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数学高考试题 模拟新题分类汇编:专题N 选修4系列(文科)

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N 选修 4 系列 N1 选修 4-1 几何证明选讲

22.N1[2012· 辽宁卷] 如图 1-8,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连结 DB 并延长交⊙O 于点 E,证明: (1)AC· BD=AD· AB; (2)AC=AE.

图 1-8 22.证明:(1)由 AC 与⊙O′相切于 A,得 ∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB, AC AB 所以△ACB∽△DAB.从而 = , AD BD 即 AC· BD=AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A,得 ∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA,得 △EAD∽△ABD.从而 AE AD AB=BD, 即 AE· BD=AD· AB. 结合(1)的结论,得 AC=AE. 22.N1[2012· 课标全国卷]如图 1-5,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.

图 1-5 22.证明:(1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点, 所以 DE∥BC. 又已知 CF∥AB,故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF=BD=AD.而 CF∥AD, 连结 AF,所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC.

(2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD.
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而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD. 12.N1[2012· 全国卷] 正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, 1 AE=BF=3.动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射 角等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A.8 B.6 C.4 D.3 12.B [解析] 本小题主要考查反射原理及三角形相似知识的应用,解题的突破口为 确定反射后点 P 的位置. 结合点 E、F 的位置进行作图推理,利用反射过程中平行直线及相似三角形作图可得 点 P 回到 E 点时与正方形的边碰撞次数为 6 次,故选 B. 15.N1[2012· 广东卷] (几何证明选讲选做题)如图 1-3 所示,直线 PB 与圆 O 相切于 点 B,D 是弦 AC 上的点,∠PBA=∠DBA.若 AD=m,AC=n,则 AB=________.

图 1-3

15. mn [解析] 本题考查弦切角定理以及三角形相似知识,解决本题的突破口是利 用弦切角定理得到∠PBA=∠ACB,再利用三角形相似求出.因为 PB 是圆的切线,所以 ∠PBA=∠ACB.又因为∠PBA=∠DBA,所以∠DBA=∠ACB.又因为∠A=∠A,所以△ AB AD ABD∽△ACB,所以AC= AB ,所以 AB2=AD×AC=mn,所以 AB= mn. 21 A.N1 [2012· 江苏卷]如图 1-7,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧 的两点,连结 BD 并延长至点 C,使 BD=DC,连结 AC,AE,DE. 求证:∠E=∠C.

图 1-7 21A.证明:如图,连结 OD,因为 BD=DC,O 为 AB 的中点, 所以 OD∥AC,于是∠ODB=∠C.

因为 OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C. 因为点 A,E,B,D 都在圆 O 上,且 D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点,所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角, 故∠E=∠B.所以∠E=∠C.

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15 B. N1[2012· 陕西卷]如图 1-6,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E, EF⊥DB,垂足为 F,若 AB=6,AE=1,则 DF· DB=________.

图 1-6 15B:5 [解析] 本题考查了射影定理的知识,解题的突破口是找出直角三角形内的 射影定理.连接 AD,在 Rt△ABD 中,DE⊥AB,所以 DE2=AE×EB=5,在 Rt△EBD 中,EF⊥DB,所以 DE2=DF×DB=5. 13.N1[2012· 天津卷] 如图 1-3 所示,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的 切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 3 F,AF=3,FB=1,EF=2,则线段 CD 的长为________.

图 1-3 4 13.3 [解析] 由相交弦的性质可得 AF×FB=EF×FC,

AF×FB 3×1 ∴FC= EF = 3 =2, 2 AC FC AF 3 8 又∵FC∥BD,∴AD=BD=AB=4,即 BD=3, 4 由切割线定理得 BD2=DA×DC=4DC2,解之得 DC=3. N2 选修 4-2 矩阵

21 B.N2 [2012· 江苏卷]已知矩阵 A 的逆矩阵 A

-1

?-4 =? 1 ?2
3? 1?

