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2015春高三二轮复习专题 函数与导数B(教师版)


高三二轮复习专题
一、选择题

函数与导数 B(教师版)

1、 (天府数学 2015 年普通高考模拟试题 (二) (理 8) ) 已知函数 f ? x ? ? x3 ? a , a ? R 在 ? ?1,1? 上的最大值为 M ? a ? ,若函数 g ? x ? ? M ? x ? ? x2 ? t 有 4 个零点,则实数 t 的取值范围为 ( ) B、 ? ??, ?1? C、 ? ??, ?1? ? ?1,2?

? 5? A、 ? 1, ? ? 4?

? 5? D、 ? ??, ?1? ? ?1, ? ? 4?

【解析】M ? a ? ? ?

?a ? 1? a ? 0 ? ? ,由 g ? x ? ? 0 知 M ? x ? ? x2 ? t ,作 y ? M ? x ? 与 y ? x2 ? t 图 1 ? a a ? 0 ? ? ? ?

象,按 t ? 0 与 t ? 0 讨论交点情况,可得 t ? ? 1 有三个交点, ?1 ? t ? 1 有两个交点,t ? ? 1 和

1? t ?

5 5 有四个交点, t ? 没有交点,故选 D。 4 4

1? ? 2、 (天府数学 2015 年普通高考模拟试题(六) (理 7) )方程 ln x ? 2ex 2 ? x3 ? ? e2 ? ? x 的 e? ?
实根的个数为( A、1 ) B、2
x?0

C、3 , 则 方 程 可 化 为

D、0

【 解 析 】 显 然

ln x 1 2 ? ? x ? e? ? x e

, 令

l x n 1 2 x? ,? ? g? ? x? ? ?x , e ? ?0 x e 1 ? ln x ] , f ' ? x ? ? 0 , 当 x ?[e ?? , ) , 当 x ? ( 0e , 时 时 , f ' ? x? ? 0 , f ' ? x? ? 2 x 1 ? f ? x ?max ? f ? e ? ? ; e f ? ?x ?
] , g ' ? x ? ? 0 , 当 x ?[e ?? , ) 时 , g' ? x? ? 0 , g ' ? x ? ? 2 ? x ? e ? , 当 x ? ( 0e , 时

1 ? g ? x ?max ? g ? e ? ? , e
则 f ? x ? ,g ? x ? 的图像仅有一个交点,方程仅有一个根,故选 A。 3.函数 f ? x ? ? ?
2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 , 直线 y ? m 与函数 f ?x ? 的图像相交于四个不同的点, 2 ? ln x , x ? 0 ? ?

从小到大,交点横坐标依次记为 a, b, c, d ,有以下四个结论 ① m ? ?3,4? ; ② abcd ? 0, e

?

4

?

;③ a ? b ? c ? d ? ?e5 ?

? ?

1 1 ? ? 2, e6 ? 2 ? 2 ? ; e e ?
1

④若关于 x 的方程 f ?x ? ? x ? m 恰有三个不同实根,则 m 取值唯一. 则其中正确的结论是( A. ①②③ B. ①②④ 【答案】A 【解析】 ) C. ①③④

D. ②③④

试题分析:当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x2 ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1)2 ? 4 ? 4 ,当 x ? 0 时, f (0) ? 3 , 由图可得, 当直线 y ? m 与函数 f ?x ? 的图像相交于四个不同的点, 则 m ? ?3,4? , 故①正确;

1 1 a ? b ? ?2 ,2 ? ln c ? 2 ? ln d , , ], 所以 2 ? ln c ? ln d ? 2 , d ?[e5 , e6 ) , 2 e e ?a ? b 2 4 4 ) ? 1 ,故 abcd ? 0, e 4 , 即 cd ? e ,故 abcd ? e ab ,由于 0 ? ab ? (? a )(?b) ? ( 2
由①得 c ? (

?

?

