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新课标人教版高中数学必修5_综合检测试卷

2013~2014 学年度高中数学必修 5 期末测试题
1 .如果 log3 m ? log3 n ? 4 ,那么 m ? n 的最小值是( ) A .4 B. 4 3 C .9 D .18 * 2 、数列 ?a n ?的通项为 a n = 2n ? 1 , n ? N ,其前 n 项和为 S n ,则使 S n >48 成立的 n 的 最小值为( ) A .7 B .8 C .9 D .10 2 3 、若不等式 8 x ? 9 ? 7 和不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集相同,则 a 、 b 的值为( A . a = ﹣8 b = ﹣10 B . a = ﹣4 b = ﹣9 C . a = ﹣1 b =9



D. a =﹣1

4 、△ABC 中,若 c ? 2a cos B ,则△ABC 的形状为( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形

b =2

D .锐角三角形 ) D .第六项 ) D .﹣ )

1 5 、在首项为 21,公比为 的等比数列中,最接近 1 的项是( 2
A .第三项 B .第四项 C .第五项 6 、在等比数列 ?a n ?中, a7 ? a11 =6, a4 ? a14 =5 ,则 A.

3 2 7 、△ABC 中,已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? bc ,则 A 的度数等于(
B.

2 3

a 20 等于( a10 3 2 C. 或 2 3

2 3 或﹣ 3 2

A . 120 B . 60 C . 150 D . 30 * 8 、数列 ?a n ?中, a1 =15, 3an?1 ? 3an ? 2 ( n ? N ) ,则该数列中相邻两项的乘积是负 数的是( ) A . a 21a 22 B . a 22 a 23 C . a 23a 24 D . a 24 a 25

9 、某厂去年的产值记为 1,计划在今后五年内每年的产值比上年增长10% ,则从今年 起到第五年,这个厂的总产值为( ) 4 5 1.1 1.1 A. B. C. D . 11? (1.15 ? 1) 10 ? (1.16 ? 1) 10 、 已 知 钝 角 △ ABC 的 最 长 边 为 2 , 其 余 两 边 的 长 为 a 、 b , 则 集 合 ) P ? ?( x, y) | x ? a, y ? b?所表示的平面图形面积等于( A .2 B. ? ? 2 C .4 D . 4? ? 2 11 、在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 12 .函数 y ? lg(12 ? x ? x2 ) 的定义域是 13 .数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 2an ? 3(n ? N * ) ,则 a5 ?

?2 x ? y ? 2 ? 14 、设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
15、 《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus) 是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这 样的题目: 把 100 个面包分给五人, 使每人成等差数列, 且使最大的三份之和的 是 较小的两份之和,则最小 1 份的大小是 16、已知数列 ?a n ?、 ?bn ?都是等差数列, a1 = ? 1 , b1 ? ?4 ,用 S k 、 S k ' 分别表示数列
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1 3

,若 S k + S k ' =0,则 a k ? bk 的值为 ?an ?、 ?bn ?的前 k 项和( k 是正整数) 17 、△ABC 中, a, b, c 是 A ,B ,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且 (1 )求∠B 的大小; (2 )若 a =4 , S ? 5 3 ,求 b 的值。

cos B b ?? cos C 2a ? c

18 、已知等差数列?an ? 的前四项和为 10 ,且 a2 , a3 , a7 成等比数列 (1 )求通项公式 an (2 )设 bn ? 2an ,求数列 bn 的前 n 项和 sn

19 、已知: f ( x) ? ax 2 ? (b ? 8) x ? a ? ab ,当 x ? (?3,2) 时, f ( x) ? 0 ; x ? (??,?3) ? (2,??) 时, f ( x) ? 0 (1 )求 y ? f ( x) 的解析式 (2 )c 为何值时, ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 R.

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20 、 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD , 公园由长方形的休闲 区 A1 B1 C1 D1 (阴影部分) 和环公园人行道组成。 已知休闲区 A1 B1 C1 D1 的面积为 4000 平方米, 人行道的宽分别为 4 米和 10 米。 (1 ) 若设休闲区的长 A1B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S ( x) 的解 析式; (2 )要使公园所占面积最小,休闲区 A1 B1 C1 D1 的长和宽该如何设计?
D D1 C1 C
4米

A1 A
10 米

B1

4米

10 米 B

?x ? 0 ? 21 、设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的格点(格点即横坐 ? y ? ?nx ? 3n ? 标和纵坐标均为整数的点)个数为 f (n)(n ? N * ) (1 )求 f (1), f (2) 的值及 f (n) 的表达式; f (n) ? f (n ? 1) (2 )记 Tn ? ,试比较Tn与Tn?1 的大小;若对于一切的正整数 n ,总 2n 有 Tn ? m 成立,求实数 m 的取值范围;
(3 )设 S n 为数列 ?bn ?的前 n 项的和,其中 bn ? 2 f ( n ) ,问是否存在正整数 n, t ,使

