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四川省射洪县射洪中学2012届高三高考模拟(一)数学(理)试题


2012 届高三高考模拟(一)数学(理)试题
本试卷分为第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 及答题卡三部分. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.全卷共 150 分,考试时间为 120 分 钟.
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题 卡上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案 标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球是表面积公式
P( A ? B) ? P( A) ? P( B) S ? 4? R 2

如果事件 A、B 相互独立,那么 径
P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

其中 R 表示球的半 球的体积公式
4 V ? ? R3 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率

k Pn (k ) ? Cn Pk (1 ? P)n?k

其中 R 表示球的半

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的. 1 ? 2i 1.在复平面内,复数 对应的点位于 i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设全集 U ? R , A ? {x | x( x ? 2) ? 0}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)}, 则右图中阴影部分表示的集合为 A. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} 3.已知 lim
x ?2

B. {x |1 ? x ? 2} D. {x | x ? 1}

x ? x?6 ? x?2
2

(A)6 (D)2

(B)5

(C)4 A.若 m, n 与 ? 所

4.对于平面 ? 和两条不同的直线 m,n,下列命题中真命题是 成的角相等,则 m // n B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n

C.若 m ? ? , n // ? , 则 m // n
-1-

D.若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n

1 5.已知向量 a ? (2 cos x,?2) , b ? (cos x, ) , f ( x) ? a ? b , x ? R ,则 f ( x) 是 2 A.最小正周期为 ? 的偶函数 B.最小正周期为 ? 的奇函数 ? ? C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的奇函数 2 2

6. an }为递增等比数列, 2010 和 a2011 是方程 4x2—8x+3=0 的两根, a2012 =( 设{ 则 a A. 9 7.已知 a ? ln B. 10 C.
9 2

)

D. 25

1 1 1 1 1 1 ? ? ? , b ? ln , c ? ln ,则 2010 2010 2011 2011 2012 2012

A.a>b>c C.c>a>b

B.a>c>b D.c>b>a

8.如图所示,在正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别是 SC、BC 的中点,且 MN ? AM , 若 侧 棱 SA ? 2 3, 则 正 三 棱 锥 S — ABC 外 接 球 的 表 面 积 是

A.12π B.36π C.32π D.48π 9.在 2012 年高考规定每一个考场 30 名学生,编成“边八中七四列”就坐,若来 ...... 自同一学校的甲、乙两名学生将同时排在“××考点××考场” ,要求这两名 学生前后左右不能相邻,则甲、乙两名学生不同坐法种数为 .... A.772 B.820 C.776 D.870 10.如图,已知 A(-2,0) ,B(2,0) ,等腰梯形 ABCD 满足|AB|=-2|CD|,E 为 AC ??? ? ??? ? 2 3 上一点, AE ? ? EC 。 且 又以 A、 为焦点的双曲线过 C、 E 三点。 ? ? [ , ] , B D、 若 3 4 则双曲线离心率 e 的取值范围为 A. [ 7, 10] C. ? 10, ?? ? B. 1, 7 ? ? D. ? 7, ?? ?

?

?

?

11.从集合 {?1, ?2, ?3, ?4,0,1, 2,3, 4,5} 中,选出 5 个数组成子集,使得这 5 个数中 的任何两个数之和不等于 1,则取出这样的子集的概率 5 55 55 A. B. C. 126 126 63
8 63

D.

-2-

12. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于(1,0)
t 成中心对称,若 s , t 满足不等式 f (s 2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) ,则当 1 ? s ? 4 时, 的 s 取值范围是

? 1 ? A. ? ? ,1? ? 4 ?

1 B. [ ? ,1] 4

? 1 ? C. ? ? ,1? ? 2 ?

1 D. [ ? ,1] 2

射洪中学高 2012 级高考模拟试题
第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷共 2 页,请用 0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,不能直接 答在此试题卷上. 2.答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案直接填在题 目中的横线上.
1 13. 已知二项式 ( x ? )8 展开式的前三项的系数成等差数列,则 a =_______ a
?y ? 2 ? 14.x、y 满足约束条件: ?2 x ? y ? 5 ? 0 ,则 z ? | x ? y ? 5 | 的最小值是_______ ?x ? y ? 4 ? 0 ?