故②正确; a ? b ? c ? d ? ?2 ? c ? d ? ?2 ? c ?

e4 e4 ,由对号函数的图像得 y ? c ? ,当 c c

c?(

1 1 , ] 递减,故 e2 e

1 5 e4 1 ? e ? c ? ? 2 ? e6 ,所以 e c e

1 1 ? ? a ? b ? c ? d ? ?e 5 ? ? 2, e 6 ? 2 ? 2 ? e e ? ? ,故③正确;若

关于 x 的方程 f ?x ? ? x ? m 恰有三个不同实根,则 y ? f ( x) 的图像与 y ? ? x ? m 有三个不 同交点,过 y ? f ( x) 的图像上 (?1, 4) 和 (0,3) 的直线 y ? ? x ? 3 正好与 y ? 2 ? ln x 相切, 故有三个公共点,而与 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 相切的直线 y ? ? x ?
2

15 与 y ? 2 ? ln x 有两个 4

交点,故此时也有三个公共点,故④错误,综上,正确的命题有①②③.
y

5 4 3 2 1 –4 –3 –2

a

–1 b O c –1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

d

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

x

考点:1、二次函数和 对数函数的图像与性质;2、导数的几何意义. 4.已知函数 f ( x) ? 1 ? 2x ?1 , x ? [0,1] .定义: f1 ( x) ? f ( x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,??,

2

f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) , n ? 2,3, 4,
则 f ( x ) 的 n 阶不动点的个数是( A. 2n 个 【答案】D. 【解析】 B. 2 n 个
2

满足 f n ( x) ? x 的点 x ? [0,1] 称为 f ( x ) 的 n 阶不动点. ) C. 2(2n ? 1) 个 D. 2 个
n

1 ? 2 x , 0 ? x ? ? 1 ? 2 ] , 试 题 分 析 : 函 数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? , 当 x ?[ 0 , 时 2 1 ? 2 ? 2 x, ? x ? 1 ? ? 2

f1 ( x) ?

2x ?

x ?

, x ?0

1 2 2 3 1 1 1 x ? [ 0 , ] , f1 ( x) ? 2 x , f 2 ( x) ? 4 x ? x ? x ? 0 , 当 x ? ( , ] , f1 ( x) ? 2 x , 4 4 2 1 3 2 2 f 2 ( x) ? 2 ? 4 x ? x ? x ? , 当 x ? ( , ] ,f1 ( x) ? 2 ? 2 x ,f 2 ( x ) ? 4 x ? 2 ? x ? x ? , 2 4 5 3 3 4 当 x ? ( ,1] , f1 ( x) ? 2 ? 2 x , f 2 ( x ) ? 4 ? 4 x ? x ? x ? , 4 5
当 x ? ( ,1] 时 , f1 ( x) ? 2 ? 2x ? x ? x ? , ∴ f1 ( x) 的 1 阶 不 动 点 的 个 数 为 2 , 当 ∴ f 2 ( x) 的 2 阶不动点的个数为 2 ,以此类推, f ( x ) 的 n 阶不动点的个数是 2 个. 考点:函数与方程的综合运用.
5 . (2013 年高考四川卷(理) )设函数
2 n

f ( x) ? ex ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).
)

若曲线 y ? sin x 上存在 ( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是( (A) [1, e] (B) [e ,-11] ,
?1

(C) [1, e ? 1]

(D) [e -1, e ? 1]

?1

解:曲线 y=sinx 上存在点(x0,y0)使得 f(f(y0) )=y0,则 y0∈[﹣1,1] 考查四个选项,B,D 两个选项中参数值都可取 0,C,D 两个选项中参数都可取 e+1,A, B,C,D 四个选项参数都可取 1,由此可先验证参数为 0 与 e+1 时是否符合题意,即可得 出正确选项。当 a=0 时, ,此是一个增函数,且函数值恒非负,故只研究 是一个增函数,可得出 f(y0)

y0∈[0,1]时 f(f(y0) )=y0 是否成立,由于 ≥f(0)=1,而 f(1)= 当 a=e+1 时,

>1,故 a=0 不合题意,由此知 B,D 两个选项不正确 此函数是一个增函数, =0,

而 f(0)没有意义,故 a=e+1 不合题意,故 C,D 两个选项不正确 综上讨论知,可确定 B,C,D 三个选项不正确,故 A 选项正确

3

二、填空题
6. (2013 年高考湖南卷(理) )设函数

f ( x) ? a x ? bx ? c x , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.

