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浙江省2016届高三数学专题复习 专题二 三角函数与平面向量模拟演练 理


专题二

三角函数与平面向量
经典模拟·演练卷

一、选择题 1.(2015·德州模拟)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=( A.1 C.3 B.2 D.5 )

2.(2015·吉林实验中学三模)已知向量 a=(sin θ ,-2),b=(1,cos θ ),且 a⊥b,则 sin 2θ +cos θ 的值为( A.1 1 C. 2
2

) B.2 D.3

π? ? 3. (2015·宁波三模)已知函数 f(x)=2sin?ω x- ?+1(x∈R)图象的一条对称轴为 x=π , 6? ? 其中 ω 为常数,且 ω ∈(1,2),则函数 f(x)的最小正周期为( 3π A. 5 9π C. 5 B. D. 6π 5 12π 5 )

π 4. (2015·河北质检)已知函数 f(x)=sin 2x 的图象向左平移 个单位后, 得到函数 y=g(x) 6 的图象,下列关于 y=g(x)的说法正确的是( )

? π ? A.图象关于点?- ,0?中心对称 3 ? ?
π B.图象关于 x=- 轴对称 6 π? ? 5π C.在区间?- ,- ?上单调递增 6? ? 12

? π π? D.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3?
5.(2015·南昌调研)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) π +6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 9 3 B. 2 3 3 C. 2 ) D.3 3
2 2

? π? 6.(2015·湖州模拟)已知偶函数 f(x),当 x∈?0, ?时 f(x)=xsin x,设 a=f(cos 1), 2? ?
b=f(cos 2),c=f(cos 3),则 a,b,c 的大小关系为(
)

1

A.a<b<c C.c>b>a 二、填空题

B.c>a>b D.a>c>b

π? π ? 7.(2015·杭州高级中学模拟)将函数 f(x)=2sin?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单 3 3ω ? ?

? π? 位, 得到函数 y=g(x)的图象, 若 y=g(x)在?0, ?上为增函数, 则 ω 的最大值为________. 4? ?
→ → → → → → →

8.(2015·德州模拟)已知向量AB与AC的夹角为 60°,且|AB|=|AC|=2,若AP=λ AB+AC,
→ →

且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________. 9.(2015·嘉兴一中模拟)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ac=b -a ,
2 2

A= ,则 B=________.
三、解答题 10 . (2015· 武 汉 模 拟 改 编 ) 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x) = Asin(ω x + π? ? φ )?ω >0,|φ |< ?在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: 2? ? ω x+φ 0 π 2 π 3 0 5 π 3π 2 5π 6 -5 0 2π

π 6

x Asin(ω x+φ )

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ (θ >0)个单位长度, 得到 y=g(x)的图象. 若y =g(x)图象的一个对称中心为?

?5π ,0?,求 θ 的最小值. ? ? 12 ?

11.(2015·舟山中学调研)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 3acos A=ccos

B+bcos C.
(1)求 cos A 的值; 2 3 (2)若 a=2 3,cos B+cos C= ,求边 c. 3

2

1 ?π ? 2 12.(2015·杭州学军中学模拟)已知函数 f(x)= 3sin ω x·sin? +ω x? -cos ω x- 2 ?2 ? π (ω >0),其图象两相邻对称轴间的距离为 . 2 (1)求 ω 的值及 f(x)的单调增区间; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c= 7,f(C)=0,若向量 m=(1, sin A)与向量 n=(3,sin B)共线,求 a,b 的值.

经典模拟·演练卷 1.A [∵|a+b|= 10,|a-b|= 6, ∴a +b +2a·b=10,a +b -2a·b=6, 两式相减得:4a·b=4,∴a·b=1,故选 A.] 2.A [由 a⊥b,知 a·b=0,∴sin θ -2cos θ =0,则 tan θ =2. 2sin θ cos θ +cos θ 2tan θ +1 2 故 sin 2θ +cos θ = = =1.] 2 2 2 sin θ +cos θ tan θ +1 3.B [∵f(x)的图象关于直线 x=π 对称, π π 2 ∴ω π - =kπ + ,则 ω =k+ ,k∈Z. 6 2 3 5 又 1<ω <2,因此取 k=1,则 ω = , 3 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π 6π = .] ω 5
2 2 2 2 2

π? ? 4.C [依题意,y=g(x)=sin?2x+ ?, 3? ? π 令 2x+ =kπ ,k∈Z,A 不满足,A 错误, 3 π π ? π? 当 x=- 时,g?- ?=sin 0=0,则图象不关于 x=- 对称,B 错. 6 6 ? 6? 5π π π π 当- ≤x≤- 时,- ≤2x+ ≤0,因此 C 正确.] 12 6 2 3 5.C [由 c =(a-b) +6 得 c =a +b -2ab+6. 由余弦定理得 c =a +b -ab,∴ab=6,
2 2 2 2 2 2 2 2

3

1 1 3 3 3 ∴S= absin C= ×6× = .] 2 2 2 2

? π? 6.B [当 x∈?0, ?时,f′(x)=sin x+xcos x>0. 2? ? ? π? ∴f(x)在区间?0, ?上是增函数, 2? ? ? π ? 由 f(x)为偶函数,得 y=f(x)在区间?- ,0?上是减函数. ? 2 ?
∵cos 1=-cos(π -1),则 f(cos 1)=f[cos(π -1)] 又 y=cos x 在区间[0,π ]上是减函数,且 3>π -1>2, 则-1<cos 3<cos(π -1)<cos 2<0, 所以 f(cos 3)>f[cos(π -1)]>f(cos 2),即 c>a>b.]

