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初中数学竞赛辅导(1).不等式


12.不等式
A卷 1.不等式 2(x + 1) 2?x 3 ? 7x 2 ? 1 的解集为_____________。
x 3 ? 2? x 5

2.同时满足不等式 7x + 4≥5x – 8 和 3.如果不等式
mx ? 1 3
2

的整解为______________。

?1?

x?3 3

的解集为 x >5,则 m 值为___________。
2

4.不等式 ( 2 x ? 1) ? 3 x ( x ? 1) ? 7 ? ( x ? k ) 的解集为_____________。 5.关于 x 的不等式(5 – 2m)x > -3 的解是正数,那么 m 所能取的最小整数是__________。 ?2 x ? 3 ? 3 6.关于 x 的不等式组 ? 的解集为-1<x <1,则 ab____________。 ?5 x ? b ? 2 7.能够使不等式(|x| - x )(1 + x ) <0 成立的 x 的取值范围是_________。 8.不等式 2<|x - 4| <3 的解集为_____________。 9.已知 a,b 和 c 满足 a≤2,b≤2,c≤2,且 a + b + c = 6,则 abc=______________。 4 10.已知 a,b 是实数,若不等式(2a - b)x + 3a – 4b <0 的解是 x ? ,则不等式(a – 4b)x + 2a – 3b >0 的解是__________。 9 C卷 一、填空题 1.不等式 | x ? 3 x ? 4 |? x ? 2 的解集是_____________。 2.不等式|x| + |y| < 100 有_________组整数解。
2

1 ?x ? ? z? y 3.若 x,y,z 为正整数,且满足不等式 ? 3 2 ? y ? z ? 1997 ?

则 x 的最小值为_______________。

,那么 M,N 的大小关系是__________。 (填“>”或“<” ) 2 ?1 2 ?1 5.设 a, a + 1, a + 2 为钝角三角形的三边,那么 a 的取值范围是______________。 4.已知 M=
1999 2000

2

1998

?1

,N ?

2

1999

?1

二、选择题 1.满足不等式 A.x>3
3 | x | ? 14 x?3 2 B.x< ? 7
2

? 4 的 x 的取值范围是(



C.x>3 或 x< ?

2 7

D.无法确定 )

2.不等式 x – 1 < (x - 1) A.等于 4 B.小于 4 C.大于 5 D.等于 5
? x1 ? x 2 ? x 3 ? x ? x3 ? x4 ? 2 ? 3. ? x 3 ? x 4 ? x 5 ?x ? x ? x 5 1 ? 4 ? x 5 ? x1 ? x 2 ? ? a 1 (1)

< 3x + 7 的整数解的个数(

? a 2 (2) ? a 3 (3) ? a 4 (4) ? a 5 (5)

其中 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 是常数,且 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ,则 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 的大小顺序是( A. x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 B. x 4 ? x 2 ? x1 ? x 3 ? x 5 C. x 3 ? x1 ? x 4 ? x 2 ? x 5 D. x 5 ? x 3 ? x1 ? x 4 ? x 2 4.已知关于 x 的不等式 x ? A.m = C.m =
1 4 1 10



3 2

? mx 的解是 4<x<n,则实数 m,n 的值分别是(
1 6 1 8



, n = 32 , n = 38

B.m = D.m =

, n = 34 , n = 36

三、解答题 1.求满足下列条件的最小的正确整数,n:对于 n,存在正整数 k,使 2.已知 a,b,c 是三角形的三边,求证:
a b?c ? b c?a ? c a?b ? 2. 8 15 ? n n?k ? 7 13

成立。

?x 2 ? x ? 2 ? 0 ? 3.若不等式组 ? 2 的整数解只有 x = -2,求实数 k 的取值范围。 ? 2 x ? (5 ? 2 k ) x ? 5 k ? 0 ?

