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2011年上海静安区数学二模试卷含答案


静安区学习质量调研九年级数学学科 静安区学习质量调研九年级数学学科
(满分 150 分,100 分钟完成)
1.下列各数中与 3 (A) 3 2.不等式组 ?
? 1 2

2011.4

相等的是 (B) ? 3 (C)

3 3

(D) ?

3 3

? x > ?2, 的解集是 ?? x > 1
(B) x > ?1 (C) x < ?1 (D) ? 2 < x < ?1

(A) x > ?2

3.下列问题中,两个变量成反比例的是 (A)长方形的周长确定,它的长与宽; (C)长方形的面积确定,它的长与宽; (B)长方形的长确定,它的周长与宽; (D)长方形的长确定,它的面积与宽.

4.一支篮球队准备购买 10 双运动鞋,各种尺码统计如下表: 尺码(厘米) 购买量(双) 25 1 25.5 1 26 2 26.5 4 27 2

则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别为 (A)26 厘米,26 厘米 (C)26.5 厘米,26 厘米 5.三角形的重心是三角形的 (A)三条中线的交点 (C)三边垂直平分线的交点 6.下列图形中,可能是中心对称图形的是 (B)三条角平分线的交点 (D)三条高所在直线的交点 (B)26.5 厘米,26.5 厘米 (D)26 厘米,26.5 厘米

(本大题共 二、填空题: 本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 填空题: ( [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7.计算: 2 0 + | 1 ? 8.化简:

2 |=


▲ .



a +a = a ?1

那么 m 的取值范围是 9. 如果关于 x 的方程 x 2 ? ( 2m ? 1) x + m 2 = 0 有两个实数根,
1





10. 将二元二次方程 x ? 6 xy + 5 x = 0 化为二个一次方程为
2



. ▲ .

11. 如果函数 y = ( k 为常数) 的图像经过点 (–1, –2) 那么 y 随着 x 的增大而 , 12. 如果 ( x + 1) 2 ? ( x + 1) ? 2 = 0 , 那么 x + 1 = ▲ .

x k

13.在一个袋中,装有四个除数字外其它完全相同的小球,球面上分别标有 1、2、3、4 这四个 数字,从中随机摸出两个球,球面数字的和为奇数的概率是 ▲ .

14.为了了解某校九年级学生的身体素质情况,在该校九年级随机抽取 50 位学生进行一分钟跳 绳次数测试,以测试数据为样本,绘制出频数分
16 频数

布直方图(如图,每组数据可含最小值,不含最
12

大值) 如果在一分钟内跳绳次数少于 120 次的为 ,
8

不合格,那么可以估计该校九年级 300 名学生中 跳绳不合格的人数为 ▲ . ▲ .

4 O 80 100 120 140 160 180 跳绳次数

15.正五边形每个外角的度数是

(第14题图) ▲ .

16.在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,BD=2CD, AB = a , AC = b ,那么 AD =

17.已知⊙ O1 与⊙ O2 两圆内含, O1O 2 = 3 ,⊙ O1 的半径为 5,那么⊙ O2 的半径 r 的取值范围 是 ▲ .

18.在△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=2,△ABC 绕着点 C 旋转后, 点 B 落在 AC 边上的 点 B’ ,点 A 落在点 A’ ,那么 tan∠AA’B’的值为 ▲ .

(本大题共 三、解答题: 本大题共 7 题,满分 78 分) 解答题: ( [将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位置上] 将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位置上] 19. (本题满分 10 分) 化简:

x + x+ y

y x? y

,并求当 x =

3 y 时的值.

2

20. (本题满分 10 分) 解方程:

3 2 + = 1. x ?4 x+2
2

21. (本题满分 10 分,第(1)小题满分 3 分,第(2)小题满分 7 分) 已知:如图,在梯形 ABCD 中,DC∥AB,AD=BC,BD 平分∠ABC,∠A=60°. 求: (1)求∠CDB 的度数; (2)当 AD=2 时,求对角线 BD 的长和梯形 ABCD 的面积. D C

A

(第 21 题图)

B

22. (本题满分 10 分第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 2 分) A、B 两城间的公路长为 450 千米,甲、乙两车同时从 A 城出发沿这一公路驶向 B 城,甲 车到达 B 城 1 小时后沿原路返回.如图是它们离 A 城的路程 y(千米)与行驶时间 x(小时) 之间的函数图像. (1) 求甲车返回过程中 y 与 x 之间的函数解析式, 并写出函数的定义域; (2)乙车行驶 6 小时与返回的甲车相遇,求乙车 的行驶速度. O D 10 x(小时) (第 22 题图) 45 450 y(千米) CE F

