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浙江省东阳中学2015届高三1月阶段检测数学(理)试题_图文

浙江省东阳中学 2015 届高三 1 月阶段检测数学(理)试题
一、选择题: (共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A
x 2

?

?

?

?

CR B ? (



(A) x x ? 0 (B x 2 ? x ? 4 (C) x 0 ? x ? 2或x ? 4

?

? ?

?

?

?

(D) x 0 ? x ? 2或x ? 4 ) (D) 6

?

?

2.在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 2 ? a3 ,则此数列 ?an ? 的前 6 项和为( (A) 12 (B) 3 (C) 36

3.已知直线 l , m ,平面 ? , ? 满足 l ? ? , m ? ? ,则“ l ? m ”是“ ? / / ? ”的( (A)充要条件 (C)必要不充分条件 4.函数 f ? x ? ? cos ? ? x ? (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件



? ?

??

? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到 f ? x ? 3? ? ?

的图象,只需将函数 g ? x ? ? sin ? ? x ? (A)向左平移 (C)向左平移

??

? 的图象( 3?
(B)向右平移 (D)向右平移



?
2

个单位长度

?
2

个单位长度

?
4

个单位长度

?
4

个单位长度 )

5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是 (

(A)2

(B)错误!未找到引用源。 (D)3

(C)错误!未找到引用源。

6 . 定 义 max{a , b} ? ?

? ? a, a ? b ?x ?2 , 设 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件 ? , 则 ?b, a ? b ?y ?2 ?
) (C) [?6,8] (D) [?7,8]

z ? max{4x ? y , 3x ? y}的取值范围是(
(A) [?8,10] (B) [?7,10]

S

7.如图,在正四棱锥 S ? ABCD 中, E , M , N 分别是 BC , CD, SC 的 中点,动点 P 在线段 MN 上运动时,下列四个结论:① EP ? AC ; ② EP / / BD ;③ EP // 面SBD ;④ EP ? 面SAC .中恒成立的为( (A)①③ (B)③④ (C)①② (D)②③④ ) ) B
A

N
D E

.

C

M

(第 7 题图)

8.若 a, b, c ? 0 ,且 a (a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,则 2a ? b ? c 的最小值为( (A) 3 ? 1 (B) 3 ? 1 (C) 2 3 ? 2 (D) 2 3 ? 2

9.若点 O 和点 F(-2,0)分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右 2 a


支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为( (A) [3 ? 2 3, ??) (B) [3 ? 2 3, ??) (C) [?

7 7 , ??) (D) [ , ??) 4 4

10.已知函数 f ( x) ? ? 个数不可能 为( ... (A) 5 个

? log 5 (1 ? x) 2 ??( x ? 2) ? 2

( x ? 1) 1 ,则关于 x 的方程 f ( x ? ? 2) ? a 的实根 x ( x ? 1)

) (B) 6 个 (C) 7 个 (D) 8 个

二、填空题:( 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分) 11 .设直线 l1: x ? 2 y ? 2 ? 0 的倾斜角为 ?1 ,直线 l2 : mx ? y ? 4 ? 0 的倾斜角为 ? 2 ,且

? 2 ? ?1 ? 900 ,则 m 的值为_____▲____.
12. 已知三棱锥 A ? BCD 中,AB ? AC ? BD ? CD ? 2 ,BC ? 2 AD ? 2 2 , 则直线 AD 与底面 BCD 所成角为_____▲____. 13.已知 cos(? ?

?
4

)?

3 ? 3? , ?? ? ,则 cos 2? ? _____▲____. 5 2 2

14.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? ? f ( x) ,且 f (1) ? 2 ,则

f (2013) ? f (2015) ? _____▲____.

15.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1,F2,若该椭圆上存在一点 P,使得 a 2 b2

∠F1PF2=60°,则椭圆离心率的取值范围是___▲____. 16.已知直线 l 的方程是 x ? y ? 6 ? 0 ,A,B 是直线 l 上的两点,且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点) ,则△OAB 外接圆的方程是____▲____ .

? x ? 4 y ? ?3, ? 17 . 设 O 为 坐 标 原 点, 点 M 的 坐 标 为( 2 , 1 ) , 若 N ( x, y ) 满 足 ?3 x ? 5 y ? 25, 则 ? x ? 1, ?
| ON | ? cos ?MON 的最大值是_____▲____.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 ?B ? 30 ,

? ABC 的面积为 .
(Ⅰ)当 a, b, c 成等差数列时,求 b ; (Ⅱ)求 AC 边上的中线 BD 的最小值.

3 2

19. (本题满分 14 分)已知数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 bn

?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? n .

?an ? 的通项公式;
an 1 n ,记数列 ?bn ? 的前 n 和为 Tn ,证明: ? ? Tn ? ? 0 . 3 2 an ?1

?

20. (本题满分 14 分)四棱锥 P ? ABCD 如图放 置, AB / / CD, BC ? CD , AB ? BC ? 2 ,

D

C

CD ? PD ? 1 , ? PAB 为等边三角形.
(Ⅰ)证明: PD ? 面PAB ; (Ⅱ)求二面角 P ? CB ? A 的平面角的余弦值.