(1)记集合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长, 且a=b? ,则

(a, b, c) ? M 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为____.
(2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 ______.(写出所有正确结论的 序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa x , b x , c x不能构成一个三角形的三条边长; ③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1,2? , 使f ? x ? ? 0.

1] (1) (0,

(2)①②③

c ,所以方程 2 c c c a x ? b x ? c x ? 0 可化为 2a x ? c x ? 0 , 即 ( ) x ? 2 又 ? 2 , 所以当 x ? 0 时 2 x ? ( ) x ? 2. a a a c x 此时 0 ? x ? 1 ;当 x ? 0 时 ( ) ? 1 ? 2 ,无解.所以 f ( x) 的零点的取值集合为 {x 0 ? x ? 1} . a
解 : 本 题 考 查 函 数 与 方 程 以 及 命 题 的 真 假 判 断 。 (1) 由 题 意 知 a ? b ? (2)①令 F ( x) ?

f ( x) a x ? b x ? c x a b ? ? ( ) x ? ( ) x ?1, x x c c c c
a c b c b c
a c b c

x x 则 F ' ( x) ? ( ) ln( ) ? ( ) ln( ) ,因为 c ? a ? 0, c ? b ? 0. 所以 ln( ) ? 0, ln( ) ? 0 ,

a c

即 F ' ( x) ? ( ) ln( ) ? ( ) ln( ) ? 0 , 所以 F ( x) ?
x x

a c

a c

b c

b c

ax ? bx ? cx a b ? ( ) x ? ( ) x ? 1 是单调 x c c c

递减函数,所以在 (??,1) 上 F ( x) ? F (1) ?

a?b ?1 , c

? a ? b ? c F ( x) ? F (1) ? 又 a, b, c是?ABC的三条边长,
所以 ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0;

a?b ?1 ? 0 , c

② 又 因 为 F ( x) 是 单 调 递 减 函 数 , 所 以 在 R 一 定 存 在 零 点 x 0 , 即 a

x0

? b x0 ? c x0 , 此 时

a x0 , b x0 , c x0 不能构成三角形的三边.
③ ?ABC为钝角三角形,则 由余弦定理易知 a ? b ? c ? 0 ,即 f (2) ? 0 ,又 f (1) ? 0 ,
2 2 2

4

且 f ( x ) 连续,所以 ?x ? ?1,2? , 使f ? x ? ? 0. 故①②③都正确。 e2x2+1 e2x g?x1? f?x2? 7、 设函数 f(x)= ,g(x)= x ,对任意 x1、x2∈(0,+∞),不等式 ≤ 恒成立, x e k k+1 则正数 k 的取值范围是________. g?x1?? g?x1? f?x2? k 解析 因为对任意 x1、x2∈(0,+∞),不等式 ≤ 恒成立,所以 ≥? . k k+1 k+1 ? f?x2? ?max e2x - - - - 因为 g(x)= x ,所以 g′(x)=(xe2 x)′=e2 x+xe2 x· (-1)=e2 x(1-x). e 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, 所以 g(x)在(0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 所以当 x=1 时,g(x)取到最大值,即 g(x)max=g(1)=e; e2x2+1 1 1 因为 f(x)= ,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=e2x+ ≥2e,当且仅当 e2x= , x x x g?x1?? 1 e 1 即 x= 时取等号,故 f(x)min=2e.所以? e ? f?x2? ?max=2e=2. k 1 所以 ≥ .又因为 k 为正数,所以 k≥1.答案 [1,+∞) k+1 2 8、 (天府数学 2015 年普通高考模拟试题 (二) (理 14) ) 设定义域为 ? 0, ?? ? 的单调函数 f ? x ?
' 2 对任意的 x ? ? 0, ?? ? 都有 f ? ? f ? x? ? x ? ? ? 6 , x0 是方程 f ? x? ? f ? x? ? 4 的一个正根,且