15.直线 ? : 3x ? y ? 3 ? 0 与抛物线 y2 ? 4x 相交于 A、B 两点,与 x 轴相交于点

??? ? ??? ? ??? ? λ F,若 OF =λ OA +μ OB (λ ≤μ ) ,则 =_______. ?
16.已知函数 f ( x) ?
c ( x ? b) (a ? 0, b ? R, c ? 0) ,函数 g ( x) ? m[ f ( x)]2 ? p ( m, p ? R , ( x ? b) 2 ? a

且 mp<0) ,给出下列结论: ①存在实数 r 和 s,使得 r ? f ( x) ? s 对于任意实数 x 恒成立; ②函数 g ( x) 的图像关于点 (b, 0) 对称; ③函数 g ( x) 可能不存在零点(注:使关于 x 的方程 g ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数
g ( x) 的零点) ;

④关于 x 的方程 g ( x) ? 0 的解集可能为{-1,1,4,5}. 其中正确结论的序号为 (写出所有正确结论的序号) .
-3-

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答要写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) ??? ? ??? ? 已知向量 OA ? (m cos ? , m sin ? )(m ? 0) ,OB ? (? sin ? ,cos ? ) .其中 O 为坐标原 点. ??? ??? ? ? ? (Ⅰ)若 ? ? ? ? 且 m ? 0 ,求向量 OA 与 OB 的夹角; 6 ??? ? ? 1 ??? (Ⅱ)若 OB ≤ AB 对任意实数 ? 、 ? 都成立,求实数 m 的取值范围. 2 18、 (本小题满分 12 分) 某学校要用三辆车把考生送到某考点参考,已知从学校到考点有两条公路,汽 1 3 车走公路①堵车的概率为 ,不堵车的概率为 ;汽车走公路②堵车的概率为 p , 4 4 不堵车的概率为 1 ? p ,若甲、乙两辆汽车走公路①,丙汽车由于其他原因走公路 ②,且三辆车是否堵车相互之间没有影响。 (I)若三辆车中恰有一辆车被堵的概 7 率为 ,求走公路②堵车的概率; (Ⅱ)在(I)的条件下,求三辆车中被堵车辆 16 的个数 ? 的分布列和数学期望。 19. (本小题满分 12 分) 如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45? , ?C ? 90? , ?ADC ? 105? ,
AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BDC(如图乙) ,设点 E、 F 分别为棱 AC、AD 的中点. (Ⅰ)求证:DC ? 平面 ABC; (Ⅱ)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦; (Ⅲ)求二面角 B-EF-A 的余弦.

20. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 W:
x2 y 2 ? ?` a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 N (0, b) , 1( a2 b2
-4-

右顶点是 M,且 MN ? MF2 ? ?1 , ?NMF2 ? 120? . (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ) 过点 Q (0, ?2) 的直线 l 交双曲线 W 的右支于 A、B 两个不同的点 B 在 A、 ( Q 之间) ,若点 H (7, 0) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,试求△AQH 与△BQH 面积之 比 λ 的取值范围. 21、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x ? k ln x ,常数 k >0. (Ⅰ)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? xf ( x) 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数,求 k 的取值范围;
1 ( Ⅲ)设函数 F ( x) = f ( x ) ? f ( ) ,求证: F (1) F (2) F (3) ??? F (2n) ? 2n (n ? 1)n x * ( n? N ) .

???? ????? ?

22、 (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0,4an?1 ? 4an ? 2 4an ? 1 ? 1 ,令 bn ? 4an ? 1 . ⑴试判断数列 ?bn ? 是否为等差数列?并求数列 ?bn ? 的通项公式;学 ⑵ 令 Tn ?
Tn bn ? 1 ?
b1 ? b3 ? b5 ? ? b2 ? b4 ? b6 ? ? ? b( n?
n 2

b2

) , 1是 否 存 在 实 数 a , 使 得 不 等 式

求出 a 的取值范围; 若不存在, 2 l2 o ? 对一切)n ? N* 都成立?若存在, ag ( 1

请说明理由. ⑶比较 bnbn?1 与 bn?1bn 的大小.

