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(新课标)高中数学《3.1.1 变化率问题》课件 新人教A版选修1-1


第三章

导数及其应用

3.1

变化率与导数

3.1.1 变化率问题

【课标要求】 1.通过实例分析、了解函数平均变化率的意义. 2.会求函数f(x)在x0到x0+Δ x之间的平均变化率. 3.掌握求函数f(x)在x0到x0+Δ x之间的平均变化率的方法与步 骤. 【核心扫描】 1.求函数f(x)在x0到x0+Δ x之间的平均变化率.(重点) 2.理解实际问题中的平均变化率.(难点)

自学导引 1.函数的变化率的定义 f(x2)-f(x1) 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ,习惯上 x1-x2 用Δ x表示x2-x1,即Δ x=x2-x1,可把Δ x看作是相对于x1的 一个“增量”,可用x1+Δ x代替x2;类似地,Δ y=f(x2)- Δy f(x1),于是平均变化率可以表示为 . Δx Δ y f(x2)-f(x1) f(x1+Δ x)-f(x1) 即 = = 称为函数在区 Δx x2-x1 Δx 间[x1,x2]上的平均变化率.

2.平均变化率的计算公式 自变量的改变量Δ x=x2-x1 ↓ 函数的改变量Δ y=y2-y1=f(x2)-f(x1) =f(x0+Δ x)-f(x0) ↓ Δ y y2-y1 f(x2)-f(x1) f(x0+Δ x)-f(x0) = = = Δ x x2-x1 x2-x1 Δx

想一想:1.函数y=f(x)在[x1,x2]内的平均变化率为0,能否说 明函数y=f(x)没有发生变化? 提示 不能说明.理由:函数的平均变化率只能粗略地描述函 数的变化趋势,增量Δx取值越小,越能准确地体现函数的变 化情况.在某些情况下,求出的平均变化率为0,并不一定说 明函数没有发生变化.如函数f(x)=x2在[-2,2]上的平均变化 率为0,但f(x)的图象在[-2,2]上先减后增.

Δy f(x0+Δx)-f(x0) 2.平均变化率 = 中,Δx、Δy的值 Δx Δx 是否可为任意实数? 提示 否.Δx、Δy的值可正、可负,但Δx的值不能为0,Δ y的值可以为0.

名师点睛 1.关于平均变化率的理解 关于函数的平均变化率,应注意以下几点: (1)Δ x 是自变量 x2 相对于 x1 处的改变量, x2 是 x1 附近的任意 且 一点,即Δ x=x2-x1≠0,但Δ x 可以为正,也可以为负. (2)注意自变量与函数值的对应关系,公式中若Δ x=x2-x1,则 Δ y=f(x2)-f(x1);若Δ x=x1-x2,则Δ y=f(x1)-f(x2).

Δ y f(x2)-f(x1) f(x1+Δ x)-f(x1) (3)在公式 = = 中,当 Δx x2-x1 Δx x1 取定值,Δ x 取不同的数值时,函数的平均变化率是不同的; 当Δ x 取定值,x1 取不同的数值时,函数的平均变化率也是不 Δy 同的.特别地,当函数 f(x)为常数函数时,Δ y=0,则 =0. Δx 2.一般地,现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述, 所以这些实际问题的变化率问题可以转化为函数的变化率.

3.理解平均变化率要注意以下几点: f(x1)-f(x0) (1)平均变化率 表示点(x0,f(x0))与点(x1,f(x1)) x1-x0 连线的斜率,是曲线陡峭程度的“数量化”. (2)为求点 x0 附近的平均变化率,上述表达式常写为 f(x0+Δ x)-f(x0) 的形式. Δx (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改 变量Δ x 取值越小,越能准确体现函数的变化情况.

题型一 求平均变化率 【例 1】 求函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δ x]上的平均 变化率,并求当 x0=2,Δ x=0.1 时平均变化率的值. [思路探索] 解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量,然 后代入公式求解.

解 为

函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化率

f(x0+Δ x)-f(x0) [3(x0+Δ x)2+2]-(3x2+2) 0 = (x0+Δ x)-x0 Δx 6x0·Δ x+3(Δ x)2 = =6x0+3Δ x. Δx 当 x0=2,Δ x=0.1 时, 函数 y=3x2+2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2+3×0.1=12.3.

规律方法

求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题

的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy,求平均变 化率的主要步骤是: (1)先计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0); (2)再计算自变量的改变量Δx=x1-x0; Δy f(x1)-f(x0) (3)得平均变化率 = . Δx x1-x0

1 【变式 1】 在例 1 中,分别求函数在 x0=1,2,3 附近Δ x 取 2 时的平均变化率 k1,k2,k3,并比较其大小. 解 由例题可知,函数在[x0,x0+Δ x]上的平均变化率为 6x0+ 3Δ x. 1 当 x0=1, x= 时, Δ 函数在[1, 1.5]上的平均变化率为 k1=6×1 2 +3×0.5=7.5; 1 当 x0=2, x= 时, Δ 函数在[2, 2.5]上的平均变化率为 k2=6×2 2 +3×0.5=13.5;

1 当 x0=3, x=2时, Δ 函数在[3, 3.5]上的平均变化率为 k3=6×3 +3×0.5=19.5,所以 k1<k2<k3.