x0 ? ? a, a ? 1? , ? a ? N ? ,则实数 a ?



? 【 解 析 】 因 f ? x? 单 调 , 且 恒 有 f ? ? ? 2x ? f? x ? ?6 , 所 以 f
则 f ? m? ? 6 , 由 x 的任意性, 取 x ? m, 得f? f?x x ? m? 0, m ?m ? ?? 2

? x? ?
2

2

x是常数,设
? 6 ? m2 ? m , ,

m ?

解得 m ? 2 。? f ? x ? ? x2 ? 2 ,其导函数 f ' ? x ? ? 2 x ,根据题意 x 2 ? 2 ? 2 x ? 4 有正根 x 0 ,解 得 x0 ? 1 ? 3 ,? a ? 2 。 9.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 ? ? x ? 组成的集合:对 于函数 ? ? x ? ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ? x ? 的值域包含于区间 ? ?M , M ? . 例如,当

?1 ? x? ? x3 , ?2 ? x? ? sin x时,?1 ? x? ? A ,?2 ? x? ? B.现有如下命题:
①设函数 f ? x ? 的定义域为 D, 则 “ f ? x? ? A ” 的充要条件是 “ ?b ? R, ?a ? D, f ? a ? ? b ” ;

5

②函数 f ? x ? ? B 的充要条件是 f ? x ? 有最大值和最小值; ③若函数 f ? x ? , g ? x ? 的定义域相同,且 f ? x ? ? A, g ? x ? ? B,则f ? x ? ? g ? x ? ? B ④若函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 2 ? ?

x ? x ? ?2, a ? R ? 有最大值,则 f ? x? ? B . x ?1
2

其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④ 试题分析: ( 1 )对 于 命 题 ①“ f (x ”即 函 数 f ( x) 值 域 为 R , “? b?R,? a?D, )? A

f (a ) ?b” 表 示 的 是 函 数 可 以 在 R 中 任 意 取 值 ,

b?R,? a?D, 故 有 :设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 D ,则“ f (x ”的 充 要 条 件 是“ ? )? A
f (a ) ?b” ∴ 命 题 ① 是 真 命 题 ;
( 2 )对 于 命 题 ② 若 函 数 f (x )? B,即 存 在 一 个 正 数 M ,使 得 函 数 f ( x) 的 值 域 包 含 于 区 间 [? MM , ].∴ ?M ? f ? x? ? M .例 如 :函 数 f ( x) 满 足 ?2 ? f ? x ? ? 5 ,则 有 ?5 ? f ? x ? ? 5 ,此 时 , f ( x) 无 最 大 值 ,无 最 小 值 .∴ 命 题 ②“ 函 数 f (x )? B的 充 要 条 件 是 f ( x) 有 最 大 值 和 最 小 值 . ” 是 假 命 题 ; ( 3 ) 对 于 命 题 ③ 若 函 数 f ( x) , g ( x ) 的 定 义 域 相 同 , 且 f ? x? ? A, g ? x ? ? B , 则 f ( x) 值 域 为 R , f ? x ? ? ? ??, ??? , 并 且 存 在 一 个 正 数 M , 使 得 . 则 f ? x? ? g? x .∴命题③是真命题. ?M ? g M∴ f ? x? ? g? x ? ?x ? . ?? R ?? B

