+a12+?+a20的值.
400 9

作业:
P46习题2.3B组:1,2,3,4.



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