-5-

射洪中学高 2012 级高考模拟试题
数学(理工农医类)参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13、2 或 14 ; 14、1 ; 15、
1 3



16、①③.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17、 (Ⅰ)设它们的夹角为 ? ,则

??? ??? ? ? ? 1 OA ? OB m(? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ) cos ? ? ??? ??? ? ? sin(? ? ? ) = sin ? , ? ? 6 2 m OA OB

故? ?

?
3

??6 分.

(Ⅱ)由 AB ? 2 OB 得 (m cos? ? sin ? )2 ? (m sin ? ? cos ? )2 ? 4 即 m2 ? 1 ? 2m sin(? ? ? ) ? 4 对任意的 ? , ? 恒成立????9 分 则? 分.
1 3 3 7 18. 解: (I)由已知条件得 C ? ? ? (1 ? p) ? ? ? ? p ? ,即 3 p ? 1 ,则 p ? ? 4 4 16 ?4?
1 2 2

m?0 m?0 ? 或? 2 ,解得 m ? ?3或m ? 3 ????12 ?m ? 2m ? 1 ? 4 ?m ? 2m ? 1 ? 4 ?
2

的值为 。 (4 分) (Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1,2,3
3 3 2 3 7 ? ? ? P (? ? 1) ? , 4 4 3 8 16 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 P(? ? 2) ? ? ? ? C2 ? ? ? ? , P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 3 4 4 3 6 4 4 3 48 P(? ? 0) ?

1 3

? 的分布列为:

-6-

?

0
3 8

1
7 16

2
1 6

3
1 48

P

所以 E? ? 0 ? ? 1?

3 8

7 1 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 16 6 48 6

( 12 分 ) ∴ ?ADB ? 45? ,

19 . Ⅰ ) 证 明 : 在 图 甲 中 ∵ AB ? BD 且 ?A ? 45? (
?ABD ? 90? , AB ? BD

???? (1 分)

在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD ∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥CD. ????(3 分)

又 ?DCB ? 90? , ∴ DC⊥BC, 且 AB ? BC ? B ∴ DC ? 平 面 ABC. ????(4 分)

(Ⅱ)解法一:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点 ∴EF//CD,又由(1)知,DC ? 平面 ABC, ∴EF⊥平面 ABC,垂足为点 E ∴∠FBE 是 BF 与平面 ABC 所成的角 在图甲中,∵ ?ADC ? 105? , ∴ ?BDC ? 60? , ?DBC ? 30? ?????(5 分)

-7-

设 CD ? a 则 BD ? 2a, BC ? 3a , BF ?
1 1 EF ? CD ? a 2 2

2 BD ? 2a , 2

?????(7 分)

1 a EF 2 ? 2 ? ∴在 Rt△FEB 中, sin ?FBE ? FB 4 2a


2 . 4

BF

与 平 面

ABC

所 成 角 的 正 弦 值 为

????(8 分)

解法二:如图,以 B 为坐标原点,BD 所在的直线为 x 轴建立空间直 角坐标系如下图示, 设
AD ? 2 2a
CD ? a





BD ? AB ? 2a,

B ? 3 C

, a

????(5 分)
3 2 3 a, 0) , F (a,0, a) , 2

可得 B(0,0,0), D(2a,0,0) , A(0, 0, 2a) , C ( a, ∴ CD ? ( a, ?
??? ? 1 2

??? ? 3 a, 0) , BF ? (a,0, a) 2

?????(6 分)
Z A F E

设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ? ,由(1)知 DC ? 平面 ABC
1 2 ??? ??? ? ? a ? CD ? BF 2 2 ? ? ∴ cos( ? ? ) ? ???? ???? ? 2 4 | CD | ? | BF | a ? 2a
X D C

B y

∴ sin ? ?

