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高中数学必修四 模块 测试题及答案


必修 4 期末测试题(一)
一、选择题 1.sin 150° 的值等于( A. ). B.-

1 2

1 2

C. ). C .4

3 2

D.-

3 2

2.已知 AB =(3,0),那么 AB 等于( A.2 B.3

D.5 ).

3.在 0 到 2?范围内,与角- A.

4? 终边相同的角是( 3
C.

? 6

B.

? 3

2? 3
).

D.

4? 3

4.若 cos ?>0,sin ?<0,则角 ??的终边在( A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 ). C.

D.第四象限

5.sin 20° cos 40° +cos 20° sin 40° 的值等于( A.

1 4

B.

3 2

1 2
). D

D.

3 4

6.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中正确的是( A. AB = CD C. AD + AB = AC B. AB - AD = BD D. AD + BC = 0 ). C.y=sin A

C B
(第 6 题)

7.下列函数中,最小正周期为 ??的是( A.y=cos 4x B.y=sin 2x

x 2

D.y=cos ). D.-10

x 4

8.已知向量 a=(4,-2),向量 b=(x,5),且 a∥b,那么 x 等于( A.10 B.5 C.-

5 2
).

9.若 tan ?=3,tan ?= A.-3

4 ,则 tan(?-?)等于( 3
C.-

B.3

1 3
).

D.

1 3

10.函数 y=2cos x-1 的最大值、最小值分别是( A.2,-2 B.1,-3

C.1,-1

D.2,-1

11.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(-1,0),B(1,2),C(0,c),若 AB ⊥ BC ,那么 c 的值是( A.-1 ). B.1 C.-3
第 1 页 共 9 页

D.3

12.下列函数中,在区间[0, A.y=cos x 13.已知 0<A< A. B.y=sin x

? ]上为减函数的是( 2
C.y=tan x

). D.y=sin(x- ). D.

? ) 3

? 3 ,且 cos A= ,那么 sin 2A 等于( 5 2
B.

4 25

7 25

C.

12 25

24 25

14.设向量 a=(m,n),b=(s,t),定义两个向量 a,b 之间的运算“ ? ”为 a ? b=(ms,nt).若 向量 p=(1,2),p ? q=(-3,-4),则向量 q 等于( A.(-3,-2) 二、填空题: 15.已知角 ??的终边经过点 P(3,4),则 cos ??的值为 16.已知 tan ?=-1,且 ?∈[0,?),那么 ??的值等于 17.已知向量 a=(3,2),b=(0,-1),那么向量 3b-a 的坐标是 18.某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 T=Asin(?t +?)+b(其中
T /℃ 30 20 10

). D.(-3,2)

B.(3,-2)

C.(-2,-3)

. . .

? <?<?),6 时至 14 时期间的温度变化曲线如图所示,它 2

是上述函数的半个周期的图象,那么这一天 6 时至 14 时温差的最大值 是 °C;图中曲线对应的函数解析式是________________.

O

6

8 10 12 14

t/h

三、解答题: 19.已知 0<?<

(第 18 题)

? 4 ,sin ?= . 5 2

π? ? (1)求 tan ??的值; (2)求 cos 2?+sin ? ? + ? 的值. 2? ?

20.已知非零向量 a,b 满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)= (1)求|b|;(2)当 a·b=

1 . 2

1 时,求向量 a 与 b 的夹角 ??的值. 2

21.已知函数 f(x)=sin ?x(?>0). (1)当 ?=?时,写出由 y=f(x)的图象向右平移 (2)若 y=f(x)图象过点(

? 个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式; 6

2π ? ,0),且在区间(0, )上是增函数,求 ??的值. 3 3

必修 4 期末测试题(二)
第 2 页 共 9 页

一 、选择题 1. sin 390 ? (
0

)

A.

2.下列区间中,使函数 y ? sin x 为增函数的是 A. [0, ? ] B. [

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

? 3?
2 , 2

]

C. [ ?

? ?
)

3.下列函数中,最小正周期为 A. y ? sin x

? 的是( 2
?

, ] 2 2

D. [? , 2? ]

B. y ? sin x cos x

C. y ? tan

4.已知 a ? ( x,3) , b ? (3,1) , 且 a ? b , 则 x 等于 ( A.-1 B.-9 C.9

?

?

?

x 2
)

D. y ? cos 4 x

D.1

1 5.已知 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? ? ( ) 3 1 1 8 8 A. B. ? C. D. ? 2 2 9 9 2? ) 的图像, 需要将函数 y ? sin 2 x 的图像( 6.要得到 y ? sin(2 x ? 3 2? 2? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3

)

? ? 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 7.已知 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 2 , | a ? b |? 4 ,则 | a ? b |? (
C.向左平移 A. 3 B. 5 C.3

) D.10 )

??? ? ???? P 8.已知 P , 且点 在 的延长线上 , PP (2, ? 1) P (0,5) | PP | ? 2 | PP2 | , 则点 P 的坐标为 ( 1 2 1 2 1 4 2 A. (2, ?7) B. ( ,3) C. ( ,3) D. (?2,11) 3 3 2 ? 1 ? 9.已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值为 ( ) 5 4 4 4 y 1 22 3 13 A. B. C. D. 6 13 22 18
10.函数 y ? sin(?x ? ? ) 的部分图象如右图,则 ? 、 ? 可以取的一组值是 O 1 2