1

? ,求矩阵 A 的特征值. 1? - ? 2

3 4

21 B.解:因为 A-1A=E,所以 A=(A-1)-1. 1 3 -4 4 ?2 因为 A-1= ,所以 A=(A-1)-1=? ?2 1 1 - 2 2

? ? ?

? ? ?

?,

于是矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=?

?λ-2 -3? 2 ?=λ -3λ-4. ?-2 λ-1?

令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4. 2 ? ?sinx 3.C3、N2[2012· 上海卷] 函数 f(x)=? ?的最小正周期是________. cosx? ?-1 3.π [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域,以矩阵为载体,实为考查三角函数 的性质,易错点是三角函数的化简. 1 2π f(x)=sinxcosx+2=2sin2x+2,由三角函数周期公式得,T= 2 =π. N3 选修 4-4 参数与参数方程

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23.N3[2012· 辽宁卷]在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2= 4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方 程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 23.解:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. ?ρ=2, π 解? 得 ρ=2,θ=± 3, ?ρ=4cosθ π π 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为?2,3?,?2,-3?.

?

? ?

?

注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)(解法一) ?x=ρcosθ, 由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ?y=ρsinθ

?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? - 3≤t≤ 3. ?y=t, ?x=1, (或参数方程写成? - 3≤y≤ 3) ?y=y, (解法二) 在直角坐标系下求得弦 C1C2 的方程为 x=1(- 3≤y≤ 3). ?x=ρcosθ, 将 x=1 代入? 得 ρcosθ=1, ?y=ρsinθ 1 从而 ρ=cosθ. ?x=1, 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? ?y=tan θ, π π - ≤θ≤ . 3 3 ?x=2cosφ, 23.N3[2012· 课标全国卷]已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐 ?y=3sinφ 标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,正方形 π ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为?2,3?. ? ? (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. 23.解:(1)由已知可得 π π A?2cos3,2sin3?, ? ? π π π π B?2cos?3+2?,2sin?3+2??, ? ? ? ? ?? π π C?2cos?3+π?,2sin?3+π??, ? ? ? ? ?? π 3π π 3π D?2cos?3+ 2 ?,2sin?3+ 2 ??, ? ? ? ? ??
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即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cosφ,3sinφ),令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则 S=16cos2φ+36sin2φ+16 =32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52]. π 21 C.N3[2012· 江苏卷]在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? 2,4?,圆心为直线 ? ? π 3 ρsin?θ-3?=- 2 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. ? ? π 3 21C.解:在 ρsin?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1, ? ? 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π 因为圆 C 经过点 P? 2,4?, ? ? π 所以圆 C 的半径 PC= ? 2?2+12-2×1× 2cos =1, 4 于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. 10.N3[2012· 湖南卷] 在极坐标系中,曲线 C1:ρ( 2cosθ+sinθ)=1 与曲线 C2:ρ= a(a>0)的一个交点在极轴上,则 a=________. 2 10. 2 [解析] 本题考查直线与圆的极坐标方程,具体的解题思路和过程:把直线与 圆的极坐标方程转化为普通方程,求出直线与坐标轴的交点代入圆方程求解. ? 2 ? 直线方程为 2x+y-1=0,与 x 轴的交点为? ,0?,圆的方程为 x2+y2=a2,把交 ?2 ? 2 ? 2 ? ? 2? 点? ,0?代入得? ?2+02=a2,又 a>0,所以 a= 2 . ?2 ? ?2? [易错点] 本题易错一:不会转化,无法把极坐标方程转化为普通方程;易错二:直 线与圆的交点实为直线与 x 轴的交点,如果不会转化,导致计算加大,多走弯路. 14.N3[2012· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1