( 4 )对 于 命 题 ④ ∵ 函 数

x f( x )? a l n ( x ? 2 ) ? 2 ( x ? ?2 , a ? R )有 最 大 值 , x? 1
x → 0 , ln( x + 2) → ?? , ∴ a ln (x + 2 ) → ?? , 则 x +1
2

∴ 假 设 a ? 0 , 当 x → ?? 时 ,

f ( x) → ?? . 与 题 意 不 符 ;

x 2 l( x2 + ) → - ,ln( x + 2) → ?? , ∴ an x +1 5 x x ? ?2 → ?? . 与 题 意 不 符 . ∴ a ? 0 . 即 函 数 f ( x) = 2 x +1 1 1 1 1 当 x ? 0 时, x ? ? 2,∴ 0 ? ? ,即 0 ? f ? x? ? ; 1 2 x 2 x? x
假设 a ? 0 , 当 x → ?2 时 ,
2

→ ?? , 则 f ( x)

6

x? 当 x ? 0 时 ,f ? x ? ? 0 ; 当 x ? 0 时,

1 1 ?? 2, ∴? ? x 2

1 即 ? ? f ? x? ? 0 . ? 0, 1 2 x? x

1

∴?

1 1 ? f ? x ? ? . 即 f (x )? B. 故 命 题 ④ 是 真 命 题 . 故 答 案 为 ①③④. 2 2

三、解答题
10. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2 f ? x ? . (I)当 a ? 1 时,求函数 g ? x ? 的单调区间; (II)若对任意 x ? ? 0, ? , g ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的最小值; ( III )设 A ? x1 , y1 ? , B? x 1 , y2 ? 是函数 y ? f ? x ? 图象上任意不同两点,线段 AB 中点为 C ? x0 , y0 ? ,直线 AB 的斜率为 k.证明: k ? f ? ? x0 ? .

? ?

1? 2?

a ? 2 ? 4 ln 2 ; 【答案】 (Ⅰ) 单调递减区间为 (0, ? ?) , 2) ;(Ⅱ) g ? x ? 的单调递增区间为 (2,
(Ⅲ)详见解析 试题分析:(I)将 a = 1 代入函数解析式,可得 g ? x ? ? x ? 1 ? 2 ln x, g ' ? x ? ? 1 ?

2 . 根据导数 x

在函数单调性中的应用,即可求出 g ? x ? 的单调递增,递减区间. ( Ⅱ ) 由题意知 :

? ? ? ? 在 x ? ? 0, ? 时恒成立, 即 ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2ln x 在区间 ? 0, ? ? 2 ? a?? x ?1? ? 2ln x ? 0 , ? 1 2?
? 1 2?
上恒成立,又 1 ? x ? 0 ,利用分离参数法,可得 a ? 2 ?

2 ln x ? 1? 在区间 ? 0, ? 上恒成立.构 1? x ? 2?

造辅助函数,再利用函数的单调性,即可求出结果;(Ⅲ) 由于 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1

又 x0 ?

x2 ? x1 ,所以 f ' ? x0 ? ? ? ln x ? ' 2

x ? x0

?

ln x2 ? ln x1 1 2 2 ,即证 , ? ? x2 ? x1 x1 ? x2 x0 x1 ? x2

不 妨 设 0 ? x1 ? x2 , 即 证 : ln x2 ? ln x1 ?

2 ? x2 ? x1 ? x1 ? x2

?x ? 2 ? 2 ? 1? x ? x1 ? , 设 , 即 证 : ln 2 ? x2 x1 ?1 x1

7

t?