3

x

? ? ? ? A. ? ? , ? ? B. ? ? , ? ?
2 4 3
二、填空题

6

? ? C. ? ? , ? ?
4

4

? 5? D. ? ? , ? ?
4 4

11.已知扇形的圆心角为 120 ,半径为 3 ,则扇形的面积是 12.已知 ABCD 为平行四边形,A(-1,2),B (0,0),C(1,7),则D点坐标为 13.函数 y ? sin x 的定义域是 14. 给出下列五个命题: ①函数 y ? 2sin(2 x ? .

0

?
3

) 的一条对称轴是 x ?

5? ? ;②函数 y ? tan x 的图象关于点( ,0)对称; 12 2

第 3 页 共 9 页

③正弦函数在第一象限为增函数④若 sin(2 x1 ? 以上四个命题中正确的有 三、解答题 15、(1)已知 cos a = -

?

) ? sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2 ? k? ,其中 k ? Z 4 4

?

(填写正确命题前面的序号)

4 ,且 a 为第三象限角,求 sin a 的值 5 4s i n ? ? 2c o s ? (2)已知 tan ? ? 3 ,计算 的值 5c o s ? ? 3s i n ?

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 16、已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ? . tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
(1)化简 f (2)若 cos(? ? ?? ? 、

3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值 2 5

17、已知向量 a , b 的夹角为 60 , 且 | a |? 2 , | b |? 1 ,
?

?

?

?

?

(1) 求 a ?b ;

? ?

(2) 求 | a ? b | .

? ?

18、已知 a ? (1,2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?(2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

19、已知 a ? ( 3sin x, m ? cos x) , b ? (cos x, ?m ? cos x) , 且 f ( x) ? a? b (1) 求函数 f ( x ) 的解析式;(2) 当 x ? ? ? 最大值, 并求出相应的 x 的值.

?

?

??

? ? ?? 时, f ( x ) 的最小值是-4 , 求此时函数 f ( x ) 的 , ? 6 3? ?

必修 4 期末测试题(一)
第 4 页 共 9 页

参考答案
一、选择题: 1.A 解析:sin 150° =sin 30° = 2.B 解析: AB = 9+0 =3. 3.C 解析:在直角坐标系中作出- 4.D 解析:由 cos ?>0 知,??为第一、四象限或 x 轴正方向上的角;由 sin ?<0 知,??为第三、四 象限或 y 轴负方向上的角,所以 ??的终边在第四象限. 5.B 解析:sin 20° cos 40° +cos 20° sin 40° =sin 60° = 6.C 解析:在平行四边形 ABCD 中,根据向量加法的平行四边形法则知 AD + AB = AC . 7.B 解析:由 T= 8.D 解析:因为 a∥b,所以-2x=4×5=20,解得 x=-10. 9.D
4 3- tan ?- tan ? 3 =1. 解析:tan(?-?)= = 1+ tan ? tan ? 1+4 3
3 . 2

1 . 2

4? 由其终边即知. 3



?

=?,得 ?=2.

10.B 解析:因为 cos x 的最大值和最小值分别是 1 和-1,所以函数 y=2cos x-1 的最大值、最小值 分别是 1 和-3. 11.D 解析:易知 AB =(2,2), BC =(-1,c-2),由 AB ⊥ BC ,得 2×(-1)+2(c-2)=0,解得 c=3.
第 5 页 共 9 页

12.A 解析:画出函数的图象即知 A 正确. 13.D 解析:因为 0<A< 14.A 解析:设 q=(x,y),由运算“ ? ”的定义,知 p ? q=(x,2y)=(-3,-4),所以 q=(-3,-2). 二、填空题: 15.

4 24 ? ,所以 sin A= 1-cos2 A= ,sin 2A=2sin Acos A= . 25 2 5

3 . 5 3 . 5

解析:因为 r=5,所以 cos ?= 16.

3? . 4 3? 3? ,故 ?= . 4 4

解析:在[0,?)上,满足 tan ?=-1 的角 ??只有 17.(-3,-5). 解析:3b-a=(0,-3)-(3,2)=(-3,-5). 18.20;y=10sin(

? 3? x+ )+20,x∈[6,14]. 8 4

解析:由图可知,这段时间的最大温差是 20°C. 因为从 6~14 时的图象是函数 y=Asin(?x+?)+b 的半个周期的图象,

1 1 (??-??)=10,b= (30+10)=20. 2 2 2π π 1 ?π ? 因为 · =14-6,所以 ?= ,y=10sin ? x +? ? +20. 2 ? 8 ?8 ?
所以 A= 将 x=6,y=10 代入上式,
?π ? ? 3π ? 得 10sin ? ? 6 +? ? +20=10,即 sin ? + ? ? =-1, ?8 ? ? 4 ?