? π? 7.2 [依题意 g(x)=2sin ω x,∵y=g(x)在?0, ?上为增函数, 4? ?
πω π ∴0≤ω x≤ ≤ ,则 ω ≤2,故 ω 的最大值为 2.] 4 2

















8.1 [由BC=AC-AB且AP⊥BC,AP=λ AB+AC,
→ → → → → →

∴AP·BC=(λ AB+AC)·(AC-AB)=0.
→ 2 → 2 → →

因此AC -λ AB +(λ -1)AB·AC=0,(*)
→ → → →

又〈AB,AC〉=60°,|AB|=|AC|=2. 故(*)式化为 4-4λ +(λ -1)×2×2cos 60°=0,解之得 λ =1.] π 9. 3
2

[由余弦定理,a =b +c -2bccos A.
2 2 2 2

2

2

2

∴a -b =c - 3bc.又 ac=b -a , ∴ 3bc=ac+c ,即 a= 3b-c. 由正弦定理,得 sin A= 3sin B-sin C 3 ?5 ? 1 又 sin C=sin? π -B?= cos B+ sin B 2 ?6 ? 2 1 1 3 3 1 从而 = 3sin B- cos B- sin B= sin B- cos B. 2 2 2 2 2 π π π ? π? 1 ∴sin?B- ?= ,在△ABC 中,B- = ,则 B= .] 6? 2 6 6 3 ? π 10.解 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω =2,φ =- .数据补全如下表: 6
2

4

ω x+φ

0 π 12 0

π 2 π 3 5

π 7π 12 0

3π 2 5π 6 -5

2π 13 π 12 0

x Asin(ω x+φ )

π? ? 且函数表达式为 f(x)=5sin?2x- ?. 6? ? π? ? (2)由(1)知 f(x)=5sin?2x- ?,根据图象变换,得 6? ? π? ? g(x)=5sin?2x+2θ - ?.

?

6?

因为 y=sin x 的对称中心为(kπ ,0),k∈Z. π kπ π 令 2x+2θ - =kπ ,解得 x= + -θ ,k∈Z. 6 2 12 由于函数 y=g(x)的图象关于点? 令

?5π ,0?成中心对称, ? ? 12 ?



π 5π kπ π + -θ = ,得 θ = - ,k∈Z. 2 12 12 2 3

π 由 θ >0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 6 11.解 (1)由正弦定理及 3acos A=ccos B+bcos C 得 3sin Acos A=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C) ∵B+C=π -A,∴3sin Acos A=sin A. 1 又 sin A>0,从而 cos A= . 3 1 (2)∵A∈(0,π ),cos A= , 3 2 2 ∴sin A= , 3 2 3 又∵cos B+cos C= , 3 2 3 ∴cos[π -(A+C)]+cos C= , 3 整理得 cos C+ 2sin C= 3,① 又 sin C+cos C=1,② 由①,②联立,得 sin C= 6 , 3
2 2

5



a c asin C = ,得 c= = sin A sin C sin A

2 3· 2 2 3

6 3

=3.

1+cos 2ω x 1 12.解 (1)f(x)= 3sin ω xcos ω x- - 2 2 = π? 3 1 ? sin 2ω x- cos 2ω x-1=sin?2ω x- ?-1. 6? 2 2 ?

π 因为函数图象两相邻对称轴间的距离为 . 2 ∴f(x)的最小正周期 T=π , 2π 又 T= , 2ω π? ? ∴ω =1,从而 f(x)=sin?2x- ?-1, 6? ? π π π 令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 π π 得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 6 3 π π? ? ∴函数 f(x)的单调增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ? π? π? ? ? (2)由(1)知:f(x)=sin?2x- ?-1 所以 sin?2C- ?=1, 6? 6? ? ? π π 11 因为 0<C<π ,所以- <2C- < π , 6 6 6 π π π 所以 2C- = ,即 C= , 6 2 3 由已知 m∥n 可得 sin B-3sin A=0, 在△ABC 中,由正弦定理得 b-3a=0,① 由余弦定理得 c =a +b -2abcos C,又已知 c= 7, 所以 7=a +b -ab,② 由①②联立,解得 a=1,b=3.
2 2 2 2 2

6


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