?x=1- 2 t ?x= 5cosθ ? π? ? θ为参数,0≤θ≤2 和? 和 C2 的参数方程分别为? ? 2 ?y= 5sinθ ?
2

? ?y=- 2 t

(t 为参数),则

曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________. 14.(2,1) [解析] 利用方程思想解决,C1 化为一般方程为:x2+y2=5,C2 化为直角 ?y=x-1, 坐标方程为:y=x-1,联立方程组得:? 2 2 即 x2-x-2=0,解得 x1=-1,x2 ?x +y =5, =2.又由 C1 中 θ 的取值范围可知,交点在第一象限,所以交点为(2,1). 15 C. N3 [2012· 陕西卷]直线 2ρcosθ=1 与圆 ρ=2cosθ 相交的弦长为________. 15C: 3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识, 解题的突破口为把极坐标化为直角 2 坐标.由 2ρcosθ=1 得 2x=1①,由 ρ=2cosθ 得 ρ =2ρcosθ,即 x2+y2=2x②,联立①② 3 得 y=± 2 ,所以弦长为 3. N4 选修 4-5 不等式选讲

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15 A.N4 [2012· 陕西卷]若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围 是________. 15.A:-2≤a≤4 [解析] 本题考查了不等式解法的相关知识,解题的突破口是理 解不等式的几何意义.|x-a|+|x-1|≤3 表示的几何意义是在数轴上一点 x 到 1 的距离与到 a 的距离之和小于或等于 3 个单位长度,此时我们可以以 1 为原点找离此点小于或等于 3 个单位长度的点即为 a 的取值范围,不难发现-2≤a≤4. 24.N4[2012· 辽宁卷]已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|- 2≤x≤1}. (1)求 a 的值; x (2)若?f?x?-2f?2??≤k 恒成立,求 k 的取值范围. ? ? ?? 24. 解: (1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2.又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, 所以当 a≤0 时,不合题意. 4 2 当 a>0 时,-a≤x≤a,得 a=2.

?-4x-3,-1<x<-1, x? ? 2 (2)记 h(x)=f(x)-2f 2 ,则 h(x)=? ? ? ?-1,x≥-1 2,
1, x≤-1, 所以|h(x)|≤1,因此 k≥1. 1 1 5 21 D.N4 [2012· 江苏卷]已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< ,求证:|y|< . 3 6 18 21D.证明:因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 2 1 5 由题设知|x+y|<3,|2x-y|<6,从而 3|y|<3+6=6, 5 所以|y|< . 18 24.N4[2012· 课标全国卷]已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

?-2x+5,x≤2, 24.解:(1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3.
当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4; 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a| ?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0].
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N5

选修 4-7 优选法与试验设计

11.N5[2012· 湖南卷] 某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养 温度,试验范围定为 29℃~63℃,精确度要求± 1℃.用分数法进行优选时,能保证找到最 佳培养温度需要的最少试验次数为________. 11.7 [解析] 本题考查优选法中的分数法,以及对斐波那契数列的了解,意在考查 考生在分数法中寻找最佳点的次数.具体的解题思路和过程:先由区间的间距,确定等分 区间的份数,再对应斐波那契数列找出对应的次数. 试验范围定为 29℃~63℃ ,间距是 63-29=34,故应分成 34 份,刚好对应斐波那 契数列的 F8=34,所以保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为 8-1=7. [易错点] 本题易错一:对分数法的等分份数不理解,导致无法等分;易错二:对斐 波那契数列的不了解,导致无法找到对应的点,求不出要做的试验次数. 2012 模拟题 1.[2012· 郑州模拟] 如图 Z7-1,锐角△ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线, 垂足为 H,点 E 为内切圆 I 与边 CA 的切点. (1)求证:四点 A,I,H,E 共圆; (2)若∠C=50° ,求∠IEH 的度数.

图 Z7-1 1.解:(1)证明:由圆 I 与边 AC 相切于点 E, 得 IE⊥AE, 结合 IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90° . 所以,四点 A,I,H,E 共圆. (2)由(1)知四点 A,I,H,E 共圆, 得∠IEH=∠HAI, 在△HIA 中, 1 1 1 1 1 ∠HIA=∠ABI+∠BAI=2∠B+2∠A=2(∠B+∠A)=2(180° -∠C)=90° -2∠C. 1 结合 IH⊥AH,得∠HAI=90° -∠HIA=2∠C, 1 所以∠IEH=2∠C, 由∠C=50° ,得∠IEH=25° . 2.[2012· 辽宁两校联考] 如图 Z7-2,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB, CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E,D,连接 EC,CD. (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; 1 (2)若 tan∠CED=2,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长.