23. (本题满分 12 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分) 已知:如图,在□ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,CE、AF 与对角线 BD 分别 相交于点 G、H. (1) 求证:DH=HG=BG; (2) 如果 AD⊥BD,求证:四边形 EGFH 是菱形. G A
3

D H

F

C

E

B

(第 23 题图) 24. (本题满分 12 分,第(1)小题满分 3 分,第(2)小题满分 9 分) 如图, 二次函数 y = ax + bx + 2 的图像与 x 轴、
2

y C

y 轴的交点分别为 A、B,点 C 在这个二次函数的图像
上,且∠ABC=90?,∠CAB=∠BAO, tan ∠BAO = (1)求点 A 的坐标; (2)求这个二次函数的解析式. O A x

1 . 2

B

(第 24 题图) 25. (本题满分 14 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 3 分) 如图,在半径为 5 的⊙O 中,点 A、B 在⊙O 上,∠AOB=90?,点 C 是 AB 上的一个动点, AC 与 OB 的延长线相交于点 D,设 AC= x ,BD= y . (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义 域; (2)如果⊙ O1 与⊙O 相交于点 A、 且⊙ O1 与 C, ⊙O 的圆心距为 2,当 BD= A C

O

B

D

1 OB 时,求⊙ O1 的半径; 3
(第 25 题图)

是否存在点 C,使得△DCB∽△DOC?如果存在,请 证明;如果不存在,请简要说明理由.

静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准 静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准 2011.4.14 选择题: (本大题共 一、选择题: 本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) ( 1.C; 2.D; 3.C; 4.B; 5.A; 6.D. 填空题: (本大题共 二.填空题: 本大题共 12 题,满分 48 分) ( 7. 2 ; 8.

a2 ; a ?1

9. m ≤

2 13. ; 3

14. 72;

15. 72;

1 ; 10. x = 0, x ? 6 y + 5 = 0 ; 11.增大; 12.2; 4 1 2 1 16. a + b ; 17. < r < 2或r > 8 ; 0 18. . 3 3 3
4

三、 本大题共 7 题,第 19、20、21、22 题每题 10 分,第 23、24 题每题 12 分,第 25 题 14 (本大题共 ( 19、20、21、 23、 分,满分 78 分) 19.解:原式=

x ? xy x? y

+

xy + y x?y

……………………………………………………………(5 分)

=

x+ y ……………………………………………………………………………(2 分) x? y

当 x = 3 y 时,原式=

3y + y 3y ? y

=

3 +1 3 ?1

= 2 + 3 .………………………………(3 分)

20.解: 3 + 2( x ? 2) = x 2 ? 4 ,……………………………………………………………(3 分)

x 2 ? 2 x ? 3 = 0 ,………………………………………………………………………(2 分) ( x + 1)( x ? 3) = 0 ,……………………………………………………………………(2 分) x1 = ?1, x 2 = 3 .………………………………………………………………………(2 分)
经检验: x = ?1 , x = 3 都是原方程的根.………………………………………(1 分) 所以原方程的根是 x1 = ?1, x 2 = 3 . 21. 解:(1) ∵在梯形 ABCD 中,DC∥AB,AD=BC,∠A=60°, ∴∠CBA=∠A=60?. ………………………………………………………………(1 分)

1 ∠CBA=30?,………………………(2 分) 2 (2)在△ACD 中,∵∠ADB=180?–∠A–∠ABD=90?.……………………………(1 分)
∵BD 平分∠ABC,∴∠CDB=∠ABD= ∴BD=AD ? tan A=2tan60?=2 3 .…………………………………………………(1 分) 过点 D 作 DH⊥AB, 垂足为 H, …………………………………………………… 分) (1 ∴AH=AD ? sin A=2sin60?= 3 .……………………………………………………(1 分)

1 ∠CBD=30?,∴DC=BC=AD=2. …………………………(1 分) 2 ∵AB=2AD=4, ………………………………………………………………………(1 分) 1 1 ∴ S 梯形ABCD = ( AB + CD ) ? DH = (4 + 2) 3 = 3 3 . ………………………… 分) (1 2 2 22.解: (1)设甲车返回过程中 y 与 x 之间的函数解析式 y = kx + b ,……………………(1 分)
∵∠CDB=∠CBD= ∵图像过(5,450)(10,0)两点,………………………………………………(1 分) ,
?5k + b = 450, ∴? ……………………………………………………………………(2 分) ?10k + b = 0.

5

?k = ?90, 解得 ? ………………………………………………………………………(2 分) ?b = 900.