2 4

????(8 分)

(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知 FE⊥平面 ABC,又∵BE ? 平面 ABC,AE ? 平面 ABC, ∴ FE⊥BE , FE⊥AE , ∴ ∠ AEB 为 二 面 角 B - EF - A 的 平 面 角 ????(10 分)
-8-

在△AEB 中, AE ? BE ? AC ? ∴ cos ?AEB ?
AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 ?? 2 AE ? BE 7

1 2

1 7 AB 2 ? BC 2 ? a 2 2

即 所 求 二 面 角
? 1 . 7

B - EF - A ????(12 分)

的 余 弦 为

解法二:由(Ⅱ)知, A(0, 0, 2a) , C ( a,
??? ? BF ? (a,0, a) ;

3 2

??? ? 1 3 3 a, 0) , CD ? ( a, ? a, 0) , 2 2 2

则 E ( a, 分)

3 4

3 3 a, a) ,? BE ? ( a, 4 4

3 3 a, a) , ? ( a, AC 4 2

3 a, ? 2a) (9 2

设 平 面 A C D 的 法 向 量 为 m ? ( x1 , y1 ,1) , 平 面 BEF 的 法 向 量 为
n ? ( x2 , y2 ,1) ,
? 1 ?m ? CD ? ax1 ? 2 则, ? ? ?m ? AC ? 3 ax ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 3 ay1 ? 0 ay2 ? a ? 0 ?n ? BE ? ax2 ? 2 ;? ; 4 4 3 ?n ? BF ? ax ? a ? 0 ay1 ? 2a ? 0 2 ? 2

? x1 ? 1 解得 ? ? 3; y1 ? ? 3 ?

? x2 ? ?1 ? ? 3 ? y2 ? ? 3 ?

即 m ? (1,

3 3 ,1) , n ? (?1,? ,1) 3 3

?????(11 分)

? cos m, n ?

?1?

1 ?1 1 3 ?? . 7 21 21 ? 3 3
1 7

即所求二面角 B-EF-A 的余弦为 ? . ???(12 分) 20 、 解 答 ( Ⅰ ) 由 已 知
-9-

M (a, 0)



N (0, b)



F2 (c,0)



???? ????? ? MN ? MF2 ? (?a, b) ? (c ? a,0) ? a2 ? ac ? ?1 ,

∵ ?NMF2 ? 120? ,则 ?NMF1 ? 60? ,∴ b ? 解得 a ? 1 , b ?

3a ,∴ c ? a 2 ? c2 ? 2a ,

3 ,∴双曲线的方程为 x2 ?

y2 ?` . 1 3

····· 4 分

(Ⅱ)直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,
?3 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? 16k ? 28(3 ? k ) ? 0, y ? kx ? 2, ? 由 ? 2 y 2 得 (3 ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 7 ? 0 ,则 ? x1 ? x2 ? 24k ? 0, ? ? ?` 1 ?x ? k ?3 ? 3 ? ? 7 ? x1 x2 ? 2 ? 0, k ?3 ?

解得 3 ? k ? 7 . ① ··············· 6 分 ??? ??? ? ? ∵点 H (7, 0) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则 HA ? HB ? 0 ,
??? ???? ? HA ? HB ? ( x1 ? 7, y1 ) ? ( x2 ? 7, y2 ) ? ( x1 ? 7) ? ( x2 ? 7) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (7 ? 2k )( x1 ? x2 ) ? 53

? (1 ? k 2 ) ?
k ? 2.

7 4k ? (7 ? 2k ) ? 2 ? 53 k2 ? 3 k ?3

?

7k 2 ? 7 ? 8k 2 ? 28k ? 53k 2 ? 159 ?0 k2 ? 3
7







② 由①、②得实数 k 的范围是 2 ? k ? 由已知 ? ?
S?AQH S?BQH ? | AQ | | BQ |

, ········· 8 分
??? ? ??? ?

,∵B 在 A、Q 之间,则 QA ? ?QB ,且 ? ? 1 ,

4k ? ?(1 ? ? ) x2 ? k 2 ? 3 , ∴ ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x2 , y2 ? 2) ,则 x1 ? ? x2 ,∴ ? ? ?? x 2 ? 7 , ? 2 k2 ? 3 ? (1 ? ? )2 16 k 2 16 3 则 ? ? 2 ? (1 ? 2 ) , ············ 10 ? 7 k ?3 7 k ?3 2 ∵ 2 ? k ? 7 ,∴ 4 ? (1 ? ?) ? 64 ,解得 1 ? ? ? 7 ,又 ? ? 1 ,∴ 1 ? ? ? 7 . 7 ? 7