题型二 求物体运动的平均速度 【例 2】 以初速度 v0 竖直向上抛一物体的位移 s 与时间 t 的关 1 2 系为:s(t)=v0t-2gt . (1)求物体从时刻 t0 到时刻 t0+Δ t 这段时间的平均速度 v; (2)求物体在 t=10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度. Δs [思路探索] 由物体运动方程 → 写出位移变化量Δs → Δt

解 (1)由 t0 到 t0+Δ t,则改变量为Δ t. Δ s=s(t0+Δ t)-s(t0) 1 1 2 2 =v0(t0+Δ t)-2g(t0+Δ t) -v0t0+2gt0 1 =Δ tv0-gt0·Δ t-2g(Δ t)2. 1 Δ tv0-gt0·Δ t-2g(Δ t)2 Δs 1 v= = =v0-gt0-2gΔ t. Δt Δt (2)当 t0=10 s 时,Δ t=0.4 s, 则物体在 t=10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度 1 v=v0-10g-2×g×0.4=v0-10.2g.

规律方法

已知物体的运动方程,即知道物体运动过程中位移

与时间的函数关系,求其在[t0,t0+Δt]内的平均速度,根据平 均速度的意义可知就是求这个函数在[t0,t0+Δt]内的平均变化 率.

【变式2】 动点P沿x轴运动,运动方程为x=10t+5t2,式中t 表示时间(单位:s),x表示距离(单位:m),求在20≤t≤20+ Δ t时间段内动点的平均速度,其中 (1)Δ t=1,(2)Δ t=0.1,(3)Δ t=0.01. 解 动点在20≤t≤20+Δ t时间段内的平均速度为 10(20+Δ t)+5(20+Δ t)2-10×20-5×202 = Δt 210Δ t+5(Δ t)2 = =5Δ t+210, Δt (1)当Δ t=1时,v=5×1+210=215(m/s) (2)当Δ t=0.1时,v=5×0.1+210=210.5(m/s) (3)当Δ t=0.01时,v=5×0.01+210=210.05(m/s).

题型三 平均变化率的实际应用 【例 3】 (12 分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为 T(t) 120 = +15,其中 T(t)为体温(单位:℃),t 为太阳落山后的时 t+5 间(单位:min). 求:(1)从 t=0 到 t=10 min,蜥蜴的体温的平均变化率. (2)体温 T(t)对时间 t 的变化率.

审题指导 利用平均变化率的定义求解. 120 120 Δ T T(10)-T(0) 15 +15- 5 -15 [规范解答] (1) = = = 10 10 Δt -16 ℃/min. ∴从 t=0 到 t=10 min, 蜥蜴的体温的平均变化率为-16 ℃/min (6 分)

(2)设时间的增量为Δ t,则体温 T(t)的改变量为 120 120 Δ T = T(t + Δ t) - T(t) = + 15 - - 15 = t+Δ t+5 t+5 -120Δ t , (t+Δ t+5)(t+5) ΔT -120 ∴ = .(10 分) Δ t (t+Δ t+5)(t+5) -120 故体温 T(t)对时间 t 的变化率为 .(12 分). (t+Δ t+5)(t+5)

【题后反思】 平均变化率是一个比值, 它是揭示一个量随另一 个量变化快慢的重要指标,学习时应通过实例体会和经历求平 均变化率的过程,注意平均变化率对于不同的实际问题可能有 不同的名称.如物体运动时的平均变化率就是平均速度,它是 位移增量与时间增量的比,气球膨胀的平均变化率就是气球膨 胀率,它是半径增量与体积增量的比.函数的平均变化率就是 从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念.

【变式 3】 一正方形铁板在 0 ℃时,边长为 10 cm,加热后会 膨胀,当温度为 t ℃时,边长变为 10(1+at)cm,a 为常数.试 求铁板面积对温度的膨胀率. 解 设温度的增量为Δ t,则铁板面积 S 的增量 Δ S = 102[1 + a(t + Δ t)]2 - 102(1 + at)2 = 200(a + a2t) Δ t + ΔS 100a (Δ t) ,∴ =200(a+a2t)+100a2Δ t. Δt
2 2

误区警示 因概念不清而出错 【示例】 将半径为 R 的球加热,若半径从 R=1 到 R=m 时球 28π 的体积膨胀率为 3 ,则 m 的值为________. 4 28 3 [错解] ∵V=3π R ,而从 R=1 到 R=m 体积膨胀率为 3 π , 4 π m3 3 28 3 28 ∴4 = 3 π ,∴m= 3π. π ×13 3

以上解法没有理解“膨胀率”的概念,从 R=1 到 R =m 时球的体积膨胀率即为 R?[1,m]时的平均变化率. 4π 3 4π 4π ΔV 3 3 [ 正 解 ] Δ V = 3 m - 3 × 1 = 3 (m - 1) , ∴ = ΔR 4π (m3-1) 3 28 = 3 π .∴m2+m+1=7.∴m=2 或 m=-3(舍). m-1 物理学上的平均速度、 膨胀率等就是函数的平均变化 率.



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