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2010年高考全国卷1理科数学试题答案及解析


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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+ 理科数学(必修+选修 II)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2. 每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 ......... 3.第 I 卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。参考公式: 参考公式: 参考公式 球的表面积 公式 如果事件 A、B 互斥,那么

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A、B 相 互独立,那么

S = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( Ai B ) = P ( A)i P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

3 V = π R3 4
其中 R 表示球的半径

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) = Cn p k (1 ? p )n ? k (k = 0,1, 2, …n)

一.选择题 (1)复数

(A) i (B) ?i (C)12-13 i (D) 12+13 i 1.A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析】

3 + 2i = 2 ? 3i

3 + 2i (3 + 2i )(2 + 3i ) 6 + 9i + 4i ? 6 = = =i. 2 ? 3i (2 ? 3i )(2 + 3i ) 13

(2)记 cos( ?80°) = k ,那么 tan100° =

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 C. k

k 1? k2

D. -

k 1? k2

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突 出了弦切互化这一转化思想的应用.

【解析】 sin 80 = 1 ? cos 80 = 1 ? cos (?80 ) = 1 ? k ,所以 tan100° = ? tan 80
2 2 2

sin 80 1? k 2 =? =? . cos 80 k
? y ≤ 1, ? 则 z = x ? 2 y 的最大值为 (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? x + y ≥ 0, ? x ? y ? 2 ≤ 0, ?
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域(如右图) ,由图可知,当直线 l 经过点 A(1,-1)时,z 最大,且最 大值为 zmax = 1 ? 2 × ( ?1) = 3 .

y

x+ y =0

A

y=x l0 : x ? 2 y = 0

1

O

2
A

x

x? y?2=0

?2

(4) 已知各项均为正数的等比数列{ an },a1a2 a3 =5,a7 a8 a9 =10, 则 a4 a5 a6 = (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识,着重考查了转化与化归的数学思想. 【 解 析 】
3 由 等 比 数 列 的 性 质 知 a1a2 a3 = (a1a3 )ia2 = a2 = 5 , 1

3 a7 a8 a9 = (a7 a9 )ia8 = a8 = 10,所以 a2 a8 = 50 3 ,

3 所以 a4 a5 a6 = (a4 a6 )ia5 = a5 = ( a2 a8 )3 = (50 6 )3 = 5 2

1

(5) (1 + 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是 展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项

式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力.
【解析】 (1 + 2 x ) (1 ? 3 x ) = (1 + 6 x + 12 x + 8 x x )(1 ? 3 x )
3 5 5



(1 + 2 x )3 (1 ? 3 x )5













x







3 1× C5 (? 3 x )3 + 12 xC50 = ?10 x + 12 x = ?2 x ,所以 x 的系数为-2.

(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门, 若要求两类课程中各至少选一 门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的 数学思想.
【解析】 :可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C3C4
1 2

1 种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C32C4 种不同的 1 1 选法.所以不同的选法共有 C3C42 + C32C4 = 18 + 12 = 30 种.

(7)正方体 ABCD- A1B1C1 D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为 A
2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3

7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法,利用等体积转化求出 D 到平面 AC D1 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想 的具体体现. A1 D 【解析】因为 BB1//DD1,所以 B B1 与平面 O C B D1 B1 C1

AC D1 所成角和 DD1 与 A
1 1

平面 AC D1 所成角相等,设 DO⊥平面 AC D1 ,由等体积法得 VD ? ACD = VD ? ACD ,即
1 1 S ?ACD1 ? DO = S ?ACD ? DD1 .设 DD1=a, 3 3

则 S ?ACD1 =

1 1 3 3 2 1 1 AC i AD1 sin 60 = × ( 2a )2 × = a , S ?ACD = ADiCD = a 2 . 2 2 2 2 2 2

S ?ACD i DD1 a3 3 所 以 DO = = = a , 记 DD1 与 平 面 AC D1 所 成 角 为 θ , 则 2 S ?ACD1 3 3a
sin θ = DO 3 6 = ,所以 cos θ = . DD1 3 3
?
1 2

(8)设 a= log 3 2,b=In2,c= 5

,则

A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a 8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数 大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a= log 3 2=
1 2

1 1 , b=In2= ,而 log 2 3 > log 2 e > 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5

?

=

1 ,而 5 > 2 = log 2 4 > log 2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5
0

( 9)已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x 2 ? y 2 = 1 的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠ F1 p F2 = 60 ,则 P 到 x 轴的距离为 (A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数 学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【 解 析 】 不 妨 设 点 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 的 右 支 , 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得

| PF1 |= e[ x0 ? (?
弦定理得

a2 a2 )] = a + ex0 = 1 + 2 x0 , | PF2 |= e[ x0 ? )] = ex0 ? a = 2 x0 ? 1 .由余 c c

| PF1 |2 + | PF2 |2 ? | F1 F2 |2 (1 + 2 x0 ) 2 + ( 2 x0 ? 1)2 ? (2 2)2 0 cos∠ F1 P F2 = ,即 cos 60 = , 2 | PF1 || PF2 | 2(1 + 2 x0 )( 2 x0 ? 1)
解得 x0 =
2

5 3 6 2 2 ,所以 y0 = x0 ? 1 = ,故 P 到 x 轴的距离为 | y0 |= 2 2 2

(10)已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, +∞ ) (B) [2 2, +∞) (C) (3, +∞) (D) [3, +∞)