P A B

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x x ? a ,其中 a ? R .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 4 ? f ( x) ? 16 在 x ? [1, 2] 上恒成立,求 a 的取值范围.

22.(本题满分 15 分) 如图,设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点为 F(1,0),A 为椭圆的 a 2 b2

上顶点,椭圆上的点到右焦点的最短距离为 2 -1.过 F 作椭圆的弦 PQ,直线 AP,AQ 分 别交直线 x-y-2=0 于点 M,N. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 求当|MN|最小时直线 PQ 的方程.
y A Q O P M (第 22 题图) F N x

东阳中学高三理科数学阶段性检测 参考答案

19.解: (Ⅰ)由 S n

? 2an ? n ,及 S n?1 ? 2an?1 ? n ? 1 ,作差得 an?1 ? 2an ? 1 ,

an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 即数列 ?an ? 1? 成等比, an ? 1 ? 2n ,故 an ? 2n ? 1
????7 分 (Ⅱ)∵ bn ?

an 2n ? 1 ? n ?1 an ?1 2 ? 1
???9 分

∴ bn ?

1 2n ? 1 1 ?1 ? n ?1 ? ? n ? 2 2 2 ?1 2 2 ? 2

Tn ?
则 Tn

n 1 1 ? ?( 3 ? 4 ? 2 2 ?2 2 ?2 ? n 1 1 ? ?( 3 ? 4 ? 2 2 ?2 2 ?2 n ? 0 ???12 分 2

?

1 1 ? n? 2 ) 2 ?2 2 ?2
n ?1

?

1 1 ? n? 2 )?0 2 ?2 2 ?2
n ?1

即 Tn

?

1 2n? 2 ? 2
∴ Tn

?

1 1 ? 2n ? 2 ? 3 ? 2n 3 ? 2n
? 1 1 1 1 )?? ? ?? n n 2 3 3? 2 3

?

n 1 1 1 ?? ( 1? 2 ? 2 3 2 2

故?

1 n ? Tn ? ? 0 ????14 分 3 2

20.解法 1: (Ⅰ)易知在梯形 ABCD 中, AD = 5 ,而 PD ? 1,AP ? 2 ,则 PD ? PA 同理 PD ? PB ,故 PD ? 面PAB ;??6 分 (Ⅱ)取 AB 中点 M ,连 PM , DM , 作 PN ? DM ,垂足为 N ,再作 NH ? BC ,连 HN 。 易得 AB ? 面DPM ,则 面ABCD ? 面DPM 于是 PN ? 面ABCD , BC ? 面NPH 即 ?NHP 二面角 P ? CB ? 在 ?NHP 中, PN ?

D N P

C

H B

A

M

A 的平面角。

2 7 3 7 , ,PH ? , NH ? 1, ∴ cos ?NHP = 2 2 7 2 7 ????14 分 7
D

故二面角 A ? PB ? C 的平面角的余弦值为

z C

解法 2: (Ⅰ)易知在梯形 ABCD 中, AD = 5 , 而 PD ? 1,AP ? 2 ,则 PD ? PA 同理 PD ? PB ,故 PD ? 面PAB ;????6 分

P A x B

y

(Ⅱ)如图建系,则

P(0, 0, 0), B( 3,1, 0), C (0,1,1), A( 3, ?1, 0), ,
设平面 CPB 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则 m ? PC ? 0 ? m ? PB 即?

? ? 3x ? y ? 0 ,取 m ? (?1, 3, ? 3) , y ? z ? 0 ? ?

又设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则, n ? CA ? 0 ? n ? CB 即?

? ?

3x ? z ? 0

? ? 3x ? 2 y ? z ? 0

,取 n ? (?1, 0, ? 3) ,

故 cos ? m, n ? =

m?n m?n

?

4 2 7

?

2 7 7
2 7 ????14 分 7

故二面角 A ? PB ? C 的平面角的余弦值为

22.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何 的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 由题意知,c=1,a-c= 2 -1,所以椭圆方程为

x2 +y2=1. 2

???? 4 分
y A Q O P M F N x

(Ⅱ) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 PQ:x-my-1=0,由
? x2 ? ? y2 ?1, ?2 ? ? x ? my ? 1 ? 0 ,

消去 x,得 (m2+2)y2+2my-1=0, 所以
?2m ? y ? y2 ? 2 , ? ? 1 m ?2 ? ? y ? y ? ?1 . 1 2 ? ? m2 ? 2

(第 22 题图)

设点 M,N 的坐标分别为(xM,yM),(xN,yN). 因为直线 AP 的方程为 y-1=
y1 ? 1 x,由 x1
y1 ? 1 ? x, ? y ?1 ? x1 ? ? ?x ? y ? 2 ? 0 ,

得 xM=
3my1 ? 3 . (m ? 1) y1 ? 2



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