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椭圆离心率


板块二.椭圆的离心率

典例分析
【例1】 椭圆

x2 y 2 x2 y 2 和 ) ? ? 1 ? ? k (k ? 0) 一定具有( a 2 b2 a 2 b2 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长轴长

【例2】 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A 、 B 两 点,若 ?ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( A.
3 2

) D.
2 3

B.

3 3

C.

2 2

【例3】 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭 圆离心率的取值范围是( ) 2 2 1 , 1) 1) A. (0 , B. (0 , ] C. (0 , ) D. [ 2 2 2 【例4】 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦 a 2 b2 点,若 ?F1 PF2 ? 60° ,则椭圆的离心率为( )
2 2

A.

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

【例5】 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,且 | F1 F2 |? 2c ,点 A 在椭圆上, a 2 b2 ) AF 1 ? F1 F2 ? 0 , AF 1 ? AF2 ? c2 ,则椭圆的离心率 e ? (
3 3

A.

B.

3 ?1 2

C.

5 ?1 2

D.

2 2

F2 为焦点的椭圆 【例6】 已知 P 是以 F1 ,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一点,若 PF1 ? PF2 ? 0 , a 2 b2
) D.
5 3

tan ?PF1 F2 ?
A.

1 2

1 ,则此椭圆的的离心率为( 2 2 1 B. C. 3 3

【例7】 已知椭圆

10 x2 y 2 ,则 m 的值为( ? ? 1 的离心率 e ? 5 5 m



A. 3

B.

25 或3 3

C. 5

D.

5 15 或 15 3

【例8】 椭圆的长轴为 A1 A2 , B 为短轴的一个端点,若∠A1BA2 ? 1200 ,则椭圆的离心率为 ( ) 6 3 3 1 A. B. C. D. 3 3 2 2 【例9】 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点为 A 、 B 、 C 、 D ,若四边形 ABCD 的内切 a 2 b2 圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率是( ) 3? 5 3? 5 5 ?1 5 ?1 A. B. C. D. 2 4 2 4

【例10】 设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 a2 上 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在直线 l : x ? 2 a b c

存在 P (其中 c ? a2 ? b2 ) ,使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范 围是( ) ? ? ? 2 ? ? 3 ? 2? 3? A. ? B . C . D . 0 , 0 , , 1 , 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? 【例11】 椭 圆 上 一 点 A 看 两 焦 点 的 视 角 为 直 角 , 设 AF1 的 延 长 线 交 椭 圆 于 B , 又 | A B |? | A F | e?( ) 2 ,则椭圆的离心率 A. ?2 ? 2 2 B. 6 ? 3 C. 2 ? 1 D. 3 ? 2

【例12】 如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ 绕月飞行,之后卫星在 P 点第二 次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ 绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次 变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ 绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭轨道Ⅰ

和Ⅱ 的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ 和Ⅱ 的长轴的长,给出下列式子:
①a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ②a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; 其中正确式子的序号是( ) A.① ③ B.② ③
P F III

③c1a2 ? a1c2 ; ④

c1 c2 ? . a1 a2

C.① ④

D.② ④

II

I

【例13】 椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A ,在椭圆上 a 2 b2 存在点满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是( ) ? 1? 2? ? ?1 ? 2 ? 1, 1 1? A. ? 0 , ? B. ? 0 , ? C. ? D. ? , ? ? 2 2 ? ? ?2 ? ? ?

?

【例14】 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? , A 是椭圆长轴的一个端点, B 是椭圆短轴的一 a 2 b2 个端点, F 为椭圆的一个焦点. 若 AB ? BF ,则该椭圆的离心率为 ( ) 5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 A. B. C. D. 2 2 4 4

【例15】 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 , 且它们在第一象限的交点为 P ,△PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形. 若
PF1 ? 10 ,双曲线的离心率的取值范围为 ?1 , 2 ? .则该椭圆的离心率的取值范围





【例16】 在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ?

7 B 为焦点的椭圆经过点 C ,则 .若以 A , 18

该椭圆的离心率 e ?



【例17】 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c ,以点 O 为 a 2 b2 ? a2 ? 圆心, a 为半径作圆 M .若过点 P ? ,0 ? 作圆 M 的两条切线互相垂直,则椭 ? c ?

圆的离心率为



【例18】 直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B ,该椭圆的离心率为 _________.
0) , F2 (c , 0) 是椭圆 【例19】 设 F1 (?c ,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P 是以 F1 F2 为直 a 2 b2 径 的 圆 与 椭 圆 的 一 个 交 点 , 若 ?PF1 F2 ? 2?PF2 F1 , 则 椭 圆 的 离 心 率 等 于 ________. x2 y 2 若直线 y ? 2 x 与椭圆一个交点的横坐标恰 ? ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 c , a 2 b2 为 c ,椭圆的离心率为_________

【例20】 椭圆

B两 F2 是椭圆的两个焦点, 【例21】 已知 F1 , 过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A ,

点,若 △ ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是_________.

【例22】 已知 F ? c , 0? 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的右焦点,以坐标原点 O 为圆心,a 为 a 2 b2 B 两点,过点 A 作圆 P 的切 半径作圆 P ,过 F 垂直于 x 轴的直线与圆 P 交于 A , 线交 x 轴于点 M .若直线 l 过点 M 且垂直于 x 轴,则直线 l 的方程为 ______________;若 | OA |?| AM | ,则椭圆的离心率等于_________.

【例23】 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,A1 ,A2 ,B1 ,B2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2 四个顶点, F 为其右焦点,直线 A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T ,线段 OT 与椭圆 的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 ___ .
y T B2 M A1 O F B1 A2 x

【例24】 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点, a 2 b2 PF1 ?F1 PF2 ? 60? ,设 ?? , PF2 ⑴ 求椭圆离心率 e 和 ? 的关系式; ⑵ 设 Q 是离心率最小的椭圆上的动点,若 PQ 的最大值为 2 3 ,求椭圆的方程.

【例25】 设椭圆 C :

x2 y 2 F2 ,若椭圆上存在一点 Q , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , a 2 b2 使 ?F1QF2 ? 120? ,试求该椭圆的离心率 e 的取值范围. x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴两端点为 A 、 B ,若椭圆上存在一点 Q , a 2 b2 使 ?AQB ? 120? ,试求该椭圆的离心率 e 的取值范围.

【例26】 设椭圆 C :



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