2 ? t ? 1? x2 ,构造辅助函数,利用函数的单调性即可证明结果. ? 1 ,即证: ln t ? t ?1 x1
2 . x

试题解析:(I)当 a = 1 时, g ? x ? ? x ? 1 ? 2 ln x, g ' ? x ? ? 1 ? 当 x ? (0, 2) 时, g ' ? x ? ? 0,g ? x ? 单调递减; 当 x ? (2, ? ?) 时, g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 单调递增,

综上, g ? x ? 的单调递增区间为 (2, ? ?) ,单调递减区间为 (0, 2) . (Ⅱ)由题意知: ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2ln x ? 0 ,在 x ? ? 0, ? 时恒成立, 即 ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2ln x 在区间 ? 0, ? 上恒成立,

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

又 1 ? x ? 0 ,? a ? 2 ?

2 ln x ? 1? 在区间 ? 0, ? 上恒成立. 1? x ? 2?

2 2 1 ? x ? ? 2 ln x ? 2 ? 2 ln x ? 2 ln x 1 ? ? x 设 h( x ) ? 2 ? , x ? ? 0, ? , h '( x) ? x ? 2 2 1? x ? 2? ?1 ? x ? ?1 ? x ?
又令 m ? x ? ?

2 2 ?2 ? 2 x 2 ? 1? -2 ? 2ln x,x ? ? 0, ? ,则 m ' ? x ? ? ? 2 ? = x x x2 x ? 2?

当 x ? ? 0, ? 时, m ' ? x ? ? 0, m ? x ? 单调递减,

? ?

1? 2?

? 1? ?1? ? m ? x ? ? m ? ? ? 4 ? 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,即 h ' ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ? 恒成立, ? 2? ?2?

?1? ? 1? 所以 h ? x ? 在区间 ? 0, ? 单调递增, h ? x ? ? h ? ? ? 2 ? ? 2? ?2?
故 a ? 2 ? 4 ln 2 . (Ⅲ)证明: k ?

2ln 1 2

1 2 ? 2 ? 4ln 2 ,

x ? x1 y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 又 x0 ? 2 ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1
x ? x0

所以 f ' ? x0 ? ? ? ln x ? '

?

ln x2 ? ln x1 1 2 2 ,即证 ? ? x2 ? x1 x1 ? x2 x0 x1 ? x2

8

不妨设 0 ? x1 ? x2 ,即证: ln x2 ? ln x1 ?

2 ? x2 ? x1 ? , x1 ? x2

?x ? 2 ? 2 ? 1? x ? x1 ? ,设 t ? x2 ? 1 ,即证: ln t ? 2 ? t ? 1? , 即证: ln 2 ? x2 t ?1 x1 x1 ?1 x1
4 ? 2 ? 0 ,其中 t ? (1, ? ?) t ?1 4 ? 2 , t ? (1, 事实上:设 k (t ) ? ln t ? ? ?) t ?1
也就是要证: ln t ?

? t ? 1? ? 4t ? ? t ? 1? ? 0 1 4 ? 则 k '(t ) ? ? 2 2 2 t ? t ? 1? ? t ? 1? ? t ? 1?
2 2

所以 k (t ) 在 (1, ? ?) 单调递增,因此 k ?t ? ? k ?1? ? 0 ,即结论成立. 考点:1.导数在函数单调性中的应用;2. 导数在函数最值的应用;3. 导数证明不等式中的 应用. 11.[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自 然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围. 解:(1)由 f(x)=ex-ax2-bx-1,得 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b.所以 g′(x)=ex-2a. 当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 1 当 a≤ 时,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1),所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调 2 2 递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增, 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 2 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 2 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 2 (2)设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点, 则由 f(0)=f(x0)=0 可知,f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1.
9