3? ? <?<?,可得 ?= . 2 4 3π ? ?π 综上,所求解析式为 y=10sin ? x + ? +20,x∈[6,14]. 8 4 ? ?
由于 三、解答题: 19.解:(1)因为 0<?<

? 3 4 4 ,sin ?= , 故 cos ?= ,所以 tan ?= . 5 3 5 2

32 3 8 ?π ? (2)cos 2?+sin ? + ? ? =1-2sin2? +cos ?=?- + = . 25 5 25 ?2 ?
第 6 页 共 9 页

20.解:(1)因为(a-b)·(a+b)= 所以|b|2=|a|2- (2)因为 cos ?=

1 1 ,即 a2-b2= , 2 2

2 1 1 1 =1- = ,故|b|= . 2 2 2 2

2 a· b = ,故 ?=??° . 2 ab

π? ? 21.解:(1)由已知,所求函数解析式为 f(x)=sin ? x - ? . 6? ?

(2)由 y=f(x)的图象过 ? 即 ?=

? 2π , ? 3

? 2? 2? 0 ? 点,得 sin ?=0,所以 ?=k?,k∈Z. 3 3 ?

3 k,k∈Z.又?>0,所以 k∈N*. 2 3 3 4? ,f(x)=sin x,其周期为 , 2 2 3

当 k=1 时,?=

此时 f(x)在 ? 0 , ? 上是增函数; 当 k≥2 时,?≥3,f(x)=sin ?x 的周期为 此时 f(x)在 ? 0 , ? 上不是增函数. 所以,?=

? ?

π? 3?

2 π 2? 4? ≤ < , 3 3 ?

? ?

π? 3?

3 . 2

必修 4 期末测试题(二) 参考答案:
一、ACDAD DDDCC 二、11. 3? 12. (0,9)
2 2

13. [2k? , 2k? ? ? ] k ? Z

14. ①④

三、15.解: (1)∵ cos ? ? sin ? ? 1 , ? 为第三象限角 ∴ sin ? ? ? 1 ? cos (2)显然 cos ? ? 0
2

? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ?

4 5

3 5



4sin ? ? 2cos ? 4sin ? ? 2cos ? 4 tan ? ? 2 4 ? 3 ? 2 5 cos ? ? ? ? ? 5cos ? ? 3sin ? 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3tan ? 5 ? 3 ? 3 7 cos ?

第 7 页 共 9 页

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 16.解: (1) f ?? ? ? tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
(? cos ? )(sin ? )( ? tan ? ) (? tan ? ) sin ? ? ? cos ? ?
(2)∵ cos(? ?

3? 1 )? 2 5 1 ∴ ? sin ? ? 5
又 ? 为第三象限角

从而 sin ? ? ?

1 5

∴ cos ? ? ? 1 ? sin

2

? ??

2 6 5

即 f (? ) 的值为 ?

2 6 5

b ?| a || b |cos 60 ? 2 ?1? 17.解: (1) a?
?

? ?

? ?

1 ?1 2

(2) | a ? b |2 ? (a ? b)2

? ?

? ?

?2 ? ? ?2 ? a ? 2a ? b?b ? 4 ? 2 ?1 ? 1 ?3 ? ? 所以 | a ? b |? 3
18.解: ka ? b ? k (1,2) ? (?3,2) ? ( k ? 3,2 k ? 2)

?

?

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

第 8 页 共 9 页

此时 k a ? b ? (?

?

?

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

13 ? 7 13 ? 7 ? 10 , A ? ?3 2 2 2? 2? ? 9 ,? ? 且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 9,因此 T ? , ? 9 2? t ? 10 ( 0? t ? 2 4 ) 故 f (t ) ? 3sin 9 2? t ? 10 ? 11.5 (2)要想船舶安全,必须深度 f (t ) ? 11.5 ,即 3sin 9 2? 1 ? 2? 5? 3 15 t? 2 k? ? ? t? ? 2 k? ? 9k k ? Z ∴ sin 解得: 9k ? ? t ? 9 2 6 9 6 4 4 又 0 ? t ? 24 3 3 3 3 3 3 当 k ? 0 时, ? t ? 3 ;当 k ? 1 时, 9 ? t ? 12 ;当 k ? 2 时, 18 ? t ? 21 4 4 4 4 4 4
19.解: (1)由表中数据可以看到:水深最大值为 13,最小值为 7, h ? 故船舶安全进港的时间段为 (0 : 45 ? 3: 45) , (9 : 45 ? 12 : 45) , (18: 45 ? 21: 45) 20.解: (1) f ( x) ? a? b ? ( 3sin x, m ? cos x)? (cos x, ?m ? cos x) 即 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? m2 (2) f ( x) ?

??

3 sin 2 x 1 ? cos 2 x ? ? m2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? m 2 6 2
由 x ? ??

? ? 1 ? ? ? ? 5? ? ? ? ?? , ? , ? 2 x ? ? ?? , ? , ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? , 6 ? 2 ? 6 ? 6 6 ? ? 6 3?

1 1 ?? ? ? m 2 ? ?4 , ? m ? ?2 2 2 1 1 ? ? ? ? f ( x) max ? 1 ? ? 2 ? ? , 此时 2 x ? ? , x ? . 2 2 6 2 6

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