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【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-2教学课件:第二章 推理与证明 2、2-2-1


第二章 推理与证明

(选修2-2)

2.2

直接证明与间接证明 综合法与分析法

2.2.1

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第二章 推理与证明

(选修2-2)

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第二章 推理与证明

(选修2-2)

理解综合法和分析法的概念及它们的区别,能熟练地 运用综合法、分析法证题.

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(选修2-2)

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第二章 推理与证明

(选修2-2)

本节重点:综合法与分析法的概念及用分析法与综合 法证题的过程、特点. 本节难点:用综合法与分析法证明命题.

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第二章 推理与证明

(选修2-2)

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第二章 推理与证明

(选修2-2)

综合法和分析法
综合法 分析法

定义

利用已知条件 和某 从要证明的 结论出发 , 些数 逐步寻求使它成立 学 定义 、 公理 、 的 充分条件 ,直至最 定理 等,经过一 后,把要证明的结论归结 系列的 推理论证 , 为判定一个明显成立的条 定理、 件(已知条件、 最后推导出所要证明 的结论成立,这种证 定义、公理 等),这种证 明方法叫做综合法 明方法叫做分析法

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第二章 推理与证明

(选修2-2)

综合法

分析法

框图 表示
(P表示 已知条件、已有的 定义、公理、定理 等, Q表示所要证明的结论) 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法

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第二章 推理与证明

(选修2-2)

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第二章 推理与证明

(选修2-2)

[例 1] +b+c).

1 2 已知 a, b, c>0.求证: a +b +c ≥ (a +b2+c2)(a 3
3 3 3

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[分析] 不等式中的a,b,c为对称的,所以从基本的 不等式定理入手,先考虑两个正数的均值定理,再根据不 等式的性质推导出证明的结论.

第二章 推理与证明

(选修2-2)

[证明] ∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b).

∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2.
∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理:b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2. 将三式相加得: 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2,
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∴ 3(a3 + b3 + c3)≥(a3 + a2b + a2c) + (b3 + b2a+ b2c) + (c3
+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2). 1 2 3 3 3 ∴a +b +c ≥3(a +b2+c2)(a+b+c).

第二章 推理与证明

(选修2-2)

[点评] 1.综合法证明问题的步骤 第一步:分析条件,选择方向.仔细分析题目的已知

条件 ( 包括隐含条件 ) ,分析已知与结论之间的联系与区别,
选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方 法. 第二步:转化条件,组织过程.把题目的已知条件, 转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种
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语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语
言,清晰的思路.

第二章 推理与证明

(选修2-2)

第三步:适当调整,回顾反思.解题后回顾解题过程, 可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,

反思总结解题方法的选取.
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(选修2-2)

2.综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性 质和已知的重要不等式,其中常用的有如下几个: ①a2≥0(a∈R). ②(a-b) ≥0(a、b∈R),其变形有 a +b
2 ( a + b ) 2 ≥ab,a2+b2≥ 2 . 2 2 2
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?a+b? ? ≥2ab,? ? 2 ? ? ?

a+b b a ③若 a、b∈(0,+∞),则 2 ≥ ab,特别是a+b≥2. ④a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a、b、c∈R).

第二章 推理与证明

(选修2-2)

3.综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据也 是三段论式的演绎推理方法.一般问题都是用综合法解决

的,要保证前提条件正确,推理合乎规律,这样才能保证
结论的正确性.
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第二章 推理与证明

(选修2-2)

[例 2]

a b 已知 a>0,b>0,求证: + ≥ a+ b. b a
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[分析] 要证明上述不等式成立,暂无条件可用,这 时可以从所要证明的结论出发,逐步反推,寻找使当前命 题成立的充分条件,即用分析法证明. a b [证明] ∵a>0,b>0,要证 + ≥ a+ b成立, b a
? 只需证? ? ?

a b? 2 2 + ? ≥ ( a + b ) 成立, b a? ?

a2 b2 即证 b + a +2 ab≥a+b+2 ab成立.

第二章 推理与证明

(选修2-2)

a3+b3 即证 ≥a+b. ab 也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立. 即 a2-2ab+b2≥0,也就是证(a-b)2≥0 成立. a b ∵(a-b) ≥0 恒成立,∴ + ≥ a+ b. b a
2
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第二章 推理与证明

(选修2-2)

[点评 ]

(1) 分析法证明不等式的依据是不等式的基本

性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;

(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发,
逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已 知(或已证)的不等式; (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要 证”、“只需证”、“即证”等词语.
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第二章 推理与证明

(选修2-2)

[点评] 综合法和分析法各有优缺点.从寻找解题思 路来看,综合法由因导果,往往枝节横生,不容易奏效; 分析法执果索因,常常根底渐近,有希望成功,就表达证 明过程而论,综合法形式简洁,条理清晰;分析法叙述繁 琐,文辞见长.也就是说分析法利于思考,综合法宜于表 述.因此,在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起 来运用,先以分析法为主导求解题思路,再用综合法有条
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理地表述解答或证明过程.

第二章 推理与证明

(选修2-2)

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第二章 推理与证明

(选修2-2)

一、选择题 1.用分析法证不等式:欲证①A>B,只需证②C<D,

这里①是②的
A.既不充分也不必要条件 B.充要条件 C.充分条件 D.必要条件

(

)
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[答案] D
[解析] ∵②?①,但①不一定推出②.故应选D.

第二章 推理与证明

(选修2-2)

2.若 a,b,c∈R,且 ab+bc+ac=1,则下列不等 式成立的是 A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3 1 1 1 1 C. + + ≥2 3 D.abc(a+b+c)≤ a b c 3 [答案] B
[解析] 因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,
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(

)

将三式相加得2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc,
即a2+b2+c2≥1. 又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, 所以(a+b+c)2≥1+2×1=3,B成立.故应选B.

第二章 推理与证明

(选修2-2)

3.设a,b,c∈R,且a,b,c不全相等,则不等式a3 +b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是 C.a+b+c≥0 D.a+b+c>0 [答案] C [解析] a3+b3+c3-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) ( )
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A.a,b,c全为正数 B.a,b,c全为非负实数

= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]
而a,b,c不全相等?(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0,故 a3+b3+c3≥3abc?a+b+c≥0.故应选C.

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(选修2-2)

二、填空题 4.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则在 a+b,2 ab,a2+b2 和 2ab 中最大的是________.
[答案] a+b
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[解析]

已知 a+b>2 ab,a2+b2>2ab,

又 a+b-(a2+b2)=a(1-a)+b(1-b)>0. 1 1 5 1 2 也可用特值法取 a=2,b=8,则 a+b=8,2 ab=2,a 17 1 +b = ,2ab= ,显见 a+b 最大,故只能是填 a+b. 64 8
2

第二章 推理与证明

(选修2-2)

5. 设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a、b、 c 的大小关系为________.
[答案] a>c>b
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[解析]

∵a、b、c 都是正数,又 a2-c2=2-(8-4 3)

=4 3-6= 48- 36>0,∴a>c. 6- 2 7+ 3 c ∵ = = >1,∴c>b. b 7- 3 6+ 2

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