同理 g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2.,故 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点. 1 由(1)知,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点; 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意. 2 1 e 所以 <a< .此时 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 2 2 因此 x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有 g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0. 由 f(1)=0 得 a+b=e-1<2,则 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,解得 e-2<a<1. 当 e-2<a<1 时,g(x)在区间[0,1]内有最小值 g(ln(2a)). 若 g(ln(2a))≥0,则 g(x)≥0(x∈[0,1]),从而 f(x)在区间[0,1]内单调递增,这与 f(0)= f(1)=0 矛盾,所以 g(ln(2a))<0.,又 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0. 故此时 g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点 x1 和 x2. 由此可知 f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增. 所以 f(x1)>f(0)=0,f(x2)<f(1)=0,故 f(x)在(x1,x2)内有零点. 综上可知,a 的取值范围是(e-2,1). 12.[2014· 陕西卷] 设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的导函 数. (1)令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求 gn(x)的表达式; (2)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+?+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明. x 解:由题设得,g(x)= (x≥0). 1+x x 1+x x x (1)由已知,g1(x)= ,g (x)=g(g1(x))= = , x 1+x 2 1+2x 1+ 1+x g3(x)= x x ,?,可得 gn(x)= . 1+3x 1+nx

下面用数学归纳法证明. x ①当 n=1 时,g1(x)= ,结论成立. 1+x ②假设 n=k 时结论成立,即 gk(x)= x .那么,当 n=k+1 时,gk+1(x)=g(gk(x))= 1+kx

x 1+kx gk(x) x = = ,即结论成立. x 1+gk(x) 1+(k+1)x 1+ 1+kx 由①②可知,结论对 n∈N+成立. (2)已知 f(x)≥ag(x)恒成立,即 ln(1+x)≥ ax 恒成立. 1+x

x+1-a ax 1 a 设 φ(x)=ln(1+x)- (x≥0),则 φ′(x)= - , 2= 1+x 1+x (1+x) (1+x)2

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当 a≤1 时,φ′(x)≥0(仅当 x=0,a=1 时等号成立), ∴φ (x)在[0,+∞)上单调递增,又 φ(0)=0,∴φ (x)≥0 在[0,+∞)上恒成立, ax ∴a≤1 时,ln(1+x)≥ 恒成立(仅当 x=0 时等号成立). 1+x 当 a>1 时,对 x∈(0,a-1]有 φ′(x)<0,∴φ (x)在(0,a-1]上单调递减, ∴φ (a-1)<φ(0)=0.即 a>1 时,存在 x>0,使 φ(x)<0,故知 ln(1+x)≥ 综上可知,a 的取值范围是(-∞,1]. 1 2 n (3)由题设知 g(1)+g(2)+?+g(n)= + +?+ , 2 3 n+1 比较结果为 g(1)+g(2)+?+g(n)>n-ln(n+1). 证明如下: 1 1 1 方法一:上述不等式等价于 + +?+ <ln(n+1), 2 3 n+1 在(2)中取 a=1,可得 ln(1+x)> x ,x>0. 1+x ax 不恒成立. 1+x

n+1 1 1 令 x= ,n∈N+,则 <ln . n n n+1 下面用数学归纳法证明. 1 ①当 n=1 时, <ln 2,结论成立. 2 1 1 1 ②假设当 n=k 时结论成立,即 + +?+ <ln(k+1). 2 3 k+1 k+2 1 1 1 1 1 那么,当 n=k+1 时, + +?+ + <ln(k+1)+ <ln(k+1)+ln =ln(k 2 3 k+1 k+2 k+2 k+1 +2),即结论成立. 由①②可知,结论对 n∈N+成立. 1 1 1 方法二:上述不等式等价于 + +?+ <ln(n+1), 2 3 n+1 在(2)中取 a=1,可得 ln(1+x)> x ,x>0. 1+x

n+1 1 1 1 令 x= ,n∈N+,则 ln > .,故有 ln 2-ln 1> , n n n+1 2 1 1 ln 3-ln 2> ,??,ln(n+1)-ln n> , 3 n+1 1 1 1 上述各式相加可得 ln(n+1)> + +?+ ,结论得证. 2 3 n+1

13.【2012 高考真题湖南理 22】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = ? e ? x ,其中 a≠0.
ax

(1) 若对一切 x∈R, f ( x) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合.

11

(2)在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,记直线AB的 斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2) ,使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若 不存在,请说明理由.

12

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