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测控设计高中数学北师大版必修2课件:1.6.1.1直线与平面垂直的判定_图文

§6 垂直关系 6.1 垂直关系的判定 第1课时 直线与平面垂直的判定 1.理解直线与平面垂直的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理. 3.能运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直. 直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那 么称这条直线和这个平面垂直. (2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表 示平面的平行四边形的横边垂直.如图所示. (3)判定定理: 名师点拨1.直线和平面垂直的定义是描述性定义,“任何一条”与 “所有”表达相同的含义. 2.直线与平面垂直是直线与平面相交的特例. 3.由定义可得线面垂直?线线垂直,即若a⊥α,b?α,则a⊥b. 4.直线与平面垂直的判定定理告诉我们要证线面垂直可通过线 线垂直来完成. 5.由公理4可知平行具有传递性,因此两条平行直线中的一条垂 直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面. 【做一做1】 直线l垂直于平面α内的无数条直线,则 ( ) A.l⊥α B.l?α C.l∥α D.以上均有可能 答案:D 【做一做2】 如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方 形,PD⊥BC,PD=1,PC= 2 求证:PD⊥平面ABCD. 证明:∵PD=DC=1,PC= 2 ∴△PDC是直角三角形. ∴PD⊥CD. 又PD⊥BC,BC∩CD=C,BC?平面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PD⊥平面ABCD. 题型一 题型二 题型三 题型一 对线面垂直定义的理解 【例1】 有下列说法: ①已知三棱锥P-ABC的高为PO,且PA=PB=PC,则点O为△ABC的 外心; ②如果直线l与平面α不垂直,那么在α内不存在与l垂直的直线; ③过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直; ④与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行; ⑤过平面外一点和这个平面垂直的直线有且只有一条. 其中正确说法的序号是 . 题型一 题型二 题型三 解析: 序号 正误 原因分析 ① 正确 如图所示 ,PO 为三棱锥的高 ,则 PO⊥平面 ABC,O 为垂 足 ,连接 OA,OB,OC,则 PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.由 PA=PB=PC,易得 OA=OB=OC,故 O 为 △ABC 的外心 很明显结论错误 可假设结论不成立证明 因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直 , 所以直线也可能在平面内 可假设结论不成立证明 ② ③ ④ ⑤ 错误 正确 错误 正确 答案:①③⑤ 题型一 题型二 题型三 反思在平面几何中,我们有结论:经过一点,有且只有一条直线与 已知直线垂直.在立体几何中,也有类似的重要结论: 结论1:过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 结论2:过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个. 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 下列命题正确的是( ) A.如果一条直线垂直于平面内的一条直线,那么这条直线和这个 平面垂直 B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线和 这个平面垂直 C.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线 和这个平面垂直 D.如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直 线和这个平面垂直 题型一 题型二 题型三 解析:本题主要考查直线和平面垂直的概念,解决本题关键是理 解概念的本质.我们以正方体ABCD-A1B1C1D1为例,如图. 直线A1C1⊥BD,且A1C1与平面ABCD内的和BD平行的直线都垂直, 而A1C1与平面ABCD平行,故选项A,B,C错,正确答案是D. 答案:D 题型一 题型二 题型三 题型二 直线与平面垂直的判定 【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E是BB1的中点,O 是底面正方形ABCD的中心. 求证:OE⊥平面ACD1. 分析:只需证OE⊥AC,OE⊥D1O即可.其中OE⊥AC易证,通过计算 可得D1E2=D1O2+OE2,从而得到OE⊥OD1. 题型一 题型二 题型三 证明 :如图所示 ,连接 AE,CE,D1O,D1B 1,D 1E,BD,易知 AE=EC. ∵AO=OC,∴在等腰三角形 EAC 中 ,OE⊥AC. 在 Rt△D1DO 中 , D1O = 1 2 + 2 = 12 + 2 2 2 = 6 . 2 在 Rt△EBO 中 , OE= 2 + 2 = 在 Rt△D1B1E 中 , D1E = 2 1 1 1 2 2 + 2 2 2 = 3 . 2 + 1 2 = ( 2) + 2 1 2 2 = . 3 2 ∵D1O 2+OE2=D1E 2,∴ D1O⊥ OE. ∵D1O∩AC=O,D 1O?平面 ACD1,AC?平面 ACD1, ∴OE⊥平面 ACD1. 题型一 题型二 题型三 反思要善于利用平面图形的性质构造线线垂直关系,如等腰三角 形底边上的中线、菱形的对角线、勾股定理的逆定理等,这是证明 空间垂直关系的基础,解题时要善于挖掘题中隐含条件. 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 如图,已知PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直 径,C是☉O上不同于A和B的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E. 求证:AE⊥平面PBC. 证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC. 又AB是☉O的直径,∴BC⊥AC. 而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC. 又AE?平面PAC,∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC. 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 易错点:推理不严密而致误 【例3】 如图所示,已知α∩β=l,PA⊥α于点A,PB⊥β于点B,AQ⊥l 于点Q,连接BQ. 求证:l⊥BQ. 错解:∵α∩β=l,l?α,l?β, 又PA⊥α,∴PA⊥l. ∵PB⊥β,∴PB⊥l. 而PA∩PB=P,∴


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