∴ y = ?90 x + 900 .……………………………………………………………………(1 分) 函数的定义域为 5≤ x ≤10.…………………………………………………………… 分) (1 2)当 x = 6 时, y = ?90 × 6 + 900 = 360 ,………………………………………………(1 分)
v乙 = 360 . ………………………………………………………(1 分) = 60 (千米/小时) 6

23.证明: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB//CD,AB=CD.…………………(1 分) ∵点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,

DH DF DF 1 = = = . ………………………………………………………… 分) (2 HB AB CD 2 1 ∴DH= BD . ……………………………………………………………………… 分) (1 3 1 同理: BG= BD . ………………………………………………………………… (1 分) 3 1 ∴DH=HG=GB= BD . …………………………………………………………… 分) (1 3
∴ (2)联结 EF,交 BD 于点 O.…………………………………………………………(1 分) ∵AB//CD,AB=CD,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,

1 CD FO OD DF 2 ∴ = = = = 1 .…………………………………………………(1 分) EO BO BE 1 AB 2
∴FO=EO, DO=BO. ……………………………………………………………… 分) (1 ∵DH=GB,∴OH=OG.∴四边形 EGFH 是平行四边形.……………………(1 分) ∵点 E、O 分别是 AB、BD 的中点,∴OE//AD. ∵AD⊥BD,∴EF⊥GH.…………………………………………………………(1 分) ∴□HEGF 是菱形.………………………………………………………………(1 分)

24.解: (1)二次函数 y = ax 2 + bx + 2 的图像 y 轴的交点为 B(0,2) ,………………(1 分) 在 Rt△AOB 中,∵OB=2, tan ∠BAO =

OB 1 = ,………………………………(1 分) OA 2

∴OA=4,∴点 A 的坐标(4,0) .…………………………………………………(1 分) (2)过点 C 作 CD⊥ y 轴,垂足为 D,…………………………………………………(1 分)
6

∵∠CDB=∠ABC=∠AOB=90?, ∴∠CBD=180?–∠ABC–∠ABO=90?–∠ABO=∠BAO.………………………(1 分) ∴△CDB∽△BOA,…………………………………………………………………(1 分) ∵∠CAB=∠BAO,∴

CB 1 = tan ∠CAB = tan ∠BAO = ,………………………(1 分) AB 2 CD BD CB 1 ∴ = = = .……………………………………………………………(1 分) OB OA AB 2

∴OC=1,BD=2,∴OD=4.∴C(1,4) .…………………………………………(1 分) ∵点 A、C 在二次函数 y = ax 2 + bx + 2 的图像上,

?0 = 16a + 4b + 2, ∴? …………………………………………………………………(1 分) ?4 = a + b + 2,

5 ? ?a = ? 6 , ? ∴? …………………………………………………………………………(1 分) ?b = 17 . ? 6 ?
5 2 17 x + x + 2 .………………………………………(1 分) 6 6 25.解: (1)过⊙O 的圆心作 OE⊥AC,垂足为 E,………………………………………(1 分) 1 1 1 ∴AE= AC = x ,OE= AO 2 ? AE 2 = 25 ? x 2 .…………………………(1 分) 2 2 4 ∵∠DEO=∠AOB=90?, ∴∠D =90?–∠EOD=∠AOE,∴△ODE∽△AOE.……… (1 分)
∴二次函数解析式为 y = ? ∴

OD AO = ,∵OD= y + 5 ,∴ OE AE

y+5 5 .………………………………(1 分) = x 1 2 25 ? x 2 4
5 100 ? x 2 ? 5 x .……………………………(1 分) x

∴ y 关于 x 的函数解析式为: y =

定义域为: 0 < x < 5 2 .………………………………………………………(1 分)

(2)当 BD=

5 5 5 100 ? x 2 ? 5 x 1 OB 时, y = , = .…………………………………(1 分) 3 3 3 x

∴ x = 6 .……………………………………………………………………………(2 分) ∴AE=

1 x = 3 ,OE= 5 2 ? 3 2 = 4 . 2
7

当点 O1 在线段 OE 上时, O1 E = OE ? OO1 = 2 ,

O1 A = O1 E 2 + AE 2 = 2 2 + 3 2 = 13 .…………………………………………(1 分)
当点 O1 在线段 EO 的延长线上时, O1 E = OE + OO1 = 6 ,

O1 A = O1 E 2 + AE 2 = 6 2 + 3 2 = 3 5 .…………………………………………(1 分)

O1 的半径为 13 或 3 5 .
(3)存在,当点 C 为 AB 的中点时,△DCB∽△DOC.…………………………………(1 分) 证明如下:∵当点 C 为 AB 的中点时,∠BOC=∠AOC= 又∵OA=OC=OB,∴∠OCA=∠OCB=

1 ∠AOB=45?, 2

180 ? 45° = 67.5° , 2

∴∠DCB=180?–∠OCA–∠OCB=45?.…………………………………………(1 分) ∴∠DCB =∠BOC.又∵∠D=∠D,∴△DCB∽△DOC.………………………(1 分) ∴存在点 C,使得△DCB∽△DOC.

8


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