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图 Z7-2 2.解:(1)证明:连接 OC,∵OA=OB,CA=CB, ∴OC⊥AB,又∵OC 是圆的半径,∴AB 是圆的切线. (2)∵ED 是直径,∴∠ECD=90° . ∴∠EDC+∠E=90° ,又∠BCD+∠OCD=90° ,∠OCD=∠ODC,∴∠BCD=∠ E,又∠CBD=∠EBC, BC BD CD ∴△BCD∽△BEC,∴BE =BC= EC ?BC2=BD· BE, CD 1 BD CD 1 又 tan∠CED= = ,∴ = = . EC 2 BC EC 2 设 BD=x,则 BC=2x,∵BC2=BD· BE, ∴(2x)2=x(x+6),∴BD=2, ∴OA=OB=BD+OD=2+3=5.

3.[2012· 唐山一模] 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐 ?x=1+tcosα, 标系取相等的长度单位.已知直线 l 的参数方程为? 2 (t 为参数,0<α<π),曲

? ?y=tsinα

2cosθ 线 C 的极坐标方程为 ρ= sin2θ . (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值. 2cosθ 3.解:(1)由 ρ= sin2θ ,得(ρsinθ)2=2ρcosθ, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2x. (2)将直线 l 的参数方程代入 y2=2x,得 t2sin2α-2tcosα-1=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则 2cosα 1 t1+t2= sin2α ,t1t2=-sin2α, 4cos2α 4 2 ∴|AB|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= sin4α +sin2α=sin2α, π 当 α= 时,|AB|的最小值为 2. 2 4.[2012· 辽宁两校联考] 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2sinθ,设直线 l 的参数方程 3 x=-5t+2, 是 (t 为参数). 4 y=5t

? ? ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 为曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值. 4.解:(1)曲线 C 的极坐标方程可化为:ρ2=2ρsinθ, 又 x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ. 所以,曲线 C 的直角坐标方程为:
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x2+y2-2y=0. (2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程得: 4 y=-3(x-2), 令 y=0 得 x=2,即 M 点的坐标为(2,0), 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(0,1), 半径 r=1,则|MC|= 5, ∴|MN|≤|MC|+r= 5+1.∴|MN|的最大值为 5+1. 5.[2012· 唐山一模] 设 f(x)=2|x|-|x+3|. (1)求不等式 f(x)≤7 的解集 S: (2)若关于 x 的不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解,求参数 t 的取值范围.

?-x+3,x<-3, 5.解:(1)f(x)=?-3x-3,-3≤x≤0, ?x-3,x>0,
如图,函数 y=f(x)的图象与直线 y=7 相交于横坐标为 x1=-4,x2=10 的两点, 由此得 S=[-4,10]. (2)由(1)知,f(x)的最小值为-3, 则不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解必须且只需-3+|2t-3|≤0,解得 0≤t≤3, 所以 t 的取 值范围是[0,3].

6.已知函数 f(x)=|x-a|-2|x-1|(a∈R). (1)当 a=3 时,求函数 f(x)的最大值; (2)解关于 x 的不等式 f(x)≥0.

?x+1?x≤1?, 6.解:(1)当 a=3 时,f(x)=|x-3|-2|x-1|=?-3x+5?1<x<3?, ?-x-1?x≥3?,
所以,当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值 2. (2)由 f(x)≥0 得|x-a|≥2|x-1|, 两边平方得:(x-a)2≥4(x-1)2, 即 3x2+2(a-4)x+4-a2≤0, 得[x-(2-a)][3x-(2+a)]≤0. a+2? ? 所以,①当 a>1 时,不等式的解集为?2-a, ?; 3 ? ? ②当 a=1 时,不等式的解集为{x|x=1}; ?a+2 ? ③当 a<1 时,不等式的解集为? ,2-a?. ? 3 ?

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