答案 A卷 1.x≥2
?7 x ? 4 ? 5 x ? 8 3 ? 2.不等式组 ? x 的解集是-6≤x < 3 ,其中整数解为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2, x 4 ? ? 2? 5 ?3

3.由不等式

mx ? 1 3

?1?

x?3 3

可得(1 – m )·x < -5,因已知原不等式的解集为 x >5,则有(1-m)·5 = -5, ∴m = 2.
2

4.由原不等式得:(7 – 2k)x < k +6,当 k < 当k> 当k=
7 2 7
2

7 2

时,解集为 x ?

k ?6
2

7 ? 2k



时,解集为 x ?

k ?6
2

7 ? 2k

;

时,解集为一切实数。 ,故所取的最小整数是 3。 2 2?b
5
3?a 2 5

5.要使关于 x 的不等式的解是正数,必须 5 – 2m<0,即 m> 6.2x + a >3 的解集为 x > 所以原不等式组的解集为
2?b

3?a

2 3?a

; 5x – b < 2 的解集为 x < <
2?b 5

。且

3?a 2

< ,解得:a = 5, b = 3,所以 ab = 15 5 2 5 7.当 x≥0 时,|x| - x = x –x = 0,于是(|x| - x )(1 + x ) = 0,不满足原式,故舍去 x≥0 当 x < 0 时,|x| - x = - 2x >0,x 应当要使(|x| - x )(1 + x )<0,满足 1 + x < 0,即 x < -1,所以 x 的取值范围是 x < - 1。 =1,再结合

3?a

2 2?b

<

2?b 5

。又题设原不等式的解集为 –1 < x <1,所以

=-1,

?| x ? 4 |? 2 (1) 8.原不等式化为 ? 由(1)解得或 x <2 或 x > 6,由(2)解得 1 < x < 7,原不等式的解集为 1 < x < 2 ?| x ? 4 |? 3 ( 3 ) 或 6 < x < 7. 9.若 a,b,c,中某个值小于 2,比如 a < 2,但 b≤2, c≤2,所以 a + b + c <6 ,与题设条件 a + b + c = 6 矛盾,所以只能 a = 2,同理 b = 2, c = 2,所以 abc=8。 4 10.因为解为 x > 的一元一次不等式为 – 9 x + 4 < 0 与(2a – b )x + 3a – 4b <0 比较系数,得 9 ?2a ? b ? ?9 ?a ? ?8 1 所以第二个不等式为 20x + 5 > 0,所以 x > ? ? ? 4 ?3a ? 4b ? 4 ?b ? ? 7

C卷 1.原不等式化为|(x + 1) (x - 4) | > x + 2,若(x + 1) (x - 4) ≥0,即 x≤-1 或 x≥4 时,有
x ? 3 x ? 4 ? x ? 2, x ? 4 x ? 6 ? 0
2 2

∴ x ? 2 ? 10 或 x ? 2 ? 10 或1 ? 3 ? x ? 1 ? 3 2.∵|x| + |y| < 100,∴0≤|x|≤99, 0≤|y|≤99,于是 x,y 分别可取-99 到 99 之间的 199 个整数,且 x 不等于 y,所以可 能的情况如下表: X 的取值 Y 可能取整数的个数 0 198(|y| < < 100) 196 (|y| < 99) ±1 ?? ?? 100 (|y| < 51) ±49 99 (|y| < 50) ±50 ?? ?? 3 (|y| < 2) ±98 1 ( |y| < 1) ±99 所以满足不等式的整数解的组数为: 198 + 2 (1 + 3 + ? + 99) + 2(100 + 102 + ? + 196) (1 ? 99 ) ? 50 (100 ? 196 ) ? 49 ? 198 ? 2 ? ? 2? ? 19702 2 2
1 ?x ? ? z ? y (1) 3. ? 3 2 ? y ? z ? 1997 ( 2 ) ?

由(1)得 y≤2z (3) 由(3) (2)得 3z ≥ 1997 (4) 1997 ] ? 1 ? 666 因为 z 是正整数,所以 z≥ [ 3 由(1)知 x≥3z,∴z≥1998,取 x = 1998, z = 666, y = 1332 满足条件 所以 x 的最小值是 1998。 4.令 2
?
1998

? n ,则 2
?

1999

? 2?2

1998

? 2 n ,2

2000

? 4 n ,?

M N

?

n ?1 2n ? 1

?