故 λ 的取值范围是 (1,7) . ·············· 12 分 21、 【解析 】 (Ⅰ) f ' ( x) ? 1 ? ,因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,
f ' (1) ? 0 ? k ? 1 ,?2 分 1 ∴ f ' ( x) ? 1 ? 令 f ' ( x) ? 0 ? x ? (1, ??) ? (??,0) ,再令 f ' ( x) ? 0 ? x ? (0,1) ?3 分 x ? ( 0 ∴ 函 数 F ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (1, ? ) , ? ? , , ) 单 调 递 减 区 间 是
(0,1) ?????4 分
k x

(Ⅱ)? 函数 g ( x) ? xf ( x) 在区间 ?1, 2? 上是增函数,则 g ' ( x) ? 2x ? k (1 ? ln x) ? 0 对 x ? ?1, 2? 恒 成 立 . 即 k ? 立 ?????5 分
2x 对 1 ? lx n

x ? ?1, 2?

恒 成

- 10 -

令 h( x ) ? 立 ∴

2x 1 ? ln x

, 则 知 h' ( x ? )

2 lx n ? ( ? x l2 n 1

对 x ? ?1, 2? 恒 成 0 ) 调 递 增 ,

?????6 分 在
x ? ?1, 2?

2x 1 ? ln x hmin ( x) ? h(1) ? 2 h( x ) ?
k ? 2.



?????7 分 ???8 分

1 1 (Ⅲ)F(x)= f ( x) ? f ( ) = x+ , x x 1 1 1 ( F (1) F (2) F (3) ??? F (2n) =( 1+ ) 2+ )??( 2n+ ) 2 2n 1 1 1 1 2n ? k k ? 1 ∴( k ? 1+ ) 2n ? k+ ( )= (2n ? k )(k ? 1) ? + + k ?1 2n ? k k ? 1 2 n ? k (k ? 1)(2n ? k )

> (2n ? k )(k ?1) ? 2 ? 2n ? 2 ? 2nk ? k 2 ? k = 2n ? 2 ? k (2n ? k ?1) > 2n ? 2 ????10 分
(k ? 0,1, 2,3....n ? 1) 1 1 ∴(1+ ) 2n+ )> 2n ? 2 ( 2n 1 1 1 ( 2+ ) 2n-1+ ( )> 2n ? 2 2 2n-1

??
1 1 ) 2n ? k+ ( )> 2n ? 2 k ?1 2n ? k 1 n+ ( n 1 ( n ? 1+ )> 2n ? 2 n ?1

( k ? 1+

) ?????11

分 相乘得: F (1) ? F (2) ? F (3) ????? F (2n) =( 1+ ) 2+ )??( 2n+ ( 22、解⑴由已知得 a 即 4a
n ?1

1 1

1 2

1 )> (2n ? 2)n ? 2n (n ? 1)n 12 分 2n

?

1 ? 1? 1 1 ? ? an ? ? ? an ? ? , 4 ? 4? 4 4

n ?1

? 1 ? 4an ? 1 ? 2 4an ? 1 ? 1 ,

????2 分

所以 bn?12 ? bn2 ? 2bn ? 1 ,即 bn?1 ? bn ? 1 , 又 b1 ? 1 ,所以数列 ?b ? 为等差数列,通项公式为 b
n
n

? n(n ? N * ) .

??5 分

(2)令 cn ? Tn

bn ? 1 ,由 Tn ?

b1 ? b3 ? b5 ? ? ? b(2 n ?1) b2 ? b4 ? b6 ? ?b2 n
- 11 -

,得

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) n?2 cn ?1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? (2n ? 2) 2n ? 1 n?2 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) cn 2n ? 2 n ?1 n ?1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
? (n ? 2)(2n ? 1)2 4n3 ? 12n2 ? 9n ? 2 ? ?1 (2n ? 2)2 (n ? 1) 4n3 ? 12n2 ? 12n ? 4

所以,数列 ?cn ? 为单调递减数列, 所以数列 ?cn ? 的最大项为 c1 ? 若不等式 Tn
2 2

????7 分


2 ? 2 log 2 ( a ? 1) , 2

bn ? 1 ? 2 log2 (a ? 1) 对一切 n ? N* 都成立,只需

解得 a ? 2 ? 1, a ? 0, a ? 1 又 , ( 2 ? 1,1) ? (1, ??) .





的 取 ????10 分
a









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