S n ? tbn 1 ? 成立?若存在,求出正整数 n, t ;若不存在,说明理由必修 5 综合测试 S n ?1 ? tbn ?1 16

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答案 1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.C; 6.C; 7.A; 8.C; 9.D; 10.B;11. 4 6 ; 12. ? x ?3 ? x ? 4? ; 13. 48 ; 14.18; 15.10; 16.5; 17 、⑴由

cos B b cos B sin B ?? ? ?? cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C ? 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? 2sin A cos B ? ? sin B cos C ? cos B sin C

? 2sin A cos B ? ? sin( B ? C) ? 2sin A cos B ? ? sin A

1 2 ? cos B ? ? , 又0 ? B ? ? ,? B ? ? 2 3
⑵ 由a ? 4, S ? 5 3有S ?

1 1 3 ac sin B ? ? c ? ?c?5 2 2 2 3 ? b ? 61 2

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b2 ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ?

18 、⑴由题意知 ?

?4a1 ? 6d ? 10
2 ?(a1 ? 2d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 6d )

5 ? ?a1 ? ?2 ?a1 ? ?? 或? 2 ?d ? 3 ? ?d ? 0
所以 an ? 3n ? 5或an ?

5 2 1 、公比为 8 的等比数列 4

⑵当 an ? 3n ? 5 时,数列 ?bn ? 是首项为

1 (1 ? 8n ) 8n ? 1 ? 所以 Sn ? 4 1? 8 28
当 an ?

5 时, bn ? 2 2 所以 Sn ? 2 2 n 2
5 8n ? 1 或 Sn ? 2 2 n 28

5

5

综上,所以 Sn ?

19 、⑴由 x ? (?3,2) 时, f ( x) ? 0 ; x ? (??,?3) ? (2,??) 时, f ( x) ? 0 知: ?3, 2 是是方程 ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab ? 0 的两根

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b ?8 ? ?3 ? 2 ? ? ? ?a ? ?3 ? a ?? ? ?b ? 5 ??3 ? 2 ? ?a ? ab ? a ?
? f ( x) ? ?3x2 ? 3x ? 18
⑵由 a ? 0 ,知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象开口向下 要使 ?3x2 ? 5x ? c ? 0 的解集为 R ,只需 ? ? 0 即 25 ? 12c ? 0 ? c ? ∴当 c ?

25 12

25 时 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 R. 12 4000 20 、⑴由 A1B1 ? x ,知 B1C1 ? x 4000 S ? ( x ? 20)( ? 8) x 80000 ? 4160 ? 8 x ? ( x ? 0) x
⑵ S ? 4160 ? 8 x ? 当且仅当 8 x ?

80000 80000 ? 4160 ? 2 8 x ? 5760 x x

80000 即x ? 100 时取等号 x

∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1 B1 C1 D1 的长为 100 米、宽为 40 米. 21 、⑴ f (1) ? 3, f (2) ? 6 当 x ? 1 时, y 取值为 1 ,2,3,…, 2n 共有 2n 个格点 当 x ? 2 时, y 取值为 1 ,2,3,…, n 共有 n 个格点 ∴ f (n) ? n ? 2n ? 3n

9(n ? 1)(n ? 2) Tn ?1 n?2 f (n) f (n ? 1) 9n(n ? 1) 2n ?1 ? ? ? ? ⑵ Tn ? n n 9n(n ? 1) Tn 2n 2 2 n 2
当 n ? 1, 2 时, Tn?1 ? Tn 当 n ? 3 时, n ? 2 ? 2n ? Tn?1 ? Tn ∴ n ? 1 时, T1 ? 9
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n ? 2,3 时, T2 ? T3 ?

27 2

n ? 4 时, Tn ? T3
∴ ?Tn ? 中的最大值为 T2 ? T3 ?

27 2 27 27 ? m ∴m ? 2 2

要使 Tn ? m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需 ⑶ bn ? 2
f (n) 3n n

8(1 ? 8n ) 8 n ? 2 ? 8 ? Sn ? ? (8 ?1) 1? 8 7

将 S n 代入

S n ? tbn S n ?1 ? tbn ?1

?8 ? n 8 ? ? t ?8 ? 1 7 ? 7 1 ? ,化简得, ? ? (﹡) 16 ?8 ? n 1 2 ? ? t ?8 ? 7 ?7 ?

8n 8 ? 1 8n 15 7 7 ? , 即 ? ,显然 n ? 1 若 t ? 1时 n 8 1 2 7 7 ? 7 7
若 t ? 1时 ?

15 ?8 ? n 1 ?8 ? ? t ? 8 ? ? 0 (﹡)式化简为 ? ? t ? 8n ? 不可能成立 7 7 ?7 ? ?7 ?

综上,存在正整数 n ? 1, t ? 1使

S n ? tbn 1 ? 成立. S n ?1 ? tbn ?1 16

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