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在

做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+2b = a + A,这也是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b = 又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f ( a ) = a + 为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+

2 > 2 2 ,从而错选 a

1 2 ,所以 a+2b= a + a a

2 ,由“对勾”函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ∈ (0,1)上 a

2 =3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). 1

(11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的 最小值为 (A) ?4 + 2 (B) ?3 + 2 (C) ?4 + 2 2 (D) ?3 + 2 2

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求 法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学 A 知识解题的能力及运算能力. 【解析】 如图所示: PA=PB= x ( x > 0) ,∠APO= α , 设 O 则∠APB= 2α ,PO= 1 + x , sin α =
2

1 1 + x2

P

, B

PA ? PB =| PA | ? | PB | cos 2α = x 2 (1 ? 2sin 2 α )
=

x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 x4 ? x2 2 = 2 ,令 PA ? PB = y ,则 y = 2 ,即 x 4 ? (1 + y ) x 2 ? y = 0 ,由 x x2 + 1 x +1 x +1

是实数,所以

? = [?(1 + y )]2 ? 4 × 1× (? y ) ≥ 0 , y 2 + 6 y + 1 ≥ 0 ,解得 y ≤ ?3 ? 2 2 或 y ≥ ?3 + 2 2 .
故 ( PA ? PB ) min = ?3 + 2 2 .此时 x =

2 ?1 .

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体 积的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有

1 1 2 V四面体ABCD = × 2 × × 2 × h = h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax = 2 22 ?12 = 2 3 ,故 3 2 3
Vmax =

4 3 . 3

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请 认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效。 ......... 3。第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效)
(13)不等式 2 x + 1 ? x ≤ 1 的解集是
2

.

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法,利用平方去掉根号是解根式不 等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.

?2 x 2 + 1 ≤ ( x + 1) 2 , 解析:原不等式等价于 ? 解得 0≤x≤2. ?x +1 ≥ 0
(14)已知 α 为第三象限的角, cos 2α = ? 14. ?

3 π ,则 tan( + 2α ) = 5 4

.

1 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的 7

正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【 解 析 】 因 为 α 为 第 三 象 限 的 角 , 所 以 2α ∈ (2(2k + 1)π , π + 2(2k + 1)π )( k ∈ Z ) , 又

3 π 4 cos 2α = ? <0, 所以 2α ∈ ( + 2(2k + 1)π , π + 2(2k + 1)π )(k ∈ Z ) ,于是有 sin 2α = , 5 2 5 4 π tan + tan 2α 1 ? sin 2α 4 π 3 =?1. 4 tan 2α = = ? ,所以 tan( + 2α ) = = 4 π cos 2α 3 4 7 1 ? tan tan 2α 1 + 4 3
(15)直线 y = 1 与曲线 y = x ? x + a 有四个交点,则 a 的取值范围是
2

.

15.(1, ) 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形

5 4

结合的数学思想. 【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线 y = 1 与曲线 y = x ? x + a ,观图可知,a 的
2

?a > 1 5 ? 取值必须满足 ? 4a ? 1 , 解得 1 < a < . 4 ? 4 <1 ?
(16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段

x=?

1 2
a

y

x=

1 2

y = x2 ? x + a
y=1 x

uu r uur BF 的 延 长 线 交 C 于 点 D , 且 BF = 2FD , 则 C 的 离 心 率
为 .

O

2 16. 3
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二 定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本 题凸显解析几何的特点: “数研究形,形助数” ,利用几何性 质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图, | BF |=

y=

4a ? 1 4

y
B

b2 + c2 = a ,
O D1

uu r uur 作 DD1 ⊥ y 轴于点 D1,则由 BF = 2FD ,得
| OF | | BF | 2 3 3 = = ,所以 | DD1 |= | OF |= c , | DD1 | | BD | 3 2 2
即 xD =

F D

x

3c a 2 3c 3c 2 ,由椭圆的第二定义得 | FD |= e( ? ) = a ? 2 c 2 2a 3c 2 2 2 ,整理得 3c ? 2a + ac = 0 . a

又由 | BF |= 2 | FD | ,得 c = 2a ?
2 2

2 . 3 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效) ............
两边都除以 a ,得 3e + e ? 2 = 0 ,解得 e = ?1(舍去),或 e = 已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a ,b 满足 a + b = a cot A + b cot B ,求内角

C.
17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的 边角关系,突出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... . 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0. 复审的稿件能通过评审的概率为 0. 5, 3.

各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望. 18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、 分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思 想、化归与转化思想.
(19) (本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, ⊥ 底面 ABCD, SD AB//DC, ⊥ DC, AD AB=AD=1, DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ⊥ 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面 角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (20 )(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意: ......... 已知函数 f ( x ) = ( x + 1) ln x ? x + 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ≥ 0 . 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函 数与方程思想、化归与转化思想.

注意: ......... (21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点为 F,过点 K ( ?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; ( Ⅱ)设 FAi FB =

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直线与圆 的位置关系,直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量 积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力,

同时考查了数形结合思想、设而不求思想..

注意: ......... (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c =

5 1 , bn = ,求数列 {bn } 的通项公式; 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an < an +1 < 3 成立的 c 的取值范围 . 【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础 知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透 了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.



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