2n ? 1 4n ? 1

( n ? 1)( 4 n ? 1) ( 2 n ? 1)
2

4n ? 5n ? 1
2

4n ? 4n ? 1
2

?1?

n 4n ? 4n ? 1
2

?1

∴M>N 5.钝角三角形的三边 a, a + 1, a + 2 满足:

? a ? ( a ? 1) ? a ? 2 ?a ? 1 即? ? 2 2 2 ?2a ? 2a ? 3 ? 0 ? a ? ( a ? 1) ? ( a ? 2 ) ?a ? 1 故1 ? a ? 3 ∴? ?? 1 ? a ? 3 二、选择题 3 | x | ? 14 3 x ? 14 5 5 ? ? 3? ? 4, ∴ ? ? 1(1) 1.当 x≥0 且 x≠3 时, x?3 x?3 x?3 x?3 若 x>3,则(1)式成立 若 0≤x < 3,则 5 < 3-x,解得 x < -2 与 0≤x < 3 矛盾。 3 | x | ? 14 3 x ? 14 2 ? ? 4 , 解得 x < ? (2) 当 x < 0 时, x?3 x?3 7 2 由(1)(2)知 x 的取值范围是 x >3 或 x < ? ,故选 C , 7

2.由 ( x ? 1) ? x ? 2 x ? 1, 原不等式等价于 ( x ? 2 ) ? ( x ? 1) ? 0 , ( x ? 1) ? ( x ? 6 ) ? 0 , 分别解得 x < 1 或 x >2,-1< x < 6, 原不等式的整数解为 0,3,4,5,故应选 A 3.方程组中的方程按顺序两两分别相减得 x1 ? x 4 ? a 1 ? a 2 , x 2 ? x 5 ? a 2 ? a 3
2 2

x 3 ? x1 ? a 3 ? a 4 , x 4 ? x 2 ? a 4 ? a 5

因为 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 所以 x1 ? x 4 , x 2 ? x 5 , x 3 ? x1 , x 4 ? x 2 ,于是有 x 3 ? x1 ? x 4 ? x 2 ? x 5 故应选 C 4.令 x =a (a≥0)则原不等式等价于 ma ? a ?
2

3 2

? 0 由已知条件知(1)的解为 2< a <

n

1 ? 2? n ? ? 3 1 ? m 2 因为2和 n 是方程 ma ? a ? ? 0 的两个根,所以 ? 解得 m = , n ? 36 2 8 ?2 n ? 3 ? 2m ? 故应选 D

三、解答题 1.由已知得
15 8 ? n?k n 54 7 ? 13 7 ,即 15 8 63 8 78 ?1? k n ? 13 7 ,? 6 7 ? k n ? 7 8

n , k 为正整数
60 ?k ? 70 8

显然 n>8,取 n = 9 则
66 ?k ? 77

?k? 84

,没有整数 K 的值,依次取 n = 10, n = 11, n = 12, n = 14 时,分别得
?k ? 91 8





72

7 8 7 8 7 即可满足,所以 n 的最小值是 15。

?k?





84 7

?k?

98 8

,k 都取不到整数,当 n = 15 时,

90 7

?k ?

7 105 8

,k 取 13

2.由“三角形两边之和大于第三边”可知,

,是正分数,再利用分数不等式: b?c a?c a?b a a?a 2a b 2b c 2c ? ? ? , ? ,同理 b?c b?c?a a?b?c a?c a?b?c a?b a?b?c a b c 2a 2b 2c 2(a ? b ? c ) ? ? ? ? ? ? ?2 ∴ b?c a?c a?b a?b?c a?b?c a?b?c a?b?c
, ,

a

b

c

3.因为 x = -2 是不等式组的解,把 x = - 2 代入第 2 个不等式得 (2x + 5) (x + k) = [2·(-2) + 5]·(-2 + k ) < 0,解得 k < 2,所以 – k > -2 > ?
5 2

,即第 2 个不等式的解为 ?

5 2

< x < k,而

? x ? ?1 ?x ? 2 ? ? ? 5 ? 5 第 1 个不等式的解为 x < -1 或 x > 2,这两个不等式仅有整数解 x = -2,应满足 (1) ? ? ? x ? ? k 或 ( 2 ) ? ? ? x ? ? k ? 2 ? 2 ? x 为整数 ? x 为整数 . ? ? 对于 (1) 因为 x < 2, 所以仅有整数解为 x = -2 此时为满足题目要求不等式组 (2) 应无整数解, 这时应有-2 < -k≤3, -3 ≤k < 2 综合(1) (2)有-3≤k < 2


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